函数的图象 （含新定义解答题）解析版-2025年高考数学一轮复习（新高考专用）

第07讲函数的图象（分层精练）

A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）

A夯实基础

一、单选题

【分析】利用特殊点法与图象平移即可得解.

22

【详解】因为y—，所以当％=0时，y=--=2,故排除ABC,

1-x1-x

又＞=42=-2三的图象可由函数y=—2-的图象向右平移一个单位得到，则D正确.

l-xx-1X

故选：D.

log2x,x>0

2.(2024•河南•模拟预测)已知函数/(x)=〜八，g(x)=/(-x)-l,则g(x)的图

(x+1),x<0

象大致是()

A.\jY.B.、工

-2<yj<Z/2X

【答案】B

【分析】利用x>0时的解析式的图象即可得到选项.

【详角军】令x>0,贝i]-x<0,

所以/(-x)=(-x+l)2,

g(x)=f(-x)T=(x-I?T，

则在y轴右侧为部分抛物线，

对称轴为x=l,g(x)=。时，x=2或0,

且(0,0)处为空心，g(i)=-i，

排除ACD.

故选：B

3.(2024上•云南迪庆•高一统考期末)我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形

少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”.在数学的学习和研究中，有时可凭借

函数的图象分析函数解析式的特征，已知函数/(%)在的大致图象如图所示，则函数/(%)的

解析式可能为()

A./(x)=-|x|+lB./(x)=|x-l|C./(力=_国-1D./(x)=|x+l|

【答案】A

【分析】根据题意取特值点分析判断.

【详解】由题意可知：/(1)=0,排除CD；/(-1)=0,排除B.

故选：A.

4.(2023上•山西吕梁•高一校联考阶段练习)函数/■(元)=]吗|尤的大致图象

为（）

【答案】D

【分析】利用函数零点判断即可.

【详解】令/'（xHi°g/x|+i|=°，得x=±L所以函数的零点为土L又l>1或

aaa

--<-1,D选项符合

a

故选：D

5.（2024•四川•校联考模拟预测）函数=3x）的图象大致是（）

【分析】根据函数的奇偶性的判断可排除CD,根据以及0<%<有时的函数值的正负,

即可排除B.

【详解】因为=一3x）,定义域为R,

又-。+3、）=Q-丁+3”）

(12V+1-111

(22X+122*+1

11

(X3-3X)=/(X),可知/(x)为偶函数，排除CD；

2-2%+1

11

>0,

当尤＞0时,2-2X+1

当0<x<百时，X3-3X=X(X2-3)<0,则/(X)<0,

当尤〉若时,X3-3X＞0.则/(X)＞0,B不符题意,

故选：A.

6.(2022•全国•模拟预测)函数〃力=/-3国-1的图象大致为()

【分析】根据题意，求得了(可为偶函数，再利用导数求得函数/(x)的单调区间，结合选项,

即可求解.

【详解】由函数/(x)=eW-3冈-1的定义域为R,

>/(-x)=eH-3|-x|-l=eH-3|x|-l=/(x),所以函数〃x)为偶函数,

当xw(0,+co)时,/(x)=ex-3x-l,则r(x)=e3,

当尤w(0,ln3)时，/,(x)<0；当xe(ln3,—)时，

所以/(元)在(0，ln3)上单调递减，在(ln3,+«)上单调递增.

故选：C.

x2+2x+1,x<0/、

7.(2024•陕西咸阳・统考模拟预测)已知函数/(无)=|ln4x>0，若方程行)“有

四个根小无2，%，尤4，且为＜工2＜尤4，则下列说法错误的是()

A.%+工2=-2B.£+14〉2

C.芯了2>4D.0<<7<l

【答案】C

【分析】分析函数的性质，作出函数图象，再逐项判断即可.

【详解】函数y=/+2x+l的图象开口向上，对称轴为直线4-1,

当尤<0时，/（x）=Y+2x+l在（-»,-1］上递减，函数值集合为［0,+q），在上递增，

函数值集合为［0,1］,

当尤>0时，f（x）=|lnx|在（0,1］上递减，函数值集合为［0,伏），在口,内）上递增，函数值集

合为［0,+co）,

方程f{x）=a的根是直线y=a与函数y=/（%）图象交点的横坐标，

方程/（x）=a有四个根%，即直线y=a与函数y=/（元）图象有4个交点,

在同一坐标系内作出直线与函数y=/（尤）的图象，如图，

观察图象知，xt+x2=-2,0<a<l,AD正确;

显然|In%1=1InzI,而工3<1<%,则一Inw=In%,即In三元4=0,阳演=1,

3+X4>2,至4=2,B正确；

—1<%2<0,XjX2=(-2—x2)x2=—(x2+1)-+1e[0,1),C错误.

故选：C

8.（2024上•贵州黔西•高一统考期末）函数/'（X）的图象如图所示，则的解析式可能

B./(x)=log2(x+l)

D.f(x)=2x-l

【答案】A

【分析】结合图象，根据定义域与特殊值应用排除法得到答案.

【详解】由图象可知，“X)的定义域为

对于C,D选项，〃x)=|2=l|,〃力=2、-1定义域为区，排除C,D；

对于B选项，/(x)=log2(x+l),定义域为(T,+8),

当x=-g时，0氏2［；+1)=-1,排除B,

对于A,"x)=|log2(x+l)|的定义域为(-1,+⑹，且其在(TO)上单调递减，在(0,+⑹上单

调递增，故A正确.

故选：A.

二、多选题

9.(2024上•云南昆明•高一统考期末)已知定义域为A的函数〃无)，若对任意的士,％eA

且X产W，有则称函数/(无)为"定义域上的凹函数,，.例如，

f(x)=2，就是R上的凹函数.以下函数是"定义域上的凹函数"的有()

A.f［x)-2x+lB./(%)=x3

C./(x)=Y+lD./(x)=-lgx

【答案】CD

【分析】画出选项ABCD的图象，根据函数图象上任意两点连线的中点都在图象的上方，逐

一验证即可求解.

【详解】分别作出ABCD的图象，如图

根据土产］〈正?可知定义域上的凹函数是函数图象上任意两点连线的中点

都在图象的上方，故CD符合，AB不符合,

故选:CD

10.(2023上•山东泰安•高一校考阶段练习)已知函数/(x)=x|x+加|(加为常数)，则y=/(x)

【分析】根据分段函数的性质，结合分类讨论即可与二次函数的性质求解.

f^>0

【详解】当m=0时，函数/(尤)=》国=；一］选项D符合题意；

［—X，尤<。，

当〃7>0时，函数〃x)=xl%+词=卜+nt^X-"故选项C符合；

［-X—mx,x<-m,

当〃z<0时，函数〃尤)=小'+同=卜+nvc^x-m,故选项B符合.

1-x-mx,x<-m,

故选:BCD.

三、填空题

11.(2023上,上海静安,高三上海市新中高级中学校考阶段练习)定义在实数集R上的函数

y=/(x)满足〃x+4)=/(x),〃4-x)=/(x),且当xe［0,2］时，/(x)=2x-l,则满足

/⑺>0的x取值范围为.

【答案】1+4匕g+44#eZ

【分析】根据题意得了⑺周期为4,关于x=2对称，作出函数/⑺在［0,4］上图象，结合周

期性得出答案.

【详解】由〃x+4)=/(x),可得函数“X)周期为4,当xc［0,2］时，〃x)=2x—1,又

/(4r)=/(x)得〃力关于x=2对称,

作出函数“X)在［0,4］上图象，

由图像可得，在［0,4］上满足〃x)>0的x取值范围是又函数周期为4,

所以函数/⑺满足/(x)>0的x取值范围是&+4左］+44,左eZ.

故答案为：［；+4左］+4”,左eZ.

12.(2023上•上海•高一曹杨二中校考期末)已知6eR,设函数"log2x+2x+6|在区

间山+1］。>0)上的最大值为Mt(b).若{b\Mt仅)22}=R,则正实数t的最大值为.

【答案】|

【分析】画出函数图象，数形结合得到当/■(。=7”+1)时，”,仅)取得最小值，最小值为

/")，并得到6=-Jog2〃f+l)-2r-l,从而得到不等式，求解解集，得到答案.

【详解】画出/(x)=|log/+2x+b|的图象如下.

由图象可知，当/⑺=/«+1)时，M(6)取得最小值，最小值为/⑺,

此时/＜机＜/+1,-(log2r+2r+Z))=log2(r+1)+2(?+1)+&,

贝lJ6=-：log2t(f+l)—2f—l①，

故只需要-。鸣/+2/+联2②，

将①代入②得-11吗，+2-?吗(+1)-2f-2,

化简得£4解得色,

故正实数t的最大值为;.

故答案为：;

四、解答题

13.（2024上•湖南郴州•高一统考期末）已知函数/（x）=|log2x|

->

X

（1）完成下列表格，并在坐标系中描点画出函数/（X）=|log2工的简图;

⑵根据（1）的结果，若/（%）=/（%）（X产马），试猜想中2的值，并证明你的结论.

【答案】⑴答案见解析

（2）占3=1,证明见解析

【分析】（1）根据列表描点连线即可求解函数图象,

（2）根据对数的运算性质即可求解.

(2)猜想占％=1，证明如下：

/(%)=/(%)，二|吐2万|=隧2%|，

.log2占=log2%或log2无］=-log2尤2,

々，.1log?玉=-log2尤2，

BPlog2X[+log2x2=0,log,=0,x1x2=1.

14.(2023上,江西新余•高一校考期中)已知是定义在R上的偶函数，当尤NO时，/(x)

是二次函数，其图象与x轴交于4(1,0),3(5,0)两点，与y轴交于C(0,5).

⑴求的解析式;

⑵若方程/(%)-3a+1=。有四个不同的实数根，求。的取值范围.

x2-6x+5,x>0

【答案】⑴〃无)=

尤？+6x+5,尤<0

(2)(-1,2)

【分析】(1)当x»0时，由二次函数的图象与坐标轴的交点，求出解析式，由“X)是偶

函数，求出尤<0时解析式，可得〃x)的解析式；

(2)问题等价于函数y=/(x)与y=3“T在同一坐标系中的图象有四个不同的交点，作出

函数图象，列不等式求。的取值范围.

【详解】(1)当XN0时，“X)是二次函数，其图象与X轴交于4(1,0),3(5,0)两点，

由题意可设/(x)=%(x—1乂3—5),由40)=5,得5k=5,即k=1,

/(x)=(x-l)(x-5)=x2-6x+5(x>0).

又/(x)是偶函数，

当x<0时，-x>0,贝ij/(%)=/(-力=%2+6x+5,

所以小)=]x：-？+

[x+6x+5,x<0

(2)依题意〃x)=3a-l有四个不同的实数根，

即y=/(x)与y=3a-i在同一坐标系中的图象有四个不同的交点.

作出函数“X)的图象，如图所示，函数〃

由图可知只需满足条件-4＜3a-1＜5,

解得一7＜。＜2,

即实数。的取值范围是（T2）.

B能力提升

1.（2024上•安徽淮南•高一深圳市高级中学校联考期末）若函数y=7与函数

〃同=二注过的图象有两个不同的交点4（%,〃网）），B（X2,/（X2）,则士士义的取

X-1t

值范围是（）

A.I—4—4-JB.I—4—,0JuI0,—4—J

C.卜2点,2四）D.卜20,o）u（o,2四）

【答案】B

【分析】由题意方程:=/一2X+3有两个不同的解7,三,利用韦达定理得（占-1）（赴-1）=2,

X-1

则受±三二/转化为求」的范围即可.

【详解】〃x）J2x+3=1+J_,作出函数图象如图:

X~1X~1

因为函数y=t与函数"X）='；：；+3的图像有两个不同的交点,所以”20或，＜-2后,

%2—2%+3

且方程公即（%—1）—《%—1）+2=0有两个不同的解西，式2.

x-1

故a_i)(z-i)=2,所以占+彳一」4=i-(%-；)伍一9=1,

因为"2板或r<-2及，所以0」〈变或-变，<0,

t44t

r四。〕、

所以%々1

——Gu0,——

tI4

7

故选：B

|ln(-x)|,x<0

2.(2024上•云南昭通,高一昭通市第一中学校联考期末)已知函数/(%)=

X2-4x+l,x>0

若函数g(x)=/(x)-根有四个不同的零点为，巧，元3，元4，且不<%2<%3<兀4，则下列结

论中正确的是()

A.-1<%2---B.—1<m<0

e

C.xrx2=—D.x3+x4=2

【答案】A

【分析】由题意可得函数y=/(x)与，=加有四个不同的交点，作出函数，=/(力与>=根的

图象如图所示，然后结合图象逐个分析判断即可.

【详解】因为函数g(x)=/(x)-机有四个不同的零点，

所以/("=根有四个不同的解，即函数y=/(x)与丁=机有四个不同的交点，

作出函数y=/(x)与的图象如图所示：

又x=o时，/(o)=i,由图象可得0<〃zWl,故B不正确，

由|ln(T)|=l,得尤=—或x=-e,所以由图象可得一1<%4-：,故A正确；

由图象可得不<T,所以|ln(-玉)|=帆(-9)|,gpin(-^)=-ln(-x2),

即111(不马)=。，所以再％=1,故C错误;

又退，乙关于x=2对称，故%+%=4,故D错误,

关键点点睛：此题考查对数函数图象的应用，考查函数与方程的综合应用，解题的关键是将

问题转化为函数y=/(x)与>=加有四个不同的交点，然后作出函数图象，结合图象分析判

断，考查数形结合的思想，属于较难题.

4国—1Y<1

3.(2024上•山东德州•高一统考期末)已知函数〃"=2'一，函数了=左与

*2-6X+8,X>1

y=/(x)有四个交点，横坐标依次为占，巧，马,匕且玉〈尤3〈尤4，满足

/(为)=/(%)=〃三)=/(三)，则坨(-网)-恒七+4%+26』的取值范围是()

A.(0,20)B.(2,20)C.(3,20)D.(6,20)

【答案】D

【分析】画出函数图象，数形结合得到-%=%,X3+X4=6,毛©。,2),变形后得到

1g(-尤1)-1g无2+4"+26』=(2*+g1-；，求出值域.

4凶—1x<1

【详解】画出"》)=,'-的图象如下：

x~-6x+S,x>l

由题意得-占=尤2，X3+X4=6,

令/_6x+8=0得，x=2或4,故演«1,2),

其中lg(f)=3(%),

故lg(—%)—1gX?+4*+26f=48+2金=+；］—；,

2屋(2,4),所以磔一玉)一1g々+平+e仁一；号一力=(6,20).

故选：D

【点睛】方法点睛：函数零点问题，将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交

点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数

图象，包括指数函数，对数函数，嘉函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包

括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.

|x+2|,x<0

(2024上•重庆•高一校联考期末)已知/(%)=<八

4.,若方程〃力=1有四个不

log1x,尤>0

11

同的解<%2<兀3，贝”1+Z+——+——的取值范围是.

“3%4

【答案】12,：

【分析】结合函数，=/(%)的图象与性质知0<aV2,X,+X2=-4,阳4=1，将

11

%+%+『五化简为-4+鼻+%，进而化简为_4+2-。+2"，求出范围即可.

,x<0

,x>。的图象:

方程/(x)=。有四个不同的解不,

则0<a<2,且玉+马=一4,1°81*3=-108产4，所以阳4=L

22

11,X.+XA，

贝！J+X?H-----------1-------——4H—:------------=-4+%+冗4,

七14

设log[W=a，bgj_尤4=一"，所以三+8=2-"+2",

22

171

因为0vaV2,所以2<2"+2"W—,贝lj—2<—4+退+/<—，

44

所以则无1+尤2+'+'的取值范围为(-2,占)

龙3*44

故答案为：12,；,

【点睛】方法点睛：函数零点问题要充分利用函数与方程的基本思想，并充分利用数形结合

画出函数图象，利用图象即可求得参数范围以及零点问题.

C综合素养

5.(2019上•上海闵行•高三上海市七宝中学校考阶段练习)设集合O表示具有下列性质的

函数〃尤)的集合:①的定义域为(-M)；②对任意％ye(-M),都有

11+孙J

(1)若函数证明〃x)是奇函数；并当，詈£|=2,(三£|=1，求〃间，

“〃)的值；

(2)设函数g(x)=lg1-鼻■]Q为常数)是奇函数，判断g(无)是否属于O,并说明理由；

1g(x)XG(-1,1)

(3)在(2)的条件下，若/%)=着।।/一、(左20),讨论函数y=M/z(x)]—2的零

[中|+1(-1,1)

点个数.

31

【答案】(1)见解析，fW=-

(2)g(x)eQ,证明见解析

(3)上<0或苴二L(女W1时，3个零点；上=0或%>1时，1个零点；0</41二]时，5

22

个零占

【分析】(1)利用赋值法和奇函数的定义证明函数是奇函数，由题得了(〃，),/(九)的方程组，

解方程组即得解；(2)先求出a的值，再利用O的定义证明；(3)令h(x)=t，则h(t)=2,再

分类讨论数形结合分析得解.

【详解】(1)令x=y=0得/(0)+