广东省2024-2025学年高二年级上册10月月考 数学试题（含答案）

2024学年第一学期高二第一次月考

数学

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

一F+一F

1.已知单位向量6满足I），则。与6的夹角为（）

22红区

A.6B.3C.3D.6

【答案】C

【解析】

（2a-\-b\b=0

【分析】由向量垂直可得＜7,结合已知条件和向量的数量积的定义可求出夹角的余弦值，从

而可求出向量的夹角.

一r同=|目=1（2a+b\s_bCla+b\b-0

解：因为。，人是单位向量，所以।।门，因为＜），所以＜），

即2a・1+庐=2同WCOS（Q®+网=2cos+l=0则=一/

2»

因为&与5的夹角范围为[0，％],所以万与5的夹角为3.

故选:C.

2.某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则

这2名学生来自不同年级的概率为（）

j_j_j_2

A.6B.3C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.

依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有C：=6件，

其中这2名学生来自不同年级的基本事件有=4,

4_2

所以这2名学生来自不同年级的概率为％3.

故选：D.

3.已知事件/与8互斥，且(),(),则()

尸(45)=02P(A<JB)=0.9P(A^=0,5)=0.6

•Z~V.LJ.v_z«JL/.

【答案】B

【解析】

【分析】由事件互斥及概率的性质判断各项的正误即可.

由事件/与5互斥，则(),(U)()(),A车昔，B对；

由咐=1一….6,尸⑻=1一尸(5)=0.5,故2错.

故选：B

A」,AB=2—

4.在△/8C中，3,且a/BC的面积为2,则边NC的长为()

A.1BYC.2D.◎

【答案】A

【解析】

【分析】由三角形的面积公式求解即可.

—5=-^-^C-sin60°=—^C=—

因为△Z5C的面积为2,所以222,

所以"=1.

故选：A.

5.设&、,为两个平面，加、"为两条直线，且aC，=掰.下述四个命题：

①若根〃〃，则〃〃a或“"A②若掰，〃，则〃，a或〃工4

③若〃//a且〃"尸，则加〃〃④若〃与a,尸所成的角相等，则加工〃

其中所有真命题的编号是。

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

【答案】A

【解析】

【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.

对①，当〃<=a,因为加〃〃，mu0,则〃//，，

当nu0,因为加〃〃，mua,则〃//a,

当〃既不在a也不在厂内，因为加〃〃，mua,mu°,则〃//a且〃//分，故①正确；

对②，若加工〃，则〃与鬼，不一定垂直，故②错误；

对③，过直线n分别作两平面与火，分别相交于直线和直线，

因为过直线〃的平面与平面1的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知〃“s,

同理可得〃/〃，则$/〃，因为s<Z平面尸，/u平面a，则s//平面4，

因为s<=平面a,=贝”//机，又因为〃//s,则加〃“，故③正确；

\a\

对④，若=〃与a和6所成的角相等，如果〃//%〃///,则机〃〃，故④错误;

综上只有①③正确，

故选：A.

6.给出下列命题：

①空间向量就是空间中的一条有向线段；

②在正方体ABCD-中，必有"°=4G；

③"।।是向量a=6的必要不充分条件；

④若空间向量外〃，?满足玩〃心力〃万，则玩〃万.

其中正确的命题的个数是（）.

A.1B.2C.3D.0

【答案】B

【解析】

【分析】根据空间向量的相关概念逐项判断.

有向线段起点和终点是固定的，而空间向量是可以平移的，故①错误；

正和4cl大小一样、方向相同，则'c=40,故②正确；

若忖=忖，则z和3的模相等，方向不一定相同，若£=B,则Z和B的模相等，方向也相同，所以

\a\-Iftl-7

111।是向量a=6的必要不充分条件，故③正确；

向量的平行不具有传递性，比如当〃为零向量时，零向量与任何向量都平行，则九夕不一定平行，故④错

误.

综上所述，②③正确.

故选：B.

71

7.如图，在平行六面体.8-4用。自中，A4=AD=AB=2-B4D=3,

NB4Al=AAXAD

3,则ADt

【答案】B

【解析】

【分析】根据空间向量加法的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.

~ABX-ADX=(AB+AA^(AD+AA^=^B+-^AX+AD-AAX+AA^

2

=>AB1-AD{=0+2x2x—F2x2x—i-2=8,

故选：B

8.一个电路如图所示，A,B,C,D,E,尸为6个开关，其闭合的概率都是2,且是否闭合是相互独立的,

则灯亮的概率是()

551

A.64B.64

19_

C.8D.64

【答案】A

【解析】

设闭合”为事件G,“〃闭合”为事件H“4与8中至少有一个不闭合”为事件7,“£与户中至少有一

£j_j_2

个不闭合”为事件兄则尸（©=尸㈤=万，A7）=7,W=1-2X2=4,所以灯亮的概率片1—尸（力

55

户（而产（小）尸（后）=64.

故选A

二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有

多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）

9.已知i为虚数单位，下列说法正确的是（）

1+i

z------

A.若复数Ji,则？3°=_1

B.若复数z满足|z-lHz-i|,则复平面内z对应的点到实轴的距离等于到虚轴的距离

C.若（*一1）+（"+%+2>是纯虚数，则实数》=±1

D.复数z=2-i的虚部为-i

【答案】AB

【解析】

【分析】对A,根据复数的运算即可求解；对B,由复数的模的公式化简求出z对应的点到实轴的距离等

于到虚轴的距离即可判断，对C,根据纯虚数的概念列方程即可求解；对D,由虚部概念即可判断.

1+i（1+i）2

••z-........二—------------------二1

解：对于A：I八,

?°=i3°=i2*2*7+2=（_i>7+2=产2口9=j2=7

、7，故A正确；

对于B：设2=、+皿》，"可，代入HHz-i|,

得=M+（yT?

1寸・，

整理得：y=x,

即复平面内Z对应的点在直线歹二x上，

故复平面内z对应的点到实轴的距离等于到虚轴的距离，故B正确;

j十—1）++3x+2、

对于C：I/X）是纯虚数，

x2-1=0,

<

贝I」"2+3'+20°,解得：x=l,故c错误；

对于D：复数z=2-i的虚部为-1,故D错误.

故选：AB.

13

/D尸（"）二一P（B）=—p（A

10.已知48为两个事件，2,4,则的值可能为()

J_35

A.6B.16C.8D.8

【答案】BC

【解析】

【分析】根据事件概率的相关公式进行转化求解不等式即可.

尸⑻4

因为52

3

-<P(AuB^<l

所以4

135

所以尸尸（2）+尸（8）—尸（N8）=5+Z—P（Z5）=a—尸（力5）

75

-<——P(AB)<1

即44-

解得42

故选：BC

11.如图，在正方体“BCD—4B1G2中，E、E分别是“4、8G的中点.下列结论正确的是（）

A.防与8片垂直B.瓦与平面"(28]

C.防与G0所成的角为45。D.EF//平面4AG2

【答案】ABD

【解析】

【分析】连接运用中位线定理推出瓦7〃4。],结合线面平行和垂直的判定定理和性质定理，分析

判断可得A、B、D正确；再由异面直线所成的角的概念判断可得C.

对A：连接4s,4G,则//交叫于£,又尸为g中点,

可得4c1,由，平面MAGS,4c1u平面481Gz>i,

可得8s4G,故B[B]EF,故人正确;

对B：连接*1,EF//4G,由正方体性质可知4C11平面,

可得EF1平面BDDE故B正确；

对C：E厂与所成角就是/4G。，连接4°,

由正方体性质可知4cl=C'D=A'D,即△40°为等边三角形，

故/400=45。，即.与G°所成的角为45。，故C错误；

对D：由E"〃4G,EE<Z平面481Gn,4c1U平面,

故斯//平面481Go1,故D正确.

故选：ABD.

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直

角三角形的直棱柱.如图，在堑堵'8C—44cl中，W,N分别是4G,的中点，G是跖V的中点，

若4G=++zAC则x+y+2=

3

【答案】2

【解析】

AG=-（AN+AM）

【分析】由G是"N的中点，可得2，再由向量的线性运算可得

—■1—■3—•1—-

AG=-AB+-AAl+-AC

244，即可得答案.

解：连接如图所示：

C,

因为G是M/V的中点，/，N分别是4G,的中点,

AG=-（AN+AM）

所以2

1—►—►—►——►

=3（4B+BN+AAT+A]M）

1—►1—►—►1——►

二5（曲产+/4+54G）

=^(AB+^AAl+AAl+^AC)

=|(A8+|14+|ZC)

1—.3—•1—­

=-AB+-AA.+-AC

2414

又因为ZG=xAB+yAAx+zAC

131

x=-,y=-,z=~

所以244

3

x+y+z=—

所以2

3

故答案为：2

13.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽到的第一张卡片

上的数不小于第二张卡片上的数的概率为.

3

【答案】5

【解析】

【分析】根据题意，利用列举法求得基本事件的总数和所求事件包含的基本事件的个数，结合古典概型的

概率计算公式，即可求解.

由从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，

基本事件的总数为N=5义5=25个，

则抽到的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数包含的基本事件为：

(1,1),(2,2),(2,1),(3,3),(3,2),(3,1),(4,4),(4,3),(3,2),(4,1),(5,5),(5,4),(5,3),(5,2),(5,1)

共有15个，

尸

所以抽到的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为255.

3

故答案为：5.

14.和两条异面直线都垂直的直线叫做两条异面直线的公垂线，而两条异面直线的公垂线夹在异面直线间

的部分叫做这两条异面直线的公垂线段.正方体48C。-48'C'。’中，异面直线44'和8C的公垂线段

是；三棱锥尸一N8C的棱长都为1,则异面直线R4和8c的公垂线段的长度是

显

【答案】①.AB②.2

【解析】

【分析】根据公垂线段的概念即可判断；构造正方体，将公垂线段的长度转化为正方体的棱长，即可求解;

解：在正方体NBC。—HB'C'D中，28'//于点A,于点8,

所以异面直线44'和的公垂线段是4s；

如图在正方体E8DC一尸肱4尸中取点尸，A,B,C,

可知PA=PB=PC=AB=BC=CA,

也

设尸2=1,可知正方体EBOC-PKNE的棱长为2.

取R4中点O',5c中点°,连接°'。,易知点。为的中点,

由正方体的性质可知四边形PADE为平行四边形，

所以。0//尸£且0'0=尸£.

由正方体性质可知W平面EBDC,,平面PMAF,

所以

所以O'OLPNO'OLBC,

所以0'°为异面直线P4和BC的公垂线段.

V2

所以异面直线尸/和5c的公垂线段的长度为2

四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤）

15.如图，在平行六面体”88-45cA中，AB=5,AD=3,ZDAB=90°,

ABAAX=ZDAAX=60°E是CC】的中点，设益=£,AD=B,44]=c.

（1）求ZE的长；

（2）求异面直线NE和5c夹角的余弦值.

【答案】⑴3底

（2）9.

【解析】

【分析】（1）在平行六面体中，由棱长及夹角，由和向量运算可得

2E=2S+5C+CE=2B+5C+-CC；

2,平方可得

-----►2►2*21►2*►►►►►

AE=AB+BC+-CQ+2ABBC+ABCC.+BCCQ

4,求出数量积，可得NE的大小;

（2）由（1）可得c°sNE,8c的值，进而求出异面直线ZE和5c夹角的余弦值.

【小问1详解】

在平行六面体"CO-A1B1C1D1中，

因为N8=5,AD=3,44=4,ZDAB=90°,NB44=NDA4=60。,6是CQ的中点,

AE=AB+BC+CE=AB+BC+-CC

21

---2---1----21-------*2-----►------►-----►-------►------►-------►

AE=AB+BC+-CQ+2AB-BC+AB-CQ+BC-CQ

所以4,

-----►2------►2------k2------>-2-----*2

由题意=25,BC=AD=9,CG=AA,=4,

冠灰=网.■卜os（180。-90。）=0^5-Cq=|^8|-|CG|cos60o=5x4x1=10

5C-CG=|5c|-|cC；|cos60o=3x4xl=6

2，

——-21

AE=25+9+—xl6+0+10+6=54

所以4,

ZE=|近=3几

所以।।；

【小问2详解】

AE-5C=（A8+5C+CE^5C=2g-5C+5C2+i5C-Cq=0+9+-x6=12

22,

|1E|=3V6|5C|=3

方—_AEBC_12_2r-

cosAE9BC=.i^=q~——-：=———v6

时"3V6x39

所以I门I

修。谭

设异面直线ZE和3c夹角为e,则l2」，

cos，=|cosZE,8d=2指

所以।I9.

所以异面直线ZE和3c夹角的余弦值为9.

16.一汽车厂生产48C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位:辆):

轿车/轿车8轿车c

舒适型100150Z

标准型300450600

按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.

(1)求z的值.

(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求

至少有1辆舒适型轿车的概率；

(3)用随机抽样的方法从3类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下:9.4,8.6,92,9.6,8.7,

9.3,9.0,82把这8辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超

过0.5的概率.

7

【答案】(1)400(2)10(3)075

【解析】

【分析】(1)由分层抽样按比例运算即可得解；

(2)先求出基本事件的个数，再由古典概型的概率公式求解即可；

(3)先求出平均数，再求概率即可.

解：(1)设该厂这个月共生产轿车〃辆，

50_10

由题意可得〃100+300,即“=2000,

则z=2000-(100+300)-150-450-600=400.

(2)抽取一个容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车，用4，4表示2辆舒适型轿车，

与，々，片表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，

则在该样本中任取2辆的基本事件为{1^2},{11},{12},{1'},{"^2'1},{2，2},

{4，四},但也},{4W},{与心}共10个，

事件E为{4,4},{4由},{4，与},{4,&},{4，片},{4，为},{4,员}共7个，

7

0(E)F

故1°；

-1

X=_(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9

(3)由题意可得8,

则满足该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的有948.6,9.2,8.7,9.3,9.0共6个，

6

故所求概率为月，即675.

【点睛】本题考查了分层抽样及平均数的求法，重点考查了古典概型概率公式，属中档题.

17.如图，在四面体N8OC中，0C10A^0C10B^ZA0B=120,且O/=O5=OC=1,设尸为

么。的中点.

C

(1)求异面直线与BP所成角的余弦值；

AQ

(2)线段48上是否存在一点Q,满足尸Q'。4,若存在，确定4B的值；若不存在，请说明理由.

V2

【答案】⑴2

1

(2)存在，3

【解析】

【分析】(1)建系，通过异面直线方向向量的夹角公式即可求解；

(2)根据线线垂直可证明,平面°NC,即可得WNC,即可根据尸°,04判断点。为NN的

中点，利用三角形的边角关系即可求解比例.

【小问1详解】

取°为坐标原点，以。4,℃所在的直线为了轴，z轴，在平面048内作ON,。4,交4g于点N,为

轴，建立空间直角坐标系。一斗（如图所示）.

「I巧、

^（l,0,0）,C（0,0,1）,5--,^,0

则122）

•.•尸为ZC中点，（22）

_一,八

vO^=（l,0,0）,5P=1,-^-,-

设异面直线幺°与RP所成角为e,

八I——IOABP1V2

cos0—cosGA,BP\=।"।“=------j=——

11|叫叫lxV22

V|

所以异面直线与AP所成角的余弦值2

【小问2详解】

如图所示，在平面04S内作WCU,交48于点N,连接NC.

..OA1OC,ONnoC=O,OC,ONu平面ONC,平面ONC

...NCu平面ONC,...0A工NC.

取。为/N的中点，则PQ//NC,...WCM,得证.

在等腰△Z08中，ZAOB=UO°y..ZOAB=ZOBA=30\

ON=-AN=AQ

在RtDnAON中,ZOAN=3Q°,...2.

在ACW中，ZNOB=120°-90°=30°=ZNBO,:_NB=ONAQ=QN

AQ=l

因此AB3.

18.如图，长为1的正方体“BCD—4瓦。］。1中，E,R分别为8。的中点，G在棱。上，且

CG=-CD

4,"为CQ的中点.

（2）求FH的长.

（3）求E5与GG所成角的余弦值；

V41叵

【答案】（1）证明见解析；（2）8.（3）17.

【解析】

【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，证明斯•qCnO即可;

（2）求出前的坐标，由模长公式求模长即可求解；

（3）求出而和℃的坐标，利用空间向量夹角公式即可求解.

（1）以0为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。一切z,

c(0,1,0),4(1,1,1),G(O,1,1),G。，训，《0，―

则I2-

EF=~9~5~

^C=(-l,0,-l)

因为222，，

EF-^C=1x(-l)+1xO+-1x(-l)=0

所以

所以£…C即瓦"C

JH=

(2)

FH=

所以

V41

所以我的长为8.

⑶由⑴知丽Id,玩="：，-】

02+

设E5与GG所成角e,则

一_3

a_EF-Cfi_i_V51

COS6=I=--j=-r=^—--------

即V3xyi717

底

故E厂与QG所成角的余弦值为17.

19.第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日举办，本届亚运会共设40个竞赛大项.其中首次增

设了电子竞技项目.与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐.传

统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会

淘汰出局，因此更有容错率.假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组

进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军.双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者

组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组.之前进入到败

者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决

赛的胜者即为冠军，双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就

无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此

很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？

136

双败赛制流程图

这里我们简单研究一下两个赛制，假设四支队伍分别为N