人教版高一数学专项复习：函数的基本性质 必刷题

高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019必修第一册）

专题强化一：函数的基本性质必刷题

一、单选题

1.若函数，（力=/+（2”1卜+1在（3,2］上是单调递减函数，则实数。的取值范围是（）

［-,+C）

A.B.C.20D.

己知偶函数/（x）在区间［0,+oo）上单调递增，则满足了（2x-l）</，］的X的取值范围是（

2.)

（12、「12、（12"|「12、

A.匕亏）B.卜C.匕,"D，

3.定义在卡上的偶函数,⑴满足：对任意的网,马目0,小）（为彳工2），有〃Pl''）<。，贝U（）

A./(2021)</(-2020)</(2019)B./(2019)</(-2020)</(2021)

C./(-2020)</(2019)</(2021)D./(-2020)</(2021)</(-2019)

-x2+2x,x>0

4.已知函数/(x)=<0,x=0是奇函数.则实数加的值是()

x2+mx,x<0

A.0B.2

C.4D.-2

5.已知/(x)为R上奇函数，g(%)为R上偶函数，且/(0)+/(—2)+g(0)+g(2)=4,/(2)+g(0)+g(—2)=—2,贝!|/(2)

的值为（）

A.-3B.1C.2D.3

6.已知函数〃x+l）是偶函数，当1<占<々时，［〃%）-/（%）］（4一9）>。恒成立，设"6=/（2）,

c=/（3）,则。，b,c的大小关系为（）

A.b<a<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<b<c

7.已知〃x）是R上的偶函数，g（x）是R上的奇函数，它们的部分图像如图，则/'（x>g（x）的图像大致是（）

8.已知函数〃元)是定义R上的减函数，4(0,2),8(2,-2)是其图象上的两点，那么+<2的解集的补集是

A.(^»,-l]U[l,+°o)B.(-1,1)

C.(-CO,-1]U[3,-KC)D.(1,3)

9.函数是定义在R上的偶函数，且当让0时,/(%)=2\若对任意xe[02+l],均有〃x+r)2上⑺了,

则实数f的最大值是()

A.--B.--C.0D.-

936

10.已知函数/(x)、g(x)是定义在R上的函数，其中/(元)是奇函数，g(x)是偶函数，S.f(x)+g(x)=ax2+x+2,

若对于任意都有g&)-8(尤2)>_2,则实数。的取值范围是()

占一当

A.(―℃,—]o[0,+oo)B.(0,+oo)C.[—,+8)D.[—,0)

222

二、多选题

11.有下列几个命题，其中正确的命题是()

A.函数y=一二在(一oo,—1)U(—1,+oo)上是减函数;

B.函数y=j5+4x-f的单调区间是［—2,+oo)；

C.已知1工)在R上是增函数，若。+6>0,则有火。)+八份>大一。)+八一份;

2x-3,x>0,

D.已知函数g(x)=是奇函数，则於)=2x+3.

/(%),x<0

12.如果函数八元)在口勾上是增函数，对于任意的4入2«。，可(%。/)，则下列结论中正确的是()

A一"也°

再-x2

C.f(a)<ff(x^)<f(b)D./(Aj)>/(x2)

2,1

13.已知函数则r下列结论正确的是()

A.7(x)为奇函数B./(x)为偶函数

C.7(x)在区间口,+«0上单调递增D.了⑺的值域为(-8,-2］口［2，+⑹

2

14.已知函数/(%)满足V无£氏，〃-%)=-/(力，且当x>0时，/(x)=x2——,则()

x

A./(O)=OB./(-1)=1

C./⑺在［-0,0)单调递减D.3%e(-l,0),f(x)>2

15.关于函数/(%)=后(％6r)，下面结论正确的是()

A.函数“X)是奇函数B.函数〃尤)的值域为(-M)

C.函数/(X)在R上是增函数D.函数/'(X)在R上是减函数

x2-2izr+8,.x<l

16.已知函数〃x)=4，若的最小值为〃1)，则实数。的值可以是()

XH----F2。,尤>1

A.1B.-C.2D.4

4

17.若函数/⑺同时满足：①对于定义域上的任意尤，恒有/(x)+F(f)=0；②对于定义域上的任意占，马,当x产尤2

时，恒有(%--/(%)］<。，则称该函数为“七彩函数”.下列函数中是“七彩函数”的有()

2

-2X9X>0

A./(x)=B-f(x)=-x5

2x2,x<0

C./(x)=x2+\x\D.f(x)=-x3-x

填空题

18.若函数是奇函数,/(x)=2^+］，4€伍,2+6),则a+b=

19.己知定义在R上的奇函数，当x<0时有/(无)=-2，+/，则/(x)=.

20.已知定义在R上的奇函数,⑴在(-8,0］上是减函数，若〃〃7+l)+f(3〃L2)<0,则实数机的取值范围是

21.己知函数y=/(x),y=g(x)的定义域为R,且y=f(x)+g(x)为偶函数，y=/(x)-g(x)为奇函数，若"2)=2,

贝"2)=_

1一<1

22.J则不等式/(2T)<〃X)的解集为一

23.若/(无)为R上的奇函数，给出下列四个说法：

@f(x)+f(-x)=0；

@f(x)-f(-x)=2f(x)；

③f(x)-f(-x)<0；

其中一定正确的为.(填序号)

四、解答题

24.y=/(x)是定义在R上的奇函数，且当x»0时，/(x)=4x-x2；

(1)求尤<0时，f(x)的解析式；

(2)求>=/(尤)的单调减区间.

25.已知二次函数/(x)=/-座+〃2-1(机eR).

(1)若/(x)是偶函数，求力的值；

(2)函数在区间［-1』上的最小值记为g(㈤，求g(机)的最大值；

(3)若函数丁=1/5)1在［2,4］上是单调增函数，求实数加的取值范围.

26.已知函数/(x)对于一切x、y&R,f(xy)=f(x+y)+f(x-y).

(1)求证：F(x)在R上是偶函数；

(2)若〃x)在区间(3,0)上是减函数，且有/(2片+。+1)</(-2/+44-3),求实数。的取值范围.

27.已知函数〃无)=芋¥是定义在(-M)上的奇函数，且"3)=3.

(1)确定函数/(X)的解析式；

(2)当xe(-1,1)时判断函数了⑺的单调性，并证明；

(3)解不等式/(g尤-l)+/(x)<0.

28.己知函数/(x)=♦5是定义在［T,1］上的奇函数，且〃l)=g.

(1)求〃，b的值;

(2)判断”元)在[T,1]上的单调性，并用定义证明；

⑶设g(x)=H+5-22,若对任意的％«-词，总存在々e[0,1],使得〃占)<g(三)成立，求实数左的取值范围.

29.函数/'(x)对任意x,yeR,总有/(x+y)=/(x)+/(y),当x<0时，/(x)<0,JL/(1)=1.

(1)证明是奇函数；

(2)证明“元)在R上是单调递增函数；

(3)若〃x)+〃x—3)2—1,求实数尤的取值范围.

30.若函数y=/(x)对定义域内的每一个值匹，在其定义域内都存在唯一的X?,使丁(士)"(々)=1成立，则称函数

y=/(无)为“依赖函数”.

(1)判断函数〃x)=2,是否为“依赖函数”，并说明理由；

(2)若函数/(X)=-X2-X+-在定义域且加>1)上为“依赖函数”，求加+〃的值；

22

"4、「41r4

(3)已知函数/⑶=0-。)2,卜<力在定义域耳,4上为“依赖函数”•若存在实数xej,4,使得对任意的teR,不

等式/(幻2-产+“+8都成立，求实数s的取值范围.

参考答案

1.B

【详解】

函数〃"=/+（2“-1卜+1的单调递减区间是（-叫-

依题意得（一叫2仁-于是得-智22,解得。4一|,

,3

所以实数。的取值范L围是（-8,-m.

故选：B

2.A

【详解】

V/（%）为偶函数，.0⑴=/（W）.则/（|2x—1［）＜/［），

117

又,:f（x）在［0,+8）上单调递增，|2x—1］＜］，解得

故选：A.

3.A

【详解】

因为对任意的%,％e［°，+°°）（彳产马），有?芭）＜0，

所以函数/（X）在［0,+«＞）上单调递减,

又函数/（x）为偶函数，所以〃一2020）=〃2020）,/（-2019）=/（2019）,

所以/'（2021）＜“2020）＜/（2019）即/（2021）＜/（-2020）＜/（2019）.

故选：A.

4.B

【详解】

取元〉0,则一工＜0,

因为函数为奇函数，则/（-九）=-/（九），

即（一x）2+x）=_（一/+2x）,

整理可得-侬:=-2x,即m=2.

故选：B

5.A

【详解】

f(x)为R上的奇函数，...”0)=0,/(-X)=-/(%),

g(无)是R上的偶函数，g(-x)=g(x),

小J〃0)+〃一2)+g(O)+g⑵=4

田[〃2)+g⑼+g(-2)=-2'

卜〃2)+g(O)+g⑵=4①

=[〃2)+g(0)+g(2)=一2②’

(2)-@#2/(2)=-2-4,/(2)=-3.

故选：A.

6.A

【详解】

当1<玉<超时,[/(尤)1一/(%)](玉一9)>。,则/(%)>/(%)，

所以，函数“X)为(L+8)上的增函数，

由于函数〃x+l)是偶函数，可得"1+尤)=/(1一力，

3>—>2>1,因此，b<a<c.

2

故选：A.

7.C

【详解】

又“X)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，

=f(x),g(-尤)=-g(x),

Af(-x)-g(—x)=-/(x)g(x)

A函数〃x>g(x)为奇函数，其图象关于原点对称，A,B错,

由图可得当尤>0时，/(x)>0,g(x)>0,

•••/(x)-g(x)>0,D错,

故选：C.

8.A

【详解】

解：不等式|/(x+l)|<2可变形为-2</(%+1)<2,

•.•4(0,2),3(2,-2)是函数7⑺图象上的两点，.•1(0)=2,/(2)=-2,

••--2</(%+1)<2等价于不等式/(2)</(x+l)</(0),

又•函数Ax)是R上的减函数，

(0)等价于0<%+1<2,解得

・.•不等式|/(x+l)|<2的解集为(-1,1).

那么<2的解集的补集是.

故选：A.

9.A

【详解】

易知，函数”X)在[。,+°°)上单调递增，，2,+1>。nf>-],

XV/(x+r)>[/(x)]3=/(3x),且函数为偶函数，...|x+r以3x|,两边平方化简，贝18f一2只一/<0在[0,2r+l]恒

成立，令g(x)=8x-2xt-t,贝"g⑵+l)40n_§

4

综上：f的最大值为

故选：A.

10.C

【详解】

由题得：〃力是奇函数,所以/(-%)=-/(力；g⑺是偶函数,所以g(T)=g(%)

将一％代入/(x)+g(%)=cix2+%+2得：-f(x)+g(x)=ax2-x+2

fM+g(x)=ax2+x+2

联立“2解得:g(x)=av2+2

一/(工)+g(x)=—x+2

g(A)*(%)>-2,1<为<%<2等价于gO0_g(x2)<_2(x1_A2),

X]

即：g(石)+2玉<g(%2)+2々，令/i(x)=g(x)+2x=m?+2x+2,则力⑺在(1,2)单增

21

①当〃>0时，函数的对称轴为1=—丁=——<0,所以可光)在(1,2)单增

2aa

oiii

②当a<0时，函数的对称轴为》=-4=-：>0,若〃(x)在(1,2)单增，则-：22,得：-

③当a=0时，〃(力单增，满足题意

综上可得：a>—

故选：C

11.CD

【详解】

对于A,函数的定义域为(-00,-1)U(-1,+oo),

令r=x+l在定义域上递增，

又y=：在(-℃),0)和(0,+动是减函数，

所以函数在(一8,—1)和(-1,+co)每个区间上递减，故A错误；

对于B,由函数y=,5+4%-犬2,贝！)5+4工一％220,解得一14％45,

令1=5+4x-X?在(—1,2)上递增，(2,5)上递减，

又、=〃在定义域内是增函数，

所以函数y=j5+4x—f在(T,2)上递增,(2,5)上递减，故B错误；

对于C,因为危)在R上是增函数，若a+b>0,贝故/(«)>/(")；b>-a,故/(6)>/(一a),所以八。)

+八3>八一。)+八一3，故C正确；

对于D,当x>0时，g(x)=2x-3,

贝！!当了<0时，一元>0,贝ljg(-x)=-2x-3,

因为g(x)为奇函数，所以g(x)=_g(-x)=2x+3,

所以«r)=2x+3,故D正确.

故选：CD.

12.AB

【详解】

由函数单调性的定义可知，若函数/(彳)在给定的区间上是增函数，

则西-尤2与/(占)一〃工2)同号，由此可知，选项A,B正确；

对于选项C,D,因为外,马的大小关系无法判断,

则/&），/（%）的大小关系确定也无法判断，故C,D不正确.

故选：AB

13.ACD

【详解】

由题意，函数〃X）=—的定义域为（-8,0）口（0,+8）,

且/（r）=-/（x）,故/（X）为奇函数，

任取为，尤2€口，”），且不<工2，

则/（尤）-f（x）=X；+1-X；+1=X；+（-%•X；-X］=（平2-1伍-xj

、‘一‘।%X1%％2%%2

因为1VX,<三,所以>0且工逮2>1，可得/（》2）-/（占）>°，

所以/（x）在［1,+8）上单调递增，

2

rI11

当X>0时，/（%）=----=%+—>2（当且仅当尤=1时，取"="），

又由结合了（X）为奇函数，可得了（X）的值域为（-吃-2］。［2,入）.

故选：ACD

14.ABD

【详解】

因为V尤eR,=所以函数f（x）为奇函数.

对选项A,OeR,所以〃0）=0,故A正确.

对选项B,/（-1）=一/（1）=一（1一2）=1,故B正确.

对选项C,因为当x>0时，/。）=尤2——为增函数，

X

又因为函数/（X）为奇函数，所以当x<0时，函数/（元）也为增函数，故C错误.

对选项D,因为=一=一：+4=?>2,故D正确.

故选：ABD

15.ABC

对于A：因为〃一乃=［木=危=-/0）,所以广⑴在R上为奇函数，故A正确;

=1-占

对于B：当x>0时，因为x>0,所以％+1>1,0<---<1,

X+1

所以一1〈一士<0,

所以0<1-

又〃X)为奇函数，所以当x<0时，/(x)=-^e(-l,O),且"0)=0,

1-X

所以函数“X)的值域为(-1,1)，故B正确.

Y1

对于C：当x>0时，/(%)=—=1—所以/⑺在(。,+8)上为增函数，

x+lX+1

又/(X)为奇函数，左右两侧单调性相同，所以函数/(X)在R上是增函数，故C正确，D错误

故选：ABC

16.BCD

【详解】

4

由题意可得二次函数y=v-2"+8的对称轴X=a21,且x+—+2aN/(l)=l-2a+8在(1,+co)上恒成立,

X

4

所以X+一29-4〃在(L+oo)上恒成立，

x

因为X+3N2、［4=4,当且仅当x=2时，等号成立，即x+3在(1,小)上的最小值为4,

X\XX

所以4上9一4。，解得“2了.

4

故选：BCD

17.ABD

【详解】

由①②得：“七彩函数”既是奇函数又是减函数，

对于选项A：当x>0时，-x<0,

/(x)=-2X2,/(-%)=2x2,

得/a)+“-x)=o；

当x<0时，一尤>0,

/(x)=2x2,/(-x)=-2x2,

得/(x)+〃—x)=0；

所以函数是奇函数，

当x>0时，"%)=-2*2,

所以函数在(0,+8)上单调递减，

故选项A正确;

1

对于选项B：/(尤)=_/定义域为此

f(~x)=x5=_〃尤)，

所以函数/'(X)为奇函数，且在R上单调递减；

故选项B正确；

对于选项C：/(x)=x2+|x|,定义域为R,

/(-x)=x2+|x|=/(%),

则函数函数/(x)为偶函数，

故选项C不正确；

对于选项D：〃尤)=/-无定义域为{尤|"0},

X

则函数f(x)为奇函数，且在定义域上单调递减；

故选项D正确；

故选：ABD.

18.-1

【详解】

根据题意可得匕+6+2=0,解得6=-1,

又〃0)=0,代入解得。=0，

当0=0时，f(-x)=—^=-f(x),满足题意,

所以。+人=-1.

故答案为：-1

2-'+X3,X>0

19.<0,x=。

-2m<。

【详解】

当无>0时，—x<0时，由奇函数性质知，

于(x)=-/(-x)=-[一2一，+(-x)3]=2一,+d,又/(0)=0,

2~x+x3,x>0

则/(%)=,0,x=0

-2"+,x<0

2~x+x3,x>0

故答案为：0，%=。

-2x+x\x<0

20.1,+]

【详解】

因为〃x)是奇函数，在(F,O]上是减函数，

所以〃元)在R上单调递减，

因为/(〃z+l)+f(3〃7-2)<0,

所以〃〃?+1)<-/(3相一2),

即/(m+l)</(2-3m),

所以7〃+1>2-3〃7,解得机>L

4

故答案为：[1+00)

21.2

【详解】

解：因为y=/(x)+g(x)为偶函数，y=/(尤)-g(x)为奇函数,

所以〃-2)+g(-2)="2)+g(2),/(-2)-g(-2)=g(2)-/(2),

两式相减可得，〃2)=g(-2),

若/(2)=2,贝l]g(-2)=2.

故答案为：2.

22.{A|X<1}

【详解】

解：由函数的解析式绘制函数图象如图所示，

易知函数为偶函数，且在区间(0,+8)上单调递减，

故题中的不等式等价于：/(|2-x|)</(|x|),

22

则平方可得:X-4X+4>X,解得冗vl,

不等式的解集为：{%次<1}.

23.①②

【详解】

•:f(x)在R上为奇函数，

.*./(-%)=-f(X).

:.于(x)+f(-x)=f(x)-f(x)=0,故①正确.

f(x)-f(-x)=f(x)+f(x)=2f(x),故②正确.

当x=0时，f(x)/(-x)=0,故③不正确.

“X)

当x=0时,分母为0,无意义，故④不正确.

/(T)

故答案为：①②

24.(1)/(x)=4x+x2；(2)(一8,-2)和(2,收).

【详解】

(1)设x<0,则一x>0,f(-x)=-4x-x2

又y=/W是定义在R上的奇函数，「./(X)==一(-4%-炉)=4x+x2

所以当x<0时，f(x)=4x+x2；

(2)当x20时，f(x)=4x-x2=-(X-2)2+4,

当x<0时，/(x)=4x+Y=a+2)2_4

则当xe(-s,-2)时，函数单调递减；当xe(-2,2)时，函数单调递增；当xe(2,+s)时，函数单调递减;

所以＞=“X)的单调减区间为(-吗-2)和(2,+8).

25.(1)772=0；(2)最大值为0；(3)m43或加28.

【详解】

(1)•・・/(X)是偶函数，./(xh"-尤)，"⑴"(-1)

^l—m+m—l=l+m+m—l,解得：机=0

(2)f(x)=x-mx+m-1,二次函数对称轴为冗二,，开口向上

①若即机＜—2,此时函数/(x)在区间［-U］上单调递增，所以最小值g(〃z)=/(T)=2，〃.

②若一即一2三小42,此时当x=£时，函数/*)最小，最小值g(m)=/［^］=-q+m-L

③若即m＞2,此时函数Ax)在区间［-U］上单调递减，所以最小值g(〃?)=〃l)=。.

(3)要使函数〉=1/(必在［2,4］上是单调增函数，则在［2,4］上单调递增且恒非负，或单调递减且恒非正,

-<2—>4m<4sJm>8

2或12即3—m>0^|3-m<0解得加《3或机N8.

f(2)>0[/(2)<0

所以实数m的取值范围是：加43或相＞8.

26.

(1)证明：函数/(九)对于一切1、,£氏，者B有/(盯)=/(%+))+/(元一)),

令x=0,^f(0)=f(y)+f(-y)9

再令丁=%,得令0)=/(%)+/(—).…①

令y=o,得/(0)=/(%)+/(%).…②

①一②得/(T)-f(X)=O,

fk-x)=f{x).

故"X)在我上是偶函数.

(2)解：因为/(x)在&上是偶函数，

所以/(*)的图象关于了轴对称.

又因为Ax)在区间(f,0)上是减函数，

所以Ax)在区间(。,+8)上是增函数.

11117

•「2tz29+tz+l=2(«92+-6z+-----)+1=2(«+-)92+->0,

2161648

_2〃2+4〃-3=-2(Q2—2Q+1-1)-3=-2(Q-1)2-1<0,

/.2〃2—4〃+3>0.

f(-2a2+4〃—3)=f(2a2—4a+3).

原不等式可化为f(2a2+〃+1)<“2/—4〃+3),

、2

/.2/++1<2片—4。+3.角牛.

2

故实数。的取值范围是〃

x(2).“X)在区间上是增函数，证明见解析；(3)fo,|

27.(1)小)k

【详解】

(1)V/(-%)=-/(%),

-ax-\-b_-ax-b

1+(—x)2―1+/，即—b=b,b=0.

,•/W=iW)

3

又J⑶=谈I，

x

•••/(x)=i77-

(2)对区间(T，l)上得任意两个值XI,x2,且再＜马,

xf(%x?=%(1+e)-%(1+元;)_(看一元2)(1一不多)

八"-八"-0一(l+x；)(l+玲-(l+x；)(l+x；);

'/-1<jq<x,<1,-x2<0,1-x1x2>0,1+x；>0,1+xf>0,

，/(再)-/(3)<。，；•/(再)</(3)，

...f(x)在区间(-U)上是增函数.

(3)V/(1x-l)+/(x)<0,

•••/(|x-1)</(-%),

，1..

—1<一x—1<1

2

12

\—x—l<—x,解得0<兀<一，

23

,实数X得取值范围为(o,g］

28.(1)a=l,b=O；(2)在［-1』上递增，证明详见解析；(3)k<^.

【详解】

(1)依题意函数/(x)=AY-IW-h是定义在［_1,1］上的奇函数，

所以y(o)=b=o,

f(1)=---=_NQ=1,

v7a+12

所以经检验，该函数为奇函数.

(2)〃x)在卜1』上递增，证明如下：

任取-1?为x2?1,

X2_X](%2+1)-尤2(x：+1)

22

%2+1+l)(x2+1)

X|/2+X1一龙2%2一々西马(今一%)一(马一士)(现七一1)(尤2-xj