材料力学（第2版）课件：杆件的内力分析

杆件的内力分析

杆件的内力分析(A)InternalForcePARTA杆件的内力分析（A）InternalForce（PARTA）2.1内力与截面法2.2直杆轴向拉伸或压缩时的内力及内力图2.3直杆扭转时的内力及内力图2.1内力与截面法2.1内力与截面法1.内力

杆件因为受到外力的作用而发生变形，其内部各部分之间的相互作用力也发生改变。这种由于外力作用而引起的杆件内部各部分之间的相互作用力的改变量，称为附加内力，简称内力。

内力的大小随外力的改变而变化，它的大小及其在杆件内部的分布方式与杆件的强度、刚度和稳定性密切相关2.1内力与截面法2.截面法内力如何来分类和确定呢？用一个虚拟的截面将平衡构件截开，分析被截开的构件截面上的受力情况，这样的方法称为截面法。力系的简化：复杂力系可以简化为一个主矢和一个主矩，主矢、主矩均可以沿坐标轴进行分解。2.1内力与截面法2.截面法内力分量：FN:轴力（AxialForce）

FQy

FQz（FS）

:剪力（ShearForce）

Mx(T)

:扭矩（Torque）My

Mz:弯矩（BendingMoment）六个内力分量产生的效果可归纳为四种基本变形方式的原因2.1内力与截面法(1)轴向拉伸或轴向压缩当杆件两端承受沿轴线方向的拉力或压力载荷时，杆件将产生轴向伸长或压缩变形。轴力

(AxialForce)

FN~Fx沿杆件轴线方向内力分量，产生轴向（伸长，缩短）2.1内力与截面法(2)剪切

在平行于杆横截面的两个相距很近的平面内，方向相对地作用着两个横向力，当这两个力相互错动并保持二者之间的距离不变时，杆件将产生剪切变形。

剪力(ShearForce)

FQ

~Fy

Fz使杆件产生剪切变形

剪力符号用FS较多。2.1内力与截面法(3)扭转

杆的两端承受大小相等、方向相反、作用平面垂直于杆件轴线的两个力偶，杆的任意两横截面将绕轴线相对转动，这种受力与变形形式称为扭转（torsion）

扭矩(Torque)

Mx/T力偶，使杆件产生绕轴线转动的扭转变形2.1内力与截面法(4)弯曲

当外加力偶M或外力作用于杆件的纵向平面内时，杆件将发生弯曲变形，其轴线将变成曲线。

弯矩(BendingMoment)

My,Mz

力偶，使杆件产生弯曲变形2.1内力与截面法组合变形前述基本变形的两种或两种以上所共同形成的变形形式即为组合变形。截面上是多种内力分量的组合2.1内力与截面法【例题2.1】如图所示，求l1

处杆件截面的各个内力分量[解]1、对构件AB进行受力分析并求出约束反力。易知：2.1内力与截面法【例题1】2、在l1处作虚拟截面，取左侧进行受力分析，在截面处标出六个内力分量，如下图所示。3、列静力平衡方程，求内力分量2.1内力与截面法截面法的归纳：切一刀取一部加内力求平衡在欲求内力的截面处将杆件假想地切成两部分取外载荷较为简单的部分作为研究对象，舍弃另一部分在所取部分的截面形心加不为零的内力分量将所取部分的全部外力和内力代入静力平衡方程求解2.2直杆轴向拉伸或压缩时的内力及内力图2.2直杆轴向拉伸或压缩时的内力及内力图轴向拉伸与压缩的工程实例受压连杆2.2直杆轴向拉伸或压缩时的内力及内力图轴向拉伸与压缩的工程实例受拉受压2.2直杆轴向拉伸或压缩时的内力及内力图FNFN轴力2.2直杆轴向拉伸或压缩时的内力及内力图拉压杆横截面上的内力FN~轴向力，简称轴力FN~拉压杆件截面上分布内力系的合力，作用线与杆件的轴线重合，单位:NkN横截面2.2直杆轴向拉伸或压缩时的内力及内力图同一位置处左右侧截面上的内力分量必须具有相同的正负号轴力以拉（效果）为正，压（效果）为负符号为正符号为负2.2直杆轴向拉伸或压缩时的内力及内力图为什么轴力要以受拉压来区分正负号，而不是按照坐标系来确定正负号？生活中，有哪些东西是不容易被压坏，却很容易被拉坏？2.2直杆轴向拉伸或压缩时的内力及内力图轴力图将内力沿杆件轴线方向变化的规律用曲线表示–内力图将轴力沿杆件轴线方向变化的规律用曲线表示–轴力图1)一截为二

2)弃一留一

3)代力平衡2.2直杆轴向拉伸或压缩时的内力及内力图【例题2.2】一等截面直杆如图所示,计算杆件的内力,并作轴力图。2.2直杆轴向拉伸或压缩时的内力及内力图FN1预设为正(拉)拉压2.2直杆轴向拉伸或压缩时的内力及内力图拉压2.2直杆轴向拉伸或压缩时的内力及内力图【例题2.3】一等直杆受力如图，已知F1=40kN，F2=55kN，F3=25kN，F4=20kN。作出该直杆的轴力图。2.2直杆轴向拉伸或压缩时的内力及内力图解1)求约束力F1=40kN，F2=55kN，F3=25kN，F4=20kN2)分别取四个截面计算内力2.2直杆轴向拉伸或压缩时的内力及内力图以4-4截面为例拉拉同一位置处左右侧截面上的内力分量具有相同的正负号2.2直杆轴向拉伸或压缩时的内力及内力图2)分别取四个截面计算内力同法可求出拉拉拉压3)画轴力图2.3直杆扭转时的内力及内力图2.3直杆扭转时的内力及内力图

杆的两端承受大小相等、方向相反、作用平面垂直于杆件轴线的两个力偶，杆的任意两横截面将绕轴线相对转动，这种受力与变形形式称为扭转（torsion）。以扭转为主要变形的杆件称为轴。

当两只手用力相等时，拧紧螺母的工具杆将产生扭转。2.3直杆扭转时的内力及内力图传动轴传动轴将产生扭转2.3直杆扭转时的内力及内力图2.3直杆扭转时的内力及内力图

工程中作用于轴上的外力矩Me往往不是直接给出的，而是给出轴所传递的功率P(kW)和轴的转速n(rpm)。2.3直杆扭转时的内力及内力图制动器装在高速轴还是低速轴上？1-电动机2-带制动轮的联轴器3-减速器；4-开式齿轮5-行程限制器6-卷筒组7-荷载限制器8-吊具9-制动器固定卷扬式启闭机卷扬机构2.3直杆扭转时的内力及内力图受扭构件的内力矩(扭矩)如何？截面法

由被截下部分的静力平衡，横截面上必有内力矩(扭矩)T

根据右手定则确定力偶矩矢的方向力偶旋转方向力偶矩矢方向2.3直杆扭转时的内力及内力图扭矩的正负号规定力偶旋转方向力偶矩矢方向

按照右手螺旋法则，扭矩矢量的指向与截面外法线方向一致为正，反之为负。截面扭矩矢量n截面外法线2.3直杆扭转时的内力及内力图扭矩的计算及扭矩图的绘制1、计算各外力矩的大小（已知功率和转速）；2、将各外力矩采用右手螺旋定则绘出外力矩矢；3、取各控制截面，预设扭矩矢（内力矩矢）为正方向，列平衡方程，计算扭矩矢的大小；4、以轴线方向为横坐标，扭矩大小为纵坐标绘出扭矩图。2.3直杆扭转时的内力及内力图【例题2.4】

如图所示一传动系统，A为主动轮，B、C、D为从动轮。各轮的功率：PA=60kW，PB=25kW，PC=25kW，PD=10kW，轴的转速n=300r/min。画出轴的扭矩图。2.3直杆扭转时的内力及内力图(1)求外力偶2.3直杆扭转时的内力及内力图(2)求各段上的扭矩将外力偶画成力偶矩矢的形式取3个截面计算扭矩2.3直杆扭转时的内力及内力图(3)画扭矩图2.3直杆扭转时的内力及内力图讨论

传动轴上主动轮和从动轮安置的位置不同，轴所承受的最大扭矩也不同。将主动轮布置在中间位置比较合理。杆件的内力分析(B)InternalForcePARTB杆件的内力分析（B）InternalForce（PARTB）2.4弯曲的概念与实例2.5剪力与弯矩2.6剪力方程与弯矩方程剪力图与弯矩图2.7载荷、剪力、弯矩的微分关系2.4弯曲的概念与实例2.4弯曲的概念与实例

杆件承受垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面内的力偶作用时，其轴线将弯曲成曲线，这种受力与变形形式称为弯曲（bending）。主要承受弯曲的杆件称为梁（beam）。栋梁（屋顶最高处的水平木梁，支承着椽子的上端）之才2.4弯曲的概念与实例支座的简化固定铰支座可动铰支座2.4弯曲的概念与实例支座的简化固定铰支座可动铰支座固定端约束问题：这些约束上有哪些约束反力(偶)？2.4弯曲的概念与实例梁的类型简支梁外伸梁悬臂梁2.4弯曲的概念与实例

当杆件承受垂直于其轴线的外力，或在过其轴线的平面内作用有外力偶时，杆的轴线将变为曲线，这种变形称为弯曲。平面弯曲梁轴线纵向对称面变形后，梁的轴线弯成外载荷作用平面内的平面曲线。2.4弯曲的概念与实例

桥式吊车的大梁可以简化为两端饺支的简支梁。在起吊重量(集中力FP)及大梁自身重量(均布载荷q)的作用下,大梁将发生弯曲。2.4弯曲的概念与实例

石油、化工设备中各种直立式反应塔，底部与地面固定成一体，因此，可以简化为一端固定的悬臂梁。在风力载荷作用下，反应塔将发生弯曲变形。2.5剪力与弯矩2.5剪力与弯矩如图所示简支梁，求任意截面处的内力可求约束反力利用截面法求内力FS

剪力

与横截面相切的分布内力系的合力M

弯矩

与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩凡剪力对所取梁内任一点的力矩顺时针转向的为正，反之为负；凡弯矩使所取梁段产生上凹下凸变形的为正，反之为负。2.5剪力与弯矩

在求解问题中，可预先设置剪力和弯矩为正。剪力和弯矩均按图示设为正。剪力和弯矩均按图示设为正。

取截面左右两侧的部分构件计算，所得到的内力大小相等，方向相反，但正负号相同。2.5剪力与弯矩【例题2.5】

如图所示简支梁，AC段受均布载荷q作用，支座B内侧受力偶Me=ql2作用，求截面D-D、E-E上的剪力和弯矩，其中截面E-E无限接近于右端支座但位于集中力偶作用处的左侧。2.5剪力与弯矩(1)求约束力(过程略)(2)求截面D-D上的内力(3)求截面E-E上的内力2.5剪力与弯矩【讨论】(1)力矩平衡方程中下标C表示默认向横截面形心C取矩。(2)梁任一横截面上的剪力，数值上等于该截面左边(或右边)梁上所有外力的代数和。截面左边梁上向上的外力(或截面右边梁上向下的外力)引起的剪力为正，反之为负。(3)梁任一横截面上的弯矩，数值上等于该截面左边(或右边)梁上所有外力对该截面形心C之矩的代数和。截面左边梁上的外力和外力偶对该截面形心C之矩为顺时针(或截面右边梁的外力和外力偶对该截面形心C之矩为逆时针)转向的为正，反之为负。2.5剪力与弯矩求解梁指定截面的剪力和弯矩的一般步骤：1、求出约束反力（重要）；2、选择被截下部分的梁作为研究对象，并预设剪力弯矩为正值方向，画出受力分析图；3、按照静力学平衡方程求出截面上的剪力和弯矩的具体数值。2.5剪力与弯矩2.6剪力方程与弯矩方程剪力图与弯矩图2.6剪力方程与弯矩方程剪力图与弯矩图剪力方程和弯矩方程

一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置而变化，若以横座标x表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面上的剪力和弯矩都可以表示为x的函数(分段函数)。剪力方程弯矩方程

依照剪力方程和弯矩方程绘制的内力曲线图(x轴-横截面位置，y轴-剪力弯矩)称为剪力图和弯矩图。2.6剪力方程与弯矩方程剪力图与弯矩图如图所示简支梁受均布载荷q作用,求

(1)剪力方程和弯矩方程;

(2)画剪力图和弯矩图。解(1)求约束力(2)列剪力方程和弯矩方程(3)画出剪力图和弯矩图剪力图斜直线弯矩图二次抛物线2.6剪力方程与弯矩方程剪力图与弯矩图讨论(1)梁结构和载荷相对于梁中点横截面对称，其剪力(反对称内力)图相对于梁对称面反对称，弯矩(对称内力)图相对于梁对称面对称。(2)无外力偶作用的铰支端，弯矩为0。(3)集中力作用处(支座约束力)，自左向右弯矩图不变，剪力图沿集中力方向突变集中力值。(4)弯矩图实际上是画在梁的受压边。2.6剪力方程与弯矩方程剪力图与弯矩图如图所示悬臂梁受集中力F作用,求

(1)剪力方程和弯矩方程;

(2)画剪力图和弯矩图。解(1)列剪力方程和弯矩方程(2)画出剪力图和弯矩图剪力图水平直线弯矩图斜直线2.6剪力方程与弯矩方程剪力图与弯矩图讨论(1)有集中力偶(本题为约束力偶)作用的固定端，弯矩图突变集中力偶值；(2)无外力偶作用的自由端弯矩为0。2.6剪力方程与弯矩方程剪力图与弯矩图如图所示简支梁受集中力偶Me作用,求

(1)剪力方程和弯矩方程;

(2)画剪力图和弯矩图。解(1)求约束力(2)列剪力方程和弯矩方程AC段CB段2.6剪力方程与弯矩方程剪力图与弯矩图讨论(1)在集中力偶Me作用两侧，剪力图不变化，弯矩图突变集中力偶值；(2)若a=b

则结构对称，载荷反对称，从而剪力图对称，弯矩图反对称。2.6剪力方程与弯矩方程剪力图与弯矩图如图所示简支梁受集中力F作用,

画剪力图和弯矩图。解(1)求约束力(2)列剪力方程和弯矩方程AC段CB段2.6剪力方程与弯矩方程剪力图与弯矩图讨论(1)若a=b=l/2则结构对称，载荷对称，从而弯矩图对称，剪力图反对称；(2)集中力作用处，剪力图沿集中力方向突变集中力值。由以上各例的内力方程可见内力与外载荷成线性关系，若某简支梁同时作用上面各例中的载荷，可利用叠加法绘制其剪力图和弯矩图。2.6剪力方程与弯矩方程剪力图与弯矩图【例题2.6】

如图所示，写出外伸梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图（已知均布载荷q=3kN/m,集中力偶M=3kN·m）【例题2.6】解q=3kN/m,M=3kN·m(1)求约束力(2)列剪力方程和弯矩方程

在CA

AD

DB三段中，剪力和弯矩都不能用同一个方程式来表示，所以应分为三段建立剪力方程和弯矩方程。分段连续函数。(2)列剪力方程和弯矩方程CA段:AD段:DB段:求AD段的极值：2.7载荷、剪力、弯矩的微分关系2.7载荷、剪力、弯矩的微分关系

由于载荷的不同，梁的剪力和弯矩图也不同。

图中FS=0的截面上，弯矩有极值，其他的例子中也总结了一些规律，这都说明载荷、剪力、弯矩之间存在着一定的关系；

找到这些关系，对我们方便快速地画出剪力弯矩图具有很大的益处。2.7载荷、剪力、弯矩的微分关系如图所示受任意载荷的直梁建立坐标系取其中一微段dxq(x)为连续函数，规定向上为正将该微段取出，加以受力分析2.7载荷、剪力、弯矩的微分关系由（1）式可得:（2）式中略去高阶微量注意在集中力和集中力偶作用处微分关系不成立2.7载荷、剪力、弯矩的微分关系剪力图上某点的斜率等于分布载荷的数值弯矩