2024-2025学年天津市滨海新区塘沽渤海石油一中高三（上）第三次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年天津市滨海新区塘沽渤海石油一中高三（上）第三次月考数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集U={1,2,3,4,5}，集合A={1,3}，B={2,3,5}，则(∁UB)∪A=A.{3} B.{1} C.{1,4} D.{1,3,4}2.已知直线m⊥平面α，则“直线n⊥m”是“n/​/α”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知a=2,b=(12)−0.6,c=log2A.c<a<b B.c<b<a C.a<c<b D.b<c<a4.函数f(x)=(1−ex1+A. B.

C. D.5.计算31+log32A.5 B.6 C.7 D.86.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=3AA1=2A.53π3

B.237.将函数g(x)=2cos(x+π3)的图象向右平移π2个单位长度，在把横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)得到函数f(x)的图象，则下列说法正确的有(    )个．

①函数f(x)的最小正周期为4π；

②函数f(x)在区间[7π12,5π4]上单调递增；

③函数f(x)在区间A.1 B.2 C.3 D.48.已知F1，F2为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，点A在C上，若|A.x29−y26=1 B.9.设数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=aA.−4950 B.−5000 C.−5050 D.−5250二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。10.i是虚数单位，则3−2i1+i=a+bi(a,b∈R)，则a+b的值为______．11.若关于x的二项式(2x+ax)7的展开式中一次项的系数是−70，则12.已知Sn是数列{an}的前n项和，且满足Sn=n213.圆C1：x2+y2−4=0与圆C214.已知双曲线C：x2a2−y2b215.已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，点E是边CD上的一点，设AE在AC上的投影向量为a，且满足a=34AC，则|CE|等于______；延长线段AE至点F，使得AE=2EF，若点H在线段三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题13分)

在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c.已知csinC−bsinB=a(sinA−sinB),b=3,c=6．

(Ⅰ)求角C的大小；

(Ⅱ)求sinB的值；

(Ⅲ)求17.(本小题13分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，E，F分别为CC1，BC的中点．

(1)求异面直线A1B与EF所成角的余弦值；

(2)求点18.(本小题15分)

已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=12，左顶点为A，下顶点为B，C是线段OB的中点，其中S△ABC=332．

(1)求椭圆方程．

(2)过点(0,−19.(本小题17分)

已知等差数列{an}前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5−2b2=a3．

(1)求数列{an}和{bn}20.(本小题17分)

已知函数f(x)=lnx，g(x)=x2−x+1，ℎ(x)=f(x)−g(x)．

(Ⅰ)求函数ℎ(x)的极值；

(Ⅱ)证明：有且只有两条直线与函数f(x)，g(x)的图象都相切；

(Ⅲ)若2ae2x+lna≥f(x)参考答案1.D

2.B

3.A

4.C

5.C

6.A

7.A

8.B

9.B

10.−2

11.−112.5,n=12n+1,n≥213.x+2y−8=0

14.215.1

−17716.解：(Ⅰ)在△ABC中，由正弦定理，

可得asinA=bsinB=csinB，

由csinC−bsinB=a(sinA−sinB)，

可得c2−b2=a2−ab，即a2+b2−c2=ab，

故cosC=a2+b2−c22ab=12，

又C∈(0,π)，故C=π3；

(Ⅱ)17.解：(1)由题意可知AB、AC、AA1两两垂直，

如图所示建立空间直角坐标系，

则A1(0,0,2)，B(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,1,0)，

即A1B=(2,0,−2),EF=(1,−1,−1)，

所以cos<A1B,EF>=A1B⋅EF|A1B||EF|=48×3=63，

即异面直线A1B与EF所成角的余弦值为63；

(2)由(1)知：AB1=(2,0,2),AE=(0,2,1),AF=(1,1,0)，

设面AEF的一个法向量为n=(x,y,z)，

则由n⊥AE，n⊥AF，有n⋅AE=2y+z=0n⋅AF=x+y=0，

取y=−1，可得x=1，z=2，即n18.解：(1)因为椭圆的离心率为e=12，

所以ca=12，即a=2c，其中c为半焦距，

a2=b2+c2，

则b=3c，

所以A(−2c,0)，B(0,−3c)，C(0,−3c2)，

SΔABC=12×2c×32c=332，解得c=3，

故a=23，b=3，

故椭圆方程为x212+y29=1；

(2)①若过点(0,−32)的动直线的斜率不存在，

则P(0,3)，Q(0,−3)或P(0,−3)，Q(0,3)，此时−3≤t≤3，

②若过点(0,−32)的动直线的所率存在，

则可设该直线方程为：y=kx−32，19.解：(1)等差数列{an}前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，

a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5−2b2=a3，

设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，

则q+3+3+d=103+4d−2q=3+2d，∴d=q=2，

∴an=3+2(n−1)=2n+1,bn=2n−1；

(2)由(1)知Sn=(3+2n+1)n2=n(n+2)，

对任意的正整数n，设cn=3n−2bn,n为奇数,2Sn,n为偶数,记数列{cn}的前n项和为Tn，

所以cn=3n−22n−1,n为奇数2n(n+2),n为偶数，

所以T2n=c1+c3+c5+⋯+c2n−1+c2+c4+c6+⋯+c2n，

令T1=c1+c3+20.解：(Ⅰ)ℎ(x)=lnx−x2+x−1(x>0)，

ℎ′(x)=1x−2x+1=−2x2+x+1x=−(x−1)(2x+1)x，

当x∈(0,1)，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，当x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，

所以当x=1时，函数取得极大值，极大值是ℎ(1)=−1，无极小值；

证明：(Ⅱ)设直线l分别切f(x)，g(x)的图象于点(x1,lnx1),(x2,x22−x2+1)，

由f′(x)=1x，得直线l的方程，y−lnx1=1x1(x−x1)，即y=1x1x+lnx1−1，①

由g′(x)=2x−1，得直线l的方程，y−(x22−x2+1)=(2x2−1)(x−x2)，即y=(2x2−1)x−x22+1，②

比较①②可得1x1=2x2−1lnx1−1=−x22+1，得lnx1