（寒假）人教A版高二数学寒假培优讲义+随堂检测+课后练习 第10讲 利用导数研究函数的单调性、极值和最值（教师版）

第页第10讲利用导数研究函数的单调性、极值和最值考点01：利用导数求函数的单调区间1.设函数，则函数的单调增区间为__________．【答案】和【分析】首先求出，再因式分解，令，解不等式组即可得出单调增区间．【详解】，令，得或，解得或，所以函数的单调增区间为和，故答案为：和．考点02：求已知函数的极值（点）2.已知函数，则的极小值为______．【答案】【分析】根据函数的导数与单调性、极值的关系求解.【详解】函数的定义域为，，令，即，得，令，即，得，故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，故当时，函数取得极小值，极小值为．故答案为:.3.已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的极值与单调区间.【答案】(1)；(2)答案见解析【分析】（1）由函数，求得，再根据导数的几何意义求解即可；（2）求得，讨论与0的大小，再根据函数极值点的定义求出函数的极值即可.【详解】（1）因为，所以，，所以曲线在点处的切线方程为：，即曲线在点处的切线方程为.．（2），当或时，；当时，，所以函数的递增区间为和，递减区间为，所以当时函数取得极大值为，当时函数取得极小值为.考点03：导函数图象与原函数图象的关系4．设是定义在R上的连续可导函数，其导函数记为，函数的图象如图所示，给出下列判断：①在上是增函数；

②共有2个极值点；③在上是单调函数；④.其中正确的判断共有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据图象，判断函数的导数的符号，从而可求函数的单调性及极值．【详解】解：当时，，由图象可得，则，为增函数；当时，，由图象可得，则，为减函数；当时，，由图象可得，则，为减函数；当时，，由图象可得，则，为增函数，又是定义在R上的连续可导函数，所以当时，为减函数；故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以的极大值为，极小值为，由函数在上单调递减，所以，无法判断与的大小关系；故选：B．5．已知上的可导函数的图像如图所示，则不等式的解集为_____________【答案】【分析】根据图像得到当时，，当时，，时，，代入计算得到答案.【详解】根据图像：当时，，，即，故；当时，，，即，故；当时，，，即，故；综上所述：.故答案为：考点04：求已知函数的最值6．已知函数在区间上最大值为M，最小值为m，则的值是_______.【答案】【分析】求导，得到函数的单调性，进而求出最值，得到答案.【详解】由题意，，，在上，故函数单调递增，所以，，，故的值是.故答案为：7．设，则函数的最小值是________．【答案】【分析】求导根据导函数的正负与原函数的单调性求解最值即可.【详解】，因为，所以当时，；函数递增当时，.函数递减；所以当时，.故答案为：考点05：已知函数在区间上递增（减）求参数8.已知函数，若对任意两个不等的正实数，，都有，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】构造函数，则转化得到在上单调递增，将题目转化为在上恒成立，再利用分离参数法即可得到答案.【详解】由题意,不妨设,因为对任意两个不等的正实数,都有,所以,即,构造函数,则,所以在上单调递增，所以在上恒成立,即在上恒成立,设,则，所以当时,单调递增，时,单调递减，所以，所以.故选：D.9．已知函数，则单调递增的一个充分不必要条件可以是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】对函数求导，根据单调递增有在上恒成立，结合二次函数性质求参数范围，最后由充分必要性定义，即可得答案.【详解】由且，令，要使单调递增，即恒成立，当时满足题设；当，可得，则，满足题设；综上，使单调递增，则，A为充要条件，B为充分不必要条件，C、D既不充分也不必要条件.故选：B考点06：已知函数存在单调区间或在区间上不单调求参数10．若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出定义域，得到，求导，由，得，结合函数在内不单调，得到不等式，求出答案.【详解】函数的定义域为，所以，即，，令，得，或（不在定义域内舍去），由于函数在区间内不是单调函数，所以，即，解得，综上可得，.故选：B.11．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出函数的导数，问题转化为在有解，进而求函数的最值，即可求出的范围.【详解】∵，∴，若在区间内存在单调递增区间，则有解，故，令，则在单调递增，，故.故选：D.12．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是_________．【答案】【分析】求出函数的导数，问题转化为，而求出最小值，从而求出a的范围即可．【详解】，在内成立，所以，由于，所以，，所以．故答案为:13．若函数在存在单调递减区间，则a的取值范围为________．【答案】【分析】将题意转化为：在有解，利用参变量分离得到，转化为，结合导数求解即可．【详解】，等价于在有解，即在有解，即在有解，所以，令，则，即在上是增函数，∴，所以.故答案为：.考点07：利用函数单调性比较大小14．已知，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，可判断、的大小关系，利用作差法结合基本不等式可判断、的大小关系.【详解】构造函数，其中，则，所以，函数在上为减函数，所以，，即，则，，因此，.故选：D.15．已知，则（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】运用缩放法和对数的计算规则求解.【详解】设，则单调递增，，；，又，，即；故选：A.16．已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】构造函数，，再利用导数探讨单调性，即可比较大小作答．【详解】设，则，从而在上单调递增，则，即，设，则，从而在上单调递增，则，即，所以．故选：A．考点08：利用函数单调性解决抽象不等式17．已知偶函数满足对恒成立，下列正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】令，即可判断的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性比较函数值的大小.【详解】因为为偶函数，则，令，则，所以为偶函数，又，则当时，所以在上单调递增，则，所以，即，故A正确；，即，则，即，故B错误；，即，则，即，故C错误；，即，则，即，故D错误；故选：A考点09：根据极值（点）求参数18．若函数在上有且仅有一个极值点，则a的取值范围是______．【答案】【分析】根据题意，求导得，由条件列出不等式求解，即可得到结果.【详解】因为，令，由题意可知，在内先减后增或先增后减，结合函数的图像特点可知，在内先减后增，即，或，解得.所以a的取值范围是.故答案为：19．设为实数，函数在处有极值，则曲线在原点处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据导数的运算得，由极值情况可求得，再利用导数的几何意义即可求得在原点处的切线方程.【详解】因为，所以，又函数在处有极值，则，得所以，，令得且函数在递增，递减，递增，则是函数的极小值点，所以，，则曲线在原点处的切线方程为.故选：B.考点10：根据最值求参数20．已知函数，其中．(1)当时，求函数在内的极值；(2)若函数在上的最小值为5，求实数的取值范围．【答案】(1)极大值为9，无极小值；(2)【分析】（1）首先求得导函数，然后利用导函数研究函数的单调性，据此可求得函数的值域；（2）求得函数的导函数，然后结合导函数的符号确定函数的单调性，分类讨论即可求得实数的取值范围.【详解】（1）由题意得，当时，，则，令，得，，，在内随x变化而变化的情况如下表所示：x1+0单调递增极大值9单调递减故在内的极大值为9，无极小值；（2），①当时，，且不恒为0，所以函数在区间上单调递增，所以在上，，由题意，则，解得，与矛盾，②当时，，且不恒为0，所以函数在区间上单调递减，所以在上，，符合题意，③当时，当时，，函数在区间上单调递减，当时，，函数在区间上单调递增，所以在上，，由题意，则，即，即，即，解得或，与矛盾，综上，实数a的取值范围为．利用导数研究函数的单调性、极值和最值课后练习1．函数的单调递减区间为（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】求定义域，再求导，根据导函数小于0求出单调递减区间.【详解】的定义域为，，由，可得，故的单调递减区间为.故选：C．2．（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（

）

A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增C．在处取得极大值D．在处取得极大值【答案】AC【分析】由的图象得出在对应区间上的符号，从而得出的单调性，从而可得出答案.【详解】由的图象可知：当时，，单调递减，故A正确；当时，，单调递减；当时，，单调递增，故B错误；当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以在处取得极大值，故C正确；由于在上单调递增，所以在没有取得极大值，故D错误.故选：AC.3．函数在内有最小值，则实数a的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】求出，设，得出有一正根一负根，因此题意说明正根在区间内，从而由得参数范围．【详解】，设，因为，因此有两个不同实根，又，因此两根一正一负，由题意正根在内，所以，解得，故选：A．4．若任意两个不等正实数，，满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】不妨令，即可得到，令，依题意只需在上单调递减，利用导数求出函数的单调区间，即可求出参数的取值范围，即可得解.【详解】因为对任意两个不等正实数，，满足，不妨令，则，所以，即，所以，令，则，即在上单调递减，由，当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即的最小值为.故选：D5．已知，，，则（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用，，构造函数，利用其单调性即可得出的大小关系，再通过作差比较即可得出的大小关系，从而得出结果.【详解】令，则，当时，，即函数在区间上单调递减，当时，，即函数在区间上单调递增，令，则在区间上恒成立，所以，故当时，，因为，又，所以，故，又因为，由，得，所以，又因为，所以，即，所以，所以，综上所述.故选：A.6．设函数的导函数为，对任意都有成立，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意构造辅助函数，求导，根据导数与函数单调性的关系，即可求得答案．【详解】由，则，设

，则在上单调递减.则，即，即.故选：A.7．已知函数的导函数的图像如图所示，给出以下结论：①在区间上严格增；②的图像在处的切线斜率等于0；③在处取得极大值；④在处取得极小值．正确的序号是______【答案】②④【分析】根据导函数图像得到导数的正负，从而得到函数的增减和极值情况，判断①②③，并根据导函数的增减判断④.【详解】根据的图像可知，在上，，仅在处有，所以在上单调递减，故①错误；，故②正确；在区间上单调，没有极值点，故③错误；由的图像可知，在上单调递减，在上单调递增，故④正确．故答案为：②④．8．已知函数.(1)求的单调区间；(2)求在上的最值.【答案】(1)增区间、；减区间；(2)，【分析】（1）直接对函数求导，再利用导数与函数单调性间的关系即可求出结果；（2）利用（1）中结果，确定在区间上的单调性，利用单调性即可求出结果.【详解】（1）因为，所以，由得到或，由得到，所以单调增区间为和；单调减区间为.（2）由（1）知，当时，单调递增，时，单调递减，故又，故.9．已知函数.若函数不存在单调递减区间，求实数的取值范围.【答案】【分析】先求出定义域和导函数，利用分离参数法和基本不等式求出实数的取值范围.【详解】由函数有意义，则由且不存在单调递减区间，则在上恒成立，所以在上恒成立.因为，所以（当且仅当时等号成立）所以，解得：，所以的取值范围为.利用导数研究函数的单调性、极值和最值随堂检测1．已知函数在处取得极大值1，则的极小值为（

）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】由题意可得，求出，从而可求出和的解析式，再由的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的极小值.【详解】的定义域为，由，得，因为函数在x＝－1处取得极大值1，所以，解得，所以，．令．解得或，令，解得，所以在和上单调递增，在上单调递减，即在处取得极大值，在处取得极小值，所以的极小值为．故选：C2．已知函数，若在区间上的最大值为28，则实数k的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出的导函数,即，令，可得x的值，讨论函数的极值及单调性，结合在区间上的最大值为28，即可求出k的取值范围.【详解】因为，所以，令，解得，所以在和时，，在时，，所以函数在和上单调递增，函数在上单调递减，则在内单调递增，所以在内，最大；在时单调递减，所以在内，最大；在时单调递增，所以在内，最大；因为，且在区间上的最大值为28，所以，即k的取值范围是，故选：A.3．若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．不存在这样的实数k【答案】B【分析】利用导数与函数单调性的关系以及一元二次方程的根进行求解.【详解】由题意得，在区间上至少有一个实数根，又的根为，且在或两侧异号，而区间的区间长度为2，故只有2或-2在区间内，∴或，∴或，故A，C，D错误.故选：B.4．已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用常见放缩，构造函数，判断出，然后利用构造从而判断即可.【详解】令，则，当时,，所以在上单调递增，，；，易知，.故选：D.5．设函数在上的导数存在，且，则当时，（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】依题意令，求出函数的导函数，即可得到在上单调递增，即可判断.【详解】因为，令，则，所以在上单调递增，当时，，即，所以且.故选：B6．函数的单调递减区间是__________．【答案】【分析】对函数求导，令，解之即可.【详解】因为，则，令，则，所以函数的单调递减区间是，故答案为：.7．已知函数，，则的最小值为______.【答案】【分析】先求函数的导数，再判断给定区间函数的单调性，从而求得函数的最小值.【详解】因为，则，，令，解得，令，解得，则函数在上单调递减，在上单调递增，所以.故答案为：．8．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为______【答