湖南省多校联考2024-2025学年高二年级上册10月月考 数学试题（含答案）

湖南省多校联考2024-2025学年高二上学期10月月考数学

试题

一、单选题（本大题共8小题）

4+i

z----

1.复数i在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

2.在空间直角坐标系中，直线/过点"（1，°'一1）且以*=（234）为方向向量，

"（x/，z）为直线/上的任意一点，则点”的坐标满足的关系式是（）

%—+1X+1歹_2-1

A.〒丁丁B.〒丁丁

x-1yz+1x-1yz+1

C.~=2=^~D.~^=4=~

3.己知总体划分为3层，按比例用分层随机抽样法抽样，各层的样本量及样本平均数

如下表：

分层样本量样本平均数

第一层1055

第二层3075

第三层1090

估计总体平均数为（）

A.73B.74C.76D.80

4.设aeR,直线4：（。+l）x+yT=0/：2x+即一（a+2）=0,贝aa=\„是«/,//12»

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知点（X。/。）为直线x+2y+6=°上任意一点，则J（%+l）2+y；的最小值是

（）

A.百B.2C.^5D.6

6.如图，在异面直线私”上分别取点48和C。，使4B=2,CD=4,BD=6,且

.„,_<AB,CD>=—

AC±m,AC±n!若3,则线段"C的长为（)

ABm

7.已知圆台的上、下底面圆周上的点都在同一个球面上，且圆台的上、下底面半径分

别为1,3,高为4,则该球的表面积为（）

A.25兀B,30兀C,32兀D.40兀

8.如图所示，在四棱锥尸一/BC。中，底面“BCD是边长为2的菱形，

71

PA=3,/ABC=ZBAP=-cos/PAD=—

3,且6,则cos/PBC=(

277277377377

A..〒B.亍C.ITD."M"

二、多选题（本大题共3小题）

9.如图，在三棱锥/-BCD中，区尸,G,H分别是棱AB,3C,CD,Q4的中点，”是

EG和9;■的交点，则（）

A.四边形E尸G”是平行四边形

B.BDU平面EFGH

C.三棱锥的体积小于三棱锥尸的体积

两=:你+而+京+而）

10.已知圆M：（x-1）2+/=1与圆N:x2+（.y-2）J4相交于48两点（点A在第一象

限），则（）

A.直线的方程是x_2y=0

B.四点不共圆

C.圆”的过点A的切线方程为3x+4y-8=°

4

cos/AMB=——

D.5

11.已知定义在R上的函数"x)满足/(x)=/(2-x)J(l)=2,且g(x)=/(x)-l为奇

函数，贝U()

A.”x)+/(-x)=2B.，(x+4)-g(x)为定值

*g(4左+l)=l/eZ)口,/(4左+3)=l/eZ)

三、填空题(本大题共3小题)

12.己知直线/==依+2在x轴上的截距为1,则左=.

13.从集合口349｝中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则得到的

对数值为整数的概率是.

14.古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两

点距离的比为常数'(2'1)的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点

M-7,0),3为直线/：4x+3y+ll=0上的动点，尸为圆C:(x-2)?+/=9上的动点,则

+

\PAAPB\的最小值为.

四、解答题(本大题共5小题)

直线4经过点“加和叱

15.已知直线4的方程为("+4)XF+2=0

⑴若4U,求。的值；

(2)若当。变化时，4总过定点c,求MQ.

f(x)=V3sin0>0,闸<工］—,—

16.已知函数I2J在区间133」上单调递减且

⑴求/(X)的解析式；

f(x)<--

(2)求使2成立的x的取值范围.

17,已知△NBC的内角43,C的对边分别为a,6,c,且屈sinC=ccos"+c.

⑴求A；

jr

C=-,AABCc片,

⑵若4的面积为213+6,求j

18.如图，在三棱锥P-/8C中，P4=AB=BC=2,PB=AC=26,PALBC,M,N分别

是棱PB,C4上的动点（不含端点），且BM=CN.

(1)证明：平面平面尸48.

⑵设BM=t,则当/为何值时，儿仪的长度最小？

(3)当儿W的长度最小时，求平面4W与平面的夹角的余弦值.

E:x2-2mx+y2-—m=0z/in\,,

19.已知圆2，点“(1，”关于直线/：＞=办+6的对称点为

8(-2,3)

(1)求/的方程；

(2)讨论/与圆£的位置关系；

(3)若/与圆£相交于M，N两点，圆心E到/的距离为后，圆C的圆心在线段九加上,

且圆C与圆E相切，切点在劣弧MN上,求圆C的半径的最大值.

参考答案

1.【答案】D

z=i±lz=^*=（4+i）（T）=l-41

【详解】由i可得KF,

故对应的点为（L4）,位于第四象限，

故选：D

2.【答案】A

【详解】由方向向量得而〃*，又因为，"=（xT，％z+i）,

x-1_V_z+l

所以〒_§一丁.

故选：A.

3.【答案】B

10x55+30x75+10x90»

--------------------二74

【详解】依题意，估计总体平均数为10+30+10

故选：B

4.【答案】A

［详解］因为直线’1：（〃+l）x+y—1=°,，2：2x+ay—（〃+2）=0,

当q=］时，乙：2x+y_l=0,/2：2x+）_3=0,止匕时（//4,即〃=］可以推出4//4,

当4/儿时，（。+1）。=2,解得。=1或-2,

又Q=—2时，A：x-y+l=0,Z2:x-y=0此时（"W所以乙//4推不出Q=］,

所以“。=1”是“4//4”的充分不必要条件，

故选：A.

5.【答案】C

【详解】：点G。'打）为直线x+2j+6=0上任意一点，

又J（%+1）的几何意义为直线上的点到（T，°）的距离，

5=后

故最小值为（T'°）到直线的距离，即最小值为HF

故选：C.

6.【答案】C

【详解】如图，过C作〃//8,过3作于连接BH,HD,

因为/C_L/，所以/C_LC77,又NC_L〃，nC\CH=C%C"u面

所以4CL面CD”,又DHu面CDH,所以/C_LZW,

又易知ACIIBH,所以BHLDH,

又（丽丽话，所以在△OTO中，S=1第=2同=4,

-2|CH|-|C£>|cosZ//CD=4+16-2x2x4xcos-=12

在Rt△出血中，BD=6,即|=24所以忸叫2引叫2ToM2=3672=24,

又AC/IBH,AB11CH,所以|/3=忸，|=2加，

ABm

故选：C.

7.【答案】D

【详解】如图:

设oq=x,贝|002=4-龙

•.•圆台的上、下底面圆周上的点都在同一个球面上

贝ljr=A/32+12=VlO

.•.表面积：S=4兀/=40兀

故选：D

8.【答案】D

【详解】如图连接/c,

则PC=4C一/尸=+/。一力P

|PC|=sJ(AB+AD-APy=^|28|2+|AD|2+|15|2+2AB-AD-2ABAP-2AD-AP

jr1

\AB\=2,|PN|=3,/ABC=ZBAP=cos,ZPAD=-

由题可知

.|ZB|2=|ZD|2=4,|AP|2=9,

2ABAD=2网J西.cos/BAD=2x2x2x-4

2万N=2画网COS/PAD=2X2X3XL6

2疝万=2所网cos/PAD=2x2x3xg=2

.|PC|=74+4+9-4-6-2=V5

PB2=AB2+AP2-2AB-AP-cosZPAB=4+9-2x2x3x-=J

在“BP中，2

.­.PB=4J

PB2+BC2-PC27+4-5377

,cosNPBC=

在APBC中2PBBC2x77x2-14

故选：D.

9.【答案】ABD

【详解】对于A中，在三棱锥中，EGG，"分别是棱的中点,

EF//AC,EF^-ACHG11AC,HG=-AC

可得2且2,

所以EF//HG,EF=HG,所以四边形EFG"是平行四边形，所以A正确；

对于B中，在△8CO中，因为*G分别为8C,CD的中点，可得FG//BD,

又因为8Z)<Z平面EFG”,尸Gu平面所以3。//平面EFG〃，

所以B正确；

对于C中，设点H到平面BCD的距离为h,

因为反〃为/5么。的中点，可得EH//BD,

又因为平面2cO,8Du平面2cO,所以£"//平面BCD,

所以点E到平面3co的距离也为h,

===

­、，^B-DHG^H-BDGZ^ABDG-^E-BDFT^BDF'

因为3,3,

又因为EG分别为8C,CD的中点，可得FG//BD,所以其加二邑的，

所以PB-DHG=?E-BDF,所以三棱锥8-OHG的体积等于E-BD尸的体积，所以C错误;

对于D中，因为四边形跖G”是平行四边形，

FM=-（FE+FG）=-［（FB+BE）+（FC+CG）］

可得22

=1［（SE+CG）+（F§+FC）］=1［|（A4+CD）+（ra+FC）］

因为丽=-记，所以丽+记=0,

II--------►----------►---------►---------►II---------*--------,--------->I---------»---------

^--[-(^+CD)+(F5+FC)]=--[-(^+^+FC+C£>)+-(ra+FC)]

11—-—•1

=--[-(FA+FD)+-(FB+定)]=」何+而+京+而)

4'所以D正确.

故选：ABD.

10.【答案】AC

【详解】对于选项A,因为圆M：(x-1)2+/=1与圆N:f+3_2)2=4,两圆方程相

减得至IJx-2y=°,即直线43的方程是x-2y=0,所以选项A正确，

,8

x=—

I5

卜=°]v=-A(--)

对于选项B,由x-2y=0和(x-l)2+/=i,解得[了=0或产一《，即1，7，

8(0,0),

又M(l,0),N(0,2),所以MN中点为“5」)，贝产一回一1~,又|河叫=石，

所以P到4",5N四点距离相等，即4M,8,N四共圆，所以选项B错误，

4

k=3_，

^84"r_]_3

对于选项C,由选项B知(5,5,所以5,得到圆M的过点A的切线方

43,8、

V——=——(X——)

程为545\

整理得至I]3x+4y-8=°,所以选项c正确，

i,|_怆4164—

对于选项D,因为R“25+255,网=|照=1,

2T时_l+l-y3

cos/AMB

在中，由余弦定理得2|M4|-MB\25

所以选项D错误,

故选：AC.

11.【答案】ABC

【详解】•.•/(x)=/(2-x),则/(x+l)=/(I),则/(x)关于直线尤=1对称,

...g(x)=/(x)-l为奇函数，则g(-x)=-g(x),即-x)-l=-/(x)+l,则

/(-%)+/(%)=2；故A选项正确；

•.•/(f)+/(x)=2,...f(x)关于点(0,1)对称,即"0)=1,

由〃x)=/(2-x)可得〃-x)+“2+x)=0,

则"2+无)+“尤)=2,即“4+x)+“2+x)=2,

则〃4+x)=/(x),可知4为函数/(x)的周期，

,/(x+4)-g(x)=/(x+4)-“x)+l="x)―/(x)+l=l为定值，故B选项正确;

g(4^1)=/(4^1)-l=/(l)-l=l(^Z)；故c选项正确;

“4后+3)="3)=/(1)=2*1(左0,故口选项错误；

故选：ABC

12.【答案】-2

JY"---2

【详解】因为直线/f=履+2,令>=°,得到一k,

一2二1

由题有k,解得人=-2,

故答案为：-2.

]_

13.【答案】6

【详解】从集合2349｝中任取2个不同的数共有g=12种取法；

作为一个对数的底数和真数，则得到的对数值为整数的情况有：log24>log39；共2

种，

尸="

・•・概率126

故答案为：6

14.【答案】9

\PA\_

【详解】令阳=3]即,则\PD\~.

由题意可得圆C：(x-2)2+r=9是关于点A,。的阿波罗尼斯圆，且4=3,

3=3=+L

设点。坐标为则m小—3-〃)2,

9加+79n49—9m2—9n2

x2+y2------x---y=-----------

整理得448

由题意得该圆的方程为C:(X-2)2+/=9,即X2+./_4X=5

9m+7.

-----=4

4

4

22m=x

49-9m-9n5\

所以I8，解得1"=。

所以点。的坐标为。（L°）,所以E+3闸=3即+3|「唯3|叫

4+11

当801/时，此时最小，最小值为732+42

因此当8"/时，％+3阀的值最小为3x3=9,

故答案为：9

V5

⑵2

5|0,-

【详解】（1）直线’2经过点和va，所以

』-0

2

k=^—r

a。+4

10—

所以直线,2的斜率为2，因为直线4的斜率为丁，2

a+4

-----------X-1

所以a，解得〃=—2或。=4

（2）直线4的方程为（a+4）L=°可以改写为a（x-y）+4x+2^0

x-y=0］

4尤+2=0,解得》=发一5,

由

/C

所以4总过定点22

根据两点间的距离公式，

+(-「。)2=?

\AC\=

f(x)=V3sin|x+—|

16.【答案】(1)I6>

Ikji-,2kji--(kG)

⑵L12”Z)

714兀

［详解］(1).••/G)=6sin(0x+e)在区间3」上单调递减,

瓜f

且

解得0=1

=V3

71兀兀

一+（p=—,（p=一

，由“五点法”可知326

.­./(%)=V3sin^x+j

<A/6

百sinx+2

（2）由（1）可知~~~T

_V|

/.sinx+—<

I6~~~T

2kn--<x+—<2.而_；（左£Z）

46

2kjt-口^<x<2kn--(keZ)

解得1212V7

2kn-^^-,2kn--(A-eZ)

1212v7

•,X的取值范围是-

兀

17.【答案】（1）3

(2)4

【详解】(1)由G"sinC=°c°s4+0,得至uGsin"sinC=sinCcos'+sinC,

又CE(0,兀)，sinCwO,得至|jGsinZ=cos/+l,即GsinZ-cosZ=l,

71715兀

2sin(Z--)=1sin(J--)=—又北（0,兀），所以一片（一］不）,

所以6,得到62,

,兀兀,兀

A——4二一

所以66,解得3

715兀

⑵因为；A=-B=T

(1)知3,所以412,

.5兀

csin——

csinB

b7=--------=____12__V2csin—

b12

由正弦定理sin/sin5sinC,得到

.57r.77r.,TC兀、V21V2V3V2+V6b=Sc

sin—=sin—=sin(—+—)=----x—d------x=-----------

又12124322224所以2

S=-bcsmA^-x^^-C"W=26+6

又A/BC的面积为26+6,所以222

整理得到/=16,解得c=4.

18.【答案】（1）证明见解析

(27=夜时，皿的长度最小

V3

(3)3

［详解］(］)由于尸N=48=2,尸8=20,,P/_L48,

又PA1BC,=平面ABC,

所以尸/，平面A8C,

又因为尸4u平面尸N8,所以平面/2C_L平面尸N8.

(2)作MD//PA交AB于D,连接。N,

由于P/_L平面4BC,故Affl_L平面4BC,AGVu平面48C,故M)_LACV,

BD=DM=—BM——t

BM=t,故22,

CN=t,故/"=2行又易知zU3C是等腰直角三角形,

由余弦定理可得DN2=AD2+AN2-2AD-ANcos45°

=+^V2-/J-V22一字)(2亚一)=#一2"+4

故W='MD。+DN。=J--2"+4=《《一⑸+2

故当》=应时，此时九W的最小值为力.

⑶由于N3=8C=2,/C=2下，故N2_L3C,

以B为坐标原点，以8c,8/所在的直线分别为x和y轴，

以过点3垂直与平面N8C的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示,

当年应时，河，"分别为9,/0的中点,

则4（0,2,0）,8（0,0,0）C