沪科版九年级数学上册期末复习 第23章 解直角三角形易错训练与压轴训练（3类易错+3类压轴）

第二十三章解直角三角形易错训练与压轴训练01思维导图01思维导图目录TOC\o"1-3"\h\u易错题型一误认为三角函数值与三角形大小有关 1易错题型二将特殊三角函数值记混 4易错题型三当三角形的形状不确定时，未分类讨论 7压轴题型一构造直角三角形求线段长度 13压轴题型二构造直角三角形求面积 15压轴题型三建直角三角形模型解实际问题 17002易错题型易错题型一误认为三角函数值与三角形大小有关例1．（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）把△ABC三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的正弦值（

）A．不变 B．缩小为原来的1C．扩大为原来的2倍 D．不能确定巩固训练1．（23-24九年级上·河南南阳·期末）在△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角∠A的正弦值、余弦值的变化情况是（

A．都缩小为原来的12 C．都没有变化 D．不能确定2．（23-24九年级上·广西贺州·期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，各边都扩大2倍，则锐角AA．扩大2倍 B．不变 C．缩小12 D．扩大3．（23-24九年级上·广东佛山·期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三边都扩大5倍，则A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不能确定 D．不变易错题型二将特殊三角函数值记混例2．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）在△ABC中，∠C=90°，tanA=3，那么cosA． B． C．12 D．巩固训练1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在△ABC中，∠C=90°，sinA=32，则A．1 B．12 C． D．2．（23-24九年级上·山东东营·开学考试）下列式子中不成立的是（

）A．2cos45°=2C．cos45°−sin3．（2024·广东肇庆·一模）若∠A=30°，∠B与∠A互余，则sinB=（A．12 B． C．33 D．易错题型三当三角形的形状不确定时，未分类讨论例3.（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在△ABC中，若AB=58，tanB=37，巩固训练1．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在△ABC中，cos∠ABC=12，AB=4，AC=152．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在△ABC中，AB=36，AC=6，∠B=45∘，则3．（2023·浙江杭州·模拟预测）在△ABC中，已知∠B=30°，AB=23，AC=2，求△003压轴题型压轴题型一构造直角三角形求线段长度例1.（22-23九年级上·上海·期中）如图，已知在△ABC中，AB=5，BC=7，．(1)求；(2)求AC．巩固训练1．（2024·上海徐汇·三模）如图，在△ABC中，，cosB=14，BD是中线，将△ABC沿直线BD翻折后，点A落在点E，那么CE2．（2023·天津河北·二模）如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=23，连接AC，点E在AC上，平分．

3．（2024·上海静安·二模）如图，矩形ABCD中，AB=8,BC=17，将该矩形绕着点A旋转，得到四边形AB1C1D1，使点D在直线压轴题型二构造直角三角形求面积例2.（22-23八年级下·河南安阳·期末）如图，学校操场边有一块四边形空地ABCD，其中AB⊥BC，AB=BC=2m，AD=1m，CD=3m．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．

(1)求证：．(2)求需要绿化的空地ABCD的面积．巩固训练1．（22-23九年级上·山东聊城·阶段练习）在△ABC中，，，为锐角且tanC=1．(1)求△ABC(2)求AB的值；(3)求cos∠2．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在△ABC中，∠A=30°,(1)求AC的值．(2)求△ABC3．（20-21九年级下·全国·课后作业）一块四边形空地如图所示，求此空地的面积（结果精确到0.01m压轴题型三建直角三角形模型解实际问题例3.（2024·西藏·中考真题）在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高度”的探究作业．如图，次仁在A处测得山顶C的仰角为30°；格桑在B处测得山顶C的仰角为45°．已知两人所处位置的水平距离米，A处距地面的垂直高度AM=30米，B处距地面的垂直高度BN=20米，点M，F，N在同一条直线上，求小山CF的高度．（结果保留根号）

巩固训练1．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图为某景区平面示意图，C为景区大门，A，B，D分别为三个风景点．经测量，A，B，C在同一直线上，且A，B在C的正北方向，AB=240米，点D在点B的南偏东方向，在点A的东南方向．（参考数据：2≈1.414，）(1)求B，D两地的距离；（结果精确到0.1米）(2)大门C在风景点D的南偏西60∘方向，景区管理部门决定重新翻修CD之间的步道，求2．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1:3，AB=10米，AE=15(1)求点B距水平面AE的高度BH；(2)求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：2≈1.414，）3．（2024·贵州遵义·模拟预测）打篮球是学生的校园基本体育运动项目之一．如图①是一副篮球架实物图，如图②是它的示意图，其中主拉杆GD=185cm,GM=100cm,MN=95cm，点G,M,N,H在同一直线上，GM与水平线之间的夹角为30°，主拉杆GD与底座上边缘CD之间的夹角为74°，水平横梁EN=120cm，篮筐P与水平横梁EN同高，底座(1)求篮板HF到支撑立柱的水平距离．(2)求篮筐P离地面的竖直高度．

第二十三章解直角三角形易错训练与压轴训练01思维导图01思维导图目录TOC\o"1-3"\h\u易错题型一误认为三角函数值与三角形大小有关 1易错题型二将特殊三角函数值记混 4易错题型三当三角形的形状不确定时，未分类讨论 7压轴题型一构造直角三角形求线段长度 13压轴题型二构造直角三角形求面积 15压轴题型三建直角三角形模型解实际问题 17002易错题型易错题型一误认为三角函数值与三角形大小有关例1．（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）把△ABC三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角A的正弦值（

）A．不变 B．缩小为原来的1C．扩大为原来的2倍 D．不能确定【答案】A【分析】本题考查锐角三角函数的定义，由于△ABC三边的长度都扩大为原来的2倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角A的大小没改变，根据正弦的定义得到锐角A的正弦值也不变．【详解】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的2倍，所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正弦值也不变．故选A．巩固训练1．（23-24九年级上·河南南阳·期末）在△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角∠A的正弦值、余弦值的变化情况是（

A．都缩小为原来的12 C．都没有变化 D．不能确定【答案】C【分析】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确锐角三角函数的定义，知道变化前后的两个三角形相似．根据一个锐角△ABC的三边的长都扩大为原来的2倍，可知扩大后∠A【详解】解：∵一个△ABC∴∠∴锐角∠A故选：C2．（23-24九年级上·广西贺州·期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，各边都扩大2倍，则锐角A的三角函数值（A．扩大2倍 B．不变 C．缩小12 D．扩大【答案】B【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，三角形相似的判定和性质，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，三角形相似的判定和性质，根据三角形相似的判定，可以确定各边扩大后的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形的性质可知锐角A的度数不变，所以锐角A对应的三角函数值就不变．【详解】解：因为各边扩大后的三角形与原三角形相似，锐角A的度数不变，锐角A对应的三角函数值就不变．故选：B．3．（23-24九年级上·广东佛山·期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三边都扩大5倍，则sinA．放大5倍 B．缩小5倍 C．不能确定 D．不变【答案】D【分析】直接利用锐角的正弦的定义——“锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA【详解】解：∵∠C=90°∴sinA∵△ABC∴∠A∴sinA故选：D．易错题型二将特殊三角函数值记混例2．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）在△ABC中，∠C=90°，tanA=3，那么cosA． B． C．12 D．【答案】B【分析】此题考查的知识点是特殊角的三角函数值，先根据正切值求出∠A的度数，根据直角三角形的性质得到∠B【详解】解：∵tanA∴∠A=60°．∵∠C=90°∴∠B=90°−60°=30°，∴cosB故选B．巩固训练1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在△ABC中，∠C=90°，sinA=32，则A．1 B．12 C． D．【答案】D【分析】本题考查特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数求出∠A=60°，然后利用三角形内角和定理求出∠B=180°−∠A−∠C=30°，然后利用30°角的余弦值求解即可．【详解】解：在△ABC中，∠C=90°，sinA∴∠A=60°∴∠B=180°−∴cosB故选：D．2．（23-24九年级上·山东东营·开学考试）下列式子中不成立的是（

）A．2cos45°=2C．cos45°−sin【答案】D【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．直接利用特殊角的三角函数值分别代入计算得出答案．【详解】解：A．2cos45°=B．，12sinC．，故原式成立，故此选项不合题意；D．3sin(30°+30°)=3故选：D．3．（2024·广东肇庆·一模）若∠A=30°，∠B与∠A互余，则sinB=（A．12 B． C．33 D．【答案】D【分析】本题考查了求特殊角的三角函数值，根据题意求sin6【详解】解：∵∠A=30°，∠B与∠A∴∠B=90°−∴sinB故选：D．易错题型三当三角形的形状不确定时，未分类讨论例3.（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在△ABC中，若AB=58，tanB=37，【答案】1或13【分析】过点A作AD⊥BC于点D，分高AD在三角形内部和三角形外部两种情况进行讨论求解．【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D，分两种情况讨论：①当AD在△ABC

∵tanB∴设AD=3x,BD=7x，则：AB=A∴x=1，∴AD=3,BD=7，∴CD=A∴BC=BD−CD=1；②当AD在△ABC

同法可得：BD=7,CD=6，∴BC=BD+CD=13；综上：BC=1或13；故答案为：1或13．【点睛】本题考查解非直角三角形，解题的关键是构造直角三角形，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解．巩固训练1．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在△ABC中，cos∠ABC=12，AB=4，AC=15【答案】或2+3【分析】根据解直角三角形的方法，在△ABC中，cos∠ABC=12，则得到∠ABC=60°，由AB=4，【详解】解：∵在△ABC中，cos∠∴∠∵在△ABC中，∠ABC=60°，AB=4，AC=15∴AB分两种情况讨论：①AD⊥BC，令AD=AB⋅在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=4，AD=AB⋅sin6在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AC=15，AD=AB⋅sin∴BC=BD−CD=2−②AD⊥BC，令AD=AB⋅

在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=4，AD=AB⋅sin6在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AC=15，AD=AB⋅sin∴BC=BD−CD=2+综上所述，BC的长为或2+3，故答案为：或2+3．【点睛】本题考查解非直角三角形问题，根据题意，将非直角三角形转化为直角三角形，分类讨论求解是解决问题的关键．2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在△ABC中，AB=36，AC=6，∠B=45∘，则【答案】33+3【分析】画出图形，分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论即可．【详解】解：情况一：当△ABC为锐角三角形时，如图1所示：过A点作AH⊥BC于H，∵∠B=45°，∴△ABH为等腰直角三角形，∴AH=BH=AB在Rt△ACH中，由勾股定理可知：CH=A∴BC=BH+CH=33情况二：当△ABC为钝角三角形时，如图2所示：由情况一知：AH=BH=AB2=∴BC=BH−CH=33故答案为：33+3或【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理的应用，本题的关键是能将△ABC分成锐角三角形或钝角三角形分类讨论．3．（2023·浙江杭州·模拟预测）在△ABC中，已知∠B=30°，AB=23，AC=2，求△【答案】2或【分析】分两种情况讨论即可①当∠C为锐角时，②当∠C为钝角时，最后根据三角形的面积公式可求解．【详解】解：①如图，当∠C为锐角时，过点A作AD⊥BC于D，∵∠B=30°，AB=23∴AD＝ABsinB=，BD＝ABcosB=3，在Rt△ACD中，∵AD⊥BC，∴CD＝AC∴BC＝3+1=4．∴S＝12BC×AD＝12×4×＝2．②如图，当∠C为钝角时，过点C作CE⊥AB于E，设BE=x，则AE=AB-BE=23∵∠B=30°，∴CE＝BEtanB=33x，∴CE²=1在Rt△ACE中，∵CE⊥AE，∴CE²＝AC²-AE²=2²-(2-x)²=-x²+4-8，∴13x2=-x²+4-8，解得x1∴CE＝33×=1．∴S＝12AB×CE＝12×2×1＝，综上△ABC的面积为2或．【点睛】本题考查了三角形的面积及勾股定理的应用和解直角三角形，掌握特殊的三角函数值是解题的关键．003压轴题型压轴题型一构造直角三角形求线段长度例1.（22-23九年级上·上海·期中）如图，已知在△ABC中，AB=5，BC=7，．(1)求；(2)求AC．【答案】(1)1(2)【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，利用，求出AD，利用勾股定理求出BD，再利用BC−BD求出CD，进而求出；（2）利用勾股定理求出AC即可．【详解】（1）解：过点A作AD⊥BC于点D，则sinB∵AB=5，∴AD=4，∴BD=A∴CD=BC−BD=7−3=4，∴tan∠（2）解：由（1）知，在Rt△AC=A【点睛】本题考查解直角三角形．通过作高，构造直角三角形是解题的关键．巩固训练1．（2024·上海徐汇·三模）如图，在△ABC中，，cosB=14，BD是中线，将△ABC沿直线BD翻折后，点A落在点E，那么CE【答案】6【分析】本题考查三角形的翻折综合计算，涉及三角函数，等腰三角形，平行四边形及勾股定理，能正确进行线段的转换及作辅助线解非直角三角形是解题关键．本题先过点A作AM⊥BC于点M，计算得出AD=CD=DE=BC，再证明四边形BCED是平行四边形，得CE=BD，再在△BCD中求解BD即可．【详解】解：如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于点N，∵，∴BM=CM，∵cosB∴BM=CM=1，∴BC=2，∵BD是中线，∴CD=AD=1由翻折知，∴AD=CD=DE=BC，∴∠CBD=设，∴∠CDB=∴∠ADB=180°−由翻折知∠EDB=∴∠EDC=∴∠EDC=∴DE∥∴四边形BCED是平行四边形，∴CE=BD，∵DN⊥∴cosC∴CN=1∴BN=BC−CN=2−12=∴BD=D∴CE=BD=6故答案为：6．2．（2023·天津河北·二模）如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=23，连接AC，点E在AC上，平分．

【答案】3−3/【分析】过点D作DG⊥AC，由平分∠DEF可得△DEG是等腰直角三角形，再根据矩形性质和勾股定理易求对角线AC长，进而解三角形求出、DG即可解答．【详解】解：过点D作DG⊥

∵平分∠DEF，∴∠DEG=45°∴DG=EG，∵在矩形ABCD中，AB=2,BC=23∴CD=2，，∠ADC=∠∴AC=A∴sin∠ACD=AD∴EG=GD=CDsinGC=CDcos∴AE=AC−EG−GC=4−3故答案为：3−3【点睛】本题主要考查了矩形性质和解三角形，解题关键是过点D作DG⊥AC构造△DEG3．（2024·上海静安·二模）如图，矩形ABCD中，AB=8,BC=17，将该矩形绕着点A旋转，得到四边形AB1C1D1，使点D在直线【答案】161717【分析】本题主要考查了旋转的性质和解三角形，注意分类讨论，正确画出图形是解题关键．根据旋转的性质可得B'D=AD2−B'A2=15【详解】解：由旋转性质可知：AB'=AB=8，∠AB∴B'∴sin∠ADB∵∠BAB'+∠DA∴∠BA∴AH=ABB∴BH=AB−AH=8−∴B'当点D在线段C1同理可得：AH=ABBBH=AB+AH=8+∴B'故答案为：161717或压轴题型二构造直角三角形求面积例2.（22-23八年级下·河南安阳·期末）如图，学校操场边有一块四边形空地ABCD，其中AB⊥BC，AB=BC=2m，AD=1m，CD=3m．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．

(1)求证：．(2)求需要绿化的空地ABCD的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据勾股定理求得AC=22，根据勾股定理的逆定理即可推得∠（2）根据S四边形

ABCD【详解】（1）解：∵AB⊥BC，AB=BC=2，∴AC=A∵AD=1，CD=3，∴AD2+A∴AD∴∠DAC=90°即．（2）解：在Rt△ABC中，S在Rt△ADC中，S∴S四边形

ABCD【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．巩固训练1．（22-23九年级上·山东聊城·阶段练习）在△ABC中，，，为锐角且tanC=1．(1)求△ABC(2)求AB的值；(3)求cos∠【答案】(1)12(2)(3)5【分析】（1）过点A作AD⊥BC，根据的正切值确定的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出AD、CD，最后利用三角形的面积公式算出△ABC的面积；（2）先利用线段的和差关系求出BD，然后在Rt△ABD中利用勾股定理求出AB；（3）在Rt△ABD中利用直角三角形的边角间关系求出∠B【详解】（1）解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，∴∠ADC=∵为锐角且tanC=1∴∠C=45°∴∠DAC=90°−∴∠DAC=∴AD=DC，在Rt△∵sinC=AD∴DC=AD=ACsin∵，∴S△∴△ABC的面积为12．（2）∵DC=AD=4，，∴BD=BC−DC=6−4=2，在Rt△AB=A∴AB的值为．（3）在Rt△ABD中，AB=25，BD∴cos∠∴cos∠ABC的值为【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解题的关键．2．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在△ABC中，∠A=30°,(1)求AC的值．(2)求△ABC【答案】(1)AC=6(2)△ABC的面积为9【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形．（1）过点C作CD⊥AB于点D，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可；（2）利用勾股定理及三角形面积求解即可．【详解】（1）解：如图，过点C作CD⊥AB于点D．在Rt△BCD中，，BC=32∴BD=BC∴CD=BD=3在Rt△∵∠；（2）解：由（1）知：在Rt△ACD中，AC=6，CD=3，∴S△ABC3．（20-21九年级下·全国·课后作业）一块四边形空地如图所示，求此空地的面积（结果精确到0.01m【答案】1082.53【分析】把所给四边形构建成几个直角三角形，利用求和的方法来求面积即可．【详解】解：如图，连接BD，作DE⊥AB于E，作BF⊥CD于F．∵∠A＝∠C＝60°，∴DE＝30•sin60°＝15≈25.9808m，BF＝20•sin60°＝10≈17.3205m，∴S四边形ABCD＝12×50×25.9808＋12×50×17.3205≈【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，对于一个任意四边形，在求面积时，一般是构建直角三角形，利用求和的方法来求面积，熟练掌握解直角三角形是解题关键．压轴题型三建直角三角形模型解实际问题例3.（2024·西藏·中考真题）在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高度”的探究作业．如图，次仁在A处测得山顶C的仰角为30°；格桑在B处测得山顶C的仰角为45°．已知两人所处位置的水平距离米，A处距地面的垂直高度AM=30米，B处距地面的垂直高度BN=20米，点M，F，N在同一条直线上，求小山CF的高度．（结果保留根号）

【答案】1003【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，解直角三角形的应用，证明四边形AMFD和四边形BNFE为矩形，得出DF=AM=30米，BN=EF=20米，MF=AD，FN=BE，设CD=x，则CE=CD+DE=x+10米，解直角三角形得出AD=CDtan30°=x33【详解】解：根据题意可得：∠AMF=∠DFM=∠ADF=90°，∠BEF=∴四边形AMFD和四边形BNFE为矩形，∴DF=AM=30米，BN=EF=20米，MF=AD，FN=BE，∴DE=DF−EF=30−20=10（米），设CD=x，则CE=CD+DE=x+10∵∠CAD=30°，∠ADC=90°∴AD=CD∵∠CBE=45°，∠CEB=90°∴BE=CE∴MF=AD=3x，∵米，∴3x+x+10=210解得：x=1003∴CF=CD+DF=1003巩固训练1．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图为某景区平面示意图，C为景区大门，A，B，D分别为三个风景点．经测量，A，B，C在同一直线上，且A，B在C的正北方向，AB=240米，点D在点B的南偏东方向，在点A的东南方向．（参考数据：2≈1.414，）(1)求B，D两地的距离；（结果精确到0.1米）(2)大门C在风景点D的南偏西60∘方向，景区管理部门决定重新翻修CD之间的步道，求【答案】(1)B、D两地的距离约为339.4米(2)240+803【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是：（1）过点B作BP⊥AD于点P，可求出，利用含30°的直角三角形的性质得出BD=2BP，在Rt△ABP中，利用正弦定义可求出BP，即可求解；（2）过点B作BM⊥CD于点M，在Rt△BDM中，利用正弦定义可求出BM、DM，在Rt△BCM中，利用含30°的直角三角形的性质可求出【详解】（1）解：过点B作BP⊥AD于点P，由题意知∠BAD=45∘，∴∠ADB=30∘，，AP=BP，在Rt△ABP中，AB=240∴AP=BP=（米）．答：B、D两地的距离约为339.4米；（2）解：过点B作BM⊥CD于点M，由（1）得（米），∵∠CDB=180∘−60∘∴∠∴BM=DM在Rt△BDM中，，sin4∴BM=DM=BD在Rt△BCM中，∠∴CM=BM∴DC=DM+CM=240+802．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，