解析几何（解答题）-2020-2024年高考数学试题分类汇编（原卷版）

专集08解折几何（斛容题）

五年考情♦探规律

考点五年考情（2020-2024）命题趋势

椭圆轨迹标准方程问题，有关

2024I甲卷北京卷天津卷

考点01椭圆及其性2023北京乙卷天津多边形面积问题，定值定点问

质2022乙卷北京卷浙江卷

题，新结构中的新定义问题是

2021北京卷n卷

2020III卷新III卷高考的一个高频考点

双曲线离心率问题，轨迹方程

2024II卷

有关面积问题，定值定点问题

2023II新课标H

考点02双曲线及以及斜率有关的证明问题以

其性质2022I卷

及新结构中的新定义问题是

2021I

高考的高频考点

2023甲卷

抛物线有关三角形面积问题，

考点03抛物线及2022甲卷

关于定直线问题，有关P的证

其性质2021浙江甲卷乙卷

明类问题

2020浙江

分考点二精准练£

考点01：椭圆及其性质

1（2024•全国•高考I卷）已知40,3）和尸（3,^AY2V2

-为椭圆C：=+与=l（Q>"0）上两点.

Jab

⑴求c的离心率；

（2）若过P的直线/交C于另一点B,且ABP的面积为9,求/的方程.

22f3、

2.（2024•全国•高考甲卷）已知椭圆C：・+表"=1（。>6>0）的右焦点为尸，点〃[1，]J在C上，且MB1.X轴.

⑴求C的方程；

（2）过点尸（4,0）的直线交C于两点，N为线段EP的中点，直线N3交直线MF于点。，证明：轴.

22

3.（2024・北京•高考真题）已知椭圆E：会+方=1（°>6>0）,以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形

是边长为2的正方形.过点（00。>夜）且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A,B,过点A和C（0,l）的

直线AC与椭圆E的另一个交点为O.

⑴求椭圆E的方程及离心率；

⑵若直线BD的斜率为0,求t的值.

4.(2024•天津•高考真题)已知椭圆「+[=1(〃>b>0)椭圆的离心率e=彳.左顶点为A,下顶点为BC

ab2

是线段。8的中点，其中乎.

⑴求椭圆方程.

(2)过点的动直线与椭圆有两个交点p，Q.在y轴上是否存在点T使得TP-TQW0.若存在求出这个

T点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由.

5.(2023年全国乙卷理科)已知椭圆C：[+》=1(a>6>0)的离心率是g，点A(-2,0)在。上.

(1)求C方程；

(2)过点(—2,3)的直线交。于P,Q两点，直线与y轴的交点分别为A1,N,证明：线段

的中点为定点.

6.（2020年IWJ考课标II）已知椭圆Ci：K“F2=1(a>b>0)右焦点F与抛物线C2的焦点重合，Ci的中心与

4

C2的顶点重合.过F且与X轴垂直的直线交G于A,B两点，交C2于C,D两点，且|CD|=1|AB|.

（1）求G的离心率；

⑵设/W是G与C2的公共点，若|/WF|=5,求G与C2的标准方程.

7.（2021年新高考全国H卷）已知椭圆C的方程为「+二=1（。>6>0）,右焦点为尸（四,0）,且离心率为

ab

V6

­.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设M,N是椭圆C上的两点，直线肱V与曲线+，=/（%>0）相切.证明：M,N,F三点共线的

充要条件是|MN|=".

r2

8.（2020年高考课标I卷）已知A、B分别为椭圆E：—+J2=1（0>1）左、右顶点，G为E的上顶点,

AGGB=8>P为直线x=6上的动点，力与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.

（1）求E方程；

（2）证明：直线C。过定点.

9.（2020年新高考全国I卷）已知椭圆C：鸟+《=1（4>6>0）的离心率为它，且过点A（2,1）.

a-b22

（1）求C的方程：

（2）点M,N在C上，且4W_L4V,ADLMN,。为垂足.证明：存在定点Q,使得|OQ|为定值.

10.（2022年高考全国乙卷）己知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过2）,3r-1

两点.

⑴求E的方程;

（2）设过点P（L-2）的直线交E于/W,N两点、,过M且平行于X轴的直线与线段AB交于点丁，点H满

足MT=TH•证明：直线"N过定点.

r22

11.（2020年新高考全国卷H）已知椭圆C：--+方=l（a>6>0）过点M（2,3）,点A为其左顶点，且AM的

a

斜率为工

2

（D求C的方程；

（2）点N为椭圆上任意一点，求△4MN的面积的最大值.

12.(2020年高考课标HI卷)已知椭圆C:工+J=l(0<m<5)的离心率为义9,左8分别为C的左、右顶

25m4

点.

(1)求C的方程；

(2)若点尸在c上，点。在直线x=6上，且I5PR5QI,BP.LBQ,求二APQ的面积.

13(2023年北京卷)已知椭圆氏\+1=1(。>6>0)离心率为尘，A、C分别是E的上、下顶点，B,

才b-3

。分别是E的左、右顶点，IAC1=4.

(1)求E的方程；

(2)设P为第一象限内E上的动点，直线与直线8c交于点直线2与直线y=—2交于点

N.求证：MN//CD.

22

14.(2023年天津卷)设椭圆二+3=1(。>6>0)的左右顶点分别为'A,,右焦点为歹，已知

ab

Ml=3,M=l.

(1)求椭圆方程及其离心率；

(2)已知点P是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线4P交y轴于点。，若三角形APQ的面积是三角

形4/P面积的二倍，求直线&尸的方程.

22

15.(2022高考北京卷)已知椭圆：石：斗+鼻=1(a>6>0)的一个顶点为4(0,1),焦距为

a~b~

(1)求椭圆E的方程；

⑵过点尸(-2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与X轴交于点机

N,当|MN|=2时，求k的值.

2(1

16.(2022年浙江省高考)如图，已知椭圆r工+必=1.设4B是椭圆上异于尸(0,1)的两点，且点。0,-

12\27

在线段A3上，直线PAPB分别交直线y=-gx+3于C,。两点.

(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值;

⑵求ICDI的最小值.

17.(2021高考北京)已知椭圆E:KF=1(.>b>0)一个顶点A(0,-2)，以椭圆E的四个顶点为顶点的

四边形面积为4、/5.

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点P(0,-3)的直线/斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与直线交

度-3交于点M,N,当|PM|+|PN|W15时,求k的取值范围.

考点02双曲线及其性质

1（2024•全国•高考n）已知双曲线C:尤2-y2=zn（zn>0）,点q（5,4）在c上,左为常数,0（无<1.按照如

下方式依次构造点pn（〃=2,3,...）：过pni作斜率为k的直线与c的左支交于点e„_.，令月为a-关于y轴的

对称点，记匕的坐标为（乙,％）.

（1）若#=求%，%；

（2）证明：数歹式%-%}是公比为学的等比数列；

⑶设S.为et+M+2的面积，证明：对任意正整数"，sn=sn+}.

2.（2023年新课标全国n卷）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为126,0）,离心率为否.

（1）求c的方程；

（2）记C左、右顶点分别为4，4,过点（—4,0）的直线与C的左支交于M,N两点，M在第二象限,

直线与N4交于点p.证明:点尸在定直线上.

3.（2022新高考全国II卷）已知双曲线C:「-马=1（。>0,6>0）的右焦点为尸（2,0）,渐近线方程为

ab

y=±A/3X-

(i)求c的方程；

(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点，点P(西,在C上，

且.玉>%2>0,%>0.过P且斜率为-8的直线与过Q且斜率为6的直线交于点M.从下面①②

③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：

①M在上；②尸。〃A3；③|M4|=|MS|.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

4.(2021年新高考I卷)在平面直角坐标系xOy中，己知点£(々玩0)、鼻(旧,0)惘用-恒可=2,点.

的轨迹为C.

(1)求。的方程；

⑵设点T在直线x=g上，过T两条直线分别交。于A、8两点和P,Q两点，且|3•|7»|=|小卜|7。|,

求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

22

5.(2022新高考全国I卷)已知点4(2,1)在双曲线C：二——1一=l(q>l)上，直线/交C于P,Q两点，直

a21—1

线AP,AQ的斜率之和为0.

⑴求/斜率；

(2)若tan/PAQ=2，5,求的面积.

考点03抛物线及其性质

1.（2023年全国甲卷理科）已知直线X—2y+1=0与抛物线C:/=2Px（p>0）交于A,3两点，且

|AB\=4V15.

⑴求。；

（2）设F为C的焦点，M,N为C上两点，FM-FN=0,求面积的最小值.

2.（2021年高考浙江卷）如图，已知F是抛物线y2=2px（p〉0）的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且

\MF\=2,

(1)求抛物线的方程；

(2)设过点F的直线交抛物线与48两点,斜率为2的直线/与直线以MB,AB,x轴依次交于点P,Q,

R,N,且,求直线/在x轴上截距的范围.

3.(2021年高考全国乙卷)已知抛物线。：r=20(°>0)的焦点为F，且F与圆M：%2+(y+4)2=l上

点的距离的最小值为4.

⑴求。；

(2)若点尸在/上，PAPB是c的两条切线，43是切点，求△尸A3面积的最大值.

4.(2021年高考全国甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点0.焦点在X轴上，直线/：X=1交C于P,Q两点,

且OPLOQ.己知点“