人教版高中数学选择性必修第一册 圆锥曲线之双曲线 讲义

二.双曲线

双曲线的定义

我们把平面内与两个定点耳,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于］耳心|)的点的轨

迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

图形

标准方程2222

鼻-2=l(a>0,b>0)--z-=1(。>0?/7>0)

abab

范围xe(-oo,-tz][a,+oo)ywRye(-oo,-6i][tz,+oo)xeR

顶点坐标

半轴长

离心率c

e--

a

对称性

b、c的关系

通径

焦点三角形

与双曲线有关的二级结论:

1.Fi、F2为双曲线的焦点，P为双曲线上一点，则△PF1F2为焦点三角形，/FIPF2=6焦点三角形的面积:

b2

SAP%-e

tan

2

2.已知A、B是椭圆二一二=1上两个不重合的两点，P为弦AB的中点，则有左

aba

3.设圆锥曲线C的焦点F在x轴上，过点F且斜率为％的直线/交曲线C于A、B两点，若AE=XFF(X>O),

则e=Jl+左2|3|

X+1

22

4.过椭圆外一点P（xo,yo）作椭圆与―1=1的切线，则切点弦的方程为半—登=1

abab

>双曲线基本运算

2

例1焦点为（0,6）,且与双曲r线=1有相同的渐近线的双曲线方程是（）

x2y21y2x21y2x2.x2y2.

A.-------二1B.-------二lC.-----------1D.-------二1

1224122424122412

r2

例2双曲线一-V2=1的顶点到其渐近线的距离等于（）

4

244V5

A.-B.-D.----

555

22

xy=1的离,心率为V巨5,

例3双曲线C：则C的渐近线方程为（)

林一昂2

111

A.y=±—xB.y=±-xC.y=±—xD.y=±x

"432

x2y2y2x2

例4已知o<e<一,则双曲线ci：1与C2：=1的（）

4COS261sin20sin23cos23

A.实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D.离心率相等

>离心率问题

V2y2_V3V2y2

例1若椭圆一+R=1的离心率为,则双曲线・=1的离心率为（）

a~Ta

5V53V5

A.-B.——c.一D.—

4224

例2双曲线二-当=1的左右焦点分别为Fi、F2,过FI作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF?

ab

垂直于X轴，则双曲线的离心率为（）

A.-\/6B.y/3C.V2D.

3

例3已知Fi、F2是双曲线的两个焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MFi的中点在双曲线上，则

双曲线的离心率为（）

A.4+273B.V3-1C.D.V3+1

2

22

例4设直线％-3y+机=0（根w0）与双曲线T-斗=l两条渐近线分别交于点A、B,若点P（m,0）满足PA=PB,

ab

则该双曲线的离心率为

22

例5双曲线鼻-2r=1的两个焦点为Fl、F2.若P为其上一点，且PF1=2PF2,则双曲线离心率的取值范围是（）

ab

A.(1,3)B.(l,3]C.(3,+8)D.[3,+OO)

例6如图，Fi、F2是椭圆G：£+/=l与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是Ci，C2在第二、四象限的公

共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率为（）

A.V2

3V6

C.一D.——

22

例7已知Fi、F?是两个定点，点P是以Fi和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1LPF2,,建2

分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有()

11“11c

A-7+?B广

C.e；+e；=4D.e；+e；=2

TT

例8已知Fi、F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且/FIPF2=—,则椭圆和双曲线的离心

3

率的倒数之和的最大值为()

C.3D.2

例9已知双曲线二-4=1的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只一个交点,

ab

则此双曲线的离心率的取值范围是()

A.(l,2]B.(l,2)C.[2,+oo)D.(2,+oo)

22

例10斜率为2的直线1过双曲线1-3=1的右焦点F且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线离心率的

ab

取值范围是()

A.(l,2)B.(1,V3)C.(1,V5)D.(V5,+oo)

例11Fi、F?是双曲线C：三一鼻=1的两个焦点，P是C上一点，若PFi+PF2=6a,MAPF1F2的最小内角为30°,

ab

则C的离心率为

>双曲线有关的最值

例1若点A坐标为(2,2),F2是双曲线3=1的右焦点，点p为双曲线的动点，则

(1)P在双曲线右支，则PA-PF2的范围是

(2)P在双曲线左支，则PA+PF2的最大值是

例2已知尸是双曲线土一上=1的左焦点，尸是双曲线右支上的动点，若A(l,4),则|PF|+|B4|的最小值

412

是.

例3已知点P为双曲线.e=1右支上的一点,分别是圆(x+5)2+/=4和(x—5)2+)?=1上的点,

则||-1PN|的最大值为.

>多选压轴题

22

(多选)1.已知F1,R分别为双曲线二—二=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过点放的直线与双曲线的

ab

右支交于A,B两点,记△AB"的内切圆的半径为打，△5人方2的内切圆。2的半径为r2.若双曲线的离

心率e=2,则下列说法正确的是()

A.以013为直径的圆与直线A3相切

B.nn=cr

C.01,。2在直线冗=〃上

D.厂i+f2的范围是［2。,2石。)

（多选）2.如图，O为坐标原点，F1,尸2分别为双曲线C：V—5=1的左、右焦点，过双曲线C右支上一

点尸作双曲线的切线/分别交两渐近线于A、B两点，交x轴于点。，则下列结论正确的是（

A.\AB\min=2b

=

B.S/\AOB2,S/^AOP

C.S/\AOB=2.b

D.若存在点尸，使得SQ*=屈，且耳B=2DF2,

则双曲线C的离心率为2或逅

2

22

（多选）3.已知为，放分别为双曲线C：靛一铲=1（。>0,6>0）的左、右焦点，尸为双曲线C的渐近线

在第一象限部分上的一点,线段尸正2与双曲线交点为。，且「1P|=|尸1五2|=2|尸尸2|,0为坐标原点，则下列结

论正确的是（）

B.双曲线C的离心率6=空

A.\OP\=2a

3

12-V622

C.\QFi\=---aD.若△。乃R的内心的横坐标为3,则双曲线C的方程为'■-言=1

22

（多选）4.已知双曲线「：工—2T=1（G>0,6>0），左焦点为尸，左右顶点分别为4、A2,B（0,b），

ab

P是「右支上一动点，且1Ppi+|PB|的最小值为（百+2）a,P关于x轴的对称点为0,则下列结论正确的是（）

A.「的离心率为2B.PAiLAxQ

C.sinZQPAi=sinNQAiAiD.4\PB\^^6\PQ\

22I/

（多选）5.已知为，放是双曲线C:二-二=1的左、右焦点，A（亚■」）是C上一点，若C的离心率为名©,

ab223

连结A尸2交。于点5,则（）

A.C的方程为餐一/=1

B.ZFIAF2=90°

C.△HA尸2的周长为2百+2

D.△ABFi的内切圆半径为石-

（多选）6.双曲线C：---匕=1的左、右焦点分别为乃，F2,过点R的直线与双曲线右支交于A、8两点,

45

△AF1F2和△8HF2内切圆半径分别为ri和不，则（）

A.双曲线C的渐近线方程为2x土店》=0

B.△AFLB面积的最小值为15

C.△4为正2和△BF由2内切圆圆心的连线与无轴垂直

D.ri・r2为定值1

22

xy

（多选）7.双曲线C：靛一铲=1的左、右焦点分别为乃，F2,倾斜角为60°的直线/过双曲线C