人教版高中数学必修第一册 第三章 函数的概念与性质 单元练习（含解析）

第三章函数的概念与性质

一、单选题(本大题共10小题，共50.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

L设f(x)=康」二；：，若f⑷=/(«+1)，则是)=()

14(久一±J,X1u

A.2B.4C.6D.8

2,函数y=f(x)与y=g(x)的图象如左图，则函数y=f(x)•g(x)的图象可能是()

3.已知函数〃2x-3)的定义域为［1,3),则函数f(l一3久)的定义域为()

A.(一另］B.C.(-8,-5］D.(-1,|］

4.已知定义在R上的函数八%)在(—8,2)内为减函数，且/0+2)为偶函数，则/(一1),/(4),

装)的大小关系为.()

A./(4)</(-I)</(y)B./(-1)</(4)</(当

c./(y)<”4)</(-I)D./(—1)</"怎)<”4)

5.已知/(乃是定义域为(-8,+8)的奇函数，满足/(1一乃=/(1+久)，若-1)=2,则/(1)+

f(2)+f(3)+…+/50)=()

A..50B.0C.2D.50

6.若函数/(%)=/++6在区间［0,1］上的最大值是M,最小值是相，则M-zn()

A.与a有关，且与b有关B.与a有关，但与b无关

C.与Q无关，且与b无关D.与Q无关，但与b有关

7.设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f8,且当久e(0,1］时,/(%)=x(x-1).若对

任意xe(-8,m］,都有f(x)2-《，则小的取值范围是()

A.(一8,刍B.(一8,刍C.(一8,|］D.(一8,基

8.已知函数/'(x)=五五，则---/(1)+/(I)+/(2)H-----F/(2018)+

/(2019)=()

A竽B,等C.2019D.竽

244

9,定义在R上的函数/(久)的图象关于直线x=2对称，且/(")满足：对任意的看,%2G

(―8,2］(与丰巧)都有勺?出)<0,且f(4)=0,则关于x的不等式/<0的解集是()

A.(-00,0)U(4,+oo)B.(0,2)U(4,+oo)

C.(一8,0)U(0,4)D.(0,2)U(2,4)

10.已知函数人久)=恭，下列关于〃x)的性质，推断正确的有)

①函数的定义域为R②函数是偶函数③函数f(x)与/'(X-2)的值域相同

④/(久)在(0,1)上递增⑤f(x)在［1,2］上有最大值寺

A.2B.3C.4D.5

二、填空题(本大题共6小题，共30.0分)

11.函数f(x)=哼竽(|<x<4)的值域是.

12.已知/(石+2)=x+4a，则/'(久)的解析式为.

13.若函数/(*)=含在区间⑴i,2m+1)上是单调递增函数，则实数机的取值范围是.

14.已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(-4,4),且在(-4,0］上的图象如图所示，则关

于工的不等式/(%)•g(%)<。的解集是.

15.已知a€R,函数/(久)=|x+g-a|+a在区间［1,4］上的最大值是5,贝！|a的取值范围

是.

16.已知函数/(%)=\~f~2X，X\°则满足f(2x-4)+/(2-%)>。的久的取值范围是

lx—Zx,x<0

三、解答题(本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题12.0分)

已知/(久)满足/(x)+f(y)=f(x+y)(x,yGR),且x>0时,f(x)<0.

(1)判断/(x)的单调性并证明；

(2)证明/(T)=-/(x)；

(3)若/(I)=2解不等式/(2x-x2)+6>0.

18.(本小题12.0分)

已知函数/⑺是定义在(-8,0)u(0,+8)上的偶函数，当无>0时，f(x)=g±l,

(1)求/'(x)的解析式；

(2)讨论函数“X)的单调性，并求f(x)的值域.

19.(本小题12.0分)

设函数f(x)=2x2+(x-2a)\x-a\.

(I)若函数”久)在［-2,1］上不单调，求实数a的取值范围；

(II)求函数/(%)在［—1,1］的最小值.

20.(本小题12.0分)

某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时每吨为1.80元，当用水超过4吨时,

超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5乃

3x(吨).

(1)求y关于x的函数；

(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.

(精确到0.1)

21.(本小题12.0分)

已知函数f(x)定义在上的奇函数，且/(1)=1,对任意a,be［-1,1］,a+bKO时,

㈤

f(a)+f>0成.

a+b

(1)解不等式六)；

(2)若/(x)<m2-2am+1对任意ae［-1,1］恒成立，求实数ni的取值范围.

22.(本小题12.0分)

［2021东北育才学校高一期中］已知函数/(©(*GD),若同时满足以下条件：

①/(%)在。上单调递减或单调递增；

②存在区间［a,b］UO,使/(久)在［a,切上的值域是［a,0，那么称/(久)(久eD)为闭函数.

(1)求闭函数/(X)=-/符合条件②的区间口切.

(2)判断函数/(x)=2x+lgx是不是闭函数，若是，请找出区间［a,句；若不是，请说明理由.

(3)若“X)=k+SE是闭函数，求实数k的取值范围.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】

【分析】

本题考查分段函数的应用，考查转化思想分类讨论以及计算能力.属于基础题.

利用已知条件，求出a的值，然后求解所求的表达式的值即可.

【解答】

解：当0<a<l时，a+l>l,/(a)=Va>f(a+1)=2(a+1-1)=2a,

・・•/(a)=/(a+l),

yfa=2a,解得a=:或a=。(舍去).

4

二,(A，⑷=2x(4-1)=6.

当a>1时，a+1>2,

・•./(a)=2(a—1),/(a+1)=2(a+1-1)=2a,

••・2(a-1)=2a,无解.

当a=l时，a+1=2,/(I)=0,/(2)=2,不符合题意.

综上，/(A6.

故选c.

2.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了函数图象的识别和判断，考查了函数的奇偶性和定义域，属于中档题.

利用函数的奇偶性和定义域进行排除即可.

【解答】

解：由图象可知y=/0)为偶函数，y=g(x)为奇函数，

所以V=f(x),9(久)为奇函数，排除B,

因为函数y=g(x)的定义域为{用久丰0},

所以函数y=f(x)gO)的定义域为｛x|x丰0),排除C,D,

故选A.

3.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了抽象函数的定义域.

先通过函数f(2X-3)的定义域求出函数/(久)的定义域为［-1,3),再求函数/(I-3x)的定义域.

【解答】

解：因为函数f(2x-3)的定义域为［1,3),

所以1<x<3,—1<2.x—3<3,

所以函数/(久)的定义域为

所以—1<1—3x<3,

所以—|<x<1.

所以函数f(l-3x)的定义域为(―抬］.

故选：D

4.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性和单调性，〃久+2)为偶函数，可得函数f(x+2)的图象关于x=0对称,

则函数〃久)的图象关于x=2对称，利用f(x)在(-8,2)内为减函数，即可得出结论.

【解答】

解：函数y=f(久+2)为偶函数，则函数y=f(久+2)的图象关于％=0对称，

则函数y=/(x)的图象关于*=2对称,/怎)=/(—|)，m=f(0),

V-|<«1<0,Z(-|)>/(-I)>/(0),即/(4)</(—1)</管).

故选A.

5.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性是解决本题的关

键.

根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数/(久)是以4为周期的周期函数，结合函数的周期性和奇偶

性进行转化求解即可.

【解答】

解：・•,/(%)是定义域为(-8,+8)的奇函数,且/(1-X)=/(I+%),

•••/(0)=0,/(I-X)=/(I+X)=-/(X-1),

则/。+2)=则+4)=-fix+2)=f(x),

即函数〃久)是以4为周期的周期函数，

・•"(1)=2,

”2)=-/(0)=0)/(3)=-/(I)=-2,

f(4)="0)=0,

则/(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0—2+0=0,

财⑴+f⑵+〃3)+…+f(50)

=12[/Q)+f(2)+f(3)+/(4)]+f(49)+/(50)

=〃1)+f(2)=2+0=2，

故选：C.

6.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键.

结合二次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下M-机的取值与a,b的关系，综合可得答案.

【解答】

解：函数f(x)=/+ax+6的图象是开口朝上且以直线x=—5为对称轴的抛物线，

①当—5>1或—2<0,即a<—2,或a>0时,

函数/■(%)在区间［0,1］上单调，

此时M—|/(1)-/(0)|=\a+l\,

故M-ni的值与a有关，与b无关；

1a

当<<1

2---2--即一2<a<一1时,

函数/(久)在区间［0,-月上递减，在［-热1］上递增,

且〃0)>/(1),

此时M—Tn=f(0)—f(——)=—>

L4

故M-m的值与a有关，与b无关;

a1

<<

③当0--2-2-即一1<aW0时,

函数f(%)在区间［0,一学上递减，在［甘,1］上递增，

且〃0)</(1),

此时M—m=f(1)—f(—^)=1+a+彳，

故M-ni的值与a有关，与b无关；

综上可得："-爪的值与a有关，与b无关.

故选：B.

7.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了函数与方程的综合运用，属于中档题.

由/(久+1)=2/(久)，得/(x)=2/(x—1),分段求解析式，得值域，结合图象可得结论.

【解答】

解:

因为f(x+l)=2/Q),

；-f(x)=2/(x-1),

,比e(0,l]时，f(x)=x(x-1)G[-7,0])

xe(1,2]时,x—1G(0,1],f(%)=2,f(x—1)=2(%—1)(%—2)G[——,0]；

•*-xe(2,3]时，x—1G(172]»f(x)=2f(x—1)=4Q—2)(x—3)S[—1,0],

当xE(2,3]时,由4(久—2)(%—3)=—《，解得x=(或x=!，

若对任意xG(-co,m],都有/(久)>-|,则m<1.

故选8.

8.【答案】B

【解析】

【分析】

此题考查函数求值.

1

-1+X1

X

根据/。）+片）---

12

-

X

【解答】

1

解：因为〃久)+/匕)=/+系1=摧方，”1)=;，

X

所以f(嘉)+f(嘉)+…+型)+f⑴+f(2)+-+〃2。18)+/(2019)

="2018+,=竿.

故选艮

9.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查的知识点是函数的单调性，函数的对称性，属于中档题.

由已知可得函数〃久)在(-8,2］上为减函数,且f(4)=0,结合函数f(x)的图象关于直线x=2对称,

可得：〃久)在［2,+8)上为增函数，且f(0)=0,分类讨论可得答案.

【解答】

解：•••对任意的久1，叼e(-8,2］(久1H久2)都有驾三口<0，

%2

二函数fO)在(-8,2］上为减函数，且/■(4)=0,

又由函数/(%)的图象关于直线％=2对称，

.­•/0)在［2,+8)上为增函数，且/(0)=0,

当久6(-8,0),/(x)>0,满足华^<0,

当工€(0,4),/(%)<0,满足竽V0,

当％E(4,+00),/(%)>0,不满足^^<0,

综上可得：x6(—00,0)U(0,4).

故答案选：C.

10.【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查了函数的定义域与值域，函数的单调性以及函数的奇偶性等知识点.

根据解析式求得定义域，利用基本不等式可求得八支)的最值.

【解答】

解：•.・函数/(%)=缶5.•.定义域是(一8,+8),故①正确；

/(-久)=(戛+2=一=-IO),故函数为奇函数，②不正确；

当x=0时,/(%)=0,

1

当％W0时，/(x)=~~2,

x+x

2

令。(久)=%+-，

由对勾函数的性质可知：gCr)=x+|的值域为(一8,—2/］u［2V2,+oo)

・•・/•⑺的值域是「匕外

令t=x—2,则〃1)=品，同上得值域为［—*,=］，故③正确；

1

g(x)=久+29在(0,1)上单调递减，财^^Q在(0,1)上单调递增，故④正确;

由基本不等式当X=&时，f(X)max=W=%故⑤错误；

2+24

综上，①③④正确.

故选B.

11.【答案】［8巧

【解析】

【分析】

本题主要考查对勾函数的图象和性质，利用基本不等式求最值，求函数值域，属于拔高题.

将原函数化为f(x)=。-1)+言+4,由对勾函数的性质可得/(%)在［|,3］单调递减;/(x)在［3,4］

单调递增，求出区间端点的函数值，可得值域.

【解答】

2

解：由/•(%)=*+?+1X—2x+l+4x—4+4

x—1

2

(%—l)+4(x—1)+4(…)+去4+4,

x—1

得：当％>1时，/(%)>2J(x-1)(言)+4=8，当且仅当久-1=言，即(x-I)2=4,即x=3

时，等号成立.

根据“双勾函数”模型，有/。)在(1,3)单调递减；/(%)在(3,+8)单调递增，

o〃/3、，3y、4.25

所以/(©在信,3］单调递减；/⑸在［3,4］单调递增，又〃2)=(2-1)^4二彳；"4)=(4—

N21

425

D+口+4设

所以当|wxW4时，/(乃的值域为［8,：］.

故答案为［8,弓］.

12.【答案】/(%)=/_4,(久》2)

【解析】

【分析】

本题考查函数解析式的求法，属于中档题.

依题意，利用换元法，令«+2=t"》2得4)=严—4(峰2),进而求得函数f(x)的解析式.

【解答】

解：令«+2=t,t>2,贝！ia=t-2,

所以/(t)=(t—2尸+4(t—2)=/—4,t》2,

所以f(x)=x2-4,(%>2).

故答案为f(x)=4-4,(%》2).

13.【答案】(一1,0]

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性和单调性，属于较难题.

易知f(x)为定义域为R的奇函数，研究函数gQ)=久+;的性质可得到f(x)的单调性，即可求解.

【解答】

解：易知为定义域为R的奇函数，

当万丰0时，函数/(x)=券变形为"X)=用，

设g(x)=x+pg(久)在(0,1)单调递减，在(1,+8)单调递增，

所以〃久)在(0,1)单调递增，在(1,+8)单调递减，又/(X)为连续的奇函数，/(0)=0,

所以/(©在R上的单调增区间为[—1,1],

则由题意可得，

m<2m+1

m>—1

2m+1<1

解得一1<zn<0

故答案为(-1,0].

14.【答案】(—4,—2)U(0,2)

【解析】

【分析】

本题考查了函数奇偶性的性质，函数图象的意义.

令h(x)=”久)9(久)，根据h(x)的奇偶性和函数图象得出不等式的解.

【解答】

解：设无(久)=f(x)g(x),定义域是(-4,4),关于原点对称,

则h(-x)==-f(x)gO)=

h(x)是奇函数,

由图象可知：当一4<%<—2时,/(%)>0,g(x)<0,即％(x)<0,

当0<x<2时,/(x)<0,g(x)>0,即h(x)<0,

•••h(x)<0的解为(-4,-2)U(0,2).

故答案为(一4,-2)U(0,2).

15.【答案】(—8,|]

【解析】

【分析】

通过转化可知|x+±-a|+aW5且aW5,进而解绝对值不等式可知2a-5Wx+&W5,进而计

1XX

算可得结论.

本题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档

题.

【解答】

解：由题可知|汽+：—a|+a<5,即|%+：—a|<5—a,所以。45,

又因为|%+:-a]<5—a,

所以+-外

所以2a—54%+'<5,

X

又因为4<%+-<5,

x

所以2a-5W4,解得aW,

故答案为:（-oo,|],

16.【答案】（一8,2）

【解析】

【分析】

本题主要考查了分段函数的单调性，函数的奇偶性和不等式求解，考查学生的计算能力和推理能

力，难度适中.

根据题意可得函数的图象，结合函数的单调性和奇偶性即可解得x的取值.

【解答】

解「・函数中）力黑黄

可得函数图象如下:

可知函数/(X)为奇函数，且在R上单调递减，

由/(2x-4)+/(2-x)>0,贝!]/(2x-4)>—f(2-x),

y(2x—4)〉f(x—2),即2x—4<x—2,

解得比<2,即“2久-4)+/(2-%)>0的x的取值范围为(一8,2),

故答案为(-8,2).

17.【答案】解：(1)设的<右则冷一/>0,

•••f(x2-X1)<0,

又f(X[)+/(x2-%1)=/(%2)，

即/■(久2)—fg=/(X2-%1)<0,

•••r(%2)</(/)，

/(x)是定义在R上的减函数.

(2)由/(久)+f(y)=f(x+y)得:f(x)+/(-%)=((0).

又/(0)+/(0)=/(0)n/(0)=0,

・••/(-x)+/(久)=0,

即f(T)=-/(X).

(3)/(l)=2nf(2)=f(l)+f(l)=4,

f⑶=〃2)+f⑴=6,

•••f(2x—x2)+6>0.

BP/(2x-x2)>—"3)=/(—3),

又/(久)是定义在R上的减函数，

•••2x-x2<—3,

...不等式的解为{x|x<—1或x>3}.

【解析】本题考查抽象函数，函数的单调性、奇偶性，以及单调性与奇偶性的综合应用，属于中

档题.

(1)设％1<小，则乂2-打>。，/(X2-Xx)<0,又/'(小)一/(刀1)=-％1)<0，可得/(X)是定

义在R上的减函数.

(2)由题意得：/(x)+/(-x)=/(0),又f(0)+f(0)=f(0)nf(0)=0,即/(—x)=—/(>).

(3)原不等式即/(2x-*2)>一/©)=/(-3),贝!]2%-*2<一3,求解即可.

18.【答案】解:(1)当％<0时，-x>0,

22

所以/'（一久）=(―%)+(—x)+4_x—%+4

由于/（%）是偶函数，贝行（一%）=/（%）,

即当尤＜0时，/Q）=—七出

综上所述，函数/（©的解析式为f。）=

X

44

(2)任取0<Xi<叼，贝!1/Q1)-〃久2)=x+--x--

1人12人2

=(%—冷)(《-1)=(/—%2)(1—六)=(%1—冷)(^^)，

当0<乂1<久2<2时，%1—x2<0,xrx2-4<0,xrx2>0,

所以即fOi)-y(x2)>o>即/'(久i)>/(x2))

所以/(久)在(0,2)上为单调减函数，

当2<乂1<%2时，%1—x2<0,%1%2-4>0,%1%2>0>

所以即/O1)—/(%2)<0,即/'(Xi)</(X2)'

所以f(x)在(2,+8)上为增函数.

又因为函数/(%)是定义在(-8,0)U(0,+8)上的偶函数，

所以当x<0时，函数f(x)在(-8,-2)上为减函数，在(-2,0)上为增函数，

综上.函数/(%)在(-8,-2)和(0,2)上为单调减函数，在(-2,0),(2,+8)上为单调增函数.

当x>0时，/(%)=*+工+4=%+-+1>2lx--+1=5，

八，XXyX

当且仅当x=3,即x=2时，取等号，

X

又函数/(X)是定义在(一8,0)U(0,+8)上的偶函数，

所以值域为f(x)G[5,+8).

【解析】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数解析式及利用定义判断函数的单调性，属于

拔高题.

(1)先设久<0时，-刀>0,然后根据/'(X)是偶函数及x>0时/(X)的解析式即可求解；

(2)先取0<%2,然后根据作差法比较/(久1)与f(久2)的大小，判断函数在区间(0,+8)上的单调

性，即可讨论函数〃久)的单调性，利用基本不等式求值域.

19.【答案】解:/(x)=笆;3ax+2a2,x>a,

1%+3ax—2a,x<a

222

设/i(%)=3/—3ax+2al/2(x)=%+3ax—2a,

(I)当a20时，/(%)在(一8,-|砂上递减，在(-竽,上递增，函数/(X)在［—2,1］上不单调,

3

-2<--a<l)0<a<4

(a>0§

当a<0时，/(%)在(一8,；。)上递减，在(3,+8)上递增，函数/(汽)在［_21］上不单调，则

综上，实数a的取值范围(一4片)

(II)当a20时，—苧WOWa此时，

①—当WT时,a>l，/(久)在［—1,1］上单调递增，

f(.x)min=/2(-1)=1_3a_2a2,

②一当>—1,0Sa<|时,/(x)在［―1,—上递减,在［—称,1］上递增,

yWmin=/2(-|a)=-ya2'

当a<0时，a<微<0,止匕时，

1

好a

2-faW—2时,f(%)在［-1,1］上递增,

f(x)min=71(-1)=3+3a+2a2，

②*—1,—2<a<0时，/(%)在［―1,刍上递减，在岑1］上递增，

/Wmin=A(5=|a2-

综上，函数/(久)在的最小值为，

a?+3a+3.a4—2

5次

咚,一2<a<0

4

={17a2„2,

一丁，04a<-

4o

2

-2az7—3a+。§

【解析】本题考查函数的单调性和最值的求法，考查了分类讨论的思想方法，属于拔高题.

(I)分a2。和a<0两种情况讨论即可求解.

2222

(II)设九(久)=3x—3ax+2a,f2(x')=x+3ax-2a,

当a>0时，分a>|和0<a<|两种情况讨论，

当a<0时，分a<一2和—2<a<0两种讨论即可求解.

20.【答案】解：⑴由题意知：x>0,令5尤=4,得久=也令3x=4,得x=g.

贝1J当0<%<1时，

y=(5%+3%)x1.8=14.4%

当(<xW轲,

4

y=4x1.8+(%—耳)X5X3+3x,1.8=20.4x—4.8

当%>Q时'y=(4+4)X1.8+(———)x5x3+3x5(%——)+3x3(x—=24%—9.6

14.4%；(0<x<^)

^0.4%-4.8；(^<%<1)

(24%-9.6；(久>§

(2)由于y=/(X)在各段区间上均单增，

当xeM刍时，y</(^)<26.4

当守时，y<f(^)<26.4

当xe《，+8)时，令24%—9.6=26.4,得久=1.5

所以甲户用水量为5x=7.5吨，付费S］=4x1.8+3.5x3=17.70元

乙户用水量为3x=4.5吨，

付费52=8.7元

【解析】⑴由题意知：x>0,令5x=4,得x=也令3x=4,得x=g,将x取值范围分三段，求

对应函数解析式可得答案.

(2)在分段函数各定义域上讨论函数值对应的x的值.

本题是分段函数的简单应用题，关键是列出函数解析式，找对自变量的分段区间.

21.【答案】解：⑴•••函数定义在［—1,1］上的奇函数,

任取向<x2e［-1,1］,

,:对任意a,be[—1,1],a+bKO时，有〉0成立.

L」a+b

/(%1)+f(-%2)

•­/(%1)-/(汽2)=/。1)+2)