人教版九年级数学上册重点压轴题专项讲练：圆与二次函数的综合

专题24.4圆与二次函数的综合

典例精析

【典例1】如图，已知抛物线y=/+6久+c与无轴交于点力(2m一1,0)和点B(ni+2,0),与y轴交于点C,

对称轴轴为直线乂=-1.

(1)求抛物线的解析式;

(2)点P是直线AC上一动点，过点尸作PQIIy轴，交抛物线于点。，以尸为圆心，PQ为半径作OP,

当OP与坐标轴相切时，求OP的半径;

(3)直线y=fcc+3k+4(kK0)与抛物线交于M,N两点，求AAMN面积的最小值.

【思路点拨】

(1)由题意及抛物线的对称性知：一1-(2爪-1)=爪+2—(-1),即可求得加的值，从而用待定系数法

可求得函数解析式；

(2)首先求出直线AC的解析式为y=―乂-3,由PQ||y轴及点Q在抛物线上，可得点。的坐标，从而求

得PQ的长度，分两种情况讨论：当OP与x轴相切时；当OP与y轴相切时；分别利用圆心到切线的距离等

于半径得到方程，解方程即可求得半径；

(3)由、=/«:+3々+4(/£k0)知，直线过点G(—3,4),则得4G_Lx轴，且4G=4;联立直线与抛物线的解

析式，消去y得一元二次方程，可求得M与N的横坐标，再由SMMN=SAAGM+SAAGN=2|x”-XNI，可得

关于左的函数关系式，即可求得面积的最小值.

【解题过程】

(1)解：抛物线y=/+匕X+c与％轴交于点A(2zn—1,0)和点8(TH+2,0),对称轴为直线％=-1

・•・/、8关于对称轴对称，

•••—1—(2m—1)=m+2—(―1),

解得：m——1,

即4(-3,0),8(1,0),

把A、5两点坐标代入y=/+卜％+c中，得^];，

解得：『二2

1c=—3

则所求函数解析式为y=x2+2x-3；

(2)解：对于y=%2+2%—3,令汽=0,得y=-3,

C(0,-3),

设直线AC的解析式为y=ax+d,

则有｛一箕f;。，

解得:｛评,

所以直线AC的解析式为y=-X-3,

设点P(a,—a—3),

・•,PQIIy轴，点。在抛物线上，

・・・。的坐标为(见。2+2。-3),

PQ—|Q2+2a—3—(—CL—3)|—|ct^+3a|；

当。尸与％轴相切时；

\a2+3a|=\—a—3|,

即a2+3d=-CL—3,或ia2+3ci=—(—CL—3),

解得：a=—1,a=-3或a=1,a=-3

显然a=-3时点P、。与点A重合，不合题意，则。=一1及a=l,

当a=-1时，一a—3=­2；当a=1时,—a—3=—4,

此时。P的半径分别为2或4；

当。尸与y轴相切时；

\a2+3a|=\a\,

即小+3a=—a,或小+3a=a,

解得：a=0,a=—4,或a=0,a=-2,

显然a=0时点尸、。与点C重合，不合题意，则@=一4及。=一2,

此时OP的半径分别为4或2；

综上，。尸与坐标轴相切时，。尸的半径分别为2或4；

(3)解：如图，

当久=—3时，y=kX(-3)+3k+4=4,

•，.直线y=kx+3/c+4过点G(—3,4),

・•.ZG1%轴，且AG=4；

联立直线与抛物线的解析式得：F=+

消去y得：%2+(2—fc)x—3fc—7=0,

v△=(2-fc)2-4x1x(一3k-7)=(k+4)2+16>0,

._-(2-fc)+V(fc+4)2+16_-(2-fc)-7(fc+4)2+16

"XN—2，XM—2，

•••XN_XM=J(/c+4)2+16,

11

S

•••S^AMN-LAGM+S^AGN-Q/G-(-3-XM)+-AG-(xN+3)=2|%M-

•*,S^AMN=2d(k+4)2+16,

当々=一4时，(/c+4)2+16有最小值16,从而ANMN的面积有最小值2x4=8.

学霸必刷

1.(22-23上•南京•阶段练习)已知抛物线y=a(久一3)2+§过点C(0,4),顶点为与x轴交于A、B两

点.如图所示，以为直径作圆，记作。Q.

(1)试判断点C与。。的位置关系；

(2)直线CM与。。相切吗？请说明理由；

(3)在抛物线上是否存在一点E,能使四边形力DEC为平行四边形.若存在，求出点E的坐标；若不存在,

请说明理由.

2.（2324上•长沙•阶段练习）如图，抛物线y=a/+匕乂+c（a,b,c是常数，aK0）的对称轴为y轴,

且经过（0,0）和（历,两点，点尸在该抛物线上运动，以点尸为圆心的OP总经过定点4（0,2）.

（1）求mb,c的值；

（2）求证：在点尸运动的过程中，圆心产到x轴的距离始终小于半径；

（3）设。尸与x轴相交于M（%i，0）,N（%2，0）（/V%2）两点，当aAMN是以AM为底边的等腰三角形时,

求圆心P的纵坐标.

3.(22.23上•广州•期末)如图，抛物线y=+c与x轴相交于点4,B(点4在点B的左侧),与y轴

42

相交于点C,点8的坐标为(2,0),OM经过三点，且圆心M在x轴上.

(1)求c的值.

(2)求OM的半径.

(3)过点C作直线CD,交x轴于点。，当直线CD与抛物线只有一个交点时直线CD是否与0M相切？若相切,

请证明；若不相切，请求出直线CD与OM的另外一个交点的坐标.

4.(2223上•广州•期末)如图，抛物线y=a久2久+©的图象与x轴交于点4(一1,0)、B(3,0)与y轴交于

点C,顶点为D以力B为直径在无轴上方画半圆交y轴于点E,圆心为/,尸是半圆上一动点，连接DP,点

。为PD的中点.

(1)试用含a的代数式表示c；

(2)若/Q1PD恒成立，求出此时该抛物线解析式；

(3)在(2)的条件下，当点尸沿半圆从点B运动至点A时，点。的运动轨迹是什么，试求出它的路径长.

5.(2122・全国・专题练习)在平面直角坐标系中，以点P(2百，-3)为圆心的圆与x轴相交于4、B两点，与y轴

相切于点C,抛物线y=a久2+。久+c经过点力、B、C,顶点为。.

(1)求抛物线的表达式；

(2)点M为y轴上一点，连接DM,MP,是否存在点M使得△DMP的周长最小？若存在，求出点M的坐标及

△DMP的周长最小值；若不存在，请说明理由.

6.（2L22下•长沙•期中）如图1,抛物线y=:/—2万与x轴交于。、A两点，点B为抛物线的顶点，连

接

（1）求NA08的度数；

（2）如图2,以点A为圆心，4为半径作。A,点M在。A上.连接OM、BM,

①当△是以为底的等腰三角形时，求点〃的坐标；

②如图3,取。M的中点N,连接BN,当点〃在。A上运动时，求线段BN长度的取值范围.

7.（2122上•长沙•阶段练习）已知抛物线y=a/+6x+3（a和）经过A（3,0）、8（4,1）两点，且与y

轴交于点C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，设抛物线与x轴的另一个交点为。，在抛物线上是否存在点P,使A抬8的面积是△8D4面积

的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）如图（2）,连接AC,£为线段AC上任意一点（不与A、C重合），经过A、E、。三点的圆交直线

于点乩当△OEF的面积取得最小值时，求面积的最小值及E点坐标.

8.(2021下.扬州.一模)如图,抛物线与x轴交于A,B两点，点8坐标为(3,0)顶点尸的坐标为(1,一4),

以AB为直径作圆，圆心为D过P向右侧作OD的切线，切点为C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)请通过计算判断抛物线是否经过点C；

(3)设N分别为x轴，y轴上的两个动点，当四边形PNMC的周长最小时，请直接写出M,N两点的

坐标.

9.（2122上・宜昌・期末）如图所示，对称轴为直线x=1的抛物线y=/+bx+c与x轴交于力、B两点，与

y轴交于点。（0,-2）,点P在抛物线对称轴上并且位于x轴的下方，以点P为圆心作过4、B两点的圆，恰好使

得弧48的长为OP周长的

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求OP的半径和圆心P的坐标，并判断抛物线的顶点C与OP的位置关系；

（3）在抛物线上是否存在一点M,使得SMBM=3V3?若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存

在，请说明理由.

10.(2122.全国・专题练习)定义：平面直角坐标系尤Oy中，过二次函数图像与坐标轴交点的圆，称为该二

次函数的坐标圆.

(1)已知点P(2,2),以P为圆心，逐为半径作圆.请判断。P是不是二次函数y=/-4x+3的坐标圆,

并说明理由；

(2)已知二次函数y=/-4x+4图像的顶点为A,坐标圆的圆心为P,如图1,求△PO4周长的最小值；

(3)已知二次函数yuaf-dx+d(0<a<l)图像交x轴于点A,B,交y轴于点C,与坐标圆的第四个交

点为。，连接尸C,PD,如图2.若/CPD=120。，求cz的值.

11.(2223上•嘉兴・期中)如图，抛物线y=-％2+版+c与x轴相交于点4B,与y轴相交于点C,已知4C

两点的坐标为力(-1,0),C(0,3).点P是抛物线上第一象限内一个动点，

(1)求抛物线的解析式，并求出8的坐标；

(2)如图1,y轴上有一点。(0,1),连接。P交BC于点H,若“恰好平分DP,求点P的坐标；

(3)如图2,连接力P交BC于点M,以4M为直径作圆交ZB、BC于点E、F,若E,F关于直线4P轴对称,

求点E的坐标.

12.（21-22上・鄂尔多斯•阶段练习）如图，抛物线y=ax2-2x+c经过直线y=x-3与坐标轴的两个交点

A、B,此抛物线与无轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D

（2）点P为抛物线上的一个动点，求使S“PB=S-BC的点P的坐标；

（3）。时是过4、B、C三点的圆，连接MC、MB、BC,求劣弧CB的长.

13.(22-23下•汕头・三模)如图,在平面直角坐标系中，已知抛物线y=a/+6x—3(a*0)与x轴交于4(3,0)

0)两点，与y轴交于点C,连接力C,

£/V

AxBO'N_1A_x

(1)求抛物线的解析式与顶点M坐标：

(2)如图，在对称轴上是否存在一点。，使=若存在，请求出点。的坐标：若不存在，请说

明理由；

(3)如图，若点P是抛物线上的一个动点，且N4PB=45。，请直接写出点P的横坐标

(4)如图，以4B为直径画交OE,Q为圆上一动点，抛物线顶点为M,连接MQ,点N为MQ的中点，请直

接写出8N的最小值.

14.(2223上・济宁•期末)如图1,已知抛物线y=-久2+bx+c经过点4(1,0),8(-5,0)两点，且与y轴

交于点C.

(1)求6,c的值.

(2)在第二象限的抛物线上，是否存在一点P,使得APBC的面积最大？求出点尸的坐标及APBC的面积

最大值.若不存在，请说明理由.

(3)如图2,点E为线段BC上一个动点(不与2,C重合)，经过B、E、。三点的圆与过点3且垂直于BC的

直线交于点R当AOEF面积取得最小值时，求点E坐标.

15.(2223上淄博・期末)如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+l相交于4B两点，且点4在x轴

上，点B的横坐标为2.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)连接BM.判断点4是否在以BM为直径的圆上，并说明理由；

(3)以点M为圆心，M4为半径画OM,BC与OM相切于点C.求直线BC的函数表达式.

16.(2L22上•长沙•阶段练习)如图1,在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=加+6无+<?与x轴分别相交于

A、8两点，与y轴相交于点C,下表给出了这条抛物线上部分点(x,y)的坐标值：

X-10123

y03430

(1)求出这条抛物线的解析式；

(2)如图1,直线y=kx+l(k<0)与抛物线交于P,。两点，交抛物线对称轴于点T,若AQWT的面积

是APMT面积的两倍，求女的值；

(3)如图2,点。是第四象限内抛物线上一动点，过点。作。轴，垂足为R△A3。的外接圆与

相交于点E.试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.

图1图2

17.（2122上•长沙•期中）如图1,在平面直角坐标系中，直线y=-5%+5与x轴，y轴分别交于A、C两

点，抛物线y=/+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为3.

（1）求抛物线解析式；

（2）若点M为无轴下方抛物线上一动点，尤轴交BC于点N,当点M运动到某一位置时，线段

的长度最大，求此时点M的坐标及线段的长度；

（3）如图2,以8为圆心，2为半径的08与x轴交于E、尸两点（尸在E右侧），若P点是08上一动点，

连接E4,以外为腰作等腰RtAP力。，使NP2D=90。（尸、A、。三点为逆时针顺序），连接尸D

①将线段AB绕A点顺时针旋转90°,请直接写出B点的对应点的坐标；

②求如长度的取值范围.

图1图2

18.(2L22・遵义・中考真题)如图，抛物线y=ax2+3+c经过点A(-1,0)和点C(0,3)与x轴的另一

交点为点2,点M是直线BC上一动点，过点M作轴，交抛物线于点P.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)在抛物线上是否存在一点Q,使得AQC。是等边三角形？若存在，求出点。的坐标；若不存在，请

说明理由；

(3)以M为圆心，河尸为半径作。当。〃与坐标轴相切时，求出。M的半径.

专题24.4圆与二次函数的综合

典例精析

【典例1】如图，已知抛物线y=/+6久+c与无轴交于点力(2m一1,0)和点B(ni+2,0),与y轴交于点C,

对称轴轴为直线乂=-1.

(1)求抛物线的解析式;

(2)点P是直线AC上一动点，过点尸作PQIIy轴，交抛物线于点。，以尸为圆心，PQ为半径作OP,

当OP与坐标轴相切时，求OP的半径;

(3)直线y=fcc+3k+4(kK0)与抛物线交于M,N两点，求AAMN面积的最小值.

【思路点拨】

(1)由题意及抛物线的对称性知：一1-(2爪-1)=爪+2—(-1),即可求得加的值，从而用待定系数法

可求得函数解析式；

(2)首先求出直线AC的解析式为y=―乂-3,由PQ||y轴及点Q在抛物线上，可得点。的坐标，从而求

得PQ的长度，分两种情况讨论：当OP与x轴相切时；当OP与y轴相切时；分别利用圆心到切线的距离等

于半径得到方程，解方程即可求得半径；

(3)由、=/«:+3々+4(/£k0)知，直线过点G(—3,4),则得4G_Lx轴，且4G=4;联立直线与抛物线的解

析式，消去y得一元二次方程，可求得M与N的横坐标，再由SMMN=SAAGM+SAAGN=2|x”-XNI，可得

关于左的函数关系式，即可求得面积的最小值.

【解题过程】

(1)解：抛物线y=/+匕X+c与％轴交于点A(2zn—1,0)和点8(TH+2,0),对称轴为直线％=-1

・•・/、8关于对称轴对称，

•••—1—(2m—1)=m+2—(―1),

解得：m——1,

即4(-3,0),8(1,0),

把A、5两点坐标代入y=/+卜％+c中，得^];，

解得：『二2

1c=—3

则所求函数解析式为y=x2+2x-3；

(2)解：对于y=%2+2%—3,令汽=0,得y=-3,

C(0,-3),

设直线AC的解析式为y=ax+d,

则有｛一箕f;。，

解得:｛评,

所以直线AC的解析式为y=-X-3,

设点P(a,—a—3),

・•,PQIIy轴，点。在抛物线上，

・・・。的坐标为(见。2+2。-3),

PQ—|Q2+2a—3—(—CL—3)|—|ct^+3a|；

当。尸与％轴相切时；

\a2+3a|=\—a—3|,

即a2+3d=-CL—3,或ia2+3ci=—(—CL—3),

解得：a=—1,a=-3或a=1,a=-3

显然a=-3时点P、。与点A重合，不合题意，则。=一1及a=l,

当a=-1时，一a—3=­2；当a=1时,—a—3=—4,

此时。P的半径分别为2或4；

当。尸与y轴相切时；

\a2+3a|=\a\,

即小+3a=—a,或小+3a=a,

解得：a=0,a=—4,或a=0,a=-2,

显然a=0时点尸、。与点C重合，不合题意，则@=一4及。=一2,

此时OP的半径分别为4或2；

综上，。尸与坐标轴相切时，。尸的半径分别为2或4；

(3)解：如图，

当久=—3时，y=kX(-3)+3k+4=4,

•，.直线y=kx+3/c+4过点G(—3,4),

・•.ZG1%轴，且AG=4；

联立直线与抛物线的解析式得：F=+

消去y得：%2+(2—fc)x—3fc—7=0,

v△=(2-fc)2-4x1x(一3k-7)=(k+4)2+16>0,

._-(2-fc)+V(fc+4)2+16_-(2-fc)-7(fc+4)2+16

"XN—2，XM—2，

•••XN_XM=J(/c+4)2+16,

11

S

•••S^AMN-LAGM+S^AGN-Q/G-(-3-XM)+-AG-(xN+3)=2|%M-

•*,S^AMN=2d(k+4)2+16,

当々=一4时，(/c+4)2+16有最小值16,从而ANMN的面积有最小值2x4=8.

学霸必刷

1.(22-23上•南京•阶段练习)已知抛物线y=a(久一3)2+§过点C(0,4),顶点为与x轴交于A、B两

点.如图所示，以为直径作圆，记作。Q.

(1)试判断点C与。。的位置关系；

(2)直线CM与。。相切吗？请说明理由；

(3)在抛物线上是否存在一点E,能使四边形力DEC为平行四边形.若存在，求出点E的坐标；若不存在,

请说明理由.

【思路点拨】

(1)求出CD的长，并且CD,。。比较，如果相等，说明点C在圆上；

(2)先用两点间距离公式求出线段的长，在用勾股定理的逆定理判断是直角三角形，最后由垂直可判断相

切；

(3)先尝试作出四边形力DEC,再证明一组对边平行但不相等，最后说明不存在.

【解题过程】

(1):抛物线y=a(x-3)2+彳过点C(0,4)

25

・・・4=9a+—

4

•••抛物线的解析式为y=—3尸+个

44

*.*当y=0时，方程0=--(x—3)2+交的解为％=8或%=—2

44

・•・/(—2,0),8(8,0)

J.AB=10,40=5,。0=3

CD=70c2+。。2=V32+42=5

...CD=。。=5

故点c在圆上

(2)如图，连接CM,CD,MD

代入顶点坐标公式，可得：加(3,彳)

利用两点间距离公式可得：MC2=^,MD2=^,CD2=25

1626

\'MC2+CD2=MD2

：.△MCD为直角三角形

CD1MC

直线CW与。。相切

(3)不存在，理由如下：

如图，过点C作CEII4B,交抛物线于点E

当y=4时，方程4=-抖一3尸+争勺解为x=0或x=6

；.C(0,4),E(0,6)

CE=6

CE丰AD

.•.在抛物线上不存在一点E,能使四边形ADEC为平行四边形

2.（2324上.长沙.阶段练习）如图，抛物线y=a/+bx+c（a,b,c是常数，aK0）的对称轴为y轴,

且经过（0,0）和（份,2）两点，点尸在该抛物线上运动，以点尸为圆心的OP总经过定点4（0,2）.

（2）求证：在点尸运动的过程中，圆心P到x轴的距离始终小于半径；

（3）设OP与x轴相交于M（ji，0）,Ng0）01<亚）两点，当△4MN是以4M为底边的等腰三角形时，

求圆心P的纵坐标.

【思路点拨】

（1）抛物线y=a/+打+c（a,b,c是常数，a#0）的对称轴为y轴，且经过（0,0）和（正,5两点，

2

可得抛物线的一般式为：y=a/,则看=a（V^）,进而即可求解；

（2）设尸（7H,jm2^,OP的半径丁=+4>即可证明；

（3）设P（n,"2）,pa=+4,作PH1MN于H,MH=NH=J》。+4-（/了=2,故MN=4,

由M（n—2,0）,N（n+2,0）,则4M=J（n—2尸+4,4N=+2尸+4当AN=MN时,

V（n+2）2+4=4,即可求解；

【解题过程】

⑴解：：抛物线丫二收+块+^^6,c是常数，。力0）的对称轴为y轴，且经过（0,0）和（返2）两

点，

二・抛物线的一般式为：y=a/,

工］=a（Va）2,

解得：a=±],

:图象开口向上,

・1

••CL——

4

...抛物线解析式为:广沁

故a=b=c=0；

4

2

（2）设P（zn,^m^,OP的半径r=Jm2+©7n2—2）,

化简得：r=J*+4〉*

点P在运动过程中，圆心P到x轴的距离始终小于半径;

（3）设P（n，1话）,

*：PA=—n4+4,

\16

作PH1MN于H,

又二PH=工层,

4

则MH=NH=+4_（"2'=2,

故MN=4,

.".M（n-2,0）,N（n+2,0）,

又：力（0,2）,

—2.+4,AN=J（n+2++4

当AN=MN时，J（n+2/+4=4,

解得：n=-2+2V3,贝日小=4±2V3；

综上所述，尸的纵坐标为：4+2旧或4一2次.

3.(2223上•广州期末)如图，抛物线y=—；/-卜+c与x轴相交于点4,B(点4在点B的左侧),与y轴

42

相交于点C,点B的坐标为(2,0),OM经过4,B,C三点，且圆心用在力轴上.

(1)求c的值.

(2)求OM的半径.

(3)过点C作直线CD,交x轴于点。，当直线CD与抛物线只有一个交点时直线CD是否与0M相切？若相切,

请证明；若不相切，请求出直线CD与OM的另外一个交点的坐标.

【思路点拨】

(1)将点8(2,0)代入抛物线解析式，利用待定系数法求抛物线解析式即可；

(2)令y=0,可得—；/一|%+4=0,求解即可确定2点坐标，然后确定OM的半径即可；

(3)直线CD与抛物线只有一个交点，则方程y=-1%+4=for+4有两个相等的实数根，由4=

(4/c+6)2-4x1x0=0可求出k的值，进而求解即可.

【解题过程】

(1)解：:抛物线y=一|%+c经过点8(2,0),

—x2—x2+c=0,

42

解得c=4,

；・c的值为4；

(2)在y=一一|工+4中，

令y=0,可得—工/--%+4=0,

42

解得：X]=-8,x2=2,

・・・4(-8,0),

=2-(-8)=10,

...(DM的半径为T=5；

(3)直线CD与OM相交.

在了=—工——%x+4中，令x=0,得y=4,

42

AC(0,4).

设直线CD解析式为丫=kx+b,将点C(0,4)代入，可得b=4,

直线CD解析式为y=fcx+4,

•.•直线CD与抛物线只有一个交点，

，方程y=-^x2-|x+4=fcx+4有两个相等的实数根，

整理，得/+(4k+6)%=0,

.".△=(4/c+6)2-4x1x0=0,

解得k=—£

...直线CD解析式为y=—|久+4,

设直线CD与。M的另外一个交点的坐标为(%,-|x+4),

VM(-3,0),(DM的半径为5,

贝l|(x+3)2+(-|x+4)2=52,

解得x=0(舍去)或x=|^,

将X=胃代入到y=-|%+4,可得y=-1x11+4=11，

二直线CD与OM的另外一个交点的坐标为借泻).

4.(22-23上•广州•期末)如图，抛物线y=a/+.+。的图象与x轴交于点4(-1,0)、B(3,0)与y轴交于

点C,顶点为D以48为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E,圆心为/,尸是半圆上一动点，连接DP,点

。为PD的中点.

y

(l)试用含a的代数式表示c；

(2)若/QIPD恒成立，求出此时该抛物线解析式；

(3)在(2)的条件下，当点尸沿半圆从点8运动至点A时，点Q的运动轨迹是什么，试求出它的路径长.

【思路点拨】

(1)根据点点4(—1,0)、8(3,0)可得该函数的解析式为旷=。0+1)0-3),展开括号即可进行解答；

(2)根据点。为PD的中点，且/QLPD,可得点。在。/上，进而得出点。的坐标，即可求解；

(3)根据题意得N/QD=90。，则点。在以“为直径的圆上运动，求出点尸与点A和点2重合时点。的坐

标，进而得出QiQ2b轴，QiQz=2,则点。在以£»/中点为圆心的半圆上运动，再根据圆的周长公式求解即

可.

【解题过程】

(1)解：:抛物线y=a/+bx+c的图象与x轴交于点4(一1,0)、8(3,0),

...该函数的解析式为y=a(x+1)(%—3)=ax2—2ax—3a,

••c=3a.

(2)解:连接”,

•.•尸是半圆上一点，点。为PD的中点，且/Q1PD,

...点。在O/上,

.­.D/=-11XB-1|x[3-(-l)]=2,

••.该抛物线的对称轴为直线％=芳=1，

A0(1,-2),

把。(L—2)代入y=ax2—2ax—3a得：—2=a—2Q—3a,

解得：a=5

该抛物线解析式为：y=ixz-x-|；

(3)解：；IQ1PD,

:/QD=90°,

...点。在以川为直径的圆上运动，

VX(-l,0)>B(3,0),D(l,-2),

...当点尸与点8重合时，Q1(祟,言)，即Q1(2,-1),

当点尸与点A重合时，<?2(与即。2(0,-1)，

••QiQzll”轴，Q1Q2=2,

...点。在以£)/中点为圆心的半圆上运动，

点。的路径长为：|X27T=7T.

5.(2122.全国.专题练习)在平面直角坐标系中，以点P(2旧3)为圆心的圆与式轴相交于4B两点，与y轴

相切于点C,抛物线y=a/+6%+。经过点人、B、C,顶点为。.

(1)求抛物线的表达式；

(2)点M为y轴上一点，连接DM,MP,是否存在点M使得△OMP的周长最小？若存在，求出点M的坐标及

△DMP的周长最小值；若不存在，请说明理由.

【思路点拨】

(1)如图①，连接24,PB,PC,设抛物线对称轴交支轴于点G,先求出4(遮,0),B(3V3,0),C(0,-3),

把这三点代入y=ax2+bx+c求解即可；

(2)如图②，作点P关于y轴的对称点P,连接PO与y轴交于点M,连接PM,此时△DMP的周长为PM+MD+

DP=P'M+MD+DP=P'D+DP,即当点D,M,P，三点共线时，4DMP的周长取得最小值，最小值为P'D+

DP的长，先求出ADMP的周长最小值，然后求出直线DP'的解析式，即可求出点M.

【解题过程】

(1)如图①，连接P4PB,PC,设抛物线对称轴交x轴于点G,

图①

由题意得24=PB=PC=2V3,PG=3.

AG=BG=J(2V3)2-32=V3.

力(百,0),B(3A/3,0),C(0,-3).

_1

3。++c=0,"-3’

把点Z(b,0),5(373,0),。(0,-3)代入、=。/+力%+。中，得｛27。+37^+。=0,解得"=更

；•抛物线的解析式为y=-1/+#》一3；

(2)存在.如图②，作点P关于y轴的对称点P,连接P'。与y轴交于点“，连接PM,此时AOMP的周长为

PM+MD+DP=P'M+MD+DP=P'D+DP,即当点D,M,P，三点共线时，/DMP的周长取得最小值,

最小值为P'D+DP的长，

图②

•.•点P（2班,-3）与点口关于y轴对称，

.•.点P'的坐标为（-2百，-3）,PP'=4V3,

易得。

DP=4.

P'D=JPP'2+DP2=8,

•••P'D+DP=12.

.•.ADMP的周长最小值为12；

设直线DP'的解析式为y=kx+b1,

将P（-28，-3）、D（2百,1）代入，

得1—2遍上+b]=-3,

守2V3fc+瓦=1.

解得｛卜一3,

瓦=—1

・•・直线DP'的解析式为y=y%-1,

令汽=0,则y=-1,

6.（21」22下•长沙•期中）如图1,抛物线丫=；乂2一2%与％轴交于0、A两点，点B为抛物线的顶点，连

4

接

（1）求NAOB的度数;

（2）如图2,以点A为圆心，4为半径作。A,点M在0A上.连接OM、BM,

①当△08M是以OB为底的等腰三角形时，求点M的坐标；

②如图3,取0M的中点N,连接BN,当点M在。A上运动时，求线段BN长度的取值范围.

【思路点拨】

(1)将函数解析式化为顶点式，得到点2的坐标，作于则。8=27/=4,即可得到/AOB的

度数；

(2)①先求出A点坐标.作08的垂直平分线交。A于Mi、M2两点，由A”=4=OH=B“，得到坐标为

(4,0).连接4M2，由乙做2从4=Z0HC=45。，AH=AM2=4,得到坐标为(8,4)；

②延长OB至点。，使BD=OB,则点D坐标为(8,-8),连接根据三角形中位线的性质得到BN=^MD,

当过点A时，长度达到最大值，当点M在点E处时，有最小值，由此解决问题.

【解题过程】

(1):丫=]/—2;(:：]。:-4y一4,点8为抛物线顶点，

.,.点2的坐标为(4,-4).

作BH1.OA于H,则OH=BH=4,

：.ZAOB=45°.

(2)①-2x=0,解得/=0,x2=8,

A点坐标为(8,0).

作OB的垂直平分线交。A于Mi、M2两点，

半径为4,AH=4,

.•.点H在。A上，此时

二点H与点％重合，

坐标为（4,0）.

连接AM?,

乙

VZ.M2HA=OHC=45°,AH=AM2=4,

：.^HAM2=90°,则M2坐标为（8,4）,

综上，点M的坐标为（4,0）或（8,4）.

②延长OB至点。，使8。=。8,则点O坐标为（8,—8）,

连接

:点N为中点，

BN=-MD.

2

如图，当MZ）过点A时，长度达到最大值，

当点M在点E处时，有最小值，

•点A、D横坐标相同，

此时轴，

；.M£）=8+4=12,OE=8-4=4,

.".4<MD<12,

：.2<BN<6.

7.（2L22上•长沙•阶段练习）己知抛物线yud+Zw+B（存0）经过A（3,0）、B（4,1）两点，且与y

轴交于点c.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图，设抛物线与x轴的另一个交点为在抛物线上是否存在点P,使△的面积是△BD4面积

的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)如图(2),连接AC,E为线段AC上任意一点(不与A、C重合)，经过A、E、。三点的圆交直线

A8于点尸，当△。跖的面积取得最小值时，求面积的最小值及E点坐标.

【思路点拨】

(1)根据待定系数法求解即可;

(2)根据抛物线的解析式求出点。的坐标，取点E(l,0),作EP〃人2交抛物线于点尸，得到直线EP

为y=x-l,联立方程组求解即可;

(3)作于。，得到。4=OC=3,AD=BD=1,证明所是△AE。的外接圆的直径，得到AE。/

是等腰直角三角形，当。E最小时，的面积最小，计算即可;

【解题过程】

(1)将点A(3,0),B(4,1)代入可得:

9a+36+35,解得：

14a+4b+3—1

故函数解析式为y=|x2-|x+3；

(2):抛物线与x轴的交点的纵坐标为0,

—|x+3=0,解得：xj=3f短=2,

・••点。的坐标为(2,0),取点E(1,0),作£尸〃A3交抛物线于点尸,

：Er>=A£)=l,.•.此时八PAB的面积是八DAB的面积的两倍,

,/直线AB解析式为y=尤-3,

.••直线EP为y=x-1,

7-V177+V17

y=x—1X=

22

由15,o解得•

y=-xz2——％+35-V175+V17

-22

22

5-V17-7+V175+V17

...点P坐标(目至，xZ

222

(3)如图2中，作3D_LO4于。.

VA(3,0),C(0,3),B(4,1),

：.OA=OC=3,AD=BD=\,

：.ZOAC=ZBAD=45°,

9

：ZOAF=ZBAD=45°f

：.ZEAF=90°,

・・・EF是八AEO的外接圆的直径,

・•・NEOF=9。。,

：.ZEFO=ZEAO=45°9

△EO尸是等腰直角三角形，

当OE最小时，△EOF的面积最小,

：OE_LAC时，。£最小，OC=OA,

:.CE=AE,O£=-AC=—,

22

|),SAEOF=^X^=l

.•.当△。斯的面积取得最小值时，面积的最小值为J,E点坐标《，

422

8.(20・21下扬州.一模)如图，抛物线与x轴交于A,2两点，点B坐标为(3,0)顶点尸的坐标为(1,—4),

以AB为直径作圆，圆心为。，过尸向右侧作OD的切线，切点为C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)请通过计算判断抛物线是否经过点C；

(3)设M,N分别为x轴，y轴上的两个动点，当四边形PNMC的周长最小时，请直接写出M,N两点的

坐标.

【思路点拨】

(1)可设顶点式，将顶点为4(1,-4),点B(3,0)代入求出抛物线的解析式；

(2)首先求出。点坐标，再利用CO等于圆。半径为;48=2,由cosNPOC=*=；=；,得出C点坐标

2PD42

即可，进而判断抛物线是否经过点C即可；

(3)作C关于x轴对称点。，尸关于y轴对称点P',连接P'C',与x轴，y轴交于"、N点，此时四边形

PNMC周长最小，求出直线P'C'的解析式，求出图象与坐标轴交点坐标即可.

【解题过程】

(1)解:设抛物线的解析式为y=a(x—无/+上把h=1,k=—4,代入得；y=a(x—1)2—4,

把％=3,y=0代入y=a(x-l)2-4,解得a=1,

抛物线的解析式为：y=(x-I)2-4,即：y=%2-2%-3；

(2)解:如图,

作抛物线的对称轴，

2

把y=0代入y=x-2x-3解得X1=-1,x2=3,

.，•A点坐标为(-1,0),

：.AB=|3-(-1)|=4,

.,.OD=2-1=1,

：.D点坐标为(1,0),而抛物线的对称轴为直线x=1,

...点。在直线x=1上，

过点C作CE1PD,轴，垂足分别为E,F,连接。C,

：PC是的切线，

：.PC1DC,在RtAPC。中

.・.cos乙PDC=—CP=-2=-1

PD42

:.乙PDC=60°,

解直角三角形C£)E,可得OE=1,CE=痘,

...(7点坐标为(百+1,-1),

把x—y/3+1代入y—x2—2x—3得：y=-1

.•.点C在抛物线上;

(3)解：如图2,作点C关于x轴的对称点。，点P关于y轴的对称点口，连接P。，分别交x轴，y轴于

M,N两点,

此时四边形PNMC的周长最小，

•••（7点坐标为（8+1,-1）,

点坐标为（g+1,1）,

的坐标为（1,一4）,

，「'的坐标为（一1,一4）,

代入y=kx+b中，［（8+l）k+b=l,

（—k+b=—4

则直线PC的解析式为：y=(-5V3+10)x-5V3+6,

当％=0,y=-5^3+6,

故N点坐标为：(0,-58+6),

当y=0,贝!JO=(-5V3+10)x-5V3+6,

故M点坐标为：（社产,0）.

9.（2122上・宜昌・期末）如图所示，对称轴为直线久=1的抛物线y=/+bx+c与x轴交于力、B两点，与

y轴交于点。（0,-2）,点P在抛物线对称轴上并且位于x轴的下方，以点P为圆心作过4B两点的圆，恰好使

得弧的长为OP周长的

(1)求该抛物线的解析式；

(2)求OP的半径和圆心P的坐标，并判断抛物线的顶点C与OP的位置关系；

(3)在抛物线上是否存在一点M,使得SMBM=3V3?若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存

在，请说明理由.

【思路点拨】

(1)根据二次函数的图像及性质，根据对称轴为x=l,得—/=—£=1,求出。=一2,把。(0,-2)代

入了二炉+板+的求得C=-2,即可求出抛物线的解析式.

(2)根据二次函数的解析式推出4(1一8,0),B(l+V3,o).从而得到。B=g+1.根据对称轴为x=1,

得到。E=l.SF=V3.连接P4PB.由勾股定理可得PE=1,PB=2,求出0P的半径为2,P的坐标

为(1,—1).根据抛物线y=/_2%-2=(x-I/-3,求出抛物线y=%2-2x-2的顶点坐标为(1,一3).得

到PC=2.所以推出点C在OP上

(3)设点时的坐标为(4。2-2(1-2),根据三角形的面积公式推出3*2百*|(12-2。一2|=3百，得到

|a2-2a—2|=3,①当a?—2a—2=3时，②当a?—2a—2=—3时，求出a的值，即可求得M点的坐

标.

【解题