人教版高中数学必修第一册讲义：集合间的基本关系

三集合与集合的关系

【考纲解读】

1、理解子集和真子集的定义；掌握子集，真子集的性质及其表示的基本方法，了解子集与

真子集之间的联系和区别；

2、理解集合相等的定义，掌握集合相等的性质及其表示的基本方法，能够运用子集，真子

集和集合相等的性质解答相关的数学问题。

【知识精讲】

一、集合与集合的包含关系：

1、子集：

（1）子集的定义：设A、B是两个非空集合，如果对任意的xeA,都有xeB,那么称集合

A是集合B的子集；也可以说成集合A包含于集合B（或集合B包含集合A）；

（2）子集的表示：用符号“7”表示子集，读作“包含于”，用符寻“7”表示不是子

集，读作“不包含于”；

规定：空集是任何集合的子集，即对任意的集合A,都有07A；

（3）子集的性质：①空集是任何集合的子集（即对任意的集合A,都有07A）；②子集

具有传递性（即若A^B,BcC,则A7C）；③若A7B,则ACB=A；④含有n个元素

的有限集合的子集个数为2"个。

2、真子集：

（1）真子集的定义：设A、B是两个非空集合，如果对任意的xeA,都有xeB,且存在x0eB.

但与生A,那么称集合A是集合B的真子集；也可以说成集合A真包含于集合B（或集合B

真包含集合A）；

（2）真子集的表示：用符号“u”表示真子集，读作“真包含于"，用符号“u”表示不

是真子集，读作“不真包含于"；

（3）真子集的性质：①空集是任何非空集合的真子集（即对任意的非空集合A,都有0uA）；

丰

②真子集具有传递性（即若AuB,BuC,则AuC）；③含有n个元素的有限集合的真子集

个数为（2"-1）个。

（4）真子集与子集的关系：①真子集一定是子集；②子集不一定是真子集。

二、集合与集合的相等关系:

1、集合与集合相等的定义：

如果集合A、B满足：A^B,且B^A,则称集合A与集合B相等；

2、集合与集合相等的表示：

用符号“=”表示集合与集合的相等关系，例如集合A与集合B相等可表示为A=B。

【探导考点】

考点1集合与集合的包含关系：热点①给出集合A,B,判断集合A,B的包含关系；热点②

给定集合A,全集U,且B^U,AcB,求满足条件的集合B的个数；热点③给出集合A,

B,已知AjB,求集合B中参数的值（或取值范围）；

考点2集合与集合的相等关系：热点①给出集合A,B,判断集合A,B的相等关系；热点②

给出集合A,B,已知A=B,求集合A,B中参数的值（或取值范围）。

【典例解析】

【典例1］解答下列问题：

1、在下列各式中错误的个数是（）@ie{0,1,2）；②⑴e{0,1,2）；®{0,1,2}口{0,

1,2}；@{0,1,2}={2,0,1）.

AIB2C3D0

2、己知集合A={x|x是菱形},B={x|x是正方形},C={x|x是平行四边形},那么A,B,C

之间的关系是（）

AA一cBc一CBB鼠一A=一CCAc丰zBo一C

3、若集合A={-1,0},B={0,1,x+2}集合A,B

的关系如图所示，则实数x的值为；

4、己知集合A={（x,y）|x+y=2,x,yeN）,则A的所有子集个数为；

5、设集合P是大于1且小于6的所有质数组成的集合，则集合P的子集的个数是（）

A8个B7个C6个D4个

6、已知集合后{（x,y）|3x+4yT2<0,x,yeN*}，则集合M的真子集的个数是（

A8个B7个C6个D4个

7、已知集合A={x|lWxV5},集合C={x|-aVxWa+3},若C鼠A,则a的取值范围为()

3Baw]

A--<a^-lC

2

8、集合M={x|x=3k-2,keZ},P={y|y=3n+1,,neZ},S={z|z=6m+1,,meZ}之间的关系

是()

ASuPuMBS=PuMCSuP=MDP=MuS

wwwww

9、已知集合M={(x,y)x+y<0,xy>0},P={(x,y)|x<0,y<0},则M,P的关系是,_；

10、设人={x|X2-3X+2=0),B={x|x+2>a}，如果A口B,求实数a的取值范围；

11、已知集合人={x|0<ax+1^5},B={x|-—<x^2).

2

(1)若A7B,求实数a的取值范围；

(2)若B7A,求实数a的取值范围；

(3)A,B能否相等？若能求出实数a的值；若不能说明理由。

12>已知集合人={x|ax2-3x+2=0,aeR).

(1)若A是空集，求实数a的取值范围；

(2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素求出来；

(3)若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围。

『思考问题1』

(1)【典例1】是集合与集合包含关系的问题，解答这类问题需要理解子集，真子集的定义,

掌握子集，真子集的性质；

(2)集合与集合的包含关系包括：①子集；②真子集；解答问题时需要注意子集与真子集

之间的关系；

(3)注意空集的特殊性，在具体问题中，如果没有说明集合非空，则应该考虑空集的可能

性，尤其是问题中涉及到A^B时，一定要注意分A=0和A/0两种情况来考虑；

(4)对含有参变量的集合问题，应该对参变量的可能取值进行分类讨论，同时还应注意分

类标准的确定，作到分类合理，不重复不遗漏。

〔练习1)解答下列问题：

1、设集合P是大于1且小于8的所有奇数组成的集合，则集合P的子集的个数是()

A8个B7个C6个D4个

2、已知集合M={(x,y)|3x+4yT2V0,x,yeN*},则集合M的真子集的个数是()

A8个B7个C6个D4个

3、集合A={1,3,x},B={1,x2},且BQA,则满足条件的实数x的个数为()

A1B2C3D4

4、已知集合A={x|V-x-ZVO},B={x|TVxVl},则()

AA(zBBBeACA=BDAOB=0

5、设八={x|X2-4X+3=0),B={x|x+2>a}，如果A口B,求实数a的取值范围；

6、设A={x|-l<x<3},B={x||x|>a},如果A口B,求实数a的取值范围.

【典例2］解答下列问题：

1、若集合A={-1,4},集合B={x|%2_3X-4=0},则集合A,B的关系是=

2、己知集合人={a+2,(a+1)2,/+3a+3},曲{0},若A=B,则实数a的值是()

A0BIC2D3

3、设集合A={x,y},B={0,x2},若A=B,则实数x=,y=；

4、己知集合八={a,—,1),B={a1,a+b,0).若A=B,求：a”09+8刈°的值。

a

『思考问题2』

(1)【典例2】是集合与集合相等的问题，解答这类问题需要理解集合相等的定义，掌握

集合相等的性质；

(2)对含有参变量的集合相等问题，应该对参变量的可能取值进行分类讨论，注意参数分

类讨论的原则和基本方法。

(练习2)解答下列问题：

1、若集合A={2,3},集合B={X|%2_5X+6=0},则集合A,B的关系是。

2、设集合A={2,x,y},集合B={2x,y2,2),若八=8,求实数x,y的值。

3、设八={7,0,a2-2a+2),B={a-3,a2~2a+4,5},如果A=B,求实数a的值。

【典例3］解答下列问题：

1、下列集合为空集的是()

A{x|x1+3=3}B{(x,y)|y=-x1,x,yeR}C{x|-x2>0}D{x|x2-x+l=0,xeR}

2、下列说法：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集;

④若0uA,则AW0。其中正确的有()

丰

A0个B1个C2个D3个

3、已知0u{x|%2_x+a=0},则实数a的取值范围是。

丰

『思考问题3』

(1)【典例3】是与空集相关的问题，解答这类问题需要理解空集的定义，分辨清楚空集和

数0之间的关系；

(2)空集是指没有元素的集合，它虽然没有元素，但它是一个集合，它的子集只有一个就

是它本身，由此可以得出以空集为真子集的集合一定不是空集。

(练习3)按要求解答下列各题：

1、下列集合为空集的是()

A{x|x1+1=1}B{(x,y)y=x2,x,yeR}C{x|-|x|>0}D{x|x2-x+2=0,XGR})

2、己知0u{x|f一ax+l=0},则实数a的取值范围是。

【雷区警示】

【典例4］解答下列问题：

2

1、已知集合A={x|X-2x-8=0},B={x|ax=l),若B^A,则满足条件的实数a的值是0

2、已知集合八={a,—,1),B={a,a+b,0).若A=B,求：a"'09+Z/"。的值。

a

『思考问题4』

(1)【典例4】是解答集合与集合关系问题时，容易触碰的雷区。该类问题的雷区主要包

括：①求解集合与集合包含关系问题时，忽视空集是任何集合的子集，导致解答问题出现错

误；②求解集合相等问题时，忽视集合元素的基本性质，导致解答问题出现错误；

(2)解答集合与集合关系问题时，为避免求解集合与集合包含关系问题时，忽视空集是任

何集合子集的雷区，对问题中含有参数的集合需要从集合是空集和集合不是空集两种情况分

别求解，避免漏解的情况发生；

(3)解答集合与集合关系问题时，为避免求解集合相等问题时，忽视集合元素基本性质的

雷区，需要理解并掌握集合元素的基本性质，尤其注意集合元素的互异性。

（练习4）解答下列问题：

1、已知集合A={xeR|a%2_3x+2=0},B={1},若AjB,则实数a的取值范围是。

2、设a,beR,集合A={1,a+b,a},集合B={0,—,b},若人=3,则b-a=___。

a

【追踪考试】

【典例5]解答下列问题：

1、设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A^B,则a=（）（2023全国高考新高考H）

2

A2B1C-D-1

3

2、已知集合八={0,z},B={0,2,4},若AcB,则实数z的值为（）（成都市2020高

三三诊）

A0或2B0或4C2或4D0或2或4

3、（理）设集合A={X|X2-4W0},B={x|2x+aW0},且ACB={x」-2WxWl},则a=（）

A-4B-2C2D4

（文）已知集合八二{xjX2-3X-4<0},B={-4,1,3,5）,则AAB=（）

A{-4,1}B{1,5}C{3,5}D{1,3}

4、已知集合八={x|X2-2X>0],B={X|-A/5<X<A/5}，则（）

AAAB=0BAUB=RCAcBDB口A

『思考问题5」

（1）【典例5】是近几年高考（或高三诊断考试或高一上期期末调研考试）试卷中关于集合

与集合关系的问题，归结起来主要包括：①判断集合与集合关系；②已知集合与集合的关系,

求满足一定条件集合的个数；③已知集合与集合的关系，求集合中参数的值（或取值范围）

等几种类型；

（2）解答问题的基本方法是：①判断问题属于哪一种类型；②根据该种类型问题的解题思

路和解答方法对问题实施解答；③得出问题的解答结果。

（练习5）解答下列问题：

1、己知集合A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},D={x|x是

菱形},贝I（）

AA[BBCoBCD鼠CDAoD

2、己知集合人={xx1-x-2<0},B={x|T<x<l},贝!J()

AA口BBB口ACA=BDAAB=0

3、已知集合14={0,32,3,4},N={1,3,5},P=MAN,则P的子集共有()

A2个B4个C6个D8个

三集合与集合的关系

【考纲解读】

3、理解子集和真子集的定义；掌握子集，真子集的性质及其表示的基本方法，了解子集与

真子集之间的联系和区别；

4、理解集合相等的定义，掌握集合相等的性质及其表示的基本方法，能够运用子集，真

子集和集合相等的性质解答相关的数学问题。

【知识精讲】

一、集合与集合的包含关系：

1、子集：

(1)子集的定义：设A、B是两个非空集合，如果对任意的xeA,都有xeB,那么称集合

A是集合B的子集；也可以说成集合A包含于集合B,或集合B包含集合A；

(2)子集的表示：用符号“口”表示子集，读作包含于，用符号“丞”表示不是子集，

读作不包含于；

规定：空集是任何集合的子集，即对任意的集合A,都有07A；

(3)子集的性质：子集有如下性质：①空集是任何集合的子集(即对任意的集合A,都

有07A)；②子集具有传递性(即若A=B,BcC,则A=C)；③若A7B,则An：B=A；

④含有n个元素的有限集合的子集个数为2"个。

2、真子集：

（1）真子集的定义：设A、B是两个非空集合，如果对任意的xeA,都有xeB,且存在与eB，

但^^A,那么称集合A是集合B的真子集；也可以说成集合A真包含于集合B,或集合B真

包含集合A；

（2）真子集的表示：用符号表示真子集，读作真包含于，用符号“号”表示不是真

子集，读作不真包含于；

（3）真子集的性质：真子集具有如下性质：①空集是任何非空集合的真子集（即对任意的非

空集合A,都有0uA）；②真子集具有传递性（即若AuB,BuC,则AuC）；③含有n个

WWWW

元素的有限集合的真子集个数为（2"-1）个。

（4）真子集与子集的关系：①真子集一定是子集；②子集不一定是真子集。

二、集合与集合的相等关系：

1、集合与集合相等的定义：

如果集合A、B满足：A^B,且B^A,则称集合A与集合B相等；

2、集合与集合相等的表示：

用符号“=”表示集合与集合的相等关系，例如集合A与集合B相等可表示为A=B。

【探导考点】

考点1集合与集合的包含关系：热点①给出集合A,B,判断集合A,B的包含关系；热点②

给定集合A,全集U,且B^U,AcB,求满足条件的集合B的个数；热点③给出集合A,

B,已知AjB,求集合B中参数的值（或取值范围）；

考点2集合与集合的相等关系：热点①给出集合A,B,判断集合A,B的相等关系；热点②

给出集合A,B,已知A=B,求集合A,B中参数的值（或取值范围）。

【典例解析】

【典例1］解答下列问题：

1、在下列各式中错误的个数是（）@ie{0,1,2）；②⑴e{0,1,2）；®{0,1,2}口{0,

1,2}；@{0,1,2}={2,0,1）.

AIB2C3D0

【解析】

【知识点】①元素与集合的关系；②集合与集合的关系。

【解题思路】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系，结合问题条件对各式的正确与错

误进行判断就可得出选项。

【详细解答】由元素与集合的关系，集合与集合的关系可知，①正确，②错误，③错误,

④正确；=>B正确，，选B。

2、已知集合A={x|x是菱形},B={x|x是正方形},C={x|x是平行四边形},那么A,B,C

之间的关系是()

AA一^Bc一C一B一BcA^CC丰一AuBqCD一A=BcC

【解析】

【知识点】①集合与集合的关系；②平行四边形，菱形，正方形之间的关系。

【解题思路】根据平行四边形，菱形，正方形之间的关系，确定出集合A,B,C之间的关系

就可得出选项。

【详细解答】•.■集合A={x|x是菱形},B={x|x是正方形},C={x|x是平行四边形},

BcAcC,=>B正确，，选B。/

3、若集合A={-1,0},B={0,1,x+2}集合A,B/B\

的关系如图所示，则实数x的值为________；、厂')

［解析］丫

【知识点】①元素与集合的关系；②集合与集合的关系。

【解题思路】由图可知A7B,=>-1eB,=>x+2=-l,=>x=-3。

【详细解答】\.由图可知A7B,TeB,=>x+2=-l,x=-3o

4、己知集合A={(x,y)|x+y=2,x,yeN),则A的所有子集个数为；

【解析】

【知识点】①集合的表示的基本方法；②子集的定义与性质。

【解题思路】根据集合表示的基本方法和子集的性质，结合问题条件确定出集合A的元素，

出而求出集合A子集的个数。

【详细解答】A={(x,y)x+y=2,x,yeN}/.A={(0,2),(1,1),(2,0)},n集

合A的子集个数为8。

5、设集合P是大于1且小于6的所有质数组成的集合，则集合P的子集的个数是()

A8个B7个C6个D4个

【解析】

【知识点】①质数定义与性质；②子集定义与性质。

【解题思路】根据质数和子集的性质，结合问题条件确定出集合P的元素，出而求出集合P

子集的个数就可得出选项。

【详细解答】•.•集合P是大于1且小于6的所有质数组成的集合，，P={2,3,5},n

集合P的子集个数为8个，nA正确，，选A。

6、已知集合1\1={(x,y)|3x+4y-12<0,x,yeN*},则集合M的真子集的个数是()

A8个B7个C6个D4个

【解析】

【知识点】①集合表示的基本方法；②真子集的定义与性质。

【解题思路】根据集合表示的基本方法和真子集的性质，结合问题条件确定出集合M的元素,

出而求出集合M真子集的个数就可得出选项。

【详细解答】,集合M={(x,y)|3x+4yT2<0,x,yeN*},.•.集合M的元素是平面直角坐

标系内的点，点的坐标由3x+4yT2<0,x,yeN*确定，=>M={(1,1),(1,2),(2,1)},

.•.集合A的真子集个数为7,0B正确，，选B。

7、已知集合人=6|1・乂<5},集合C={x|-a<xWa+3},若C口A,则a的取值范围为()

333

A一一VaWTBaW--CaWTDa>——

222

【解析】

【知识点】①集合表示的基本方法；②子集的定义与性质；③求解不等式组的基本方法。

【解题思路】根据集合表示的基本方法和子集的性质，结合问题条件得到关于a的不等式组,

运用求解不等式组的基本方法，求解不等式组求出a的取值范围就可得出选项。

【详细解答】,集合A={x|lWx<5},集合C={x|-a<xWa+3},若C口A,IW-a①，

3

a+3〈5②，-a<a+3③，联立①②③解得：〈aWT,nA正确，，选A。

2

8、集合M={x]x=3k-2,keZ},P={y|y=3n+1,,neZ},S={z|z=6m+1,,meZ}之间的关系

是()

ASuPuMBS=PuMCSuP=MDP=MuS

WWAHA

【解析】

【知识点】①集合表示的基本方法；②子集的定义与性质。

【解题思路】根据集合表示的基本方法和子集的性质，结合问题条件确定出结合s,P,M

的关系就可得出选项。

【详细解答】,集合M={x|x=3k-2,keZ}={x|x=3k+1,keZ},,P={y|y=3n+1,,neZ),

S={z|z=6m+1,,m^Z}SuP=M,=>C正确，.•.选C。

9、已知集合M={(x,y)|x+y<0,xy>0],P={(x,y)|x<0,y<0},则M,P的关系是_；

【解析】

【知识点】①集合表示的基本方法；②子集定义与性质。

【解题思路】根据集合表示的基本方法和子集的性质，结合问题条件就可确定出集合M,P

的关系。

【详细解答】M={(x,y)|x+y<0,xy>0}={(x,y)|x<0,y<0},P={(x,y)|x<

0,y<0}集合P=Mo

10、设八={x|X2-3X+2=0),B={x|x+2>a},如果A口B,求实数a的取值范围；

【解析】

【知识点】①集合表示的基本方法；②子集定义与性质；③求解一元二次方程的基本方法；

④求解一元一次不等式的基本方法。

【解题思路】根据集合表示的基本方法和子集的性质，结合问题条件得到关于a的不等式，

求解不等式就可求出实数a的取值范围。

【详细解答】•.•集合A={X|%2-3X+2=0}={1,2},B={x|x+2>a}={x|x>a-2},A£B,

a-2^1,=>aW3,.•.实数a的取值范围是(-8,3]。

11、已知集合八={x|0<ax+1^5},B={x|-L<XW2}.

2

(1)若A7B,求实数a的取值范围；

(2)若B7A,求实数a的取值范围；

(3)A、B能否相等？若能求出实数a的值；若不能说明理由。

【解析】

【知识点】①集合表示的基本方法；②一元一次不等式定义与性质；③参数分类讨论的原则

与方法；④子集定义与性质。

【解答思路】根据一元一次不等式的性质和参数分类讨论的原则与基本方法，化简集合A,

结合问题条件得到关于参数a的不等式组(或方程)，求解不等式组(或方程)就可求出实

数a的取值范围(或值)。

.141

【详细解答】(1)①当a>0时，*/A={x|0Vax+lW5}二{x|--<x<—},B={x|-—<

aa2

114

x<2},AoB,/.--N--①，一《2②，a>0③，联立①②③解得：a>2；②当a=0

a2a

时，•「A={x|0Vax+lW5}=R,B={x|-—<x^2},显然AuB不成立；③当aVO时，•/A

2—

411411

={x10Vax+1W5}二{x|—<xV—},B—{x|——VxW2},AczB,..—N—①，—

aa2~a2a

<2@,aVO③，联立①②③解得：a<-8,・,•综上所述，当AqB时，实数a的取值范围是(-

oo,-8]U[2,+oo)；

141

(2)①当a>0时，A={x|0Vax+l<5}={x[—<x<—},B={x|一-VxW2},BoA,

aa2一

114

J<--①，一22②，a>0@,联立①②③解得：0Va<2；②当a=0时，vA={x|0

a2a

4

Vax+1<5}=R,显然BuA不成立；③当aVO时，:A={x10Vax+1W5}={x[—<x

_a

<--},B={x|--<x^2],BqA,・・•巴V」①，,“②，a<0@,联立①②③解

a2ala

得：-L<a<0,.,.综上所述，若BuA,则实数a的取值范围是0)U(。，2]；

2—2

141

(3)设A=B能成立，①当a>0时，*/A={x|0Vax+lW5}={x|—<x<—},B={x|--

aa2

114

VxW2},A二B,二・—二--①，一二2②，a>0(3),联立①②③解得：a=2；②当a=0时，*/A=

a2a

{x|0Vax+lW5}=R,B={x|--<x^2),显然A二B不成立；③当aVO时，:A={x10V

411411

ax+lW5}={x|—<x<—},B={x|<xW2},A=B,—=—①，—=2②，a<0

aa2a2a

③，此时无解，，综上所述，存在实数a=2,使A=B成立。

12、已知集合人={x|ax2-3x+2=0,aGR).

(1)若A是空集，求实数a的取值范围；

(2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素求出来；

(3)若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围。

【解析】

【知识点】①集合表示的基本方法；②一元二次方程根的判别式及运用；③空集定义与性质；

④参数分类讨论的原则和基本方法。

【解答思路】根据空集的性质，运用一元二次方程根的判别式，得到关于参数a的不等式(或

方程），求解不等式（或方程）就可求出实数a的取值范围（或值）。

【详细解答】（1）・.•集合A是空集，，方程a%?—3x+2=0,awR没有实数根，①当a=0时，

2

•/ax2-3x+2=0,O-3x+2=0,=>x=一与题意不符合；②当aWO时，•.•方程a-—3x+2=0

3

Q

没有实数根，..・A=9-8a<0,=>a>—,「・综上所述，当集合A是空集时，实数a的取值

8

9

范围是（一，+8）；（2）若集合A中只有一个元素，①当a=0时，・.・a%2_3x+2=0,O-3x+2=0,

8

2

二>x=一与题意符合；②当aWO时，•.,a%2—3x+2=0有两个相等的实数根，JA=9-8a=O,

3

9一9

二>@二一，...综上所述，当集合A中只有一个兀素时，实数a=0或a=一；（3）当集合A中

88

9

至多有一个元素时，由（1）,（2）可知，实数a的取值范围是［―,+8）或{0}。

8

『思考问题1』

（1）【典例1】是集合与集合的关系问题，解答这类问题需要理解子集，真子集，集合相等

的定义，掌握子集，真子集的性质；

（2）集合与集合的关系包括：①包含关系，包含关系中又涉及到子集和真子集两种情况，

注意子集与真子集之间的关系；②相等关系，两个集合相等的充分必要条件是它们的元素完

全一样，解答相关问题时要特别注意这个充分必要条件，同时还要注意集合元素的互异性和

无序性；

（3）注意空集的特殊性，在具体问题中，如果没有说明集合非空，则应该考虑空集的可能

性，尤其是问题中涉及到A^B时，一定要注意分A=0和A/0两种情况来考虑；

（4）对含有参变量的集合问题，应该对参变量的可能取值进行分类讨论，同时还应注意分

类标准的确定，作到分类合理，不重复不遗漏。

〔练习1）解答下列问题：

1、设集合P是大于1且小于8的所有奇数组成的集合，则集合P的子集的个数是（）

A8个B7个C6个D4个（答案：A）

2、已知集合1«={5,丫）|3x+4y-12<0,x,yeN*},则集合M的真子集的个数是（）

A8个B7个C6个D4个（答案：B）

3、集合A={1,3,x},B={1,x2},且B^A,则满足条件的实数x的个数为（）

A1B2C3D4（答案：C）

4、已知集合A合x|%2--2<0}。=G|-1<*<1},则（）（答案：B）

AAuBBBuACA=BDAAB=0

5、设原{x|X2-4X+3=0）,B={x|x+2>a}，如果A£B,求实数a的取值范围；（答案：

实数a的取值范围是（-8,3］）

6、设人={x|-l<x<3},B={x||x|>a},如果A口B,求实数a的取值范围.（答案：实

数a的取值范围是（-co,0）U［3,+oo））

【典例2］解答下列问题：

1、若集合A={-1,4},集合B={x|f一3X-4=0},则集合A,B的关系是。

【解析】

【知识点】①集合相等定义与性质；②集合表示的基本方法。

【解题思路】根据集合表示的基本方法和集合相等的性质，结合问题条件就可得出集合A,

B的关系。

【详细解答】•.•集合A={-1,4},集合B={x|V一3X-4=0}={-1,4},A=B。

2、己知集合人={3,（a+1）2,/+3a+3},B={3,4,7},若A=B,则实数a的值是（）

A0BIC2D3

【解析】

【知识点】①集合相等定义与性质；②集合元素的定义与性质；③集合表示的基本方法。

【解题思路】根据集合元素和集合相等的性质，运用表示集合的基本方法，结合问题条件得

到关于a的方程组，求解方程组求出a的值就可得出选项。

【详细解答】A={3,（a+1）2,/+3a+3},B={3,4,7},A=B,二（a+l）2=4,且”+3a+3=7,

或（a+1）2=7,且a?+3a+3=4,解之得：a=l,=>B正确，，选B。

3、设集合A={x,y},B={0,x2},若八=8,则实数x=,y=；

【解析】

【知识点】①集合相等定义与性质；②集合元素定义与性质。

【解题思路】根据集合相等和集合元素的性质，结合问题条件得到关于x,y的方程组，求

解方程组就可求出x,y的值。

【详细解答】,集合A={x,y},B={0,x2},A=B,x2=x,y=0,=>x=0或x=l,：xWO,

x=l,y=0o

4、已知集合人={a,—,1),B={a2,a+b,0).若A=B,求：a"09+〃刈°的值。

a

【解析】

【知识点】①集合表示的基本方法；②集合相等定义与性质。

【解题思路】根据集合表示的基本方法和集合相等的性质，结合问题条件求出a,b的值，

就可求出储期+方2。1。的值。

【详细解答】■.■集合A={a,P,1},B={/,a+b,0}.A=B,aW0,二—=0,a~=\,=>a=±1,

aa

b=0,•.,当a=l时，与集合元素的互异性不符合，a=-l,b=0,即：

G2009+Z?2010=(_1)2009+02010=.1+()=.1O

『思考问题2』

(3)【典例2］是集合与集合相等的问题，解答这类问题需要理解集合相等的定义，掌握

集合相等的性质；

(4)对含有参变量的集合相等问题，应该对参变量的可能取值进行分类讨论，注意参数分

类讨论的原则和基本方法。

(练习2)解答下列问题：

1、若集合A={2,3},集合B={x1f-5x+6=0},则集合A,B的关系是。(答案：A=B)

2、设集合A={2,x,y},集合B={2x,y2,2),若八=8,求实数x,y的值。(答案：x=0,

-11、

y=l或x=—,y=—)

42

3、设八={7,0,a2-2a+2),B={a-3,<z2-2a+4,5},如果A=B,求实数a的值。(答案：

a=3)

【典例3］解答下列问题：

1、下列集合为空集的是()

A{x|x2+3=3}B{(x,y)［y=-x2,x,yeR}C{x|-%2>0}D{x|x1-x+l=0,XGR}

【解析】

【知识点】①空集的定义与性质；②集合表示的基本方法。

【解题思路】根据集合表示的基本方法和空集的性质，结合问题条件对各选项是否是空集进

行判断就可得出选项。

【详细解答】对A,{x|必+3=3}={0}W0,A错误；对B,:B{(x,y)|y=^x2,x,

yeR}表示抛物线y=-k上的点，不可能是空集，，B错误；对c,•;{x|-/»0}={0}/。，

；.C错误，对D,〈{xlxZ-x+lR,xeR}=0,nD正确，.•.选D。

2、下列说法：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集;

④若0uA,则AW0。其中正确的有()

A0个B1个C2个D3个

【解析】

【知识点】①空集定义与性质；②子集定义与性质；③真子集定义与性质。

【解题思路】根据空集，子集和真子集性质，结合问题条件对各说法的正确与错误进行判断

就可得出选项。

【详细解答】•.・空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集，.•.①错误，②错

误，③错误，④正确；=>B正确，，选B。

3、已知0u{x|x2-x+a=O},则实数a的取值范围是=

丰

【解析】

【知识点】①真子集定义与性质；②空集定义与性质；③集合表示的基本方法。

【解题思路】根据空集和真子集的性质，运用集合表示的基本方法，结合问题条件得到关于

a的不等式，求解不等式就可求出实数a的取值范围。

【详细解答】0u{x|%2-x+a=0},.I{x|%2_x+a=0}W0,A=(-l)2-4a>0,/.

丰

1,1

a<-,若知0u{x|/一x+a=O},则实数a的取值范围是(-00,-]=

4*4

工思考问题3』

(1)【典例3】是与空集相关的问题，解答这类问题需要理解空集的定义，分辨清楚空集和

数0之间的关系；

(2)空集是指没有元素的集合，它虽然没有元素，但它是一个集合，它的子集只有一个就

是它本身，由此可以得出以空集为真子集的集合一定不是空集。

〔练习3)解答下列问题：

1、下列集合为空集的是()

A{x|x1+1=1}B{(x,y)|y=x2,x,yeR}C{x|-|x|>0}D{x|x2-x+2=0,XGR})(答

案：D)

2、己知0u{x|%2一ax+l=O},则实数a的取值范围是。(答案：实数a的取值范围是

丰

(-00,-2]U[2,+00))

【雷区警示】

【典例4]解答下列问题：

1、已知集合A={x|A：2-2x-8=0},B={x|ax=l},若B口A,则满足条件的实数a的值是。

解析】

【知识点】①集合表示的基本方法；②集合元素定义与性质；③参数分类讨论原则和基本方

法。

【解题思路】根据集合表示的基本方法和集合元素的性质，运用参数分类讨论原则和基本方

法，结合问题条件就可求出满足条件的实数a的值。

【详细解答】①当a=0时，•.•集合A={x|f_2x-8=0}={-2,4},B={x|ax=l①0,显然与题意

符合；②当a/0时，•.•集合A={x|%2_2X-8=0}={-2,4},B={x|ax=l}={—},集合B中的元

a

素都是集合A中的元素，工=2或，=4,na=-4，或2=!，.•.综上所述，若集合B中

aa24

的元素都是集合A中的元素，则满足条件的实数a的值是0,lo

24

2、已知集合A={a,2,1},B={/,a+b,0}.若A=B,求：a"09+/3°的值。

a

【解析】

【知识点】①集合表示的基本方法；②集合相等定义与性质。

【解题思路】根据集合表示的基本方法和集合相等的性质，结合问题条件求出a,b的值，

就可求出储s+〃oi。的值。

2

【详细解答】集合A={a,P,1},B={/,a+b,0}.A=B,aW0,「.—=0,a=l,=>a=±1,

aa

b=0,•/当a=l时，与集合元素的互异性不符合，a=-l,b=0,即：

。

々2009+Z?2010=(_1)2009+Q2010“。口

『思考问题4]

（4）【典例4】是解答集合与集合关系问题时，容易触碰的雷区。该类问题的雷区主要包

括：①求解集合与集合包含关系问题时，忽视空集是任何集合的子集，导致解答问题出现错

误；②求解集合相等问题时，忽视集合元素的基本性质，导致解答问题出现错误；

（5）解答集合与集合关系问题时，为避免求解集合与集合包含关系问题时，忽视空集是任

何集合子集的雷区，对问题中含有参数的集合需要从集合是空集和集合不是空集两种情况分

别求解，避免漏解的情况发生；

（6）解答集合与集合关系问题时，为避免求解集合相等问题时，忽视集合元素基本性质的

雷区，需要理解并掌握集合元素的基本性质，尤其注意集合元素的互异性。

（练习4〕解答下列问题：

1、已知集合A={xeR|ax2_3x+2=0},B={1},若AjB,则实数a的取值范围是。（答

-9

案：实数a的取值范围是（-«）,—]U{0}）

8

1、2、设a,beR,集合A={1,a+b,a},集合B={0,—,b},若人=；8,则b-a=___。（答

a

案：b-a=2）

【追踪考试】

1、设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A^B,则a=（）（2023全国高考新高考H）

2

A2B1