利用导数研究函数的零点（学生版）-2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点06利用导数研究函数的零点【九大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1判断、证明或讨论零点的个数】........................................................2

【题型2零点问题之唯一零点问题】............................................................3

【题型3零点问题之双零点问题】...............................................................3

【题型4根据零点情况求参数范围】............................................................4

【题型5函数零点的证明问题】.................................................................5

【题型6多零点的和、差、积与大小关系问题］..................................................6

【题型7隐零点问题】.........................................................................7

【题型8三角函数的零点问题】.................................................................8

【题型9与函数零点相关的综合问题】..........................................................8

►命题规律

1、利用导数研究函数的零点

导数是高中数学的重要考查内容，而导数中的函数零点(方程的根)问题在高考中占有很重要的地位,

主要涉及判断函数零点的个数或范围.高考常考查三次函数与复合函数的零点问题，以及函数零点与其他知

识的交汇问题，一般作为解答题的压轴题出现，难度较大.

►方法技巧总结

【知识点1导数中的函数零点问题的解题策略】

1.函数零点(个数)问题的的常用方法

(1)构造函数法：构造函数g(x),利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图象，判断函数零点的个数.

(2)函数零点存在定理：利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数

有多少个零点.

(3)数形结合法：函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，数形结合，根据图象的几何直观求

解.

2.导数中的含参函数零点(个数)问题

利用导数研究含参函数的零点(个数)问题主要有两种方法：

(1)利用导数研究函数兀0的最值，转化为｛X)图象与X轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决.

(2)分离参变量，即由於)=0分离参变量，得折且⑴，研究产。与尸g(x)图象的交点问题.

3.与函数零点有关的参数范围问题的解题策略

与函数零点(方程的根)有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合

特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况.

【知识点2隐零点问题】

1.隐零点问题

隐零点问题是指函数的零点存在但无法直接求解出来的问题，在函数不等式与导数的综合题目中常会

遇到涉及隐零点的问题，处理隐零点问题的基本策路是判断单调性，合理取点判断符号，再结合函数零点

存在定理处理.

2.隐零点问题的解题策略

在求解函数问题时，很多时候都需要求函数於)在区间/上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，

导致解题过程无法继续进行时，可这样尝试求解：先证明函数段)在区间/上存在唯一的零点(例如，函数次X)

在区间/上是单调函数且在区间/的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其零

点是X0.因为X0不易求出(当然，有时是可以求出但无需求出)，所以把零点X0叫做隐零点；若X0容易求出，

就叫做显零点，而后解答就可继续进行，实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法.

►举一反三

【题型1判断、证明或讨论零点的个数】

【例1】(2024•四川凉山•二模)若/(%)=%sin%+cos%-1,则函数/(%)的零点个数为()

A.0B.1C.2D.3

fln(l—%),xG(-°o,0]

【变式1-1](2024•北京房山•一模)若函数/(%)=1_J_xe(o+oo)，则函数g(%)=/(%)+%+c零

点的个数为()

A.1B.2C.1或2D.1或3

【变式1-2](2024•浙江•模拟预测)已知函数/(%)=a(e*+sin%)-％-1.

(1)当&=决寸，求f(x)的单调区间；

(2)当a=1时，判断f(x)的零点个数.

【变式1-3](2024・四川绵阳•模拟预测)已知函数/'(%)=alnx-[+久(aeR).

⑴讨论;'(x)的零点个数；

(2)若关于x的不等式/'(X)<2x-:在(0,+8)上恒成立，求a的取值范围.

【题型2零点问题之唯一零点问题】

【例2】（2024・四川成都・三模）若函数/（%）=砂-/«2大于0的零点有且只有一个，则实数k的值为（）

lee2

A.4B.2VeC.-D.-

v24

【变式2-1］（2024•全国•模拟预测）已知函数/（%）=2%-fcv-b恰有一个零点％o,Kb>fc>0,则％o的取

值范围为（）

AS岩）B.（.8,蓝）C.（等,+8）D.（部,+8）

【变式2-2］（2024•广东汕头•三模）已知函数/（X）=x（ex-ax2）.

（1）若曲线y=/（%）在％=-1处的切线与y轴垂直，求y=/'（久）的极值.

（2）若f（x）在（0,+8）只有一个零点，求a.

【变式2-3］（2024•陕西商洛•模拟预测）已知函数/'（%）=3K2+nisinxQ>0）,其中m为常数且zn2-6,

（1）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（OJ（O））处的切线方程，

（2）若函数g（x）=/（%）-mxcosx在区间UTT）上有且只有一个零点，求实数m的取值范围.

【题型3零点问题之双零点问题】

【例3】（2024・四川内江•三模）若函数/（久）=当—5有两个零点，则实数机的取值范围为（）

A.(0,e)B.(e,+8)C.(0,2e)D.(2e,+8)

【变式3-1］（2024•浙江杭州•模拟预测）若函数/（%）=a|有且仅有两个零点，贝的取值范

围是()

A.(—,0)U(0,e)B.(—,0)U(0,e)

C.(-1，0)U(0,3)D.(-p0)U(0,3)

i

【变式3・2】(2024•全国,模拟预测)已知函数/(%)=%所一a(x>。)，且/(%)有两个相异零点%力%2・

(1)求实数。的取值范围.

(2)证明：％1+第2>§.

【变式3-3](2024・黑龙江哈尔滨・模拟预测)已知函数/(%)=x2\nx-zn有两个不同的零点%「冷，且t=%,+

虐.

(1)求实数血的取值范围；

(2)求证：t<1；

(3)比较t与：及2m+：的大小，并证明.

【题型4根据零点情况求参数范围】

【例4】(2024•江西鹰潭•模拟预测)已知a>l,若函数f(x)=凝也。-ex有两个不同的零点，则a的取值

范围是()

A.(e,+8)B.(l,e)C.(2e,+8)D.(e,2e)

【变式4-1】(2024•陕西汉中•二模)已知函数;'(>)=，—久3—3久212：,无4°,g@)=/⑴一皿有4个零

\inx,xu

点，则〃?的取值范围为()

A.B.(-2,0]U{|}C.(-2,0]U{i}D.(-c»,0]U(i,|)

【变式4-2](2024•贵州贵阳一模)已知函数/⑺=21?”>°,若方程/OO+e久=0存在三个不相等

(efx<0

的实根，则实数。的取值范围是()

A.(―oo,e)B.(—co,—e)C.(―8,—2e)D.(-8,2e)

【变式4-3](2023・辽宁大连•模拟预测)已知函数/(久)=产+2父+居产o,若函数⑴=八久)一收一

I—LX,%<U

4x|,(k6R)恰有4个零点，则左的取值范围()

A.(—8,—1)u(2A/^,+8)B.(—8,-U(0,2)

C.(一8,0)u(0,2+2a)D.(-00,0)U(2+2V5,+00)

【题型5函数零点的证明问题】

【例5】(2024•江苏扬州・模拟预测)已知函数/(%)=ln(zn%)-％(TH>。).

(1)若/(%)<0恒成立，求m的取值范围;

(2)若/(%)有两个不同的零点第1，、2，证明第1+冷>2.

【变式5-1](2024•重庆•模拟预测)已知函数f(x)=a(ln久+l)+£(a>0).

(1)求证：l+%ln%>0；

(2)若%是f(%)的两个相异零点，求证：1%2-％11<1-3

【变式5-2](2024,辽宁•三模)已知/(%)=(%—l)ex+|ax2.

(1)讨论函数/(久)的单调性；

(2)当a>0时，证明：函数/(%)有且仅有两个零点％1，第2，且久1+%2V0.

【变式5-3](2024,全国•模拟预测)已知函数/(%)=好—(2+a)%+aln%,aER.

(1)讨论/(%)的单调性；

(2)设g(%)=亍一/(%)+好一(q+1)%一2。+(。-l)ln%,若g(%)存在两个不同的零点久。如且％iV知

(i)证明：2。>e+1；

(ii)证明：(2-%]V4

丁za—宗1

【题型6多零点的和、差、积与大小关系问题】

【例6】(2023•四川成都•三模)已知函数/(久)=乂一§一alnx有三个零点的,支2，%3，其中aeR,则口向冷冷

的取值范围是()

A.(1,+co)B.(2,+oo)C.(e,+oo)D.(3,+oo)

【变式6-1](2023•四川南充•一模)已知函数/(x)=|lnx-|+2|-m(0<m<3)有两个不同的零点支口

久2(向<》2)，下列关于打，久2的说法正确的有()个

OmO

①工<e2m②％i>----③e5V%2V----®%x>1

%1m+23-m12

A.1B.2C.3D.4

【变式6-2](2023•四川成都•一模)已知函数/(%)=(ln%)2+：%2有三个零点％]、冷、心且

久1<町<久3,则此+四+崛的取值范围是()

XlX2X3

A.(一六,。)B.(一/,。)C.(一力)D.(-|,0)

【变式6-3](2023•四川南充・一模)已知函数f(x)=|lnx-|+2|-m(0<m<3)有两个不同的零点句,

%2，下列关于第1，%2的说法正确的有()个

<e2m②％1>=一③九1%2〉1

%1m+2

A.0B.1C.2D.3

【题型7隐零点问题】

【例7】(2023•陕西咸阳•模拟预测)已知/(无)=(x—l)2ex—^x3+ax(x>0)(aGR).

(1)讨论函数/(%)的单调性;

(2)当a=0时，判定函数g(%)=/(%)+In%-零点的个数，并说明理由.

【变式7-1](23-24高三上•辽宁鞍山•阶段练习)已知函数/(%)=hrr—ar+1,g(x)=x(ex-%).

(1)若直线y=2%与函数/(%)的图象相切，求实数。的值；

(2)当@=一1时，求证：/(%)<g(x)+X2.

【变式7-2](2024•广东广州•模拟预测)已知函数/(%)=沅次(a>0).

⑴求/(%)在区间[-1,1]上的最大值与最小值；

(2)当a21时，求证：f(x)>Inx+%+1.

【变式7-3](2023•内蒙古包头•一模)已知函数/(%)=ae%-ln(%+l)-1.

(1)当a=e时，求曲线y=/(%)在点(0/(0))处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积;

(2)证明：当a>1时，/(%)没有零点.

【题型8三角函数的零点问题】

[例8](2023•江西上饶一模)已知函数/(%)=sin2x+2sin%-1,则/(%)在第G[0,2023冗]上的零点个数

是()

A.2023B.2024C.2025D.2026

(e%+%,%V0

【变式8-1](2023•河南•模拟预测)已知函数D有4个不同的零点，则正实

(SinI60%——I,USXSK

数a的范围为()

儿解)B・诺)

【变式8-2](2024•广西钦州•三模)已知函数/(%)=asinx+xcosx.

(1)若a=0,求曲线y=/O)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)若a>-1,证明：/(%)在(-nji)上有3个零点.

【变式8-3](2024•广东深圳•模拟预测)已知/(%)=%sin%-acos%在第=]时取得极大值.

(1)讨论/(%)在[一nji]上的单调性；

(2)令九(%)=x2—4xsinx—4cosx+4,试判断h(%)在R上零点的个数.

【题型9与函数零点相关的综合问题】

【例9】(2024•广东广州•二模)已知函数/(%)=a(%+1)已-％+好.

⑴讨论/(%)的零点个数；

(2)若/(%)存在两个极值点，记%0为/(%)的极大值点，为/(%)的零点，证明：&-2%1>2.

【变式9・1】(2024・四川遂宁•模拟预测)已知函数/(%)=%-[+aln%,其中aCR.

(1)当％E[1,+8)时,/(%)>0,求4的取值范围.

(2)若。<一2,证明：/(%)有三个零点％1，%2，%3(%1<%2<%3)，且%1，%2，久3成等比数列.

【变式9-21(2024•北京朝阳•二模)已知函数f(%)=a%—lnCL—%)(a€R).

(1)求曲线y=/(%)在点(OJ(O))处的切线方程；

(2)若/(%)>0恒成立，求a的值；

(3)若/(%)有两个不同的零点；TL%2，且|%2-％11>e-1,求Q的取值范围.

【变式9-3](2024•江西景德镇•三模)已知函数/(%)=e%-a/,^(x)=ex—bx.

(1)当b=e时，求函数g(%)的极值；

(2)已知实数ae(0,9).

①求证：函数f(x)有且仅有一个零点；

②设该零点为与，若f(O图象上有且只有一对点4(%1，月)，3(久2，、2)(久1<久2)关于点(右，0)成中心对称，求

实数a的取值范围.

►过关测试

一、单选题

1.(2024•陕西安康•模拟预测)函数/(x)=In久+壮—2的零点所在区间是()

A.(o,y)B.(y,l)c.(1,V2)D.(V2.2)

2.(2024•陕西西安•模拟预测)若函数/(%)=/一3%+a在区间(0,2)内有两个零点，则实数a的取值范围

是()

A.(0,2)B.(2,+8)C.(0,1)D.(1,+8)

3.(2024・四川绵阳•模拟预测)函数/(%)=e%-々％-b恰好有一零点汽°,Kk>b>0,则％o的取值范围是

()

A.(一8,0)B.(0,1)C.(-8,1)D.(1,+oo)

]n%—~,x>0,

(nF'有4个零点，则3

{sin(3%+-h—TI<X<0

的取值范围是()

A•(蜀B.黑)C.(泻]D」与

5.(2024・四川宜宾•模拟预测)定义在(0,+8)上的单调函数/(%),对任意的XG(0,+8)有/[/(%)-In%]=1

恒成立，若方程/(%)•/'(%)=根有两个不同的实数根，则实数血的取值范围为()

A.(一8,1)B.(0,1)C.(0,1]D.(-00,1]

6.(2024•河北衡水•模拟预测)已知函数/(%)=In%+1-a%有两个零点％L%2，且％1<%2，则下列命题正

确的是()

2

A.a>1B.+%2<展

C./•亚<1D.%2—>—1

|3—2%|+1,%>0,

2

7.(2024•四川•模拟预测)已知函数/(%)=(%+2)2若函数y=[/(%)]-a/(%)有5个不同的零

丁，久三。・

点，则a的取值范围是()

A.(0,1]B.(1,4]C.(1,4)D.(1,+8)

8.(2024・全国•模拟预测)已知函数/'(X)=e2x-2(a+l)xe*+a(a+2)/(其中e为自然对数的底数)，

则下列结论错误的是()

A.BaeR,使函数人久)恰有1个零点

B.BaeR,使函数/(x)恰有3个零点

C.maeR,使函数八久)没有零点

D.若函数/(%)有2个零点，则实数。的取值范围为(e-2,e)

二、多选题

9.(2023・广西•模拟预测)已知方程a%-2%ln%=/+3(ae7?)有两个不同的根%「若无1<%2，则

()

A.aC(4,+8)B.%1<1<x2

C.In/+lnx2_1>ln2D.xrx2>1

10.(2024・重庆・三模)已知函数f(x)=e2，-a/(a为常数)，则下列结论正确的是()

A.当a=l时，”久)在(0)(0))处的切线方程为2x—y+l=0

B.若f(x)有3个零点，则a的取值范围为匕2,+8)

C.当a=e2时，x=1是/(X)的极大值点

D.当a=：时,/(x)有唯一零点与,M-l<%o<-1

11.(2024•浙江绍兴•三模)已知函数人比)=a(ex+a)-x有两个零点久口x2,则下列说法正确的是()

A.a的值可以取3