材料力学（第2版）课件：杆件的应力分析B

压杆稳定Columns3.6横力弯曲梁横截面上的正应力3.6横力弯曲横截面上的正应力

工程中实际的梁大多发生横力弯曲，横截面由于切应力的存在而发生翘曲。此外，横向力还使各纵向线之间发生挤压。平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不成立。

弹性力学的分析结果表明，受满布荷载的矩形截面简支梁，当其跨长与截面高度之比l/h大于5时，梁的跨中横截面上按纯弯曲理论算得的最大正应力其误差不超过1%。3.6横力弯曲横截面上的正应力对于细长梁，工程应用中就将纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况

对于变截面梁，最大弯曲正应力并不一定出现在弯矩最大的横截面上，其大小应为:

弯矩最大的截面并不一定是危险截面。

梁的最大正应力不仅和弯矩M

有关，而且和截面的形状尺寸(几何性质)有关。3.6横力弯曲横截面上的正应力【例3.4】如图所示简支梁由56a号工字钢制成，其截面简化后尺寸如图，F=150kN。求梁危险截面上的最大正应力smax和同一截面上翼缘与腹板交界处点a的正应力sa。3.6横力弯曲横截面上的正应力(1)作梁的弯矩图F=150kN(2)截面几何性质查型钢表

56a工字钢:3.6横力弯曲横截面上的正应力(3)危险截面最大正应力(4)危险截面处点a的正应力3.6横力弯曲横截面上的正应力

点a处的正应力sa亦可根据直梁横截面上的正应力在与中性轴z垂直的方向按直线变化的规律，利用已求得的该横截面上的smax=160MPa来计算：3.6横力弯曲横截面上的正应力显然，梁的自重引起的最大正应力仅为

而危险截面上的最大正应力变为远小于外加荷载F所引起的最大正应力。

如果考虑梁的自重(q=1.041kN/m)则危险截面未变，但相应的最大弯矩值变为3.6横力弯曲横截面上的正应力【例3.5】

如图所示圆轴AD，在BC段受均布载荷作用。已知q=1kN/m，AB段直径d1=280mm，BC段直径d2=320mm，轴的许用应力[s

]=140MPa，试校核该轴的强度。3.6横力弯曲横截面上的正应力(1)计算简图(2)求约束力并画弯矩图(略)3.6横力弯曲横截面上的正应力(3)跨中危险截面3.6横力弯曲横截面上的正应力(4)

AB段横截面上的正应力AB段最大弯矩发生在截面B3.6横力弯曲横截面上的正应力【例3.6】

如图所示一槽型截面铸铁梁的载荷和截面尺寸，已知F1=32kN，F2=12kN。试求该梁横截面上的最大拉应力和最大压应力。3.6横力弯曲横截面上的正应力【例3.6】

对铸铁这样的抗压和抗拉强度不一样的材料，截面中性轴又不在对称轴上，同一截面的最大拉应力和最大压应力不相等，计算最大应力时不能单一考虑弯矩最大的截面。3.6横力弯曲横截面上的正应力(1)计算约束力，画弯矩图F1=32kN，F2=12kN3.6横力弯曲横截面上的正应力(2)计算截面几何性质求形心C

的位置（负面积法）横截面的惯性矩(注意平行移轴公式)3.6横力弯曲横截面上的正应力(3)对截面B弯矩负值，上侧受拉3.6横力弯曲横截面上的正应力(4)对截面C弯矩正值，下侧受拉3.6横力弯曲横截面上的正应力全梁的最大拉应力位于截面C

下边缘全梁的最大压应力位于截面B

下边缘3.6横力弯曲横截面上的正应力3.7横力弯曲梁横截面上的切应力3.7横力弯曲横截面上的切应力矩形截面梁儒拉夫斯基假设1）截面上任意一点的切应力

t的方向和该截面上的剪力FS的方向平行。2）切应力沿宽度均匀分布，即t的大小只与距离中性轴的距离有关。3.7横力弯曲横截面上的切应力取简支梁中dx的微段进行受力分析若所切微段上无横向外力作用，则两截面的剪力相等。弯矩不同，两侧截面上的正应力也不相同

按照儒拉夫斯基假设，切应力和剪力平行。

为了研究横截面上距离中性层y处的切应力t的数值，可在该处用一个平行于中性层的纵截面pp1，将微段的下半部分截出。矩形截面梁研究x方向的平衡

距中性轴为y处的横线以下部分面积A1对中性轴的静矩。同理可得矩形截面梁顶边分布的切应力的合力dF的大小由3.7横力弯曲横截面上的切应力整个横截面上的剪力整个截面对中性轴的惯性矩梁横截面上距中性轴为y的横线以外部分的面积对中性轴的静矩的绝对值所求切应力点的位置的梁截面宽度。3.7横力弯曲横截面上的切应力对于矩形截面梁，取公式改写为在截面的两端，y=±h/2在中性层，y=03.7横力弯曲横截面上的切应力工字形组合截面梁工字形截面由翼缘和腹板组成上翼缘下翼缘腹板

由于腹板截面是狭长矩形，因此儒拉夫斯基假设仍然适用，若要计算腹板上距中性轴y处的切应力，Sz*是图中黄色部分面积对中性轴的静矩。翼缘上的平行于y轴的切应力分量很小，通常不进行计算。热轧工字钢，其查附录3.7横力弯曲横截面上的切应力【例3.7】如图所示矩形截面悬臂梁，承受集度为q的均布载荷作用，求梁内最大正应力和最大切应力之比。3.7横力弯曲横截面上的切应力

由内力分析，梁的最大剪力和最大弯矩位于固定端截面梁最大弯曲正应力3.7横力弯曲横截面上的切应力梁最大弯曲切应力梁内最大正应力和最大切应力之比

由此可见，当梁的跨度l远大于其截面高度h时，梁的最大弯曲正应力远大于最大弯曲切应力。3.7横力弯曲横截面上的切应力

一般细长非薄壁截面梁中，最大弯曲正应力与最大弯曲切应力之比都很大，因此，对一般细长梁的控制因素通常是弯曲正应力。

以下情况要考虑梁的切应力：(1)梁的最大弯矩较小而最大剪力很大时；

(2)焊接或铆接的组合截面(例如工字形)梁，当其横截面腹板部分的厚度与梁高之比小于型钢的相应比值时；

(3)经焊接、铆接或胶合而成的梁，其焊缝、铆钉或胶合面等。讨论3.7横力弯曲横截面上的切应力【例3.8】

若图示梁由3块板焊接而成，其焊缝a-a，b-b如图所示，已知F1=32kN，F2=12kN。其余条件不变，求梁截面中性轴处的最大切应力，b-b处的最大切应力。3.7横力弯曲横截面上的切应力【例3.8】此类梁称为薄壁截面梁壁厚很薄，故可近似认为切应力沿壁厚均匀分布，且方向沿薄壁截面的边线。因此，可参照矩形截面的做法，计算某一横线以外的部分对中性轴的静矩S*zBC段剪力最大(例3.6)求中性轴处切应力3.7横力弯曲横截面上的切应力【例3.8】(2)焊缝b-b处切应力3.7横力弯曲横截面上的切应力讨论(1)薄壁截面梁切应力沿壁厚均匀分布，方向沿薄壁截面的边线，顺着剪力方向，像水流一样，称为切(剪)应力流。本例截面的切应力流如图其他常见薄壁截面的弯曲切应力流方向如图3.7横力弯曲横截面上的切应力讨论(2)由于切应力流的存在，某些截面的切应力所组成的分布内力向截面形心简化得到主矢和主矩，从而使截面发生扭转变形。3.7横力弯曲横截面上的切应力讨