沪科版九年级数学上册期末复习 第22章 相似形易错训练与压轴训练（5易错+5压轴）

第二十二章相似形易错训练与压轴训练01思维导图01思维导图目录TOC\o"1-3"\h\u易错题型一忽视线段成比例的有序性 1易错题型二忽视等比性质的适用条件 4易错题型三运用平行线分线段成比例时找不准对应条件 7易错题型四运用相似判定定理时考虑不全 7易错题型五忽视位似的另一种位置关系 7压轴题型一证明等积式 13压轴题型二证明等比式 15压轴题型三用相似三角形的性质求面积 17压轴题型四用相似三角形解实际问题 19压轴题型五用相似三角形解与函数的综合题 19002易错题型易错题型一忽视线段成比例的有序性例1．（22-23九年级上·四川内江·阶段练习）已知三条线段的长为2cm，4cm巩固训练1．（23-24九年级上·辽宁丹东·阶段练习）四条线段a，b，c，d成比例，其中a=2cm，b=3cm，d=6cm，则线段c2．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知三条线段的长分别是1cm，，2cm，若再添加一条线段，使这四条线段是比例线段，则这条线段的长为3．（23-24八年级下·福建福州·期末）已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中a=6，b=3，c=2，则d的值是.易错题型二忽视等比性质的适用条件例2．（22-23九年级下·广东惠州·开学考试）如果b+d+f≠0，且a+c+e=3b+d+f．求k的值．巩固训练1．（22-23九年级·上海·假期作业）若3x+3yz=3y+3z2．（22-23九年级上·广西贺州·期中）已知x+yx=x+zy=3．（22-23九年级上·江苏无锡·阶段练习）（1）已知x2=y3=（2）已知a+bc=b+c易错题型三运用平行线分线段成比例时找不准对应条件例3.（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（）A．AFFD=BGC． D．EFCD巩固训练1.（23-24八年级下·上海青浦·期末）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列比例式中能判定DE∥BC的是（A．BCDE=ABAD B．ACCE=2．（23-24九年级下·宁夏吴忠·阶段练习）如图，已知直线AB∥CD∥A．ACCE=BDDF B．ACBD=3．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）如图，已知AB∥A． B．BECE=AFDF C．AB易错题型四运用相似判定定理时考虑不全例4.（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，AD与BC相交于点O，要使△AOB与△DOC相似，可添加的一个条件是（

A．∠A=∠D B．∠A=∠B C．∠C=∠D D．∠AOB=巩固训练1.（24-25九年级上·全国·单元测试）下列各条件中，能判断△ABCA．AB=3A'B．=BCA'C．ABBC=D．∠A=40°，∠B=80°，∠A'2．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，在△ABC纸片中，∠C=90°，BC=5，AC=7A．

B．

C．

D．

3．（23-24九年级·广东揭阳·期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，∠ACD=∠BA．△ADE∽△ABC B．△C．△ADE∽△ACD D．△易错题型五忽视位似的另一种位置关系例5.（22-23九年级上·湖南娄底·期末）在平面直角坐标系中，已知点E−4,2,F−2,−2，以原点O为位似中心，相似比为12，把缩小，则点EA．−2,1 B．−8,4C．−8,4或8,−4 D．−2,1或2,−1巩固训练1.（22-23九年级上·全国·单元测试）已知△ABC在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为0,3，，2,2．若以点C为位似中心，在平面直角坐标系内画出△A'B'C，使得△A'B'C与△ABCA．或0,−2 B．6,0或4,6C．或6,0 D．4,6或0,−22．（23-24九年级上·四川达州·期末）在平面直角坐标系中，已知点E(−4,2)，F(−2,−2)．若△OEF与△OE'F'关于点O位似，且A． B．(8,−4)C．(8,−4)或 D．或(−2,1)3．（23-24九年级上·湖南郴州·期中）如图，平面直角坐标系中，点A−2,0，B0,1，C−3,2，以原点O为位似中心，把△ABC缩小为△A'B'C'，且△AA．(−1.5,1) B．(−1.5,1)或(1.5,−1)C．−6,4 D．−6,4或6,−4003压轴题型压轴题型一证明等积式例1.（2024·福建泉州·模拟预测）如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠BAD=60°，点E在边AB上，点F在BD的延长线上，BE=DF，EF与AD相交于点G，连接CE，CF．(1)求证：△EBC(2)求证：DF巩固训练1.（23-24九年级上·安徽六安·期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E为直角边AC的中点，过D，E作直线交AB的延长线于(1)若AB=6，AC=8，求BD长；(2)求证：AB•AF=AC•DF．2．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，O是BD的中点，AO的延长线交BC于点E，∠CBD＝(1)求证：BC＝DC；(2)若AE⊥BC，求证：BD3．（2024·安徽合肥·三模）如图1，△ABC中，∠ACB=90∘,CB=CA，点D是AC上一点，连接BD，过C作，交BD于F，交AB于(1)求证：；(2)当D为AC边的中点时，求AE:BE的值；(3)如图2，点P是AB中点，若CF=2, PF=22，求DF压轴题型二证明等比式例2.（2024九年级下·安徽·专题练习）如图1，已知△ABC，D是BC上一点，EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，连接AD，AD与EF交于G．(1)求证：EGBD巩固训练1.（23-24九年级上·安徽·单元测试）已知：如图1，在△ABC中，AB=AC，，点D在线段BC上，连接AD，作线段AD的垂直平分线分别交AB、AC于点E、F．(1)如图1，若CD=1，BD=3，求BE·CF的值；(2)把改为∠BAC=90°，其它条件不变，如图2，求证：CDBD2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知△ABC中，D为AC上一点，E为CB延长线上一点，BE=AD，ED和AB相交于点F，求证：EF:FD=AC:BC3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，ED、CB的延长线相交于点F．(1)如图1，若∠FBD=∠FEC，BF=4，FD=5，FE=8，求FC的长；(2)如图2，若BD=CE，求证ABAC压轴题型三用相似三角形的性质求面积例3.（2024·安徽合肥·二模）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点P，AB⊥AC，垂足为A，过D作DE⊥AC于E，并延长交BC于点F，连接，若AB=DE，∠ABE=∠(1)求证：四边形ABED是平行四边形；(2)若，时，①求EF的长；②求△BEF的面积．巩固训练1.（2024九年级下·河南·学业考试）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP，交BC于点D，过点D作DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交(1)求证：四边形AEDF为菱形；(2)当AB=10，BC=6时，求菱形AEDF的周长和面积．2．（2024·贵州毕节·三模）如图，已知四边形ABCD是正方形，G是BC上一点，连接AG，过点D作DE⊥AG于点E，过点B作BF⊥AG于点(1)【问题发现】如图1，根据给出的条件，你发现DE，BF，EF之间的数量关系是___________；(2)【问题探究】如图2，当点G在CB的延长线上时，其他条件不变，探究DE，BF，EF之间的数量关系，并写出证明过程；(3)【迁移应用】如图3，P是矩形ABCD内一点，AP=5，SΔABP=10，SΔADP=7.5，3．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．如图，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于点G．

求证：GECE证明：连结ED．

（1）请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程；【结论应用】（2）如图②，在△ABC中，点D、F分别是边BC、AB的中点，AD、CF相交于点G，GE∥AC交BC于点E，则DEBC（3）如图③，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，过点G的直线分别交AB、AC于点M、N，若AB=10，AM=6，四边形CDGN的面积为5，则S△压轴题型四用相似三角形解实际问题例4.（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，晓波拿着一根笔直的小棍BC，站在距某建筑物约30米的点N处（即米），把手臂向前伸直且让小棍BC竖直，BC∥DE，晓波看到点B和建筑物顶端D在一条直线上，点C和底端E在一条直线上．已知晓波的臂长约为60厘米，小棍BC的长为24厘米，AN⊥EN，CM⊥AN，DE⊥EN．求这个建筑物的高度DE．巩固训练1．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB=1米，AC=1.6米，AE=0.4米，求CD的长．

2．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）用手举一根标尺，让标尺与地面垂直，调整人与旗杆的距离或人与标尺的距离，使标尺刚好挡住旗杆，此方法可测量旗杆的高度．若人与标尺EF的水平距离CG=20cm，人与旗杆AB的水平距离CH=12.6m，标尺的长度EF=22

3．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，阳阳要测量一座钟塔的高度CD，他在与钟塔底端处在同水平面上的地面放置一面镜子，并在镜子上做一个标记E，当他站在离镜子E处1.4m的B处时，看到钟塔的顶端在镜子中的像与标记E重合．已知B，E，D在同直线上，阳阳的眼睛离地面的高度AB=1.6m，m，求钟塔的高度CD．压轴题型五用相似三角形解与函数的综合题例5.（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，已知抛物线y=ax2−2ax−3a≠0与x轴交于点A，B（点A在B的左侧），与y轴交于点C，(1)求抛物线的表达式；(2)过D−2,0的直线l交线段BC于点M，l与抛物线右侧的交点为N，求的最大值．巩固训练1．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，二次函数的图象交x轴于点A−1,0，B4,0，交y轴于点C0,2，连接AC，BC，点P是第一象限内抛物线上的一动点，过点P作直线PD∥AC，交BC

(1)求二次函数的表达式；(2)当D点为线段BC的中点时，求点P的坐标；(3)求线段的最大值．2．（23-24九年级下·安徽六安·阶段练习）如图1，抛物线与x轴相交于点A−1,0、B，对称轴是直线x=1，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点N是x轴上一动点，分别连接MN，DN，求MN+DN的最小值；(3)点P是直线BC上方抛物线上一点，连接AP交BC于点E，若PEAE=13．（2024·安徽亳州·二模）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2−2x−3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y(1)求点A，B的坐标；(2)如图1，若在x轴上方的抛物线上存在一点D，使得∠ACD=45°，求点D(3)如图2，平面上一点E(3,2)，过点E作任意一条直线交抛物线于P、Q两点，连接AP、AQ，分别交y轴于M、N两点，则OM与ON的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．

第二十二章相似形易错训练与压轴训练01思维导图01思维导图目录TOC\o"1-3"\h\u易错题型一忽视线段成比例的有序性 1易错题型二忽视等比性质的适用条件 4易错题型三运用平行线分线段成比例时找不准对应条件 7易错题型四运用相似判定定理时考虑不全 7易错题型五忽视位似的另一种位置关系 7压轴题型一证明等积式 13压轴题型二证明等比式 15压轴题型三用相似三角形的性质求面积 17压轴题型四用相似三角形解实际问题 19压轴题型五用相似三角形解与函数的综合题 19002易错题型易错题型一忽视线段成比例的有序性例1．（22-23九年级上·四川内江·阶段练习）已知三条线段的长为2cm，4cm，8cm，若添加一条线段能使这四条线段成比例，则添加的线段可以是【答案】或或．【分析】根据四条线段成比例可得2:4=8：d、4:8=2:d、8:2=4：d，分别求出d即可得．【详解】解∶根据题意，得∶当时，解得∶d=16；当时，解得∶d=4；当8:2=4:d时，解得：；故答案为：为16cm或4cm或【点睛】本题考查比例线段，解题的关键是找出所有成比例的情况分别求解．巩固训练1．（23-24九年级上·辽宁丹东·阶段练习）四条线段a，b，c，d成比例，其中a=2cm，b=3cm，d=6cm，则线段c【答案】4【分析】本题考查了比例线段的定义．由四条线段a、b、c、d成比例，根据比例线段的定义，即可求解．【详解】解：∵四条线段a，b，c，d成比例，a=2cm，b=3cm，∴2:3=c:6解得：c=4故答案为：4cm2．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知三条线段的长分别是1cm，，2cm，若再添加一条线段，使这四条线段是比例线段，则这条线段的长为【答案】22cm或或【分析】本题考查了成比例线段，掌握成比例线段的定义是解题的关键．设添加的线段的长度为x，然后根据成比例线段分类讨论即可求解．【详解】解：设添加的线段的长度为xcm①当x≤1时，x1=2②当1<x≤2时，1x=经检验，x=2③当2<x≤2时，12=④当x>2时，12=2经检验，x=22综上，所添线段的长度可为22cm或或2故答案为：22cm或或3．（23-24八年级下·福建福州·期末）已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中a=6，b=3，c=2，则d的值是.【答案】1【分析】本题主要考查了比例线段，熟练掌握比例线段的性质是解题的关键．根据比例线段的定义得到a:b=c:d，即可得到答案．【详解】解：由于线段a，b，c，d是成比例线段，故a:b=c:d，即6:3=2:d解得故答案为：1．易错题型二忽视等比性质的适用条件例2．（22-23九年级下·广东惠州·开学考试）如果b+d+f≠0，且a+c+e=3b+d+f．求k的值．【答案】3【分析】根据比例的性质求得a=bk,c=dk,e=fk，代入a+c+e=3b+d+f【详解】解：ab=∴a=bk,c=dk,e=fk∵a+c+e=3∴bk+dk+fk=3∴k=3【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．巩固训练1．（22-23九年级·上海·假期作业）若3x+3yz=3y+3z【答案】6或−3【分析】分两种情况：当x+y+z≠0时，当x+y+z=0时，分别求出m的值即可．【详解】解：当x+y+z≠0时，根据比例的等比性可得：m=3x+3y+3y+3z+3z+3x当x+y+z=0时，可得x+y=−z，∴m=3【点睛】本题主要考查比例的等比性质，但需要注意对式子用等比性时一定要注意根据分母是否为0进行分类讨论．2．（22-23九年级上·广西贺州·期中）已知x+yx=x+zy=【答案】2【分析】根据比例的性质直接求解即可．【详解】解：由x+yx=x+z得k=x+y+x+z+y+z【点睛】本题考查了比例的性质，掌握等比性质是解题关键．3．（22-23九年级上·江苏无锡·阶段练习）（1）已知x2=y3=（2）已知a+bc=b+c【答案】（1）−107；（2）x=−1【分析】（1）设x2=y3=z5=k，将x、（2）根据比例得基本性质可得a+b=cx，b+c=ax，c+a=bx，联立相加后进行分类讨论即可．【详解】解（1）设x2则x=2k，，z=5k，x+y−3z2x+y（2）∵a+bc∴a+b=cx，b+c=ax，c+a=bx，联立得：a+b=cxb+c=ax∴2当a+b+c=0时，a+b=−c，x=−1当a+b+c≠0时，x=2∴x=−1或x=2．【点睛】本题主要考查了比例得基本性质，解题的关键是熟练掌握比例的各个基本性质：内项之积等于外项之积，合比性质，分比性质以及等比性质．易错题型三运用平行线分线段成比例时找不准对应条件例3.（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（）A．AFFD=BGC． D．EFCD【答案】A【分析】本题考查由平行判断成比例的线段，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．．据此解答即可．【详解】解：∵EF∥∴AFFD∵EG∥∴AEEC∴AFFD故选：A．巩固训练1.（23-24八年级下·上海青浦·期末）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列比例式中能判定DE∥BC的是（A．BCDE=ABAD B．ACCE=【答案】B【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理逐项判断即可．【详解】解：如图：A、当BCDE=ABB、当ACCE=ABC、当ACAD=ABD、当ACAB=BD故选：B．2．（23-24九年级下·宁夏吴忠·阶段练习）如图，已知直线AB∥CD∥A．ACCE=BDDF B．ACBD=【答案】D【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例即可进行解答．【详解】解：∵ABACCE=BDDFACBD=∴选项A、B、C正确，不符合题意，故选：D．3．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）如图，已知AB∥A． B．BECE=AFDF C．AB【答案】B【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题关键．根据平行线分线段成比例即可解答．【详解】解：∵ABBECE=故A，C，D不正确，故选：B．易错题型四运用相似判定定理时考虑不全例4.（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，AD与BC相交于点O，要使△AOB与△DOC相似，可添加的一个条件是（

A．∠A=∠D B．∠A=∠B C．∠C=∠D D．∠AOB=【答案】A【分析】本题考查相似三角形的判定．根据相似三角形的判定方法，进行判断即可．【详解】解：∠AOB=A、当∠A=∠D时，则△AOB与△DOCB、当∠A=∠B时，无法证明△AOB与△DOCC、当∠C=∠D时，无法证明△AOB与△DOCD、∠AOB=∠DOC，无法证明△AOB与△DOC故选：A．巩固训练1.（24-25九年级上·全国·单元测试）下列各条件中，能判断△ABCA．AB=3A'B．=BCA'C．ABBC=D．∠A=40°，∠B=80°，∠A'【答案】C【分析】本题主要考查相似三角形的判定，解答的关键是熟记相似三角形的判定条件：两角对应相等的两个三角形相似：两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似；根据相似三角形的判定条件对各选项进行分析即可．【详解】A、AB=3A'BB、=BCA'C'，∠B=∠B'，C、由∠A+∠C=∠A'+∠C'可得∠B=∠B'D、由∠A=40°，∠B=80°得∠C=70°，则∠B=∠A'=80°,∠C=∠故选：C．2．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，在△ABC纸片中，∠C=90°，BC=5，AC=7A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】本题主要考查相似三角形的判定，由CD⊥AB于点D，得∠ADC=90°，则，而∠A=∠A，即可证明△ACD∽△ABC，可判断A不符合题意；由EF⊥AC，得∠AFE=∠C，则EF∥BC，可证明△AEF∽△ABC，可判断B不符合题意；由BC=5,AC=7,HC=2.5,GC=3.5，得，而∠GCH=∠ACB，可证明△GHC∽△ABC，可判断C不符合题意；由BC=5,AC=7,LC=2,KC=3，得，，则，而∠KCL=∠ACB，所以△KLC与△ABC不相似，可判断D符合题意，于是得到问题的答案．【详解】解：如图1，∵CD⊥AB于点∴∠ADC=90°∵∠ACB=90°∴，∵∠A=∴△ACD故A不符合题意；如图2，∵EF⊥∴∠AFE=90°∵∠C=90°∴∠AFE=∴EF∥∴△AEF故B不符合题意；如图3，∵BC=5,AC=7,HC=2.5,GC=3.5，∴，，∴，∵∠GCH=∴△GHC故C不符合题意；如图4，∵BC=5,AC=7,LC=2,KC=3，∴，，∴，假设△KLC∵∠KCL=∴，与已知条件不符，∴△KLC与△ABC故D符合题意，故选：D．3．（23-24九年级·广东揭阳·期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，∠ACD=∠BA．△ADE∽△ABC B．△C．△ADE∽△ACD D．△【答案】D【详解】解：∵点D、E分别在边AB、AC上，DE∥∴△ADE∵DE∥∴，∵∠ACD=∴△CDE∵∠ACD=∠B，∠A=∴△ACD∴△ADE△ADE与△DBC故选：D．易错题型五忽视位似的另一种位置关系例5.（22-23九年级上·湖南娄底·期末）在平面直角坐标系中，已知点E−4,2,F−2,−2，以原点O为位似中心，相似比为12，把缩小，则点EA．−2,1 B．−8,4C．−8,4或8,−4 D．−2,1或2,−1【答案】D【详解】解：∵E−4,2，且相似比为1∴E'的坐标为−4×12即：点E'的坐标是−2,1或2,−1故选D．巩固训练1.（22-23九年级上·全国·单元测试）已知△ABC在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为0,3，，2,2．若以点C为位似中心，在平面直角坐标系内画出△A'B'C，使得△A'B'C与△ABCA．或0,−2 B．6,0或4,6C．或6,0 D．4,6或0,−2【答案】D【详解】解：根据位似的定义和相似比2:1，结合网格图，作出位似图形，如图所示，可以得出点B'的坐标为4,6或0,−2故选：D．2．（23-24九年级上·四川达州·期末）在平面直角坐标系中，已知点E(−4,2)，F(−2,−2)．若△OEF与△OE'F'关于点O位似，且A． B．(8,−4)C．(8,−4)或 D．或(−2,1)【答案】D【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，根据位似变换得到△OEF根据△OEF与△OE'F【详解】解：∵△OEF与△OE∴△OEF∵S与△OE'F∵点E的坐标为，∴点E'的坐标为−4×12,2×12或故选：D．3．（23-24九年级上·湖南郴州·期中）如图，平面直角坐标系中，点A−2,0，B0,1，C−3,2，以原点O为位似中心，把△ABC缩小为△A'B'C'，且△AA．(−1.5,1) B．(−1.5,1)或(1.5,−1)C．−6,4 D．−6,4或6,−4【答案】B【分析】本题主要考查了求位似图形的坐标，先根据题意可知有两种情况：在原点的同侧或原点的异侧，再根据将图形按照2:1缩小就是对应点的坐标分别乘以12【详解】解：当位似图形在原点同侧时，△A'B'C'和∴点C'当位似图形在原点异侧时，△A'B'C'和∴点C'所以点C'的坐标是(−1.5,1)或(1.5,−1)故选：B．003压轴题型压轴题型一证明等积式例1.（2024·福建泉州·模拟预测）如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠BAD=60°，点E在边AB上，点F在BD的延长线上，BE=DF，EF与AD相交于点G，连接CE，CF．(1)求证：△EBC(2)求证：DF【答案】(1)见解析(2)见解析(3)133【分析】（1）判断出，即可得出结论；（2）先判断出△CEF是等边三角形，得出∠ECF=60°，进而用等式的性质得出∠DFG=【详解】（1）证明：在菱形ABCD中，∠BAD=60°，，∠ADB=∠CDB=60°，△CBD为等边三角形，∴∠BDC=60°，∵BE=DF∴△（2）证明：由（1）知，△BCE∴∠BCE=，，∴△CEF，，，，，∴△DFGDFDC=；巩固训练1.（23-24九年级上·安徽六安·期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E为直角边AC的中点，过D，E作直线交AB的延长线于F(1)若AB=6，AC=8，求BD长；(2)求证：AB•AF=AC•DF．【答案】(1)18(2)证明见详解【分析】（1）根据勾股定理可得BC的长，记得根据面积法得出12BCAD=1（2）先证明△ABC∽△DBA，得出BDAD=ABAC，∠C=∠FAD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出DE=AE=CE，再根据等边对等角和对顶角相等，得出∠C=∠EDC=∠FDB=∠FAD，即可证明即可证明AB•AF=AC•DF．【详解】（1）解：∵AB=6，AC=8，∠BAC=90°∴BC=A∵AD⊥BC，∠∴12即12解得AD=24又∵AB=6，∠ADB=90°∴BD=A（2）证明：∵AD⊥BC，∠BAC=90°∴∠BAC=90°=又∵∠B∴△ABC∴BDAD=AB∵E为直角边AC的中点，AD∴DE=AE=CE，∴∠C=又∵∠F∴△FBD∴，又∵BDAD∴ABAC∴AB•AF=AC•DF．【点睛】本题考查了相似三角形，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，对顶角相等的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．2．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，O是BD的中点，AO的延长线交BC于点E，∠CBD＝(1)求证：BC＝DC；(2)若AE⊥BC，求证：BD【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，根据直角三角形斜边上的中线性质求出OA=OB是解题的关键．（1）根据直角三角形的性质及等腰三角形的性质求出∠BAE=∠OBA，等量代换得出∠CBD=∠OBA，结合平行线的性质求出∠CDB=（2）根据等腰三角形的性质得出∠COD=90°，根据“两角对应相等的两个三角形相似”求出△COD【详解】（1）证明：∵是BD的中点，∴OA=OB=∴∠BAE=又，∴∠CBD=，∴∠CDB=∴∠CDB=∴BC=CD（2）如图，连接OC，∵是BD的中点，∴OC∴∠COD=90°∵AE∴∠AEB=90°∴∠COD=由（1）知，∠CDB=∴△COD∴OD∴OD∵O是BD的中点，∴OD=OB=∴1∴B3．（2024·安徽合肥·三模）如图1，△ABC中，∠ACB=90∘,CB=CA，点D是AC上一点，连接BD，过C作，交BD于F，交AB于(1)求证：；(2)当D为AC边的中点时，求AE:BE的值；(3)如图2，点P是AB中点，若CF=2, PF=22，求DF【答案】(1)见解析(2)(3)DF=【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质：（1）证明△BCD（2）过A作AG∥BC交CE延长线于点G，证明△BCD≌△CAG，得AG=CD，AG=12BC（3）连接CP，过P作PH⊥PF交BD于点H，可得C,F,P,B四点共圆，得出△FPH是等腰直角三角形，得出FH=4，证明△FPC≌△HPB得CF=BH=2，，由可得出结论【详解】（1）解：∵CE∴∠CFD=∵∠CDB=∴△BCD∴（2）解：如图1，过A作AG∥BC交CE延长线于点G，∴∠CAG=9∵∠∴∠∴∠∴△BCD∴AG=CD∵D为AC边的中点∴∴AG=∵∴△∴AE（3）解：如图，连接CP，过P作PH⊥PF交BD于点H，∵点P是AB中点，CB=CA,∠∴∴PB=PC∴∠CFB=∴C,F,P,B∴∠PFB=∴△FPH∴FH=2∴∠∴∠∴△FPC，∴CF=BH=2∴BF=BH+HF=6∵∴D∴D∴DF=压轴题型二证明等比式例2.（2024九年级下·安徽·专题练习）如图1，已知△ABC，D是BC上一点，EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，连接AD，AD与EF交于G．(1)求证：EGBD【答案】(1)见解析【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练地变换比例式．（1）可证得△AEG∽△ABD，△AFG∽△ACD，从而EGBD=AG【详解】（1）证明：∵EF∴△AEG∽△ABD，△AFGEGBD=EGBD=巩固训练1.（23-24九年级上·安徽·单元测试）已知：如图1，在△ABC中，AB=AC，，点D在线段BC上，连接AD，作线段AD的垂直平分线分别交AB、AC于点E、F．(1)如图1，若CD=1，BD=3，求BE·CF的值；(2)把改为∠BAC=90°，其它条件不变，如图2，求证：CDBD【答案】(1)3(2)见解析【分析】（1）连接DE，DF，证明△BDE∽△CFD，得到BECD（2）证明△ABD∽△GCD，得到CDBD=CGAB，又AB=AC，所以CDBD=CG【详解】（1）解：连接DE，DF，∵AB=AC，，∴△ABC∴∠B=∵∠B+∴∠BED+∵EF垂直平分线段AD，∴AE=ED，AF=FD，∴∠EAD=∠EDA，∠FAD=∴∠EAD+∴∠EAF=∵∠EDF+∴∠BDE+∴∠BED=∴△BDE∴BECD∵CD=1，BD=3，∴BE⋅（2）证明：作CG∥AB交AD延长线于G，如图2，∵CG∴△∴CD∵AB=AC∴CD∵CG∴∠∵∠∴∴∠∴∠EAD+∠CAG=∠BAC=90°，∠∴∠∵EF垂直平分AD∴∠∴∠∴△∴AF∴AF∴CDBD【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，余角的性质，平行线的性质，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知△ABC中，D为AC上一点，E为CB延长线上一点，BE=AD，ED和AB相交于点F，求证：EF:FD=AC:BC【答案】证明见解析【分析】本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知添加平行线是证明成比例线段的常用方法．作DG∥BC，分别证明两组三角形相似，得出两组成比例线段，再结合BE=AD可推得结果．【详解】证明：如图，过点D作DG∥BC，交AB于点G；∴∠DGF=则△∴EFFD=BEGD，∴即EF:FD=AC:BC.3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，ED、CB的延长线相交于点F．(1)如图1，若∠FBD=∠FEC，BF=4，FD=5，FE=8，求FC的长；(2)如图2，若BD=CE，求证ABAC【答案】(1)(2)证明见解析【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键；（1）先证明△FBD（2）如图，过D作于，证明△BDH∽△BAC，△FDH∽△FEC【详解】（1）解：∵∠FBD=∠FEC，∠F=∴△FBD∴FBFE∵BF=4，FD=5，FE=8，∴48∴；（2）如图，过D作于，∴△BDH∽△BAC，△FDH∴ABAC=BD∵BD=CE，∴BDDH∴ABAC压轴题型三用相似三角形的性质求面积例3.（2024·安徽合肥·二模）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点P，AB⊥AC，垂足为A，过D作DE⊥AC于E，并延长交BC于点F，连接，若AB=DE，∠ABE=∠(1)求证：四边形ABED是平行四边形；(2)若，时，①求EF的长；②求△BEF的面积．【答案】(1)见解析(2)①EF=2725；【分析】（1）由AB⊥AC，DE⊥AC，可得AB∥（2）①由勾股定理得，AE=AD2−DE2=4，由四边形ABED是平行四边形，可得∠ABE=∠ADE，即∠ADE=∠ACD，证明△ADE∽△ACD，则ADAC=AEAD，即54+CE=45，可求CE=【详解】（1）证明：∵AB⊥AC，DE⊥∴AB∥又∵AB=DE，∴四边形ABED是平行四边形；（2）①解：∵DE⊥∴∠AED=90°由勾股定理得，AE=A∵四边形ABED是平行四边形，∴∠ABE=∵∠ABE=∴∠ADE=又∵∠DAE=∴△ADE∴ADAC=AE解得CE=9∵AB∥∴△EFC∴CECA=EF解得EF=27②解：∵AB∥DF，DE⊥∴S△∴△BEF的面积为5425【点睛】本题考查了平行线的判定，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线间的距离等知识．熟练掌握平行线的判定，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线间的距离是解题的关键．巩固训练1.（2024九年级下·河南·学业考试）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP，交BC于点D，过点D作DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB(1)求证：四边形AEDF为菱形；(2)当AB=10，BC=6时，求菱形AEDF的周长和面积．【答案】(1)证明见解析(2)菱形AEDF的周长为1609，菱形AEDF的面积为320【分析】（1）先证明四边形AEDF为平行四边形，再证明AF=DF即可；（2）设AF=DF=AE=DE=x，证明△BFD∽△BAC，可得DFAC【详解】（1）证明：∵过点D作DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，∴四边形AEDF为平行四边形，∠EAD=∵AD平分∠CAD∴，∴∠BAD=∴AF=DF，∴四边形AEDF为菱形；（2）解：∵∠C=90°，AB=10，BC=6，∴AC=A∵四边形AEDF为菱形，∴设AF=DF=AE=DE=x，∵DF∥∴△BFD∴DFAC∴x8解得：x=40∴DE=AE=409，∴CD=D∴菱形AEDF的周长为409菱形AEDF的面积为409【点睛】本题考查的是菱形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，角平分线的作图的含义，掌握以上基础知识是解本题的关键．2．（2024·贵州毕节·三模）如图，已知四边形ABCD是正方形，G是BC上一点，连接AG，过点D作DE⊥AG于点E，过点B作BF⊥AG于点(1)【问题发现】如图1，根据给出的条件，你发现DE，BF，EF之间的数量关系是___________；(2)【问题探究】如图2，当点G在CB的延长线上时，其他条件不变，探究DE，BF，EF之间的数量关系，并写出证明过程；(3)【迁移应用】如图3，P是矩形ABCD内一点，AP=5，SΔABP=10，SΔADP=7.5，【答案】(1)DE=BF+EF(2)EF=BF+DE，见解析(3)30【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形和矩形的性质等知识．（1）证明△DAE≌△ABFAAS，则DE=AF，BF=AE（2）证明△ADE≌△BAFAAS，则AE=BF,DE=AF，由EF=AE+AF（3），过点B作BE⊥AP于点E，过点D作DF⊥AP交AP的延长线于点F，则∠AEB=∠AFD=90°，S△ABP=12AP⋅BE,S△ADP=12AP⋅DF，求出BE=4,DF=3，证明△ABE∽△DAF，得到AB【详解】（1）DE=BF+EF，证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BA,∠∴∠BAF+∵过点D作DE⊥AG于点E，过点B作BF⊥AG于点∴∠∴∠∴∠DAE=∴△DAE∴DE=AF，BF=AE，∴DE=AF=AE+EF=BF+EF即DE=BF+EF；（2）EF=BF+DE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB,∠∴∠BAF+∵过点D作DE⊥AG于点E，过点B作BF⊥AG于点∴∠∴∠∴∠∴△ADE∴AE=BF,DE=AF，∵EF=AE+AF，∴EF=BF+DE（3）如图，过点B作BE⊥AP于点E，过点D作DF⊥AP交AP的延长线于点F，∴∠AEB=∠AFD=90°，S△∵AP=5，SΔABP=10，∴BE=4,DF=3，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°∴∠BAE+∵∠ABE+∴∠ABE=∴△∴ABAD∴ABAD∴AE=2,AF=6，在Rt△ABE中，AB=在Rt△ADF中，AD=∴S3．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．如图，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于点G．

求证：GECE证明：连结ED．

（1）请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程；【结论应用】（2）如图②，在△ABC中，点D、F分别是边BC、AB的中点，AD、CF相交于点G，GE∥AC交BC于点E，则DEBC（3）如图③，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，过点G的直线分别交AB、AC于点M、N，若AB=10，AM=6，四边形CDGN的面积为5，则S△【答案】（1）证明见解析；（2）16；（3）20【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线是解题的关键．（1）由三角形中位线的性质可得DE∥AC，DEAC=12，进而得到，即得，据此可得（2）由△DEG∽△DCA可得DEDC=DGDA，由（1）可知DGDA=1（3）如图③，作CF∥AB交MN的延长线于点F，CK∥AD交FN于点K，则∠FCN=∠MAN，∠F=∠AMG，∠KCN=∠GAN，可得ME=AM−AE=1，由△EMG∽△CFG得到，即得CF=2EM=2，再证明△FCK∽△MAG可得，进而由△CKN∽△AGN得到，即得AC=4CN，即可得S△CAG=4S△CNG，又由GDGA=12得S△CDG=12S△CAG【详解】（1）证明：如图①，连接ED，∵点D、F分别是边BC、AB的中点，∴DE为△ABC∴DE∥AC，DEAC∴，∴，∴GECE

（2）解：如图②，∵GE∥∴△DEG∴DEDC由（1）可知，DGDA∴DEDC∵点D是BC的中点，∴BC=2DC，∴DEBC故答案为：16（3）如图③，作CF∥AB交MN的延长线于点F，CK∥AD交FN于点K，

则∠FCN=∠MAN，∠F=∠AMG，∠KCN=∵点E是AB的中点，∴AE=1∴ME=AM−AE=6−5=1，∵CF∥∴△EMG∴，∴CF=2EM=2，∵∠FCN=∠MAN，∠KCN=∴∠FCN−即∠FCK=又∵∠F=∴△FCK∴，∵CK∥∴△CKN∴，∴AC=4CN，∴S△∵GDGA∴S△∴S四边形CDGN∴S△∴S△CDG=2×5∴S△∴S△故答案为：20．压轴题型四用相似三角形解实际问题例4.（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，晓波拿着一根笔直的小棍BC，站在距某建筑物约30米的点N处（即米），把手臂向前伸直且让小棍BC竖直，BC∥DE，晓波看到点B和建筑物顶端D在一条直线上，点C和底端E在一条直线上．已知晓波的臂长约为60厘米，小棍BC的长为24厘米，AN⊥EN，CM⊥AN，DE⊥EN．求这个建筑物的高度DE．【答案】这个建筑物的高度DE为12米【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题的关键．过点A作，交BC于点F，垂足为G，根据BC∥DE，得到△ABC∽△【详解】如图，过点A作，交BC于点F，垂足为G，由题意，得AF=CN=60厘米米，AG=EN=30米，BC=24厘米=0.24米，∵BC∴△ABC∴BC∴0.24∴DE=12答：这个建筑物的高度DE为12米．巩固训练1．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB=1米，AC=1.6米，AE=0.4米，求CD的长．

【答案】3米【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意证得△ABE∽△CDE，得出对应边成比例，即可得出CD．【详解】解：由题意知：AB∥则∠BAE=∠C，∠B=∴△ABEABCD=1CD=解得：CD=3，答：CD的长为3米．2．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）用手举一根标尺，让标尺与地面垂直，调整人与旗杆的距离或人与标尺的距离，使标尺刚好挡住旗杆，此方法可测量旗杆的高度．若人与标尺EF的水平距离CG=20cm，人与旗杆AB的水平距离CH=12.6m，标尺的长度EF=22

【答案】旗杆的高度为13.86m【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意可知EF∥AB，可得△ABC∽△EFC，△AHC∽△EGC，进而可知ABEF=ACEC，【详解】解：由题意可知EF∥∴△ABC∽△EFC，△AHC∴ABEF=AC∴ABEF∵CG=20cm，CH=12.6m，EF=22cm，则∴AB=13.86m，即：旗杆的高度为13.86m．3．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，阳阳要测量一座钟塔的高度CD，他在与钟塔底端处在同水平面上的地面放置一面镜子，并在镜子上做一个标记E，当他站在离镜子E处1.4m的B处时，看到钟塔的顶端在镜子中的像与标记E重合．已知B，E，D在同直线上，阳阳的眼睛离地面的高度AB=1.6m，m，求钟塔的高度CD．【答案】16.8m【分析】先证明△ABE∽△CDE，后利用相似三角形性质求出CD即可.【详解】解：∵AB⊥BD，CD⊥∴∠ABE=∵∠AEB=，ABCD=1.6CD=，故钟塔的高度CD为16.8m．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等是解题的关键.压轴题型五用相似三角形解与函数的综合题例5.（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，已知抛物线y=ax2−2ax−3a≠0与x轴交于点A，B（点A在B的左侧），与y轴交于点C，(1)求抛物线的表达式；(2)过D−2,0的直线l交线段BC于点M，l与抛物线右侧的交点为N，求的最大值．【答案】(1)y=(2)9【分析】（1）先求出函数的对称轴，及点C的坐标，再根据三角形的面积可求出AB的长，即可求出点A，B的坐标，再利用待定系数法求函数解析式即可．（2）过点D作DE⊥x轴交BC的延长线于点E，过点N作NF∥y轴交线段BC于点F，则NF∥DE，先求出直线BC的解析式，即可求出点E的坐标，再设Nm,m2【详解】（1）解：将x=0代入抛物线y=ax可得y=−3，∴与y轴交点C0,−3∴OC=3．∵抛物线与轴交于点A，B，且△ABC的面积为6，∴12AB则AB=4，又∵抛物线解析式为y=a可得抛物线的对称轴为直线x=−−2a∴点A−1,0，B将A−1,0代入y=a即0=a+2a−3，解得a=1，∴抛物线的表达式为y=x（2）过点D作DE⊥x轴交BC的延长线于点E，过点N作NF∥y轴交线段BC于点F，则NF∥设直线BC的表达式为y=kx+bk≠0将B3,0，C则0=3k+b−3=b解得&k=1&b=−3∴直线BC的表达式为y=x−3，∵D−2,0∴点E的坐标为−2,−5，∴DE=5，设Nm,m2∴FN=m−3−m∵NF∥∴∠MNF=∠EDM，∠E=∴△DEM∴MNDM∴的最大值为920．【点睛】本题考查了待定系数法求一次和二次函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．巩固训练1．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，二次函数的图象交x轴于点A−1,0，B4,0，交y轴于点C0,2，连接AC，BC，点P是第一象限内抛物线上的一动点，过点P作直线PD∥AC，交BC

(1)求二次函数的表达式；(2)当D点为线段BC的中点时，求点P的坐标；(3)求线段的最大值．【答案】(1)y=−(2)P(3)线段的最大值为【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、三角形相似等，理解当PE最大时，最大，是解题的关键．（1）用待定系数法即可求解；（2）当D点为线段BC的中点时，求出点D坐标，再利用PD∥AC求得直线DP的解析式，即可解答；（3）过点P作y轴的平行线，交CB于点E，证明△ACB为直角三角形，则可得△PED∽△BCO，则PE最大时，最大，求得PE最大值，再利