（寒假）人教A版高二数学寒假培优讲义+随堂检测+课后练习 第09讲 导数的概念、运算及其几何意义（教师版）

第页第09讲导数的概念、运算及其几何意义考点01:导数的定义【例1】设函数可导且在处的导数值为1，则______.【答案】【分析】根据给定条件，利用导数的定义直接计算作答.【详解】依题意，，所以.故答案为：.【例2】已知是的导函数，的图象如图所示，则的图象只可能是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由导数的几何意义可知，原函数先增长“迅速”，后增长“缓慢”.【详解】由题中的图象可以看出，在内，，且在内，单调递增，在内，单调递减，所以函数在内单调递增，且其图象在内越来越陡峭，在内越来越平缓．故选：D．考点02:导数的四则运算和复合函数求导【例3】求下列函数的导函数：(1)；(2).【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用函数求导的除法法则运算即可；（2）利用函数求导的乘法法则运算即可；【详解】（1），（2）【例4】求下列函数的导函数(1)；(2)；(3)．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）根据基本初等函数导数公式和导数四则运算法则求解；（2）设，利用复合函数求导法则求解；（3）化简函数解析式，设，利用复合函数求导公式求解.【详解】（1）因为，所以；（2）函数可看做函数和的复合函数，由复合函数求导法则可得，（3）可化为，函数可看做函数和的复合函数，由复合函数求导法则可得，【变式1】已知下列四个命题，其中正确的个数有（

）①，

②，③，④.A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【分析】根据求导公式及运算律，简单复合函数导数逐项求导验证即可【详解】因为,所以①错,因为,所以②错,因为,所以③错.因为,所以④错,故选：A.考点03:“在”点处的切线问题【例5】已知函数的图像在点处的切线为l，若l与函数的图像也相切，切点为，则___________.【答案】9【分析】先求出，求出切线方程，进而求得，即可求解.【详解】由题意得，则，所以切线l的方程为，即.所以，则，.故答案为：9.【例6】已知函数，则函数的图象在点处的切线斜率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】对函数求导，将代入求出的值即可.【详解】由题设，则，故，故在点处的切线斜率为.故选：A【变式1】已知函数，其图象在点处的切线方程为，则它在点处的切线方程为_________．【答案】【分析】根据在处的切线方程为可得，且，根据的解析式和导数可求和，从而可求得结果．【详解】∵在点处的切线方程为，∴，且，又，∴，且，∴点为，在处切线斜率为，∴所求切线方程为，即．故答案为：．考点04:“过”点的切线问题【例7】过点作曲线的切线，则切点的横坐标为_______________，这条切线在x轴上的截距为_______________．【答案】【分析】设出切点坐标为，利用导数的几何意义可得切线斜率为，再由两点间斜率公式可得，解得，即可求得切线方程，进而得出结果.【详解】设切点坐标为，因为，所以，即，解得，所以切线方程为，可知该切线在x轴上的截距为．故答案为：，【例8】（多选）过点且与曲线相切的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】设出切点，利用导数的几何意义得出切线方程为，再利用条件得到方程，从而求出，进而可求出切线方程.【详解】设切点为，因为，所以，故切线方程为，又因为切线过点，所以，整理得，解得或，当时，切线方程为，即，当，切线方程为，即.故选：BC.【变式1】若曲线有两条过的切线，则a的范围是______.【答案】【分析】由题可将曲线有两条过的切线转化为函数图象与直线有两个交点.后利用导数研究单调性，画出大致图象，即可得答案.【详解】设切线切点为，因，则切线方程为：.因过，则，由题函数图象与直线有两个交点.，得在上单调递增，在上单调递减.又，，.据此可得大致图象如下.则由图可得，当时，曲线有两条过的切线.故答案为：考点05:已知切线（斜率）求参数【例9】若曲线在点处的切线的斜率为2，则t的值为（

）A．–1 B． C．0 D．1【答案】C【分析】求导解方程即得解.【详解】由题得，所以.故选：C【例10】已知函数，其中，若曲线在处的切线斜率为1，则的最小值为______．【答案】/【分析】根据导数的几何意义可得，再结合基本不等式运算求解.【详解】因为的定义域为，且，由题意可得：，又因为，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.【例11】已知，为正实数，函数在处的切线斜率为，则的最小值为______．【答案】【分析】利用导数的几何意义求得，再根据基本不等式，求最值.【详解】函数，所以因为函数的图象在处的切线斜率为，所以，因为，为正实数，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为．故答案为：．【变式1】若直线与曲线相切，则_________.【答案】2【分析】设切点为，由导数的几何意义可得，令，求导判断单调性，从而可解得.【详解】设切点为，，则，解得.令，则，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以，所以方程的根为.故答案为：2考点06:两切线的平行、垂直问题【例12】函数在处的切线与直线平行，则实数（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】函数在切点处的导数即为切线的斜率，利用直线的平行得到斜率相等，即为关于的方程，可求出的值.【详解】函数的导函数为，函数在处的切线的导数即为切线的斜率为，且切线与直线平行，则有，可得.故选：B【例13】已知函数.若存在，，使得曲线在，处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为________.【答案】【分析】将化为分段函数并求导，根据导数的几何意义得，即，再由推出，代入可求出结果.【详解】，，因为，且，所以,，所以，，所以，所以，又，得，所以，即.故答案为：考点07:公切线问题【例14】已知曲线和曲线有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l，则l的方程为________．【答案】【分析】设切点坐标为，根据导数的几何意义可得，即可求得，继而求出切点坐标以及切线斜率，即得答案.【详解】设曲线和曲线在公共点处的切线相同，则，由题意知，即，解得，故切点为，切线斜率为，所以切线方程为，即，故答案为：【例15】已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相同，则（

）A．－1 B．－2 C．1 D．2【答案】B【分析】利用导数的几何意义计算即可.【详解】根据常用函数的导数可知：，，则两函数在点和处的切线分别为：，化简得由题意可得：，化简得.故选：B【例16】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】设出两个切点坐标，根据导数的几何意义可得.将切点代入两条曲线，联立方程可分别求得,代入其中一条曲线即可求得的值，由此可求.【详解】直线是曲线的切线,也是曲线的切线,则两个切点都在直线上,设两个切点分别为则两个曲线的导数分别为,，由导数的几何意义可知,则且切点在各自曲线上,所以则将代入可得可得由可得代入中可知所以，所以.故选：D.考点08:与切线有关的最值（范围）问题【例17】已知为函数图象上一点，则曲线在点处的切线的倾斜角的最小值为（

）A． B． C． D．0【答案】A【分析】由导数的几何意义可求出切线的斜率即为的范围，再根据斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】因为，即曲线在点处的切线的斜率，所以倾斜角，即倾斜角的最小值为.故选：A.【例18】若曲线有两条过的切线，则的范围是____________．【答案】【分析】由题可将曲线有两条过的切线转化为函数图象与直线有两个交点，然后利用导数研究单调性，画出大致图象，即可得答案．【详解】设切线切点为,，又，所以切线斜率为因为，所以切线方程为：．又切线过，则，即则由题可知函数图象与直线有两个交点，由得，由得所以在上单调递增，在上单调递减．又，又，，，．据此可得大致图象如下．

则由图可得，当时，曲线有两条过的切线．故答案为：.导数的概念、运算及其几何意义课后练习1.求下列函数的导数．(1)；(2)．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据简单复合函数的求导法则计算可得；（2）根据导数的运算法则计算可得.【详解】（1）因为，所以.（2）因为，所以.2.直线是曲线在处的切线方程，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求导，利用切点处的导数值为切线斜率，进而把切点代入切线方程可求解.【详解】由得，所以，当时，，故切点为，由于切点在上，所以，故，故选：B3.若曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】运用导数几何意义及导数公式求得切线的斜率，结合两直线垂直进而求得a的值.【详解】由题设，知处的切线的斜率为，又因为，所以，解得.故选：A.4.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，，求两个曲线公切线的斜率即可.【详解】设，，依题意只需求公切线斜率即可.，，设切点分别为，，则切线方程为，即.，即.则，由①得，代入②得：，则，故公切线斜率为或，如图，.故选：C.5.已知函数图像在点和点处的两条切线互相垂直，若，则实数a的范围是________．【答案】【分析】假设两切点坐标，得出对应的切线的斜率，分析题意可得，即可解得a的范围.【详解】解：由题意，则不妨设，点和点，两切线的斜率分别为，∴，∴，∴等价于，等价于或解得，或．故a的范围是．故答案为：.6.已知函数，若曲线与曲线存在公切线，则实数的最大值为__________．【答案】/0.5【分析】根据导数的几何意义，利用斜率等于切点处的导数，和切线相同即可判断.【详解】，假设两曲线在同一点处相切，则，可得，即，因为函数单调递增，且时，所以，则，此时两曲线在处相切，根据曲线的变化趋势，若继续增大，则两曲线相交于两点，不存在公切线，所以的最大值为.故答案为：.7．求过且与曲线相切的直线方程．【答案】或.【分析】设切点是，由求导可得，再利用导数的几何意义结合斜率公式可得，解得或，进而可求切线斜率，再利用点斜式即可求解.【详解】点不在曲线上，点不是切点，设切点是，由，可得，，即，解得或，切线的斜率或，切线的方程是或，即或.导数的概念、运算及其几何意义随堂检测1.若，则函数在处可导是函数在可导的（

）．A．充要条件 B．充分非必要条件C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件【答案】C【分析】利用定义法直接判断.【详解】充分性：函数在处可导不能推出函数在可导.故充分性不满足；必要性：因为函数在可导，，所以函数在可导.必要性满足.故函数在处可导是函数在可导的必要非充分条件.故选：C2.（多选）下列求导正确的是（

）A．B．C．D．【答案】BD【分析】根据基本初等函数的导数的运算公式和导数的运算法则，逐项判定，即可求解.【详解】由基本初等函数的导数的运算公式和导数的运算法则，可得：对于A中，由，所以A错误；对于B中，由，所以B正确；对于C中，由，所以C错误；对于D中，由，所以D正确.故选：BD.3．设曲线在点处的切线与直线平行，则实数（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据导数求解，由两直线平行斜率相等即可求解.【详解】由得，故，由于点处的切线与直线平行，且直线的斜率为，所以，故选：C4．已知是实数，函数，若，则曲线在点处的切线方程是_________．【答案】【分析】求导后根据求得，再求得切点坐标和斜率，从而可求解.【详解】函数的导数为，，即为，解得，即，可得曲线在点处的切线斜率为3，切点为，所以切线的方程为，即为.故答案为：.5．曲线在点处的切线方程为______．【答案】【分析】根据求导公式和导数几何意义和直线方程的点斜式求法即可求解.【详解】因为，所以，则，又，所以曲线在点处的切线方程为，即．故答案为：.6．若直线为曲线的一条切线，则实数的值是__________．【答案】【分析】根据导数的几何意义、导数的运算公式以及切线方程的求法求解.【详解】由，可得，设切点为，则，故切线方程为，即，又因为切线为，所以，解得，所以，故答案为：.7．已知函数曲线在点处的切线方程为，则a，b的值分别为________．【答案】1，1【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义列出相应方程组，即可求得答案.【详解】由题意可得,由于直线的斜率为，且过点，故，即，解得，故答案为：1，18．已知函数，其导函数为，则曲线过点的切线方程为______．【答案】或【分析】设切点为，对函数进行求导，且代入可得，故可由点斜式得到切线方程，将代入即可求得或，即可求得切线方程【详解】设切点为，由，得，∴，得，∴，，∴切点为，，∴曲线在点M处的切线方程为①，又∵