三角形等高模型与鸟头模型（一）

4-37.三角形等高模型与鸟头模型

板块一三角形等高模型

我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底、高:2

从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积.

如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；

如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；

这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化.但是，当三角形的底和高同时发生

变化时，三角形的面积不一定变化.比如当高变为原来的3倍，底变为原来的,，则三角形面积与原来的一

3

样.这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化.同时

也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状.

在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论:

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

如左图S]:S?=。:6

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S&ACD=S&BCD；

反之，如果S*=S—，则可知直线AB平行于C”

④等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.

【例1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴3个面积相等的三角形；⑵4个面积相等的三角形;

（3）6个面积相等的三角形.

【例2】如图，8。长12厘米，。。长4厘米，B、C和。在同一条直线上.

（1）求三角形ABC的面积是三角形A3。面积的多少倍？

⑵求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？

A

BC

【例3】如右图，ABFE和CDEF都是矩形，筋的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的

面积是平方厘米.

【巩固】（2009年四中小升初入学测试题）如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是

平方厘米.

【巩固】如下图，长方形AFEB和长方形EDGE拼成了长方形长方形MCD的长是20,宽是12,则

它内部阴影部分的面积是.

【例4】如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABC。边上的中点，H为

AD边上的任意一点，求阴影部分的面积.

【巩固】图中的E、F、G分别是正方形ABC。三条边的三等分点，如果正方形的边长是12,那么阴影部

分的面积是.

【例5】长方形ABCD的面积为36,E、F、G为各边中点，”为AD边上任意一点，问阴影部分面积是

多少？

【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点尸，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分,

分别与尸点连接，求阴影部分面积.

【例6】如右图，E在上，AD垂直BC,AD=12厘米，DE=3厘米.求三角形ABC的面积是三角形

EBC面积的几倍？

【例7】如图，在平行四边形A8CD中，平行AC,连结BE、AE.CF、BE那么与△8EC等积的三角形

一共有哪几个三角形？

【巩固】如图，在△ABC中，。是BC中点，E是中点，连结BE、CE,那么与AABE等积的三角形一

共有哪几个三角形？

【巩固】如图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对?

【例8】如图，三角形的面积为1,其中AE=3AB,BD=2BC,三角形BDE的面积是多少？

【例9】如右图，AD=DB,AE=EF=FC,已知阴影部分面积为5平方厘米，AABC的面积是平

方厘米.

【巩固】图中三角形ABC的面积是180平方厘米，。是3c的中点，AD的长是AE长的3倍，E尸的长是跖

长的3倍.那么三角形田的面积是多少平方厘米？

【巩固】如图，在长方形中，丫是8D的中点，Z是DY的中点，如果AB=24厘米，3C=8厘米，求

三角形ZCT的面积.

【巩固】如图，三角形ABC的面积是24,D、E和尸分别是BC、AC和A。的中点.求三角形。跖的面积.

【巩固】如图，在三角形A8C中，3c=8厘米，高是6厘米，E、尸分别为A8和AC的中点，那么三角形

EBF的面积是多少平方厘米？

【例10］如图所示，A、B、C都是正方形边的中点，ACOD比A大15平方厘米。AAC®的面积为

平方厘米。

【例11］如图A8C。是一个长方形，点£、尸和G分别是它们所在边的中点.如果长方形的面积是36个平

方单位，求三角形EFG的面积是多少个平方单位.

【巩固】如图，长方形ABCD的面积是1,M是AD边的中点，N在AB边上，且2RV=3N.那么，阴影部

分的面积是多少？

【例12］如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形

组合而成.求阴影部分的面积.

AB

CD

【例13】图中A8CD是个直角梯形(ND4B=NA8C=90。)，以4D为一边向外作长方形ADEF,其面积为6.36

平方厘米。连接BE交AD于尸，再连接PC。则图中阴影部分的面积是()平方厘米。

(A)6.36(8)3.18(Q2.12(。)1.59

【例14］如图，3c是半径为6的圆。上的弦，且3c的长度与圆的半径相等，A是圆外的一点，Q4的长

度为12,且。4与3C平行，那么图中阴影部分的面积是o(7r=3.14)

【巩固】在下图中，A为半径为3的。。外一点。弦5C〃A0且BC=3。连结AC。阴影面积等于.（乃=3.14）

【例15］如图，三角形ABC中，DC=2BD,CE=3AE,三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形ABC

的面积是多少？

【例16］如图，在三角形ABC中，已知三角形ADE、三角形DCE、三角形BCD的面积分别是89,28,26.那

么三角形DBE的面积是.

【例17］如图，梯形ABC3被它的一条对角线BO分成了两部分.三角形B3C的面积比三角形的面积

大10平方分米.已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米.求梯形A8CO

的面积.

【例18】图中AA08的面积为15cm2,线段08的长度为。。的3倍，求梯形ABC。的面积.

【例19］如图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形.

【例20】一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%,黄色三角形面积是

.问：长方形的面积是多少平方厘米？

【例21］。是长方形ABCD内一点，已知AOBC的面积是5cm"公。钻的面积是2cm?,求AO应）的面积是

多少？

【例22］如右图，过平行四边形ABCD内的一点尸作边的平行线£F、G”,若APa）的面积为8平方分米,

求平行四边形PHCF的面积比平行四边形PG，石的面积大多少平方分米？

【例23］如右图，正方形ABCD的面积是20,正三角形ABPC的面积是15,求阴影的面积.

【巩固】如右图，正方形ABCD的面积是12,正三角形ABPC的面积是5,求阴影ABPD的面积.

【例24】在长方形ABCD内部有一点O,形成等腰AAO3的面积为16,等腰ADOC的面积占长方形面积的

18%,那么阴影AAOC的面积是多少？

【例25］如右图所示，在梯形ABCD中，E、F分别是其两腰AB、CD的中点，G是所上的任意一点，

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已知AADG的面积为15cm2,而ABCG的面积恰好是梯形ABCD面积的一，则梯形ABCD的面积

是________

【例26］如图所示，四边形ABCD与AEG尸都是平行四边形，请你证明它们的面积相等.

【巩固】如图所示，正方形45CD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米?

【例27］如图，正方形的边长为6,AE=1.5,C尸=2.长方形EFGH的面积为

H

A

E

G

B

【例28］如图，ABC。为平行四边形，平行AC,如果△ADE的面积为4平方厘米.求三角形CDF的面

积.

【巩固】如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交互于E,交ZM延长线于尸，若以,=1，求ABEF

的面积.

【例29】梯形ABCD中，AE与DC平行，SMBE=15,S^CF=.

【例30】图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米.

【例31］如图，有三个正方形的顶点D、G、K恰好在同一条直线上，其中正方形GEEB的边长为10厘米,

求阴影部分的面积.

DC

P

K

ABE

【巩固】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积.

【巩固】如图，A5CD与3G均为正方形，三角形ABH的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积

为•

【巩固】正方形A3C。和正方形CEFG,且正方形A2CD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米?

【巩固】已知正方形MCD边长为10,正方形3£FG边长为6,求阴影部分的面积.

【例32］于CF的三分之一，三角形田G的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEb的面积.

【例33】如下图，E、尸分别是梯形ABCD的下底和腰CD上的点，DF=FC,并且甲、乙、丙3个三

角形面积相等.已知梯形ABCD的面积是32平方厘米.求图中阴影部分的面积.

【例34］如图，已知长方形ADEF的面积16,三角形AD3的面积是3,三角形ACF的面积是4,那么三角

形ABC的面积是多少？

【例35］如图，在平行四边形ABCD中,BE=EC,CF=2FD.求阴影面积与空白面积的比.

B

【例36］如图所示，三角形ABC中，。是AB边的中点，E是AC边上的一点且他=3EC,O为DC与BE

的交点.若ACEO的面积为。平方厘米，AZ犯。的面积为6平方厘米.且8-。是2.5平方厘米，那

么三角形ABC的面积是平方厘米.

【例37］如图，在梯形ABCD中，AD:BE=4:3,3E:EC=2:3,且ABOE的面积比AAOD的面积小10平

方厘米.梯形ABCD的面积是平方厘米.

【巩固】如图，是梯形ABCD的一条对角线，线段AE与DC平行，AE与相交于。点.已知三角形

3OE的面积比三角形AOD的面积大4平方米，并且EC=yBC.求梯形MC。的面积.

ADAD

【例38】如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13,35,49.那么图中阴影

部分的面积是多少？

【例39]图中是一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形.将它的短直角边对折到斜边上

去与斜边相重合，那么图中的阴影部分（即未被盖住的部分）的面积是多少平方厘米？

【例40】如图，长方形MCD的面积是2平方厘米，EC=2DE,尸是DG的中点.阴影部分的面积是多少

平方厘米？

【例41]如图，三角形田地中有两条小路隹和CF,交叉处为。，张大伯常走这两条小路，他知道。尸=OC,

且AD=2DE.则两块地ACF和CFB的面积比是.

【例42］如图，BC=45,AC=21,AABC被分成9个面积相等的小三角形，那么a+m=

【巩固】如图，在角MON的两边上分别有A、C、E及B、D、尸六个点，并且AQ45、\ABC.NBCD.

ACDE、AD£F的面积都等于1,则ADCF的面积等于.

【例43】分别为直角梯形ABCD两边上的点，且DQ、CP、ME彼此平行，若AD=5,3C=7,AE=5,

EB=3.求阴影部分的面积.

【例44】已知ABC为等边三角形，面积为400,D、E、P分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为

143,求阴影五边形的面积.（丙是三角形HBC）

A

【例45］如图，已知CD=5,DE=1,E产=15,FG=6,线段AB将图形分成两部分，左边部分面积是

38,右边部分面积是65,那么三角形4X7的面积是.

【巩固】如图，点。、E、尸在线段CG上，已知CD=2厘米，QE=8厘米，£F=20厘米，AG=4厘米,

将整个图形分成上下两部分，下边部分面积是67平方厘米，上边部分面积是166平方厘米，则

三角形ADG的面积是多少平方厘米？

【例46］如图，正方形的边长为10,四边形瓦G”的面积为5,那么阴影部分的面积是

【巩固】如图，正方形的边长为12,阴影部分的面积为60,那么四边形EFG”的面积是

【例47］如图所示，长方形MCD内的阴影部分的面积之和为70,AB=8,49=15,四边形EFGO的面

积为.

【巩固】如图所示，矩形ABCD的面积为24平方厘米.三角形ADM与三角形BCN的面积之和为7.8平方

厘米，则四边形PMON的面积是平方厘米.

【巩固】如图所示，矩形ABCD的面积为36平方厘米，四边形PMON的面积是3平方厘米，则阴影部分的

面积是平方厘米.

【巩固】如图，长方形ABCD的面积是36,E是AD的三等分点，AE=2£D,则阴影部分的面积为

【例48］如图，如果长方形ABC。的面积是56平方厘米，那么四边形MVP。的面积是多少平方厘米?

DQ3C

AN6B

【例49］如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为10cm的正方形，则阴影部分四边形的面积是

cm2.

【巩固】如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为12厘米的正方形，则阴影部分四边形的面积是多少平方

厘米？

DGC

【巩固】已知正方形的边长为EC=3BF=2,四

10,f贝！ISI边-

【例50]如图，三角形AEF的面积是17,DE、所的长度分别为11、3.求长方形ABCD的面积.

【例51]如图，长方形ABCD中，AB=61,3c=30.E、尸分别是心5C边上的两点，BE+BF=49.3P

么，三角形DER面积的最小值是.

【例52】ABCD是边长为12的正方形，如图所示,尸是内部任意一点，BL=DM=4、BK=DN=5,那

么阴影部分的面积是.

【例53］如图所示，在四边形A3CD中，E,F,G,4分别是各边的中点，求阴影部分与四边形

PQRS的面积之比.

【巩固】如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，FG与FH交于点O,5、S?、员及此

分别表示四个小四边形的面积.试比较'+S3与$2+S4的大小.

【例54］如图，四边形ABCD中，DE:EF:FC=3:2:1,BG:GH:AH=3:2:1,AD:BC=1:2,已知四边

形ABCD的面积等于4,则四边形EFHG的面积=

【拓展】如图，对于任意四边形/WCO,通过各边三等分点的相应连线，得到中间四边形EFGH,求四边形

EFGH的面积是四边形ABCD的几分之几？

【例55】有正三角形ABC,在边AB、BC、C4的正中间分别取点乙、M.N,在边A£、BM、CN上

分别取点P、Q、R,使LP=MQ