（寒假）人教A版高二数学寒假培优讲义+随堂检测+课后练习 第06讲 圆锥曲线中的中点弦问题（教师版）

第页第06讲圆锥曲线中的中点弦问题知识讲解椭圆中点弦斜率公式

(1)若Mx0,y0为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b双曲线的中点弦斜率公式

(1)若Mx0,y0为双曲线x2a2−y2b2=1弦AB(AB不平行y轴)的中点,则3.抛物线的中点弦斜率公式

(1)若Mx0,y0为抛物线y2=2px弦AB(AB不平行y轴)的中点,则kAB=py04.中点弦斜率拓展在椭圆x2a2+y2b2=1中,以Px0,y0为中点的弦所在直线的斜率k=−b5.椭圆其他斜率形式拓展椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的长轴顶点，P点是椭圆上异于长轴顶点的任一点，则有椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的短轴顶点，P点是椭圆上异于短轴顶点的任一点，则有椭圆的方程为（a＞b＞0），过原点的直线交椭圆于两点，P点是椭圆上异于两点的任一点，则有点差法妙解中点弦问题

若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为Ax将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。

（1）设点:若Ax1,y1,Bx2,y2是椭圆x2a2+y2b2=1a>化简可得y1+y2【例1】已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为A．＋＝1 B．＋＝1C．＋＝1 D．＋＝1【答案】D【详解】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得.【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力.【例2】已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为．【答案】【分析】令的中点为，设，，利用点差法得到，设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解；【详解】[方法一]：弦中点问题：点差法令的中点为，设，，利用点差法得到，设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解；解：令的中点为，因为，所以，设，，则，，所以，即所以，即，设直线，，，令得，令得，即，，所以，即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直线，即；故答案为：[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法解：由题意知，点既为线段的中点又是线段MN的中点，设，，设直线，，，则，，，因为，所以联立直线AB与椭圆方程得消掉y得其中，∴AB中点E的横坐标,又，∴∵，，∴,又，解得m=2所以直线，即【变式1】已知直线过椭圆C；的一个焦点，与C交于A，B两点，与平行的直线与C交于M，N两点，若AB的中点为P，MN的中点为Q，且PQ的斜率为，则C的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】运用点差法，结合直线斜率公式进行求解即可.【详解】设，则，两式作差得所以若O为坐标原点，则，同理，所以O，P，Q三点共线，即，所以，又过点，即椭圆的焦点，所以解得，所以C的方程为故选：C【变式2】已知椭圆的上顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于M，N两点，若△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用点差法可得，再利用重心的性质可得点，从而利用可得，即可求离心率.【详解】设，的中点为，因为都在椭圆上，所以，作差可得，即，所以，即，因为，所以，又因为为△BMN的重心，所以，所以，则，所以，整理得，即，所以，则，所以离心率.故选:A.考点二、双曲线中的中点弦问题【例1】已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过F的直线与相交于A，B两点，且AB的中点为,则的方程式为A． B． C． D．【答案】B【详解】∵kAB==1,∴直线AB的方程为y=x-3.由于双曲线的焦点为F(3,0),∴c=3,c2=9.设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),则-=1.整理,得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2==2×(-12),∴a2=-4a2+4b2,∴5a2=4b2.又a2+b2=9,∴a2=4,b2=5.【例2】已知椭圆的离心率为，点在上（1）求的方程（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.【答案】（1）

（2）【详解】试题分析：（Ⅰ）由求得,由此可得C的方程.（II）把直线方程与椭圆方程联立得,所以于是.试题解析：解：（Ⅰ）由题意有解得,所以椭圆C的方程为.（Ⅱ）设直线,,把代入得故于是直线OM的斜率即,所以直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.考点：本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆及计算能力、逻辑推理能力.【变式1】已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，中点横坐标为，则此双曲线的方程是.【答案】【分析】设双曲线的标准方程为，利用点差法可求得的值，再结合焦点的坐标可求得和的值，由此可得出双曲线的标准方程.【详解】设点、，由题意可得，，，直线的斜率为，则，两式相减得，所以，由于双曲线的一个焦点为，则，，，因此，该双曲线的标准方程为.故答案为：.【变式2】不与轴重合的直线经过点，双曲线：上存在两点A，B关于对称，AB中点M的横坐标为，若，则的值为.【答案】【分析】由点差法得，结合得，代入斜率公式化简并利用可求得.【详解】设，则，两式相减得，即，即，所以，因为是AB垂直平分线，有，所以，即，化简得，故，则.故答案为：【变式3】已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为，点，为上两点，点为弦的中点，且，记双曲线的离心率为，则．【答案】.【分析】解法一，利用点差法，结合，以及，变形得到，再转化为关于的齐次方程，求解；解法二，设直线，，与双曲线方程联立，利用根与系数的关系表示中点坐标，再转化为关于的齐次方程，求解.【详解】解法一

由题意知，，则．设，，则两式相减，得．因为的中点为，所以，，又，所以，整理得，所以，得，得．解法二

由题意知，，则．设直线的方程为，即，代入双曲线方程，得．设，，结合为的中点，得．又，所以，整理得，所以，得，得．故答案为：考点三、抛物线中的中点弦问题【例1】已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点、，则等于（）A．3 B．4 C． D．【答案】C【详解】设直线的方程为，由，进而可求出的中点，又由在直线上可求出，∴，由弦长公式可求出．本题考查直线与圆锥曲线的位置关系．自本题起运算量增大．【变式1】过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若l的倾斜角为，则线段AB的中点到x轴的距离是．【答案】3【分析】由题设知直线为，联立抛物线方程，应用韦达定理可得的中点横坐标，进而得纵坐标，即得.【详解】由题意，抛物线为，则，即直线为，∴将直线方程代入抛物线整理得：，设，，则，故线段的中点的横坐标为代入直线，得，∴线段的中点到轴的距离是.故答案为：3.【变式2】已知抛物线上两点A，B关于点对称，则直线AB的斜率为.【答案】2【分析】根据点差法求得直线AB的斜率，并验证判别式大于零.【详解】设，代入抛物线，得，则①，因为两点A，B关于点对称，则，所以由①得，直线AB的斜率为2.则直线AB：与代入抛物线联立，得，，解得.所以直线AB的斜率为2.故答案为：2.【变式3】已知抛物线，过点的直线l交C于M，N两点．(1)当点A平分线段时，求直线l的方程；(2)已知点，过点的直线交C于P，Q两点，证明：．【答案】(1)；(2)证明见解析【分析】(1)利用点差法求出直线的斜率，再由点斜式求直线的方程；(2)利用设而不求法证明，再结合角平分线的性质证明.【详解】（1）设，则，所以；又因为点是的中点，所以，所以，所以，所以直线的方程为：，即，联立消得，，方程的判别式，即直线与抛物线相交，满足条件，故直线的方程为；（2）设直线的方程为：，则，所以；方程的判别式，设，所以，所以所以，所以是的平分线，所以，即．【能力提升】1.已知椭圆四个顶点构成的四边形的面积为，直线与椭圆C交于A，B两点，且线段的中点为，则椭圆C的方程是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】设代入椭圆方程相减，利用，，，得出等量关系，即可求解.【详解】设，，则，，两式作差并化简整理得，因为线段AB的中点为，所以，，所以，由，得，又因为，解得，，所以椭圆C的方程为．故选：A．2.已知直线与椭圆交于两点，若点恰为弦的中点，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用中点弦问题求出，再求出椭圆的离心率作答.【详解】依题意，直线的斜率为，设，则，且，由两式相减得：，于是，解得，此时椭圆，显然点在椭圆内，符合要求，所以椭圆的离心率.故选：A3.已知m，n，s，t为正数，，，其中m，n是常数，且s＋t的最小值是，点M(m,n)是曲线的一条弦AB的中点，则弦AB所在直线方程为（）A．x－4y＋6=0 B．4x－y－6=0C．4x＋y－10=0 D．【答案】A【分析】由已知求出取得最小值时满足的条件，再结合求出，再用点差法求出直线的斜率，从而得直线方程．【详解】∵，当且仅当，即取等号，∴，又，又为正数，∴可解得．设弦两端点分别为，则，两式相减得，∵，∴．∴直线方程为，即．故选：A．4.已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率等于，点在双曲线C上，椭圆E的焦点与双曲线C的焦点相同，斜率为的直线与椭圆E交于A、B两点．若线段AB的中点坐标为，则椭圆E的方程为（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由离心率和点求出双曲线的方程，进而求出焦点，设出椭圆的方程及的坐标，由点差法得到，结合中点坐标及斜率求得，再利用焦点坐标，即可求解.【详解】设双曲线方程为，则，解得，故双曲线方程为，焦点为；设椭圆方程为，则椭圆焦点为焦点为，故，设，则，两式相减得，整理得，即，解得，故，椭圆方程为.故选：D.5.已知椭圆C：，圆O：，直线l与圆O相切于第一象限的点A，与椭圆C交于P，Q两点，与x轴正半轴交于点B．若，则直线l的方程为．【答案】【分析】根据向量垂直可得圆的切线方程为，进而在椭圆中，根据点差法可得，根据中点弦的斜率即可代入求解.【详解】取中点，连接,由于,所以,进而,设，设直线上任意一点，由于是圆的切线，所以,所以，令则，所以，由中点坐标公式可得，设,则，两式相减可得，所以,又，,所以，解得，进而故直线l的方程为，即，故答案为：6.已知椭圆方程为，且椭圆内有一条以点为中点的弦，则弦所在的直线的方程是.【答案】【分析】由点差法得斜率后求解直线方程，【详解】设，由题意得，两式相减化简得，而是中点，得，代入得，故直线方程为，即，点在椭圆内，故直线与椭圆相交，故答案为：7.已知双曲线的左，右焦点分别为，直线l过且与双曲线交于A，B两点，若直线l不与x轴垂直，且，则直线l的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设直线，联立，结合韦达定理可求得的中点的坐标，由向量的数量积知，即，代入即可求解.【详解】由已知得到.设，直线，显然.联立，得.因为l与双曲线交于两点，所以，且.由韦达定理知，设的中点为，根据，得到，从而得到，故.而，，，所以，解得，故l的斜率为，故选：B.8.已知双曲线的离心率为，直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，则与的斜率的乘积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设出，，的坐标，利用点差法，结合为线段的中点，以及两点之间的斜率公式，通过恒等变换，得到与的斜率的乘积与的关系，根据化简可得答案.【详解】设，，，则，两式作差，并化简得，，所以，因为为线段的中点，即所以，即，由，得.故选：B.9.已知双曲线，直线l交双曲线两条渐近线于点A、B，M为线段的中点，设直线l、的斜率分别为，若，则渐近线方程为．【答案】【分析】设点，结合线段AB的中点为，求出，即可得到结论.【详解】设，则，可得，设分别为双曲线的渐近线方程分是的点，所以有，从而有，又，，所以，则，所以渐近线方程为.故答案为：.10.如图，已知过原点的直线与双曲线相交于两点，双曲线的右支上一点满足，若直线的斜率为-3，则双曲线的离心率为.【答案】/【分析】取的中点，连接，先求得直线的斜率，然后利用点差法求得，进而求得双曲线的离心率.【详解】如图，取的中点，连接，则，所以，设直线的倾斜角为，则，所以，所以直线的斜率为.设，则.由，得到.，所以，所以，则.故答案为：11.已知为抛物线上的两点，，若，则直线的方程为.【答案】【分析】由于可得为中点，则，根据点差法即可求得直线的斜率，从而得方程．【详解】设又，因为，所以，又，则，得则直线的斜率为，故直线的方程为，化简为．联立，可得，直线与抛物线有两个交点，成立故答案为：．11.已知抛物线，点在E上.(1)求E的方程；(2)设动直线l交E于A，B两点，点P，Q在E上，且，若直线l始终平分弦PQ，求点P的坐标.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据已知抛物线过点可求得抛物线方程；（2）利用点差法可求得，表示出l的方程，再根据，以及直线l始终平分弦PQ，可得到关于P点横纵坐标的方程组，即可求得点P的坐标.(1)因为在抛物线上，所以，解得，所以E的方程为.(2)设，，，则，则直线l的方程为，化简为，又∵∴.①由，得整理得，②由①+②得，，故直线l恒过点，由题意知H为弦PQ的中点，所以点.又因为P､Q在E上，所以解得，，即点P的坐标为.课后巩固练习1.（多选）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点．若的中点坐标为，则（

）A．直线的方程为 B．C．椭圆的标准方程为 D．椭圆的离心率为【答案】ABD【分析】根据直线过点和点可得直线的方程，与椭圆方程联立，可得的中点的横坐标得到可得椭圆标准方程和离心率，从而达到答案.【详解】因为直线过点和点，所以直线的方程为，代入椭圆方程，消去，得，所以的中点的横坐标为，即，又，所以，离心率为，所以圆的方程为．故选：ABD．

∴双曲线E的方程为-=1.故选B.2.设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.【详解】设，则的中点，可得，因为在双曲线上，则，两式相减得，所以.对于选项A：可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；对于选项B：可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；对于选项C：可得，则由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；对于选项D：，则，联立方程，消去y得，此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；故选：D.3.过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】先设出直线AB的方程，并与双曲线的方程联立，利用设而不求的方法及条件得到关于的关系，进而求得双曲线的离心率【详解】不妨设过双曲线的焦点且斜率不为0的直线为，令由，整理得则，则，由，可得则有，即，则双曲线的离心率故选：D4.已知抛物线顶点在原点，焦点为，过作直线交抛物线于、两点，若线段的中点横坐标为2，则线段的长为【答案】6【分析】设，利用中点公式即得，再根据焦点弦公式得到线段的长.【详解】是抛物线的焦点，准线方程，设，线段的中点横坐标为2,.，线段的长为6.故答案为：6.5.已知椭圆的离心率为，斜率为正的直线l与椭圆C交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于P，Q两点，且，则直线l的斜率为．【答案】【分析】由，且A，B，P，Q四点共线，可得A，B两点之间的关系，结合点差法，可构建斜率与离心率之间的关系，代入离心率可求直线斜率.【详解】设因为直线斜率为正，设为，所以可设点在第一象限，，且A，B，P，Q四点共线，

，，，又，，，，在椭圆上，，，两式相减可得，，，又，，，即，，，又直线斜率为正，故答案为：.圆锥曲线中的中点弦问题随堂检测1.已知椭圆()的右焦点为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点为，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根据中点坐标公式、椭圆离心率公式，结合点差法进行求解即可.【详解】解：设，，则的中点坐标为，由题意可得，，将，的坐标的代入椭圆的方程：，作差可得，所以，又因为离心率，，所以，所以，即直线的斜率为，故选：A.2.已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是A． B．C． D．【答案】D【分析】根据点差法得，再根据焦点坐标得，解方程组得，，即得结果.【详解】设双曲线的方程为，由题意可得，设，，则的中点为，由且，得，，即，联立，解得，，故所求双曲线的方程为．故选D．3.已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】利用点差法即可．【详解】由F、N两点的坐标得直线l的斜率．∵双曲线一个焦点为(-2，0)，∴c=2．设双曲线C的方程为，则．设，，则，，．由，得，即，∴，易得，，，∴双曲线C的离心率．故选：B．4.已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为A． B．C． D．【答案】B【详解】∵y2=2px的焦点坐标为,∴过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,即x=y+,将其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2p,∴=p=2,∴抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.故选B.5.已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为1的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为，则的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设，利用点差法可得的关系，从而可求得，即可的解.【详解】设，则，由已知有，，作差得，则，所以，解得，则的方程为.故选：