人教版高考数学复习：基本不等式-重难点题型检测

专题2.4基本不等式-重难点题型检测

【人教A版2019】

考试时间：60分钟；满分：100分

姓名:班级:考号:

考卷信息：

本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较

高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！

选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）

1.（3分）（2022春•韩城市期末）函数/（尤）=5x+S（x>0）的最小值为（）

A.10B.15C.20D.25

2.（3分）（2022春•郸都区校级期末）若实数尤、y满足/+/=1+犯，则下列结论中，正确的是（）

A.x+yWlB.x+y22C.D.x2+^2^2

3.（3分）（2022春•黄陵县校级期末）下列函数中，最小值为2的是（）

19

A.y=%+1B.y=JT-2x+4

i______i

C.y=%2+-7D.y=Vx2+2+.

4.（3分）（2022秋•哈尔滨月考）设a>0,b>0,若a+36=5,则创芈等八的最小值为（）

\ab

A.9A/3B.2C.6A/2D.4百

41

5.（3分）（2022秋•南关区校级月考）已知正实数〃，/?满足+;~~~7=1，则。+2。的最小值为（）

a+bb+1

C.10D.12

6.（3分）（2021秋•泽普县校级月考）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成

了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现

证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点尸在半圆。上，点C在直径A3上，且OFLA5,设

AC=a,BC=b,则该图形可以完成的无字证明为（）

OC

ct+b/—

A.227ab(a>0,b>0)

B.。b>0)

a+bla2+b2

C.2—/--—（a>0，b>0）

D.+匕<VCLb（a>0,b>0）

7.（3分）（2022春•营口期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作

为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“V”和符号，并逐渐被数学界接受，不等号的

11

引入对不等式的发展影响深远.若不相等的两个正实数。，b满足〃+。=4,且一+工>"亘成立，则实数

ab

/的取值范围是（）

A.忘1B.t<lC.W2D.t<2

21

8.（3分）（2021秋•李沧区校级月考）若x>0,y>0,且一+-=1,X+2y>W+7加恒成立，则实数机的

xy

取值范围是（）

A.-8<m<lB.m<-8或小>1C.m<-1或相>8D.-l<m<8

二.多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）

9.（4分）（2021秋•滦南县校级月考）下列函数最小值为2的是（）

A1nX2+2

A.zy=x+-B.y=^=

XJx2+1

C.y=x^4—nD.y=y/x(4—x)

X乙

11

10.（4分）（2。21秋•建华区校级期中）若正数a,6满足"b=l,则皿+诉的可能取值为（）

6421

A.-B.-C.-D.一

7774

11.（4分）（2021秋•烟台期末）已知%>0,y>0,且x+y+盯-3=0,则错误的是（）

A.孙的取值范围是［1,9］B.x+y的取值范围是［2,+8）

C.x+4y的最小值是3D.x+2y的最小值是4a-3

12.（4分）（2021秋•呼兰区校级期中）已知%>0,y>0，且2x+y=2,若----<----^对任意的%>0,

m-1xy

y>0恒成立，则实数徵的可能取值为（)

1912

A.-B.-C.—D.2

487

三.填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）

13.（4分）（2021秋•石鼓区校级月考）已知尤>2,x+段（a>0）最小值为3.贝ija=.

14.（4分）（2022秋•新罗区校级月考）己知正实数a,b满足M+a+b=3,则2°+6的最小值为.

15.（4分）（2022•衡南县校级开学）直角三角形的斜边长为5时，其面积有最（大或小）值，为.

16.（4分）（2022秋•余姚市校级月考）有下列4个关于不等式的结论：①若x<0,则x+《W-2；②若

xCR,则>2；③若xeR,则|x+白》2；④若。>0,贝£1+a）（l+；）24.其中正确的序号是.

四.解答题（共6小题，满分44分）

17.（6分）（2022•望花区校级开学）已知在（0,+8）.

（1）求y=x+［的值域；

（2）求丫=/+jx+3的最小值,以及>取得最小值时x的值.

18.（6分）（2021秋•新泰市校级期末）已知实数a>0,6>0,4+26=2.

12

（1）求一+r的最小值；

ab

（2）求/+4房+5浦的最大值.

19.（8分）（2022春•福田区校级期末）若a>0,b>0,a+6=l.求证:

41

(1)-+->9

ab

(2)(2a+1+72b+1<2V2.

20.（8分）（2021秋•洛阳期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形

菜园.设菜园的长为X7",宽为ym.

（1）若菜园面积为18〃，，则-y为何值时，可使所用篱笆总长最小？

（2）若使用的篱笆总长度为18加，求工+马的最小值.

xy

12

2L（8分）⑵22春•河南期末）观察下面的解答过程：已知正实数“满足求1+萨最小值.

解：'：a+b=l,

1212b2a2a

：'a+b=(a+6)(­+—)=3+—+—>3+2=3+

abT

b2a—一

当且仅当一=一，结合a+b=1得a=V2—1,b=2—应时等号成立,

ab

12「

...一+工的最小值为3+2V2.

ab

请类比以上方法，解决下面问题：

、11

（1）已知正实数x,V满足嚏+1=1，求x+4y的最小值；

12

（2）已知正实数%,y满足I+y=l,求-----+---的最小值.

2%+1y+1

gi

22.（8分）（2022春•润州区校级月考）（1）已知％>0,y>0,且满足一+一.求X+2y的最小值;

xy

⑵当。时，不等式%匕i2。恒成立’求实数加的最大值;

a2b

(3)已知a>0,b>0,求2a+b+2b+a的最大值.

专题2.4基本不等式-重难点题型检测

参考答案与试题解析

选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）

1.（3分）（2022春•韩城市期末）函数f（x）=5%+当（久>0）的最小值为（）

A.10B.15C.20D.25

【解题思路】利用基本不等式化简即可求解.

【解答过程】解：由题意/（x）=5x+§22』xxg=20,

当且仅当5x=与，即尤=2时取等号，此时取得最小值为20,

故选：C.

2.（3分）（2022春•郸都区校级期末）若实数x、y满足/+y2=l+初，则下列结论中，正

确的是（）

A.x+yWlB.C.x2+y2^lD.x2+y2^2

【解题思路】由f+y2-孙=1可得，（x+y）2=l+3xyWl+3（------）2,x2+y2-1=xy<X

2/

分别求出x+y与/+/的取值范围即可.

【解答过程】解：对于A,B,由/+/=1+孙可得，（x+y）2=1+3盯（1+3（等）2,

口

即rt-1（x+y）72<L

4

JG+y）”W4,・・・-2Wx+yW2,故A错，B错,

对于C,D,由f+y2=l+xy可得，W+y2_]=盯入％/,

・・・X2+/W2,故C错,。对，

故选：D.

3.（3分）（2022春•黄陵县校级期末）下列函数中，最小值为2的是（）

1

A.y=%+1B.y=x9-2x+4

i______

C.y=%2+/D.y=V%2+2+

【解题思路】选项4利用排除法，当xVO时，y<0；

选项8,由配方法，可得y23；

选项C,利用基本不等式，可得解；

选项。，采用换元法，令-22则y=f+（,再结合对勾函数的图象与性质，

得解.

【解答过程】解：选项A,当x<0时，y<0,即A不符合题意；

选项8,y=x1-2x+4=(x-1)2+3^3,即3不符合题意;

选项C,y=$+>22%2.==2,当且仅当/=勺，即尤=±1时，等号成立，即C符

XL\XLXL

合题意；

选项。，令f=+22/,则>=竹"在［a,+OO）上单调递增，

所以y?VI+W=挈，当且仅当仁鱼时，等号成立，即。不符合题意.

VL乙

故选：C.

（a+1）（3匕+1）

4.（3分）（2。22秋•哈尔浜月考）设4。，b>。,若a+3b=5,则一的最小值

为（）

A.9V3B.2C.6V2D.4g

【解题思路】由已知结合基本不等式即可求解.

【解答过程】解：a>0,b>0,a+3b=5,

则（^d+一l）片（3Z?-+l）-=-3-a-b--+a——+3匕+=13VH,F—+搐6223IVH7F—.搭6~=6V21,—

7aby/abQab\van

当且仅当3VHF=且。+3。=5,即4=2,。=1时取等号.

故选：C.

41

5.（3分）（2022秋•南关区校级月考）已知正实数a,b满足--+—=1,则a+2b

a+bb+1

的最小值为（）

A.6B.8C.10D.12

41

【解题思路】根据a+2b=a+b+b+l-1=（a+b+b+1）（----+----）-L结合基本不

a+bb+1

等式求解即可.

41

【解答过程】解：・・,正实数。，。满足「+广=1,

a+bb+1

a+2b=a+b+b+1-1=（a+b+b+\）（——十——）-1=5+-1.

a+bb+1a+bb+1

5+2、,第T=8,当且仅当〃+b=2（。+1）时等号成立，

\卜a唾+b）b+1

故选：B.

6.（3分）（2021秋•泽普县校级月考）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究

代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公

理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点尸在半

圆。上，点C在直径A8上，且。尸，A8,设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的无字

证明为（）

F

C.(a>0,b>0)

2abI—

D.------<Vab^aX),b〉0)

a+b

【解题思路】利用数形结合计算出OFOC,再在RtZ\OCT中，利用勾股定理得CR

再由可解.

1111

【解答过程】解：由图形可知：OF==2(a+b),OC—々(a+b)—b=々(a—b),

在RtzXOCF中，由勾股定理得：CF2=VOC2+OF2=(a2+b2),

又CF^OF,

J^(a2+b2)>^(a+ft),(a,b>0),

故选：C.

7.(3分)(2022春•营口期末)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首

先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用和“>”符号，并

逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若不相等的两个正实数a,

11

6满足a+6=4,且一+工〉竹亘成立，则实数f的取值范围是()

ab

A.0B.t<lC.W2D.t<2

11

【解题思路】利用“乘1法”，可得一+:>1,从而得解.

ab

【解答过程】解：工+[=工(a+b)(二+])=4(2+£+/2J(2+2)=1,当且仅

ab4abba4

ab

当；；=一，即〃=。=2时，等号成立，

ba

11

因为所以一+工>1,

ab

11

又一+工〉/恒成立，所以

ab

故选：A,

21

8.（3分）（2021秋•李沧区校级月考）若x>0,y>0,且一+-=1,1+2'>渥+7加恒成

xy

立，则实数机的取值范围是（）

A.-8<m<1B.m<-8m>lC.m<-1或相>8D.-l<m<8

【解题思路】根据题意，分析可得x+2y=（x+2y）（-+-）=4++孚+'由基本不

等式的性质求出x+2y的最小值，再由二次不等式的解法，解可得的取值范围.

21

【解答过程】解：根据题意，x>0,y>0,且一+-=1,

xy

贝ljx+2y=（x+2y）（j+（）=4+岑+-24+2J岑.宗=8,

当且仅当x=2y=4时等号成立，

即x+2y的最小值为8,

若1+2》>川+7机恒成立，必有加之+7wV8,解可得-8〈根<1.

即机的取值范围为（-8,1）.

故选：A.

二.多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）

9.（4分）（2021秋•滦南县校级月考）下列函数最小值为2的是（）

1%2+2

尸

A./y=x+x-B.I--------

上2+1

C.y=x^H—nD.y=J%（4一%）

x乙

【解题思路】对于AZ）可以利用特殊值法判断；对于5c利用基本不等式判断即可.

【解答过程】解：对于A,当工=-1时，>=-2,A错误.

对于B,>=与空=='±建=疹不1+下、？2/（H+i）.士=2,当且仅当

声声）、*+1

1

V%2+1=即1=0时取得等号，5正确.

对于C,尸/+5“口|=2,当且仅当/=5，即x=±l时取得等号，C正确.

对于〃，当x=0时，很显然最小值不是2,。错误.

故选：BC.

11

10.（4分）（2。21秋•建华区校级期中）若正数a,b满足"b=l,则皿+,的可

能取值为（）

6421

A.-B.-C.D.

7774

111

【解题思路】构造/⑶+2+3H2）X（―+—运用1的巧妙代换，结合基

本不等式求解.

【解答过程】解：'：a+b=l,：.3a+2+3b+2=l,

11111)=213b+23a+2、

=-X(3。+2+3。+2)X3a+2+3b+2(3a+2+3b+2

3a+23匕+27

.3b+23a+2

•・・m。都是正数,>0,>0,

3a+23b+2

,3b+23a+2,13b+23a+2_,

由基本不等式可知二工+亚^3a+2,3FF2=2

112243b+23a+21

-------+>—+—=—,当且仅当a+b=\,一;---时，即a=b=5时，取

3a+2----3b+2~77-7’3a+23b+22

等号.

114

+的最小值为3

3a+23b+2

故选：AB.

11.（4分）（2021秋•烟台期末）已知x>0,y>0,且x+y+孙-3=0,则错误的是（）

A.孙的取值范围是口，9]B.x+y的取值范围是[2,+°0）

C.x+4y的最小值是3D.尤+2y的最小值是4/-3

【解题思路】由已知结合基本不等式分别检验各选项即可判断.

【解答过程】解：因为尤>0,j>0,且无+y+盯-3=0,

所以尤+y=3-孙22c7，当且仅当x=y=l时取等号，

解得，0V月W1,即0〈孙W1,

所以孙的取值范围为（0,1],A错误；

又孙=3-（x+y）W（学产，且仅当x=y=l时取等号，

解得，x+y22,故5正确，

又x+y=3-xy<3；

由x+y+xy-3=0,得x=>0，

所以0VyV3,l<y+l<4,

所以x+4y=|^+4y=4（y+1）+9—5>3,此时等号无法取得，C错误；

彳+2尸+2y=2y_y\；]4=2（y+1）+洋厂3221（2y+2）,—3=4上一3,当

且仅当2》+2=圭，即y=/—l时取等号，此时x+2y取得最小值4立—3,。正确.

故选：AC.

771%+2V

12.（4分）（2021秋•呼兰区校级期中）已知x>0,y>0,且2x+y=2,若---<------对

m-1xy

任意的x>0,y>0恒成立，则实数加的可能取值为（）

1912

A.-B.-C.—D.2

487

【解题思路】先结合基本不等式求出a亘的最小值，然后由不等式恒成立转化为一匕<

xym-1

x+2y

（--）min,解不等式可求机的范围，结合选项可判断.

xy

【解答过程】解：因为尤>0,y>0,且2x+y=2,

%+2V1211212.x2v

所以--=-+-=-(-+-)(2x+y)=4(5+—+^）斗（5+2层2.9

xyyx2yx乙y%y=2'

2x2y9

当且仅当一=—且2x+y=2,即x=y=与时取等号，

yx§

m

廿工对任意的）>。,y>0恒成立,

右7

m-1xy

,m9

-<

则EI.2

7m—9

整理得-------->0,

m-1~

Q

解得加之q或加<1,

结合选项可知，ACD符合题意.

故选：ACD.

三.填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）

13.（4分）（2021秋•石鼓区校级月考）已知尤>2,x+&（。>0）最小值为3.贝。a

1

4-,

【解题思路】先变形得至Ux+段=%-2+号+2,再利用基本不等式求最值.

【解答过程】解：・・%>2,・,・％-2>0,

.*•x-\——=x-2H——7T+222VS+2,

%—2x—2

当且仅当x-2=^2，即工=2+历时取等号，

・，・x+（〃>0）最小值为2^\出+2,

•・4+号（。>0）最小值为3,

.,•26+2=3,.\a=

,~一,1

故r答案为：二.

4

14.（4分）（2022秋•新罗区校级月考）已知正实数mb满足M+〃+b=3,贝|2〃+匕的最

小值为4V2-3

【解题思路】利用已知关系式求出。=舒，则2a+b=2x洛+6=错+力=

8-猾D+6=鲁+b-2=岛+b+1-3,然后利用基本不等式即可求解.

【解答过程】解：因为"+。+。=3,所以〃=舒,

0_h6-2b78—2(b+l)j

贝1申+》=+b=-J+b

J2"b=2xb+1

=岛+6-2=岛+匕+1-322^4,9+1)-3=4夜-3,

8

当且仅当南=b+l,即时取等号，此时最小值为4企-3,

故答案为：4V2-3.

15.（4分）（2022•衡南县校级开学）直角三角形的斜边长为5时，其面积有最大

25

或小）值，为—.

【解题思路】先设直角边分别为x,»则/+『=25,然后结合基本不等式及三角形面积

公式可求.

【解答过程】解：设两直角边分别为x,y,则f+/=25,

因为/+y，2孙，当且仅当x=y=竽时取等号，

故xy<竽，

1

故三角形面积5=<手

故答案为：大；冬.

4

16.（4分）（2022秋•余姚市校级月考）有下列4个关于不等式的结论：①若x<0,则

工2+211

-2；②若xER,则不宜>2;③若xER,则|x+（|N2；④若。>0,贝!J（1+a）（l+?）24.其

中正确的序号是①②④.

【解题思路】利用基本不等式逐个判断4个结论即可，注意“一正，二定，三相等”3

个条件缺一不可.

【解答过程】解：对于①，若x<0,贝U-x>0,

••・x+A—（7+七）三-257^=-2,当且仅当-=当即x=-l时，等号成

立，故①正确，

X2+2(VX2+1)2+1L---1

2

对于②，若xER/Q=------1'-=Vx+1+/Q>

Vx2+1Vx72+1vx2+l

1=2,当且仅当衍TI=〒二，即x=0时，等号成立，故②正确,

Vx2+1Jx2+1

对于③，当冗=0时，无意义，故③错误，

对于④，若〃>0,贝!J(1+〃)(1+—)=1+4+〃+122+2=4,当且仅当〃=工，即

aa7aa

a=l时，等号成立，故④正确，

所以正确的序号是①②④，

故答案为：①②④.

四.解答题(共6小题，满分44分)

17.(6分)(2022•望花区校级开学)已知疣(0,+8).

(1)求y=x+1的值域；

(2)求y="+}+3的最小值,以及>取得最小值时尤的值.

【解题思路】(1)由题意利用基本不等式即可求解.

(2)由已知可得y="+jx+3=2+(x+|),利用基本不等式即可求解.

【解答过程】解：(1)因为疣(0,+8),

所以丫=%+*22^^=2,

取等号条件：x=],x2=l.

因为在(0,+8),

所以％=1,

1

所以函数y=x+(的值域为[2,+8).

(2)产/+2X+3=2+(x+3),

yXX

因为xE(0,+°°),

所以x+1>2*\/3,

所以y=2+(%+》22+2g，取等号条件：x=px2=3,

因为xE(0,+8),

所以久二百，当％=旧时，该函数取最小值2+2g.

18.(6分)(2021秋•新泰市校级期末)已知实数〃>0,b>0,a+2b=2.

12

(1)求一+工的最小值；

ab

(2)求6z2+4Z?2+5tz/?的最大值.

【解题思路】(1)利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出；

(2)利用a=2-2。将〃2+4廿+5〃。=-22+^,再利用二次函数求最大值即可得

出.

【解答过程】解：（1）・・・〃>0,Z?>0,且〃+2。=2,

1211212a2b12a2b9

A-+-=5(a+2b)[+])=(1+++4)(5+2)一,

ab2TT^2^b---a2

当且仅当M=一,即〃=。时等式成立,

ba

129

+工的最小值为1

ab2

(2)"：a>Q,b>0,a+26=2,

：.a=2-2b>0,可得

/+4/+5必=(2-26)-+4b2+5(2-26)b=-2b2+2b+4=-22+1,

19

当b=授时，/+4户+5成有最大值为一.

/2

19.（8分）（2022春•福田区校级期末）若a>0,b>0,a+b^l.求证:

（2）V2a+1+72b+1<2V2.

【解题思路】（1）由已知利用乘1法，结合基本不等式即可证明；

（2）利用基本不等式的结论（嗜/《生普即可证明.

【解答过程】证明：（1）因为。>0,b>0,〃+。=1,

所以3+工=（±+三）Q+6）=5+也+於5+2I也£=9,

ababab7ab

4ba17

当且仅当一=r且q+b=l,即。=与，〃=工时取等号，

ab33

,,41

故一+,29;

ab

22a+12b+1

（2）因为（，2a+l；V2bM<+=2,当且仅当丑2a+1=«2b+1且a+b

=1,即a=6=2时取等号，

所以V2a+1+72b+1<2V2.

20.（8分）（2021秋•洛阳期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没

有限制）的矩形菜园.设菜园的长为初7,宽为即7.

（1）若菜园面积为18根2,则x,y为何值时，可使所用篱笆总长最小？

（2）若使用的篱笆总长度为18m,求工+3的最小值.

xy

y

t____________________

x

【解题思路】(1)由题意得，孙=18,所用篱笆总长x+2y旧2j2%y,从而可求；

12112

(2)由题意x+2y=18,—+—=—(-+-)(x+2y)展开后利用基本不等式可求.

xy18xy

【解答过程】解：(1)由题意得，孙=18,

则所用篱笆总长x+2yN2j2xy=12,当且仅当元=2y且孙=18,即y=3,%=6时取等号,

此时所用篱笆总长最小；

(2)由题意x+2y=18,

所以:卜彳+:)(x+2y)x^=卷(5+§+争(5+2层.争

2V2,X1

当且仅当工二7且x+2y=18,即x=y=6时取等号，此时最小值为

21.(8分)(2022春•河南期末)观察下面的解答过程：已知正实数〃，匕满足〃+。=1,

求工+；的最小值.

ab

解：Va+b=l,

1212b2ab2CL/-

：.-+-=(a+b)(-+—)=3+—+—>3+2—•—=3+2V2,

ab'八aMabab

当且仅当一=―,结合a+b=l得a=V2—1,b=2—迎时等号成立,

ab

12L

A-+工的最小值为3+2V2.

ab

请类比以上方法，解决下面问题:

11

(1)已知正实数x,y满足一+-=1,求1+4y的最小值；

xy

12

(2)已知正实数x,y满足x+y=l,求-----+——的最小值.

2x+ly+1

11

【解题思路】(1)类比已知解题方法，将x+4y变为x+4y=(x+4y)©+"),展开后

结合基本不等式，即可求得答案；

1214

(2)将x+y=l化为(2x+l)+(2y+2)=5,将----+——变形为-----+-----，类

2x+ly+12x+l2y+2

比所给解题方法，结合基本不等式，求得答案.

11

【解答过程】解：⑴由正实数X―满引+厂1得:

%+4y=(x+4y)(-4--)=5+—+->5+2—--=9.

/八％y，xyxy

4vx11a

当且仅当一=一，结合一+-=1得％=3,y=亍时等号成立，的最小值为9.

xyxyz

(2)正实数x,y满足x+y=l,得(2x+l)+(2y+2)=5,

1214114

/.----+----=-----+-----=一((2%+1)+