江西省上饶市2024-2025学年高二年级上册十月检测 数学卷（含答案）

江西省上饶市2024-2025学年高二上学期十月检测数学卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知直线/：（a+2）x+（加T）y+机T=°,若直线与连接4—1，0）,8（4,2）两点的线段总有公共点，

则直线的斜率的范围为（）

【答案】A

【解析】

【分析】求出直线所过定点尸的坐标，数形结合求出直线的斜率的取值范围.

x+y+l=0fx=0

<<

直线的方程化为加（x+y+D+（2x—yT）=。，由〔2X—T=0,解得U=T,

k=-JO=]7_12_3

因此直线过定点尸。一1）,线R4的斜率‘°一（—1），直线尸8的斜率PB0-44,

k>-

由直线与线段48总有公共点，得直线的斜率左有上4-1或4,

7m+2131

k----------=-I---------w—[

又直线'（加+2）工+（加—1）,+加一1=0的斜率m-\m-1,

3

2.已知圆〃：（x-x。）+"—%）=4,从点N（4,3）向圆河作两条切线NP、NQ,切点分别为尸、

cZPNQ=-2

Q,若2,则圆心河的轨迹被直线y=2x-3截得的弦长为。

6迷12#>12

A.5B.5C,5D.5

【答案】C

【解析】

【分析1连接MP、MQ分析可知MPNQ为正方形，可得出\MN\=阳期=2吟可知〃的轨迹

是以点N为圆心，半径为2血的圆，再求出圆心到直线＞=2》-3的距离，从而求出弦长.

圆/:(x-%)+(y-%)=4的圆心为"(xo/o),半径为2,连接必\MQ

兀

^MPLNP,MQ上NQ,又因为NPNQ=3,且=

所以四边形MPN。为正方形，piij\MN\=^\MP\=2吟

即J(X「4)2+(33)2=20,即(%—4)2+(%—3)2=8,

所以点M的轨迹方程为(X一9+G一3)=8,

即点"的轨迹是以点"©J)为圆心，半径为20的圆，

八牛4—3—3]_2

又圆心N（4,3）到直线y=2x-3的距离6+（—1）出,

_2卜⑸=苧

所以圆心河的轨迹被直线V=2x—3截得的弦长为\5.

故选：C

22

3.设椭圆C：/〃。'）的左、右顶点为4,4,左、右焦点为片，上、下顶点为名,

员.关于该椭圆，有下列四个命题：

甲：I4印=1；乙：尸尸2的周长为8；

1

丙：离心率为5；T：四边形44片层的面积为3省.

如果只有一个假命题，则该命题是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】B

【解析】

【分析】利用椭圆方程，分析甲乙丙丁都为真时得到关于凡“°的等式，再分析得甲乙不同时为真，进而

分类讨论甲、丙和丁为真与乙、丙和丁为真两种情况即可得解.

依题意，作出椭圆°的图象，如图，

若甲为真命题，则I4W="C=I；

若乙为真命题：则公片的周长为2。+2c=8,即a+c=4；

c_1

若丙为真命题，则离心率为。2.

FB

若丁为真命题，则四边形AA22的面积为S+c）b=3也；

5

CI———

2

a-c=l

c=—b=yja2-

当甲乙都为真时，有N+c=4,解得2,则

_3]_

『5,S+C»=4X2=8H33则丙和丁都是假命题;

此时a

所以甲乙不可能同时为真，且必有一真一假，故丙和丁都为真;

<2-C=1

c_1c=1

a2<2=2

(a+c)b=36,解得b=A/3

若甲、丙和丁为真，则

此时满足/=〃+°2,且a+c=3w4符合题意;

4

c=—

3

a+c=48

Q=­

3

a2,3G

(a+c^b=3Gb=----

若乙、丙和丁为真，则，解得4

此时/彳〃+02,即乙、丙和丁不同时为真，假设不成立;

综上，乙命题为假命题.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，分析甲乙丙丁都为真时得到关于见“C的等式，进而分析得

解.

丫2“23后拒八

4.在平面直角坐标系中，过双曲线片b2（。＞0力＞0）上一点144J作两条渐近

线的平行线分别与两渐近线交于尸，0两点.若4M°Q=3zM°P,则该双曲线的离心率为（）

A.6B.GC.2DY

【答案】C

【解析】

【分析】做出图形，求出渐近线方程，求出两平行线间的距离，再结合三角恒等变以及斜率关系换化简可

得瓜=b,最后构造齐次式求出离心率即可；

X

◎

一x

由题意可得双曲线的渐近线方程为a

b

y=­x

设MP交直线a于点尸,

电ab-£b

44

b

y=­x

则点川到直线"a的距离为

ab+-121ab

4

b

y——x

点川到直线"a的距离为

\PM\

因为=,由正弦定理可得sinNMO尸smAPMO,

\PM\\MQ\\MQ\

BpsinZMOPsinZMOQsin3ZMOP

\PM\_\MQ\_\MQ\

设4Mop=e,即sin。sin3，sin(8+2d),

e位sin(。+2。)=sin6(cos20+cos0sin26,=sin0cos26,+2cos20sin0

因为')

\a2+b2

11V3

cos9=Jnd=30°

所以24cos2"1,即2

tan60°=2n拒a=b

所以NPQx=60。，即a

=2

所以离心率

故选：C.

5.过抛物线「=2x上一动点尸作圆C:（x-4）2+/=/（，为常数且reN*）的两条切线，切点分别

为A,B,若的最小值是46，则r=O

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】设尸a。,为）,利用圆的切线性质，借助图形的面积把HH.lpq表示为天的函数，再求出函数的

最小值即可.

设P（Xo/o）,则歹；=2%,圆C的圆心C（4,0）,半径为厂，

由尸4%切圆。于点48,得PCL4B,P4上4C,PB上BC,

则|叫•附|=2SmpACS=4S„=21P4|NC|=2rmi=2小「盯+"

22

=2,片-6%+16-上=27（x0-3）+7-r>2图7-户

当且仅当天=3时，等号成立，

可知间\PC\的最小值为2—7—"=4c,

整理可得/一7尸+12=°,解得r=4或r=3,

且reN*,所以r=4,即r=2.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：根据切线的性质，将转化为2s四边形及CB,根据面积结合几何性质求解.

6.在如图所示的空间直角坐标系中，48。。-451GA是单位正方体，其中点/的坐标是（）

z、

a

少---------)c

AB（T,l,T）C.（LT1）D.（—）

【答案】D

【解析】

【分析】根据空间直角坐标系的定义求出点的坐标.

点）的坐标为O'T—1）

故选：D

7.已知向量"=（一'I，4）1=（—4,2,7）,且向量。石的夹角为锐角则的取值范围是。

B.H-,8^o（8,+co）。8｝（8,+00）

【答案】B

【解析】

【分析】夹角为锐角，则Z%>o,排除平行的情况即可.

因为向量生。的夹角为锐角，

5

——t>——

则a力=8+2+4/>0,得2,

-2_j__4

当春月时，—457,得=8,

[—|>8]D（8,+OO）

的取值范围为12>

故选：B.

8.如图，在正四棱台48co—4与。。1中，246二=34员,2。与80的交点为河,设48=扇4口=3,

4'=’,则下列向量中与瓦.相等的向量是（）

AG

1-3/

——a+—b+

B.34

1-3r

——a+—b+

D.64

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，利用空间向量的基底表示向量"1""即可.

B^M=B^B+BM=B^A[+A^A+AB+^BD=--AB+A^A+AB+-（-AB+^A^Dl）

21-3-13-

=——a+c+a+-{-a+—b}=——a+—b+c

32264

故选：D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点

A,2距离之比是常数1）的点”的轨迹是圆，已知点'G㈤]（5,0）,屈是平面内的一动点,

且满足陷=2网,则下列说法正确的是（）

A.点M的轨迹围成区域的面积为8兀

B.A48河面积的最大值为6亚

C.点M到直线'—J+5=°的距离的最大值为80

D.若”的轨迹上有四个点到直线x—>+%=°的距离为血，则实数b的取值范围为一9<b<-5

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A,设“（无,y）,先由W〃卜21M同求出点"的轨迹方程，从而得点M的轨迹圆的半径，再

由圆的面积公式即可得解；对于B,先求出MB|,接着求出圆心（6，一0到直线48的距离再加上半径即为

△48河的高最大值，进而可求面积最大值；对于c,求出圆心(3一1)到直线x->+5=°的距离再加上

半径即为解；对于D,求出圆心(6，一1)到直线"-夕+'=0的距离力令即可计算求解.

对于A,设火叼)，因为1必=21阿所以(x-2)2+&-3-4(-5)2+叶

整理得V+/-12x+2v+29=0gp(x-6)2+(j+l)2=8,

所以点M的轨迹是圆心为(6'一1),半径为的圆，

兀x«行)=8兀

所以点M的轨迹围成区域的面积为V).故A正确；

对于B」第=J(O_3y+(5_2)2=3虚/…一3=三(x—2)即x+,_5=0,

所以点M到直线x+》—5=°的距离的最大值为2拒,

-X3A/2X2V2=6

所以A/BM面积的最大值为2,故B错误；

(61、J-"|=60

对于C,因为圆心('1到直线x—y+5=°的距离为<2

所以点"到直线x—N+5=°的距离的最大值为6V2+2V2=872,故c正确;

^_|6-(-l)+Z)|_|7+6|

对于D,圆心(6'—1)到直线》一少+6=。的距离为J5V2,

要使M的轨迹上有四个点到直线％-N+°=°的距离为V2,

故选：ACD.

10.抛物线C：/=2px（夕〉0）的准线为/,尸为c上的动点，过P作圆M：（X—"）2+3-2）2=4的两

条切线，A,B为切点,过P作/的垂线，垂足为。，则（）

A.当。=1时，/与圆M相切

B,当2一“时，―川+1尸9的最小值为2/

C.当I481=26时，为定值

D.存在点P,使得△尸45为等边三角形

【答案】CD

【解析】

【分析】对于A,根据抛物线的准线方程以及圆的圆心坐标和半径可以判断是否相切；对于B,因为

户H=附，所以可使得4。两点在点尸的异侧，根据两点之间，线段最短原理可知，当尸，42三点共

线时，忸H+P9有最小值；对于C,已知581=2内可解得而和砺的夹角，从而解得疝.痴为定

值；对于D,当时，△尸48为等边三角形，所以满足存在性.

对于A,圆环（》一1）2+3-2）2=4的半径，=2,圆心O'）到准线"一一5的距离为+2,

所以，当且仅当。=1,夕=2时，/与圆屈相切，故A不正确;

对于B,如图所示：

当P,4。三点共线时，归』十|尸0|有最小值，最小值为?，故B不正确;

对于C,因为|/引=2百，|必=阿=2,所以由余弦定理得

22+22-^V3J

MA?+MB?-AB?

cos/AMB=

2xMAxMB2x2x25,所以44〃5=120。，

所以疝.痂=|祝5卜|前|XcosNAMB2x2x

故C正确;

对于D,当5切=26时，ZAMB=120°,所以N4P8=60。，

此时AP/B为等边三角形，故D正确;

故选：CD.

11.在长方体/8CO-4与。12中，已知=4,8C=2,441=3,MUN分别为BXC^AXBX的中点，则

下列结论正确的是()

7^/2

A.异面直线8M与NC所成角的余弦值为10

7V5

B.点T为长方形&BCD内一点，满足口T〃平面BMN时，的最小值为5

C,三棱锥8—4肱V的外接球的体积为14兀

D.过点。，/，N的平面截长方体ABCD-4与。12所得的截面周长为4亚+372

【答案】BD

【解析】

【分析】A选项由线线平行得到异面直线的夹角，用余弦定理即可得出结果；B选项动直线平行于平面等

价于面面平行，从而得到动点运动轨迹，找垂线即为最短距离，求出最小值；C选项找球心，便可得到半

径，然后求出体积；D选项利用空间直角坐标系由空间向量得到点的坐标，然后求出线段长，从而得出周

长.

•:MN//&G〃AC,.•./BMN直线MN与ZC所成角,

BM2+MN2-BN2

casNBMN=

在儿W中，根据余弦定理可知2BM-MN

BM=732+12=屈,MN=----=M,BN=732+22=V13

2

cosNBMN=----

代入求得10,A错误；

B.取4D的中点£,取的中点尸，取49的中点S,连接EF,D]E,DF，AS,SM

■:SM//AB,AS//BM,所以四边形N浏痣是平行四边形，

4S〃w且/S〃RE,D{E〃BM,DXE〃平面BMN,

同理可得D'F〃平面BMN,

//平面BMN,Tc平面ABCD,

所以点T的运动轨迹为线段跖，

在△平尸中，过点%乍此时中取得最小值,

由题意可知，*=而，2尸=年历=6,

B正确;

C.取小的中点Q,连接49,则09=0附=0]4,

13

且。。广产二

过点已作°&//网

.•.(W为外接球的半径，在Rt△皿N中，MN=M,

“_4_7V14

••匕球—三兀d氏3——一兀

33,c错误;

D.由平面反。刀〃平面四℃得，过点2MN的平面必与外G。有交点，

设过点D，M,N的平面与平面'44°和平面分别交于。0,9

DO//PM,同理可得。尸〃°N，

过点的平面截长方体“BCD-481Goi所得的截面图形为五边形。尸MN0,

如图所示，以。为坐标原点，以所在直线分别为x，N，z轴建立空间直角坐标系,

设40=加,CP=",则。（0,0,0）,0（2,0,m）,P（0,4,〃）,M（1,4,3）,N（2,2,3）

:.ON=（0,2,3-m）,PM=（l,0,3-n）,W=（2,0,m）,DP=（0,4,n）

-DP//ON,DO//PM,

m-2（3-n^

“=2（3-掰＞解得切=〃=2,

DO=A/22+22=272,DP=742+22=275

ON=712+22=也,PM=Vl2+12=41,MN=V5

所以五边形OPWO的周长为

DO+DP+ON+PM+MN=242+245+^5+^2+^5=445+342口正确

故选：BD

【点睛】方法点睛：利用向量共面来找立体图形中截面问题，先找到面与棱的交点，设交点坐标，得到空

间向量的坐标，由向量平行建立方程，解出点的坐标，即可确定截面位置.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知点直线x一划一2=°被圆('-I)+/=8所截得弦的中点为N,则|MN|的取值范围

是.

【答案】12,3]

【解析】

cR

【分析】根据中点关系可得/一NL8一N,即可由数量积的坐标运算得N点的轨迹为以12。J]为圆心，

_1

以’5为半径的圆，即可根据阿1-乙阿"求解.

由于直线X一处—2=。恒过定点'(2,°),圆心N(150),

设N(x,y),则丽,丽，故亦.丽=0,

+y

即(x-l)(x-2)+/=0,化简可得口t-4)

cRo]r=-

故N点的轨迹为以UJ为圆心，以2为半径的圆，

由于爪°，2)在圆。外，的+”=；

2

^\MC\-r<\MN\<\MC\+r即|孙e[2,3],

故答案为:〔2,31

22

——+=1(m>0)—

13.已知椭圆9m的离心率为3,则加的值为

81

【答案】8或8

【解析】

【分析】分焦点在无轴上和歹轴上，根据离心率公式直接求解可得.

当焦点在x轴上时，°=3,'=诟，则'=用荷，

e--y-19---m--—1

所以，33,解得〃2=8；

当焦点在yV轴上时，a=际,b=3,则0=而与，

ylm-9181

e=-7=~=~m=—

所以，3,解得8.

81

综上，加的值为8或8.

81

故答案为：8或8

Frx,i,n

14.已知正方体”88—4402的棱长为1,£为的中点，点I35J在平面内.以。为

原点,以停，℃，°j｝为空间的一个单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系。一切Z,则点

F的坐标为.

【分析】分别求出得G（0,l,l）,再结合点4E，G，尸共面，所以

AF=2AQ+/JAE=

,从而可求解.

,/（1,0,0）,。（0,1.1）,则布=（一1,1,1）,

由题意得

因为点4E，G，尸共面,

AF=2AQ+fiAE=

所以'23'5,解得15

所以I/

故答案为：<1535人

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.

15.已知圆£：必+/一2》+2了=°与圆C,相交于RQ两点，直线尸。的方程为x-y-2=°.

(1)若圆°2的圆心在圆G外，求圆G的半径的取值范围；

(2)若尸(°,—2),8是圆C?上的动点，且在8C2的面积的最大值为5,求圆C2的方程.

【答案】⑴0，+°0)

(2)(x+1)?+3—I,=10或(x-3>+(y+3)2=10

【解析】

【分析】(1)借助圆与圆的位置关系以及勾股定理，计算即可求得；

(2)通过GG，00,以及三角形面积的最大值，求出圆G的半径，计算即可求得.

【小问1详解】

由I?+J?_2x+=0,得(x—1了+(y+1了=2,

所以圆G的半径【夜，圆心为(I),且圆心1)在直线池上.

因为圆G的圆心在圆G外，所以连结℃2,仁02|〉夜.

又因为连接02。，所以在我〃。©。中，圆c2的半径

〃+1_]

设圆a的圆心为（见〃），由题意可得℃2,尸0,所以加-1,即八-加①.

设圆C2的半径为r，在AC2PB中，边02尸上的高为儿

-\C2P\-h

所以的面积为2

当GP'GB时，即此时“取得最大值r,APBG的面积取得最大值,

-|CP|-|C5|=-r2=5/—

最大值为2"212,解得，二厢，

所以|尸02上而4=丽②.

m——\m=3

<<

由①②得〔〃=1,或〔"=一3,

所以圆,2的方程为（x+l）2+3-1）2=10或（X-3）2+3+3）2=10.

J/

16.已知尸i,用分别为椭圆C:/“-1（"〉”〉°）的左、右焦点，且椭圆经过点（2，°）和点0，e）,

其中e为椭圆的离心率.

（1）求椭圆C的方程;

\MF2\

（2）若倾斜角为30°的直线经过点与，且与C交于M,N两点点在N点的上方），求〔"工〔的值.

-----Hy=1

【答案】（1）4

]_

（2）7

【解析】

【分析】（1）将点（2,0）和点O'，）代入椭圆方程，解之即可得解;

（2）根据题意，利用直线的点斜式求得直线的方程，再联立直线与椭圆方程，直接求得点M，N的坐标,

从而得解.

小问1详解】

C

因为椭圆椭圆C：/+z?1经过点（2,0）和点1e）.

a，

Q=2

1C2a=2

-----1----------

<b=l

b2+c2=a1

所以,解得

2

X21

—i-y=1

所以椭圆的方程为4'

【小问2详解】

F（也0、k=tan300=——

由（l）得』直线的斜率为3

所以直线的方程为即3

8G

X=-----

7

1

y=—

7

座LJ」

所以照「卜厂7

isC：Dl(a>0,6>0)|,F(c,0)

17.已知双曲线«2fe2的离心率为3为双曲线的右焦点，且点尸到直线

a16

x———

C的距离为5.

(1)求双曲线C的方程;

⑵若点“(2°),点P为双曲线C左支上一点,求网+附।的最小值.

【答案】(1)916

(2)23

【解析】

【分析】(1)利用点到直线的距离公式列和离心率列方程求见“°,即可得到双曲线的方程;

(2)根据双曲线的定义将“训+归用的最小值转化为卢'㈤0国+2"的最小值，然后根据两点之间线段

最短求最小值即可.

【小问1详解】

c_5

a3

<

a216[«=3

c----____<

5,解得〔0=5

由题意知〔C

则b=Vc2-a2=4,

22

土—匕=1

所以双曲线c的方程为916.

【小问2详解】

记双曲线C的左焦点为片，则片（―5,0）,

可得I?训+1班1THi+1尸局+2”|"|+|尸局+6,

当P，F0，N三点共线时，网+1尸国最小，

且最小值为।狗=".故|尸国+|尸尸|的最小值为17+6=23.

18.《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖席.如图，在鳖牌尸—48C中，尸/上平面

(1)P"-a,PB-b,BC-°，用〃，6,。表示DE；

⑵若同=网=网=1,求就•瓦

—►2-1一1一

DE——a—b—c

【答案】(1)362

(2)

【解析】

【分析】（1）连接BD,PE,利用空间向量的线性运算，准确化简、运算，即可求解;

（2）根据题意，利用空间向量的线性运算和向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解.

【小问1详解】

如图所示，连接BD,PE,可得说=而一而=可+彳后一而一而，

因为。为PC的中点，且砺=2互7,

AE=lAB=LpB-LpA,Bb=LBP+LBC=ApB+LBC

所以3332222

DE=PE-~PD=PA+AE-PB-BD=PA+(^-PB--PA)-~PB-(--PB+-BC)

所以'33