人教版2024七年级数学专项复习：有理数的运算（解析版）

专题02有理数的运算(考点清单，知识导图+10个考点清单

+6种题型解读)

考点侪单

卜，取‘；」「II4.，•；；••>.”'*¥:--::曲培“ra；«"

境叶值长相等的异学两技相帕.和取笫.6传出大的加it的

林号.H和的健,时值率于加长的修时值中皎大X与^小N

的良.瓦为相反敦的两个我初加部)

一个数与，一相加,仍得这个数J

一[MZ*.A'Y.?于力，送个k的格E数

两栽相泉，同事再工.算片耳R,且和的脩时值写于电it的铮.讨值■的机

任何做.与Ib植东..—力

~~[:先以一，不等T•”的4t.♦十拿这4盘的倒叫

|-万齐H知个相同爽敢的粗的运算.叫作东方，东方的结果叫作卫

也一个大于卜的数表示或“X1T的彩式(其中〃大子我等于1且小

有Tio,“艮正整敦)

理

数

的

运先罪方，再嶷除，最后加d.

算

同级运算.从左到右丑行

有理里

加*京

运算结

为有理

a..(a+6)+c=a+(d+c)

一~,二月行,结合揖卜；

laMc=a[bc)

分配律a(b-^c)=ah^ac

、一1用计H系进行有理数的辽•

【清单01】有理数加法运算

1.加法法则:

①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.

②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.

③一个数同0相加，仍得这个数.

有理数加法运算的步骤

2.有理数加法的运算律

运算律文字叙述用字母表示

加法交换律两个数相加，交换加数的位置，和不变a-\-b=b-\-a

三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后

加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)

两个数相加，和不变

3.加法运算律的运用技巧

(1)互为相反数的两个数先相加----"相反数结合法”；

(2)符号相同的数先相加——“同号结合法”；

(3)整数与整数、小数与小数、分母相同(或分母成倍数关系易化成同分母)的数先相加——“同形结合法”；

(4)几个相加得整数的数先相加——“凑整法”；

(5)带分数相加时，可先拆成整数与分数的和，再分别相加——“拆项结合法”.

【清单02】有理数减法运算

1.减法法则：

减去一个数，等于加这个数的相反数.即a-b=a+(-b).

减号变加号

如:可，甲=(昔^甲-27.

I1~J

被减数不变减数变相反数

2.两数相减差的符号

⑴较大的数一较小的数=正数，即若心6,则a—6>0.

(2)较小的数一较大的数=负数，即若。<6,则a—6<0.

(3)相等的两个数的差为0,即若a=6,则。-6=0.

特别解读

减法转化为加法过程中，应注意“两变一不变”.“两变”是指运算符号“一”号变成“+”号，减数变成

它的相反数；“一不变”是指被减数和减数的位置不变.

【清单03】有理数加减混合运算

1.有理数加减混合运算的方法

(D运用减法法则，将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，转化为加法后的式子是几个正数或负数的

和的形式.

(2)运用加法交换律，加法结合律进行计算，使运算简便.

如:(+7)-(+10)+(-3)-(-8)

=(+7)+(—10)+(-3)+8

=(7+8)+[(-10)+(—3)]=15+(—13)=2.

2.省略和式中的括号和加号

将有理数的加减混合运算统一成加法运算时，在和式里可以把加号及加数的括号省略不写，以简化书写形

式.如(―20)+(—3)+(+2)+(—5)可以写成一20—3+2—5.

这个式子有两种读法：

(1)按加法的结果来读：负20、负3、正2、负5的和；

(2)按运算来读：负20减3加2减5.

【清单04】有理数乘法运算

1.有理数的乘法法则

(1)两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积.

(2)任何数与0相乘，都得0.

2.有理数乘法的符号法则

a与b乘积的符号a与b的符号

正同号，即a>0,6>0或。<0,b<0

负同号，即”>0,b>0或a<0,b<0

0至少一个为0,即a=0或8=0

3.倒数

定义乘积是1的两个数互为倒数.

倒数与相反数之间的关系

不同点

相同点

定义表示性质判定

若。，b互为若ab=l9

倒乘积是1的两个数。(。羊0)的倒数是工

倒数，则

数互为倒数a

ab=l则〃，〃互为倒数

若a+b=0,都成对出现

相只有符号不同的两若a,b互为

反个数叫作互为相反a的相反数是一a相反数，则。

则以〃互为相反

数数+6=0

数

4.乘法运算律

运算律文字表示用字母表示

乘法交换律两个数相乘，交换乘数的位置，积不变ab=ba

三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不

乘法结合律(ab)c=a(bc)

变

一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，

分配律a(b+c)=ab+ac

再把积相加

【清单05】有理数除法运算

1.除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.即a+b=a•▲(bWO).

b

2.有理数除法法则二两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝

对值的商.0除以任何一个不等于0的数，都得0.

Dxl-4)=[+J(l-KI：I41)=294(-»=古啊T1-3

两敛布城t―被阻松t

场对值相睑地尺侵相险

方法点拨：除法法则的选用原则

「施伊除♦法则：T

西教L性时值和除

L"鹿黑故中FA*f转化为乘汰

3.分数的化简

(1)实质

分数的化简，即利用有理数除法法则，用分数的分子除以分母的运算过程.

(2)分数的符号法则

分数的分子、分母及分数本身的符号，改变其中任意两个，分数的值不变.

用字母表示at==/=彳=一..

nnnn

【清单06】有理数乘除混合运算

有理数的加减乘除混合运算顺序

在运算时要注意按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如果有括号，应先算括号里面的.在同级运算中，要

按从左到右的顺序来计算，并合理运用运算律，简化运算.

【清单07】有理数乘方运算

1.乘方运算的意义

概念示例

。°。记作〃・，

求”个相同乘数的积的运算，叫作乘

乘方M个11

方

读作“a的n次方”

乘方的结果叫作幕

嘉挣数（*敢的个数）

中，〃叫作底数，n叫作指数t;,

底数和指数r

点■.效（柒粒）

2.an,-an和（一。）"的联系与区别

an—an（一4）〃

区底数为〃，表示〃表示〃个〃相乘底数为一〃，表示〃

别

个〃相乘的积的积的相反数个一〃相乘的积

联当〃为奇数时，一“〃=（一〃）"，它们分别与然"互为相反数；

系当〃为偶数时，〃〃=（一〃）"，它们分别与一〃〃互为相反数

知识拓展：（1）负数的奇次幕是负数，负数的偶次幕是正数；（2）乘方运算中，当底数有“一”号时，底数要加

括号；（3）当底数互为相反数时，它们的奇次塞也互为相反数，偶次哥相等.

3.乘方的运算法则

（1）负数的奇次塞是负数，负数的偶次塞是正数；

（2）正数的任何次幕都是正数；

（3）0的任何正整数次暴都是0.

【清单08】有理数混合运算

有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；

③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.

【清单09】科学记数法

1.定义：把一个大于10的数表示成axlO"的形式（其中1W同＜10,〃是正整数），此种记法叫做科学记

数法.例如：200000=2xlO5.

2.科学记数法表示数的步骤

确定a—将双数的小数也向九样.使其禁数公，数

502457

方法I：限如:“收的

生上^三__收的不教（收,城1

---------------♦小般也向左移昉的0h

方法2：根据小散也收盘向左“动5f

移助的仆盘笊前定

3.还原科学记数法表示的数

if4,，敷[.敢刃LI■

4.<I2x|(Fs4O2Ofl

「方0x10中二敌仪敷为"侦.蚪如.Lf

-

“、&叼'、^0114M1(，■-iKHifiI.

/用口料足Iif

*L方愎2：将ax]0"中0的小数戊1------------：--------1

向/>传动n位小It太向右H4Mu

4.方法点拨：比较用科学记数法表示的两个数大小的方法

两数性质I比西〃,，2比较“

两个正收♦“大的仕大1〃杞上弱

两个货4t,，”大的我小।“’的.大

【清单10】近似数

1.准确数：与实际完全符合的数，称为准确数.

2.近似数：许多实际情况中，较难取得准确数，把接近准确数但不等于准确数的数称为近似数.

3.近似数的精确度：近似数的精确度是指近似数与准确数的接近程度.一般地，一个近似数四舍五入到哪

一位，就说这个近似数精确到哪一位.

近似数的精确度的表述方法：

(1)用数位表示，如精确到千位，精确到千分位等；

⑵用小数表示，如精确到0.1,精确到0.01等；

(3)对带有单位的数用单位表示，如精确到1kg,精确到1m等.

4.取近似数的方法：通常用四舍五入法；特殊情况下使用去尾法、进一法.

盛型睛单

【考点题型一】有理数的运算

【例1】(22-23七年级上•山东济宁•期中)现定义运算“*”：对于任意有理数a,b,满足

=例如：5*3=2X5-3X3=1,则(2*3)-(4*3)的值为()

[3a-2b(a<b)

A.1B.2C.-1D.-2

【答案】A

【分析】本题主要考查有理数的四则混合运算，直接利用新的运算法则将2*3和4*3,从而求出

(2*3)-(4*3),读懂运算规则是解题的关键.

2a-3b(a>b)

【详解】解：•；a*6=

3Q-2b(a<b)

.•.2*3=3x2—2x3=0,4*3=2x4—3x3=-1,

...(2*3)—(4*3)=。—(—1)=1.

故选：A.

【变式1-1](23-24七年级上•江苏南通•期中)计算

14

(1)413.8+1-(-2.75)

⑵一3«2小，小2

【答案】(1)4

⑵-81

【分析】本题主要考查了有理数的混合运算：

(1)利用加法的交换律和结合律计算，即可求解；

(2)先计算乘方，再计算乘除，即可求解.

14

【详解】(1)解：4--3.8+--(-2.75)

(2)解:-32x-2-

9

x(-2)x2

=—81.

【变式1-2](23-24七年级上•福建泉州•期中)计算:

(1)(-2)+(+3)-(-5)-(+4);

【答案】(1)2

【分析】本题考查了有理数的混合运算，注意计算的准确性即可.

(1)利用有理数的加减混合运算法则即可求解；

(2)利用有理数的乘除混合运算法则即可求解；

【详解】(1)解：原式=-2+3+5-4

=2

~411

⑵解：原式

_4_

一一万

【变式1-3](23-24七年级上•四川达州•期中)定义一种运算：族6=3”26+1,求[3※(-4)忤5

【答案】45

【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握运算法则是解本题的关键.

原式利用已知的新定义计算即可得到结果，注意运算顺序.

【详解】解：[3※(-4)怦5

=[3x32x(-4)+l]X5

=(9+8+1必5

=18X5

=3x18-2x5+1

=54-10+1

=45.

【变式1-4](22-23七年级上•浙江台州•期中)小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的

兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“㊉”，运算规则为：a§b=axb-a-b.

⑴计算(-2)㊉2的值;

(2)填空:5㊉(-3)_(-3)㊉5(填“>”或“=”或“<”)；

⑶求(一3)㊉(4㊉;)的值.

【答案】(1)-4

⑵二

⑶13

【分析】本题主要考查了新定义运算、有理数四则混合运算等知识点，将新定义运算转化成有理数四则混

合运算成为解题的关键；

(1)先运用新运算法则将原式转化成有理数的混合运算，然后再计算即可；

(2)先分别根据新运算法则计算两个代数式，然后比较即可；

(3)先运用新运算法则将原式转化成有理数的混合运算，然后再计算即可.

【详解】(1)解：(一2)㊉2=(-2)x2-(一2)-2=-4.

故答案为：-4.

(2)解：v50(-3)=5x(-3)-5-(-3)=-17,(-3)㊉5=(-3)x5-(-3)-5=-17,

・・・5㊉(―3)=(—3)㊉5.

故答案为：二.

(3)解：(-3)㊉(4㊉1

=(一3)㊉-

=----1-3H—

=13.

【考点题型二】有理数的运算的应用

【例2】(22-23七年级上•宁夏银川•期中)某地一天最高气温13。4最低气温-5。。这天的温差是

()℃.

C.-18D.-8

【答案】B

【分析】本题考查负数，有理数的知识，解题的关键是掌握温差的定义，有理数的加减运算，即可.

【详解】解：这天的温差为13-(-5)=18(℃)

故选：B.

【变式2-1](22-23七年级上•贵州贵阳•期中)某市客运管理部门对“五一”黄金周假期五天的客流变化最

做了不完全统计，数据如下(用正数表示客流量比前一天上升数，用负数表示下降数)：

日期1日2日3日4日5日

变化/万人20-2-593

与4月30日比，5月3日的客流量变化了多少()

A.下降了5万人B.上升了13万人

C.上升了21万人D.下降了7万人

【答案】B

【分析】本题考查有理数加法的实际应用，正负数的意义，将表格中前3天的数据求和后，进行判断即

可.

【详解】解：20-2-5=13,

・•.与4月30日比，5月3日的客流量上升了13万人；

故选B.

【变式2-2](23-24七年级上•辽宁鞍山•期中)一架直升机从高度为600米的位置开始，先以20米/秒的

速度垂直上升60秒，后以12米/秒的速度垂直下降100秒，这时飞机所在的高度是米.

【答案】600

【分析】本题考查正负数表示相反意义的量，有理数的运算，根据上升为正，下降为负，由题意进行有理

数加减运算即可.

【详解】记上升为正，下降为负，则飞机高度为：

600+20x60+(-12)x100

=600+1200+(-1200)

=600(米).

故答案为：600

【变式2-3](22-23七年级上•宁夏银川・期中)10筐苹果，以每筐30千克为标准，超过的千克数记为正

数，不足的千克数记为负数，记录如下：2,-4,2.5,1,-1,-0.5,3,-1,0,-2.5.问：平均每筐苹果重多少？

【答案】平均每筐苹果重29.95千克

【分析】本题考查了正数和负数，有理数四则运算的实际应用，利用有理数的加法得出与标准的差是解题

关键.根据有理数的加法，可得与标准的差，根据有理数的除法，可得平均数.

【详解】解：30+[2+(-4)+2.5+1+(-1)+(-0.5)+3+(-1)+0+(-2.5)]^10

=30+(-0.05)

=29.95(千克)

答:平均每筐苹果重29.95千克.

【变式2-4](23-24七年级上•四川达州•期中)某检修小组乘一辆汽车沿检修路约定向东走为正，某天从

/地出发到收工时行走记录(单位：km):+15,—2,+5,—1,+10,—3,—2,+12,+4,—5,+6,

求：

(1)问收工时检修小组在工,地的哪一边，距工地多远？

(2)若每千米汽车耗油3升，开工时储存180升汽油，回到收工时中途是否需要加油？若加油，最少加多少

升？若不需要加油，到收工时还剩多少升汽油？

【答案】(1)收工时在A地的正东方向，距A地39km.

(2)故到收工时中途需要加油，加油量为15升.

【分析】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量.在一对具有相反意义

的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示.

(1)求出这几个数的和，根据结果的符号确定方向，绝对值确定距离；

(2)计算行驶的总路程和耗油量，比较得出答案.

【详解】(1)根据题意可得：向东走为“+”，向西走为“一”；

则收工时距离等于(+15)+(-2)+(+5)+(-1)+(+10)+(-3)+(-2)+(+12)+(+4)+(-5)+(+6)=+39.

故收工时在A地的正东方向，距A地39km.

(2)从A地出发到收工时，

汽车共走了|+15[+—2]+[+5]+|T+|+10[+|-3]+|-2|+|+12[+|+4]+[-5]+|+6]=65km；

从A地出发到收工时耗油量为65x3=195(升).

故到收工时中途需要加油，加油量为195-180=15升

【考点题型三】科学计数法

【例3】(23-24七年级上•云南曲靖•期中)连接海口、文昌两市的跨海大桥，近日获国家发改委批准建

设，该桥估计总投资1460000000.数据1460000000用科学记数法表示应是()

A.146xl07B.1.46xl09C.1.46xlO10D.0.146x10Kl

【答案】B

【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中"为整数.确

定力的值时，要看把原来的数，变成。时，小数点移动了多少位，"的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值210时，"是正数；当原数的绝对值＜1时，"是负数，确定。与"的值是解题的关键.

【详解】解：1460000000=1.46x109.

故选：B

【变式3-1](23-24七年级上•江苏徐州•期中)高铁深受市民喜爱，客流量逐年递增，2023年，某地高铁

客流量再创新高，日最高客流68300000人次，数字68300000用科学记数法表示为()

A.0.683xlO9B.6.83xl07C.68.3x10sD.68.3xlO7

【答案】B

【分析】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中〃为

整数，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.

科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中10al<10,〃为整数.确定力的值时，要看把原数变成。

时，小数点移动了多少位，"的绝对值与小数点移动的位数相同.

【详解】解：数字68300000用科学记数法表示为6.83x107.

故选：B

【变式3-2］（23-24七年级上•河南商丘・期中）在网络上用“Baidu”搜索引擎搜索“中国梦”，能搜索到与之

相关的结果个数约为1030000,这个数用科学记数法表示为.

【答案】1.03xl06

【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为ax10"的形式，其中〃为整数，正

确确定a、〃的值是解题的关键.

将1030000写成axlO"其中〃为整数的形式即可.

【详解】解：1030000=1.03x106.

故答案为L03xl（）6

【变式3-3］（23-24七年级上•辽宁丹东•期中）赤道半径为6378200米，用科学记数法表示为一米.

【答案】6.3782xlO6

【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义.

科学记数法的表现形式为axlO”的形式，其中1<H<10,〃为整数，确定〃的值时，要看把原数变成。

时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，〃是正

数，当原数绝对值小于1时"是负数；由此进行求解即可得到答案.

【详解】解:6378200=6.3782xlO6

故答案为：6.3782x10s

【变式3-4］（23-24七年级上•湖北鄂州•期中）太和镇上洪村小莹家今年种植的黄桃获得大丰收.一位客

户来买了10箱黄桃，小莹帮助爸爸记账，每箱黄桃的标准重量为10千克，超过标准重量的部分记为

“+"，不足标准重量的部分记为莹莹的记录如下（单位：千克）：+0.05,+0,15,-0.05,+0.1,

—0.2,+0.3,—0.2,0,+0.05,—0.15.

（1）计算这10箱黄桃的总重量为多少千克？

（2）如果黄桃的价格为20元/千克，计算莹莹家出售这10箱黄桃共收入多少元？（精确到十位，用科学记

数法表示）

(3)若都用这种纸箱装，莹莹家的黄桃共能装500箱，按照20元/千克的价格，把黄桃全部出售，莹莹家大

约能收入多少元？(精确到万位，用科学记数法表示)

【答案】(1)100.02千克

(2)2.00*1()3元

(3)1.0x105元

【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用；

(1)根据题意列出算式，进行计算即可；

(2)根据黄桃的价格为20元/千克，列出算式计算即可；

(3)根据莹莹家的黄桃共能装500箱，按照20元/千克的价格，把黄桃全部出售，列式求出结果即可；

解题的关键是根据题意列出算式.

【详解】(1)解：+0.05+0.15-0.05+0.1-0.2+0.3-0.2+0+0.05-0.15=0.05(千克)

10x10+0.05=100.05(千克)

・••这10箱黄桃的总重量为100.05千克.

(2)解：20xl00.05=2001~2.00xl03(元)，

・••莹莹家出售这10箱黄桃共收入大约2.00x103元.

(3)解：2001-10x500=100050-l.OxlO5(元)，

答：莹莹家大约能收入10x10'元.

【考点题型四】近似数

【例4】(23-24七年级上•广东汕头•期中)用四舍五入法得到的近似数0.270,其准确数。的范围是

()

A.0.2695<«<0.2075B.0.265<a<0.275

C.0,27<a<0,28D.0.2695<a<0.2075

【答案】D

【分析】本题考查了近似数，熟练掌握近似数的确定方法是解题关键.近似数精确到哪一位，是对下一位

的数字进行四舍五入得到的，由于。的近似值为0.270,则由四舍五入近似可得。的取值范围，即看万分位

上的数.

【详解】解：由题意得，当。满足0.26954a<0.2075时,得到的近似数为0.270.

故选：D.

【变式4-1](22-23七年级上•浙江•期中)把。精确到十分位的近似数是23.6,贝ija的取值范围是()

A.23,55<a<23.65B.23,55<<7<23,65

C.23.55<a<23,64D.23.54<a<23.65

【答案】B

【分析】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数；从一个近似数左边第一个不为

0的数数起到这个数完为止，所有数字都叫这个数的有效数字.根据近似数的精确度求解.

【详解】解：近似数x精确到十分位是236则x的取值范围为23.55Wa<23.65.

故选：B

【变式4-2]（23-24七年级上•吉林•期中）用四舍五入法取近似值：23.618。（精确到百分位）.

【答案】23.62

【分析】本题考查近似数和有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字

都是这个数的有效数字.近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示.一般有，精确到哪一位，保留

几个有效数字等说法.把千分上的数字8进行四舍五入即可.正确理解近似数和有效数字是解题的关键.

【详解】解：用四舍五入法取近似值：23.618^23.62（精确到百分位）.

故答案为：23.62

【变式4-3]（22-23七年级上•河南平顶山•期中）8位裁判给一位运动员打分，每个人给的分数都是整

数，去掉一个最高分，再去掉一个最低分，其余得分的平均数为该运动员的得分.若用四舍五入取近似值

的方法精确到十分位，该运动员得8.3分，如果精确到百分位，该运动员得分应当是分.

【答案】8.33

【分析】本题考查平均数的计算及四舍五入取近似值的运用，读懂题意，按要求逐步计算即可得到答案，

熟练掌握平均数的计算方法，理解四舍五入取近似值方法是解决问题的关键.

【详解】解：设该运动员的实际得分为x,

用四舍五入取近似值的方法精确到一位小数能得到8.3,则8.25Wx<8.35,

8位裁判去掉最高和最低得分后，实际取值就是6个人的分数，

•••该运动员的有效总得分为6x,其范围是8.25x6=49,5<6x<50.1=8.35x6,

••・每位裁判给的分数都是整数，则得分总和也是整数，

・・・在49.5和50.1之间只有50是整数,即该运动员的有效总得分是50分，则50+6。8.3333,精确到两位

小数就是8.33,

故答案为：8.33

【变式4-4]（22-23七年级上•湖北武汉•期中）如图，是一所住宅的建筑平面图（图中长度单位：m）

（1）用式子表示这所住宅的建筑面积；

⑵若武汉今年10月的房价均价约为16183元/n?,求当图中的x=8时，住户买此房产的总房价.（计算

结果四舍五入到万位）

【答案】（l）/+2x+18,

（2）159万元.

【分析】（1）把四个小长方形的面积合并起来即可；

（2）把x=8代入（1）中的代数式求得答案，再按要求取近似值即可.

【详解】（1）解：住宅的建筑面积为：2x+尤2+3x2+3*4=/+2尤+18;

（2）当x=8时，

住宅的建筑面积有无2+2X+18=82+2X8+18=98.

.••住户买此房产的总房价16183x98=1585934,159（万元）.

【点睛】此题考查列代数式，求解代数式的值，近似数的含义，理解题意，利用面积公式列出代数式是解

决问题的关键.

【考点题型五】数形结合思想

【例5】（22-23七年级上•重庆・期中）数轴上°,6两数如图所示，则下面说法正确的是（）

---!-11A

b0a

A.Q+6V0B.a-b<0C.—<0D.ab>0

b

【答案】C

【分析】根据数轴可知：b<Q<a,且用<同，根据有理数的运算法则进行判断即可.

【详解】解：“〈Ova,且。|<同，

,・a+b>0,故A不正确，不符合题意；

故B不正确，不符合题意;

故C正确，符合题意；

b

.-.ab<0,故D不正确，不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题主要考查了根据数轴比较大小以及有理数的运算法则，解题的关键是熟练掌握两数相乘

(除)，同号得正，异号得负；同号两数相加，取它们相同的符号，并把绝对值相加，异号两数相加，取

绝对值较大数的符号，并把绝对值相减；减去一个数等于加上它的相反数.

【变式5-1](22-23七年级上•福建泉州•期中)有理数0,6、c在数轴上所对应的点的位置如图所示，有

下列四个结论：

①(a+b)(b+c)(什a)>0；@b<b2<-；③-加;(4)\a-b\-\c-a\+\b-c\-\a\=a.其中正确的

b

结论有()个.

abc

―II______________________I__________I_________I_______I____________

-101

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】根据数轴上各数的位置得出a<-l<O<b<c<l,依此即可得出结论.

【详解】解：由数轴上。、氏c的位置关系可知：

①a<0<6<c,

■■■a+b<0,b+c>0,c+a<0,

；.(a+6)(b+c)(c+a)>0,故①正确；

②丫0<6<1,

.-.b2<b,b<-,

b

.-.b2<b<~,故②错误；

b

③1,1-be<1,

：.\a\>l-bc；故③错误；

④•・,a<b,c>a,c>b,a<0,

：.a-b<0,c-a>0,b-c<0,

—b]一-+—c]—=6—Q—(c—Q)+(C—6)—(一〃)=b—ci—c-\-ct-\-c—b-\-ci=a.故TF确.

故正确的结论有①④，一共2个.

故选：c.

【点睛】本题考查了数轴、绝对值和有理数的大小比较，有理数的乘法法则，乘方运算等知识；弄清数轴

上各数的大小是解决问题的关键

【变式5-2］（22-23七年级上•江苏扬州•阶段练习）有理数a,6在数轴上表示如下图：则下列结论正确的

有（填序号）.

①a+b>0,（2）a—b>0,③同<6,（4）—b>a,⑤<0,⑥a+6=-（同一码）

------1-------1-।------------------►

a0b

【答案】④⑤⑥

【分析】由数轴可知a<0<6,且同>0|,再根据选项分别判断即可.

【详解】解：由数轴可知a<O<b,且同>。|,

•••a+b<0,a-b<0,

故①②不正确；

•・・同〉问=b,

>b,

故③不正确；

,.•同〉网,

・•・-a>b,

・••-b>a,

故④正确；

-a>b>0,

*<•—a+6〉0,

<0,

故⑤正确；

•.•一（时一网）=_（_Q-6）=Q+6,

・•・故⑥正确；

故答案为：④⑤⑥.

【点睛】本题考查数轴与有理数，熟练掌握数轴上点的特征，绝对值的性质，加减法的法则、乘除法的法

则是解题的关键

【变式5-3](23-24七年级上•山东临沂・期中)一名外卖员骑电动车从饭店出发送外卖，向西走了2千米

到达小琪家，然后又向东走了4千米到达小莉家，继续向东走了3.5千米到达小刚家，最后回到饭店.以

饭店为原点，以向东的方向为正方向，用一个单位长度表示1千米，点O,A,B,C分别表示饭店，小莉

家，小刚家，小琪家.

(1)请你在数轴上表示出点O,A,B,C的位置；

(2)小刚家距小琪家多远？

(3)小琪步行到小刚家，每小时走4千米：小刚步行到小琪家，每小时走6千米，若两个人同时分别从自己

家出发，则相遇时距离小莉家多远.

【答案】(1)见解析

(2)小刚家距小琪家7.5千米

(3)两个人相遇之时距小莉家1千米

【分析】本题考查了相反意义的量，两点间的距离，有理数加减的运算应用.

(1)根据相反意义的量，结合距离描述在数轴上即可.

(2)根据题意，得％=-2,盯=2,马=5.5,根据两点间的距离公式计算即可.

(3)根据题意，得相遇时间为7.5+(4+6)=0.75(小时)，再计算小琪运动后的位置，再利用两点间的距离

计算与/的距离即可.

【详解】(1)根据题意，点。，A,B,C的位置如图所示：

COAB

I'I.I■II1.1

-3-2-101234567

(2)根据题意，得％=-2,XA=2,XB=5.5,

BC=xB—xc=5.5—(—2)=7.5(千米)，

答：小刚家距小琪家7.5千米.

(3)•.,8C=XB-XC=5.5-(-2)=7.5千米，小琪步每小时走4千米：小刚每小时走6千米，

二两人相遇时间为7.5+(4+6)=0.75(小时)，

•••0.75x4=3(千米)，

・・・小琪相遇时的位置是一2+3=1(千米)，

1•1X/=2,

两点间的距离是2-1=1(千米)，

故两个人相遇之时距小莉家1千米

【变式5-4](22-23七年级上•陕西西安•期中)如图一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为1cm,

木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合.

,,II,,

064324

(1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点8时，它的右端在数轴上所对应的数为24,则

当它的右端移动到点/时，则它的左端在数轴上所对应的数为6,求木棒的长度；

(2)图中点/所表示的数是_；

(3)由题(1)(2)的启发，请你借助“数轴”这个工具帮助媛媛解决下列问题：

一天，媛媛去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40

年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁，哈哈！”，请问爷爷现在多少岁了？

【答案】(1)6厘米

⑵12

(3)70岁

【分析】(1)由数轴观察知三根木棒长是24-6=18厘米，即可求出木棒的长度.

(2)根据木棒长度，将木棒沿数轴水平向左移动到/点时，则它右端在数轴上所对应的为木棒的长度即

可求出/所表示的数.

(3)在求爷爷的年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看作木棒/以类似爷爷比小红大时看作点/

移动到点8,此时8所对应的数为-40,小红比爷爷大时看作3点移动到4点时，此时/点数为125,所以

可知爷爷比小红大[125-(-40)[+3=55,可知爷爷的年龄.

【详解】(1)由数轴观察知三根木棒长是24-6=18厘米，则此木棒的长为：18+3=6厘米，

故答案为6厘米.

(2)因为木棒长6厘米，将木棒沿数轴向左水平运动，则当它的右端移动到/点时，则它的右端数轴上

所对应的数为12,

故答案为12.

(3)借助数轴，把小红与爷爷的年龄看作42的长度，类似爷爷比小红大时看作点”移动到点2,此时2

所对应的数为-40,小红比爷爷大时看作2点移动到/点时，此时/点数为125,所以可知爷爷比小红大

[125-(-40)]3=55,可知爷爷的年龄为125-55=70(岁)，

故爷爷的年龄为70岁.

【点睛】本题考查数轴的特点，解题的关键是把爷爷与小红的年龄差看作一个整体（木棒/8）,然后把

此转化为上一题的问题.

【考点题型六】分类讨论思想

【例6】（22-23七年级上•山东聊城•期中）已知忖=5,回=2,且x+y<0,则的值等于（）

A.7和-7B.7C.-7D.以上答案都不对

【答案】D

【分析】此题主要考查了有理数的加减法以及绝对值正确掌握运算法则是解题关键；直接利用绝对值的性

质以及有理数的加法分类讨论得出答案.

【详解】:国=5,|引=2,且x+y<0,

x=-5/=-2或x=-5/=2,

・・.％7=_3或—7,

故选：D

【变式6-1]（23-24七年级上•江苏徐州•期中）对于有理数x,y,若孙<0,则放+/+4的值是

（）

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】B

【分析】本题考查绝对值的计算，正确确定x,y的正负号，求出绝对值后化简是求解本题的关键.先判断

绝对值里面的代数式的正负再计算.

【详解】解：•.,孙<0,

••X,y异号.

当x>0,丁<0时，则占+友+上=-1+1-1=-1;

网同y

当x<0,y〉o时，贝!J吕+a+'=_i_i+i=T；

网国y

综上，苫+吉+忸的值是-1.

故选:B.

【变式6-2]（23-24七年级上•江西南昌・期中）已知整数a,6满足a=-4,。+6<0,。6<0,则

a_

~b~----------.

4

【答案】-4或-2或-§

【分析】本题主要查了有理数的加法，乘除运算.根据有理数的乘法可得6异号，从而得到b取正整

数，再根据有理数的加法运算可得b取1,2,3,即可求解.

【详解】解：,.•仍<0,

'-a,b异号，

"=-4,a,b为整数，

・・.b取正整数，

a+b<0,

.4取1,2,3,

@=-4或-2或--.

b3

_4

故答案为：-4或-2或一3

【变式6-3](23-24七年级上•山东潍坊・期中)如图1,点A,B,C是数轴上从左到右排列的三个点，

分别对应的数为-7,b,2.某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上

的点A,发现点B对齐刻度2.1cm,点C对齐刻度6.3cm.

A♦H♦C♦»

7b2

图1

AB(

•T•.A

0Icm234567

图2

⑴在图1的数轴上，AC=个单位长度；在图2中，AC=cm；数轴上的一个单位长度对应刻

度尺上的cm,在数轴上点B所对应的数6=.

(2)在图2的数轴上标出下列数字：-3,0