函数与方程（4题型分类）-2025年高考数学一轮复习（解析版）

专题09函数与方程4题型分类

彩题生江总

题型4：二分法题型1：求函数的零点或零点所在区间

专题09函数与方程4题型

分*

题型3：嵌套函数的零点问题------------------------------J题型2：利用函数的零点(个数)确定参数的取值范围

彩先正宝库

一、函数的零点

对于函数y=/(%),我们把使〃x)=0的实数尤叫做函数y=/(x)的零点.

二、方程的根与函数零点的关系

方程〃x)=0有实数根O函数y=/(力的图像与x轴有公共点O函数y=〃x)有零点.

三、零点存在性定理

如果函数y=在区间［。,目上的图像是连续不断的一条曲线，并且有〃力/。)<。，那么函数y=

在区间(4力)内有零点，即存在ce(a,b),使得"c)=0,c也就是方程〃x)=0的根.

四、二分法

对于区间0上连续不断且/■(力〃3<0的函数〃元)，通过不断地把函数〃尤)的零点

所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程

〃力=0的近似解就是求函数f(x)零点的近似值.

五、用二分法求函数/(x)零点近似值的步骤

(1)确定区间可，验证给定精度£.

(2)求区间(。力)的中点耳.

(3)计算).若〃占)=0,则看就是函数〃尤)的零点；若/(")"&)<0,则令6=%(此时零点/e(心占)).

若〃办〃再)<0,则令。=玉(此时零点X。e(X1,6))

(4)判断是否达到精确度€,即若可<£,则函数零点的近似值为。(或匕)；否则重复第(2)-(4)

步.

用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.

彩他题海籍

(_)

求函数的零点或零点所在区间

求函数/(无)零点的方法：

(1)代数法，即求方程/(x)=0的实根，适合于宜因式分解的多项式；(2)几何法，即利用函数y=/(x)

的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.

题型1:求函数的零点或零点所在区间

(21—5x>0

1-1.(2024高三•全国•专题练习)已知函数〃x)=2工;<o，〃/(T))=——，函数g(x)=/(x)-3的

零点为.

【答案】-44

【分析】第一空：利用代入法直接求解即可；第二空，令g(x)=0,分类讨论即可得解.

【详解】因为〃尤)=[2，,x〈o，

所以一1)=2一=；,贝iJ/(/(T))=/]g]=2x；_5=_4；

令g(x)=0,则/(x)-3=0,即〃x)=3,

当x>0时，2x-5=3,解得x=4；

当x40时，2^=3，解得x=log23>。(舍去)；

综上：函数g(x)=/(x)-3的零点为4.

故答案为：—4；4.

所以方程2T+必=3的实数解的个数为2.

1-5.（2024•北京）已知函数/（x）=g-log2无，在下列区间中，包含/（X）零点的区间是

X

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,4）D.（4,-KO）

【答案】C

3

【详解】因为〃2）=3-1>0,/（4）=|-2<0,所以由根的存在性定理可知：选C.

考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.

1-6.（2024高三上•陕西渭南•阶段练习）已知函数/（x）=lnx+3x-7的零点位于区间5，〃+l）（“eN）内，则

n=.

【答案】2

【分析】利用函数单调性和零点存在性定理可知，函数/（X）在区间（2,3）内存在零点即可得出结果.

【详解】由题意可知函数/（x）=lnx+3尤-7在定义域（0,+“）内单调递增，

易知〃2)=ln2+3x2_7=ln2_l<0,

ffij/(3)=ln3+3x3-7=ln3+2>0,所以/(2)・八3)<0,

根据零点存在定理可知，函数在区间（2,3）内存在零点,

所以可得“=2.

故答案为：2

1-7.（2024高一上•北京•期中）设函数f与尸仕）的图象的交点为的，％）,则X。所在的区间是（）

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

【解析】函数y=x3与的图象的交点的横坐标即为g（尤）=d的零点，将问题转化为确定函

数g（x）=x3-［；J2的零点所在区间的问题，再由函数零点的存在性定理可得到答案.

【详解】设g（X）=%3，则g（x）是增函数，又

g(0)=-4<0,g(l)=-l<0,g(2)=7>0.

所以g⑴g(2)<0,

所以xo所在的区间是(1,2)

故选：B

【点睛】本题考查函数图象的交点，考查函数的零点，解题的关键是构建函数，正确运用函数零点存在定

理，属于中档题.

(二)

利用函数的零点确定参数的取值范围

本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，列关于参数的不等式,

解不等式，从而获解.

题型2:利用函数的零点(个数)确定参数的取值范围

2-1.(2024•天津北辰•三模)设aeR,对任意实数x,记=min1*-ae'+4+24}.若〃尤)有三

个零点，则实数。的取值范围是.

【答案】(12,28)

【分析】分析函数g(x)=e，-2/(x)=e2=ae，+a+24的零点，由条件列不等式求a的取值范围.

［详解］令g(x)=e*-2,//(尤)=e2x-aex+a+24,

因为函数g(无)有一个零点，函数M》)至多有两个零点，

又/(x)有三个零点，

所以Mx)必须有两个零点，且其零点与函数g⑺的零点不相等，

且函数无⑺与函数g(元)的零点均为函数〃尤)的零点，

由g(x)=0可得，e*-2=0，所以x=ln2,

所以x=ln2为函数的零点，

gp/z(ln2)=e21n2-aeln2+a+24=4-2o+a+24=28-a>0,

所以a<28,

令〃（x）=0,可得e?，-ae*+a+24=0,

由已知e2v-ae*+a+24=0有两个根，

设e，=f,则产-成+a+24=0有两个正根，

所以a2T（a+24）>0,a>0,a+24>0,

所以。>12,故12<a<28,

当12<a<28时，/-m+a+24=o有两个根，

设其根为％，，2,4<，则芍>/，

设F（7）=产一af+a+24,则/（2）=4—2a+a+24=28—a>0,尸]]]<0，

所以%>2,

1

令e*=,e*=t2,则玉=InA,无2=Int2,

则〃a）=o,/?（%2）=0,

1nta，2

且g（xj=e"_2=4-2>0,g（x2）=e-2=t2-2>0,

所以当12<a<28时，/&）=/优）=0,

所以当12<a<28时，和三为函数〃尤）的零点，又x=ln2也为函数外”的零点，

且芭,三与In2互不相等，

所以当12<a<28时，函数/'（X）有三个零点.

故答案为：（12,28）.

【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：

⑴直接求零点：令〃H=0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点.

⑵零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a,加上是连续不断的曲线，且/（。）-/他）<0,还必须结

合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点.

⑶利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同

的值，就有几个不同的零点.

3

2-2.(2024高一上,江西•阶段练习)函数"x)=2'-。的一个零点在区间(1,3)内，则实数。的取值范围是

()

A.(7,-Foo)B.(-co,-l)C.(^»,-1)U(7,-H»)D.(-1,7)

【答案】D

3

【分析】先判断出/(%)=2、-士-〃在(0,+8)上是增函数，利用零点存在定理列不等式，即可求〃的范围.

x

3

【详解】团>=2'和'=二在(0,+8)上是增函数，

x

3

团/(%)=2X----。在(。,+8)上是增函数，

X

团只需/⑴"⑶<0即可，即(―1一。>(7—a)<0,解得一1<°<7.

故选：D.

2-3.(2024高三下•上海浦东新,阶段练习)已知函数/(x)=sino¥-osin尤在(0,2兀)上有零点，则实数。的取值

范围_________.

【答案】一;卜g,+^U{o}

【分析】通过讨论。的范围，利用函数的单调性及零点存在定理判断函数的零点个数，从而确定。的范围.

【详解】当时，0〈巴<兀，/f—^sinftz--Vd!sin—=-tzsin—<0,/f—1+>0,

a\a)\a)aa<2y

故由零点存在性定理知：/(X)在区间上至少有1个零点；

当4=1时，/(%)=0,符合题意；

、1,11Q7171__

=I—<。<1时*,7t<—<271,—<ait<Tt,Tt<2〃兀)<2兀,

2a2

(Tl\71

/—=sin—>0,f(7i)=sina7i>0,/(2TI)=sin2an<0,

\a)a

由零点存在性定理知，〃幻在区间(兀,2兀)至少有1个零点；

当0<。41时，

2

/'(%)=acosax—acosx=tz(cosax—cosx)

ax+xax—x.ax+x.ax—x(ax+xax-x.ax+x.ax—x\

—acos--------cos----------sin--------sin----------cos----------cos---------1-sin--------sin--------

2222(2222

c.(a+V)x.(a-l)x

=-2asm------sm-------,

22

因为xG(0,2TC),所以一兀――<0,sin―—―<0,

222

当xe(0,2t)时，0<妇如<7i,sin丝土巫>0,/(x)>0"(x)递增，

a+122

W/2兀_.,(〃+l)x3K.(4Z+l)xc

当xw(----,2兀)时n，兀<------<一,sin-------<0,/(%)<0,7(x)递减,

Q+1222

故/⑺在(0,多971)上递增，在(2兀二,2兀)上递减，

a+1a+1

又/(0)=0,/(27i)=sin2a7t2。，即在(&2兀)上，/(%)>0,

故/(尤)在区间(0,27r)匕没有零点.

所以，当时，函数/(x)=sinax-asinx在(0,2兀)上有零点.

2

令(p(a)—sinax,—asinx,°(一a)=sin(—ar)+asinx=—sinax+asinx=—(p(a),

可知夕(。)=$指依-°$山工为奇函数，图象关于原点对称，

从而，当时，函数/(无)=sinar-asinx在(0,2兀)上有零点.

又当。=0时，/(%)=0,符合题意，

综上，实数0的取值范围,吃-；卜■，+fu{。}.

故答案为：f-oo,--'juf—,+oo^U{0}.

2-4.(2024・浙江绍兴•二模)已知函数〃x)=lnx+ax2+6,若在区间［2,3］上有零点，则他的最大值

为.

【答案】*

【分析】设/(xo)=O,/G［2,3］，即可求出b,继而求出ab的表达式，将。看作主元,配方得gS)作

记久x)=/,即可求解最大值.

【详解】设/(%0)=。，％0«2,3］,则hu：o+QX：+O=O,

1

止匕时b=-lnx0-ax^,贝|a,二-a\nxQ-ax1,

t己h(x)=宇,贝！Jh'(x)=1吁，

2x2x

所以"⑴在［2,e)上递增，在［e,3］上递减，

故心)2=〃⑹=W，所以gSL=［劈］=*,

所以油的最大值为*.

故答案为：'

【点睛】关键点点睛：本题是双参数函数的零点问题，

第一步消参：通过设零点，代入方程，得到其中一个参数的表达式，

第二步主元法求最值：将所求表达式通过主元法(关于另一个参数)构造函数求出最值，即可求解.

2-5.(2024・天津)设awR屈数〃司=62-2》-,+小若〃尤)恰有两个零点，则。的取值范围

为.

【答案】(一,0)50,1)51,+8)

【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断。的取值范围.

【详解】(1)当％2一办+1之0时，/(x)=0o(a—1)犬？+(“—2)犬—1=。，

即［(〃=0,

若a=l时，x=-l,此时％之一6a+120成立；

若awl时，x一或％=-1,

a-1

若方程有一根为尤=—1,则l+a+120,即此―2且"1；

若方程有一根为了=’7,贝d'［-“x'+120,解得：aW2且°工1；

a-1a-1

若x=」一=-1时，a=0,此时l+a+120成立.

a-1

(2)当％之一依+i<o时，/(%)=0o一(a+2卜+1=。,

即+=0,

若〃=一1时，X=1,显然X2一6+1<0不成立;

若QW-1时，％=1或%=」一，

Q+1

若方程有一根为x=l,贝心―〃+1<0,即。>2；

若方程有一根为x=-^,贝一oxJ-+l<0,解得：«<-2；

。+1<0+1)a+1

若x=」"7=l时，a-Q,显然--or+l<0不成立；

<7+1

综上，

当。<-2时，零点为」一

a+1a—1

当一2<。<0时，零点为,-1；

a-1

当。=0时，只有一个零点T；

当0<。<1时，零点为,-1；

a—1

当4=1时，只有一个零点-1；

当1<。<2时，零点为--,-1；

a—1

当a>2时，零点为1,-1.

所以，当函数有两个零点时，且awl.

故答案为：0)"0,+8).

【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围,

然后根据范围讨论根(或零点)的个数，从而解出.

2-6.(2024・天津)设aeR,对任意实数x,记"尤)=min{国-2,尤②-ar+3a-5}.若〃x)至少有3个零点，

则实数。的取值范围为.

【答案】a>10

【分析】设g(x)=f—依+3。-5,/z(x)=|x|-2,分析可知函数g(x)至少有一个零点，可得出A知,求出。

的取值范围，然后对实数。的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数。的不等式，综合可求得实

数。的取值范围.

综上所述，实数。的取值范围是

故答案为：［1。,+°°).

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，

利用数形结合的方法求解.

逢他题祕籍(二)

嵌套函数的零点问题

1、涉及几个根的取值范围问题，需要构造新的函数来确定取值范围.

2、二次函数作为外函数可以通过参变分离减少运算，但是前提就是函数的基本功要扎实.

题型3：嵌套函数的零点问题

3-L(2024高三上•浙江绍兴•期中)已知函数/(x)=(x/)2+(a_lXxe，)+l-a有三个不同的零点占,马，不淇

中玉＜马＜退，则(1-西一)(1-々*)(1一三，产的值为()

A.1B.((7—1)~C.—1D.1—ci

【答案】A

【分析】令/=加1求得导数和单调性，画出图象，从而考虑产+(。-3+1-。=0有两个不同的根，从而可得

x,

。＜-3或结合图象可得Xg"=",x2e^=fj,x3e=t2,结合韦达定理即可得到所求值.

【详解】解：令t=xe*,则1=(x+l)/,

故当尤e(T,+°°)时，t'＞0,r=是增函数，

当xw(-00,—1)时，/＜(),f=是减函数，

可得x=-1处f=%/取得最小值-L

e

x-一0°,Z-»0,画出，=xe*的图象，

由f(%)=。为*+(。-1)/+1-。=o,

故结合题意可知，/+(。-1»+1-〃=。有两个不同的根，

故A=(a-l)2_4(l_a)>0,故a<—3或a>l,

不妨设方程的两个根分别为4,h，

①若a<—3,f1+/,=l-a>4,

2

与-一<4+/,<0相矛盾，故不成立；

e

②若々>1,则方程的两个根％,才2一正一负；

X2

不妨设结合r=xe"的性质可得，平*=%,x2e=tx,x3e^=t2,

X22

故(1一百)(i-x2e)(1-/井)

=(1-%)(1-%)(1-2尸

=(1-(%+12)+不2>

又♦.,印2=i-a,%+q=1-Q,

,(1—九传国)(1—%20&)(1一巧)2=(1—1+〃+1一。)2=1•

故选：A.

V

~~~~~~_____X

【点睛】本题考查了导数的综合应用及转化思想的应用，同时考查了分类讨论思想的应用，属于难题.

1

■X2—%XW0

3-2.(2024•江苏南通•模拟预测)已知函数〃x)='2'一，若关于x的方程

—|2x—1|+1,x>0

产(元)-化+l)_^(x)+丘2=0有且只有三个不同的实数解，则正实数％的取值范围为()

A.B.；,11口(1,2)C.(O,1)U(1,2)D.(2,+8)

【答案】B

【分析】化简函数解析式，分析可知关于无的方程〃力=无、/("=履共有3个不同的实数解，利用代数法

可知方程/(x)=x有两个根，分析可得出关于实数%的不等式组，由此可解得实数上的取值范围.

21

x+—x,<0

【详解】因为〃X)=＜2x,0<x<—,

2

2—2x,x>一

2

由产(x)—(左+1)犷(%)+"2=0可得"(尤)一元］(尤)一爪］=0,

所以，关于％的方程/(力=冗、/(力=区共有3个不同的实数解.

①先讨论方程/(力=%的解的个数.

当％W0时，由/(%)=+:%=%,可得了=0,

当时，由/(x)=2x=x,可得％£0,

I2

当%＞5时，由/(x)=2—2x=x,可得x=§,

2

所以，方程/'(0=彳只有两解x=0和x=§;

②下面讨论方程/(力="的解的个数.

当x40时，由/(x)=x2+；x=fcr可得x(x+；_k］=0,可得X=0或尤=/_1,

当0＜xV；时，由/(x)=2x=阮，可得左=2,此时方程/(力=履有无数个解，不合乎题意,

12

当％〉一时，由/(尤)=2—2x=区可得兀=----,

2左+2

人」＞0

<0<0

222

21…2221

因为左＞0,由题意可得＜K或<7CC或,

人+22Z+23%+22

k>0k>a22

W

、〔左+23

解得:《发＜1或1(后＜2.

因此，实数上的取值范围是川31,2).

故选：B.

3-3.(2024•河南安阳•模拟预测)已知函数〃同=|泗-2/1,则关于x的方程r(%)+时⑺+〃=0有7个不

同实数解，则实数〃2,“满足()

A.机>0且〃>0B.机<0且〃>0

C.0<m<1且〃=0D.—lvmvO且〃=0

【答案】C

【分析】令“=〃力，利用换元法可得小+mu+n=Q,由一元二次方程的定义知该方程至多有两个实根小、

%，作出函数〃无）的图象，结合题意和图象可得%=。、STH,进而得出结果.

【详解】令”=〃x）,作出函数“=的图象如下图所示：

由于方程"2++〃=0至多两个实根,设为“=%和”=%，

由图象可知，直线瓦=%与函数"=/（X）图象的交点个数可能为0、2、3、4,

由于关于尤的方程/（力+〃矿（x）+〃=0有7个不同实数解，

则关于U的二次方程u2+mu+n=0的一根为%=0,则〃=0,

则方程"2+mu=0的另一根为%=~m,

直线a=%与函数〃=/（x）图象的交点个数必为4,则-1<-根<0,解得0<m<1.

所以0<机<1且〃=0.

故选：C.

3-4.（2024・四川广安一模）已知函数/。）=（尤2-了-1修，设关于x的方程尸（©_〃矿（x）=9（〃zeE）有几个

e

不同的实数解，则”的所有可能的值为

A.3B.1或3C.4或6D.3或4或6

【答案】A

【详解】尸（力="—1）（3+2）/,二〃力在（一8,-2）和（1,+8）上单增，（—2,1）上单减，又当xf-8时,

/（尤）f0,xf+co时，/（x）->+co故〃尤）的图象大致为:

令〃力=7,则方程--加-3=0必有两个根，（应且也=-'，不仿设4<。气，当”-e时，恰有4=51，

ee

此时〃X）=%,有1个根，"x）=G，有2个根，当：<-e时必有。<马<5］，此时="无根，/（x）=r2

有3个根，当-e<4<0时必有^>5/2,此时“犬卜4有2个根，”力=12,有1个根，综上，对任意meR，

方程均有3个根，故选A.

【方法点睛】已知函数零点（方程根）的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：⑴直接法，直接根据题设

条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法，先将参数分离，转化成求函

数值域问题加以解决；⑶数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然

后数形结合求解.一是转化为两个函数y=g（x）,y=〃（x）的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，

其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为y=〃,y=g（x）的交点个数的图象的交点个数问题.

（四）

二分法

所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程

〃同=0的近似解就是求函数零点的近似值.

题型4:二分法

4-1.（2024高三•全国・专题练习）用二分法求函数/（x）=ln（x+l）+x-1在区间（0,1）上的零点，要求精确度

为0.01时，所需二分区间的次数最少为（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】c

【分析】由于长度等于1区间，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，那么经过〃(〃eN*)次操作后,

区间长度变为上，若要求精确度为0.01时则解不等式即可求出所需二分区间的最少次数.

【详解】因为开区间(0,1)的长度等于1,每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，

所以经过次操作后，区间长度变为《，

令g<0.01,解得“27,且〃eN*,

故所需二分区间的次数最少为7.

故选：C.

4-2.(2024高一上•辽宁•期中)用二分法求方程ln(x+l)=、的近似解时，可以取的一个区间是()

A.(1,2)B.(2,e)C.(3,4)D.(0,1)

【答案】A

【分析】根据零点存在定理进行判断.

【详解】设f(x)=ln(x+l)—：,易知为增函数，m/(l)=ln2-2<0,/(2)=Zn3-1>0,

回函数在区间(L2)内有零点，

即用二分法求方程In(x+l)=：的近似解时，可以取的一个区间是(1,2).

故选：A.

4-3.(2024高一上•四川广安•期中)函数/(元)的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如

下：

/(I)=-2/(1.5)=0.625/(1.25)=-0.984

f(1.375)=-0.260/(1.438)=0.165"1.4065)=-0.052

那么方程的一个近似解(精确度为0.1)为()

A.1.5B.1.25C.1.41D.1.44

【答案】C

【分析】根据二分法的定义和精确度的要求分析判断即可

【详解】由所给数据可知，函数”X)在区间(1,1.5)内有一个根，

因为41.5)=0.625>0,/(1.25)=-0.984<0,

所以根在(1.25,1.5)内，

因为|1.5-1.25]=0.25>0.1,所以不满足精确度，

继续取区间中点L375,

因为/(1.375)=-0.260<0,7(1,5)=0.625>0,

所以根在区间(1.375,1.5),

因为|1.5-1.375|=0.125>0.1,所以不满足精确度，

继续取区间中点1.438,

因为“1.438)=0.165>0,/(1,375)=-0.260<0,

所以根在区间(1.375,1.438)内,

因为|1.438-1.375|=0.063<0.1满足精确度，

因为/(1.4065)=-0.052<0,所以根在(1.4065,1.438)内，

所以方程的一个近似解为141,

故选:C

4-4.(2024高一上•贵州遵义•期末)利用二分法求方程log3》=3-x的近似解，可以取的一个区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】C

【分析】设/5)=1鸣》-3+》，根据当连续函数/(尤)满足/3­/⑹<0时，/⑺在区间(。1)上有零

点，即方程1型3了=3-x在区间(0,圻上有解，进而得到答案.

【详解】解：设/(幻=1暇彳-3+o,

,当连续函数/(X)满足/(a)•/⑹<0时，/(X)在区间(。，6)上有零点，

即方程logs尤=3-了在区间(。力)上有解，

又•••/(2)=log32-l<0,f(3)=log33-3+3=l>0,

故/(2)•/(3)<0,

故方程log3x=3-x在区间(2,3)上有解，

即利用二分法求方程log3x=3-x的近似解，可以取的一个区间是(2,3).

故选：c.

4-5.（2024高三上•宁夏•期末）用二分法求函数〃x）=lgx+*-2的一个零点，根据参考数据，可得函数/⑺

的一个零点的近似解（精确到0，）为（）（参考数据：坨1.5。0.176,lgl.625-1,31.75。0.243,

1g1.875«0.273,lgl.9375®0.287）

A.1.6B.1.7C.1.8D.1.9

【答案】C

【解析】根据函数特点及所给数据计算相关函数值，再结合零点存在定理即可获得解答.

【详解】由题意可知：

/（1.75）=lg1.75+1.75-2»0.243+1.75-2=-0.007<0,

/（1.875）=1g1.875+1.875-2q0.273+1.875-2=-0.148>0,

又因为函数在（。,”）上连续，所以函数在区间。75,1.875）上有零点，

小二1.75+1.875,„

约为---------«1-8

故选：C.

【点睛】函数零点的求解与判断方法：

⑴直接求零点：令/（x）=0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点.

（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间。，b］上是连续不断的曲线，且还必须结合函

数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点.

⑶利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同

的值，就有几个不同的零点.

4-6.（2024高三上•湖南长沙•期中）用二分法求函数4%）=M（犬+1）+龙-1在区间［0,1］上的零点，要求精确

度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【分析】由题可得经过”次操作后，区间的长度为3,令0.01即可求解.

【详解】根据题意，原来区间［0』的长度等于工，每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半，

则经过"次操作后，区间的长度为？，若:<0.01,即“27.

故选：B.

法习与置升

一、单选题

1.(2024・湖北)已知了(无)是定义在火上的奇函数，当xNO时，f(x)=x2-3x,则函数g(x)=/Q)-无+3的

零点的集合为()

A.{1,3}B.{-3,-1,1,3}C.{2-e,1,3}D.{-2-77,1,3)

【答案】D

2

【详解】因为了(九)是定义在H上的奇函数，当了之0时，f(x)=x-3xf

X2-3x,x>0

所以/(%)=

-x2-3x,x<0

x2-4x+3,x>0

所以g(%)=

-x2-4x+3,x<0

x>0

由解得x=1或％=3；

尤2-4X+3=0'

x<0

由解得x=-2-或尤=-2+近(舍去),

-x2-4x+3=0

所以函数g(x)=/(x)-x+3的零点的集合为卜2-4,1,3}.

故选：D.

考点：函数的奇偶性的运用，分段函数，函数的零点，一元二次方程的解法，难度中等.

2.(2024高三•全国・专题练习)己知指数函数为〃x)=4,,则函数y=〃x)-2川的零点为()

A.-1B.0

C.1D.2

【答案】C

【分析】根据给定条件，解指数方程即可作答.

【详解】函数〃x)=4',由/(%)—2㈤=0,即4-2田=0,整理得2,(2'-2)=0,解得x=l,

所以函数,=〃力-2前的零点为1.

故选：C

3.(2024高三上•江西鹰潭•阶段练习)函数“*)=(3工-27)111(*-1)的零点为()

A.2,3B.2C.(2,0)D.(2,0),(3,0)

【答案】A

【分析】根据给定条件，解方程求出函数零点作答.

【详解】由〃x)=0,得(3工-27)ln(x-l)=0,即3-27=0或皿1)=0,解得x=3或x=2,

所以函数〃元)=(3127)ln(x-l)的零点为2,3.

故选：A

4.(2024•山东)已知当xe[0,l]时，函数>=(〃a-1y的图象与y=&+根的图象有且只有一个交点，则

正实数m的取值范围是

A.(0,1]U[2A/3,+OO)B.(0,l]u[3,+co)

C.(0,夜]u[2^,+oo)D.(0,V2]u[3,+oo)

【答案】B

【详解】当时，—>1,y=(mx-l)2单调递减，JLy=(nix-1)2e[(?/J-1)2,1],y=&+根单

m

调递增，且y=«+me[m,l+Mt|,此时有且仅有一个交点；当力>1时，0<—<1,y=(mx-l)2

m

在己,1]上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需(m-选B.

m

【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路

⑴直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

⑵分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

⑶数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合

求解.

5.(2024高三•全国•专题练习)若a<b<c,贝I]函数/(x)=(尤-。)(尤-6)+(x-8)(无一c)+(x-c)(x-a)的两个

零点分别位于区间

A.(。力)和(瓦。)内B.(-00,。)和(。力)内

C.S,c)和(c,+8)内D.(-co,a)和(c,+00)内

【答案】A

【详解】试题分析：〃6)=(b-c)修-G(0"(c)=(c-a)(c-b))0,所以(b,c)有零点，排除B,D选项.当x>c

时，〃力>0恒成立，没有零点，排除C,故选A.另外〃a)=(a-»(a-。)>。，也可知(。㈤内有零点.

考点：零点与二分法.

【思路点晴】如果函数普=庚:蹴在区间[a刃上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a>f(b)<0,那

么，函数J=/(X)在区间(。，与内有零点，即存在ce(a,6)使得f(c)=O,这个C也就是方程f(x)=0的

根.注意以下几点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点.③由函数J=/(X)在

闭区间可上有零点不一定能推出0,如图所示.所以f(a)/(b)<0是普=用磷在闭区间

[a,b\上有零点的充分不必要条件.

6.(2024•全国)在下列区间中，函数/(x)=e'+4x-3的零点所在的区间为()

£3

A.B.C.D.

4'°254

【答案】C

<0

【分析】先判断函数/(X)在R上单调递增，由，，利用零点存在定理可得结果.

>0

【详解】因为函数/(x)=e'+4x-3在R上连续单调递增,

1

〃一2<0

丁一1>0

所以函数的零点在区间内，故选C.

【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：(1)函

数是否为单调函数；(2)函数是否连续.

2-\x\,x<2

7.(2024高三上•宁夏•阶段练习)已知函数〃x)="342,函数g⑴=3T（2T）,则函数

y=/(x)-g(x)的零点个数为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【分析】求得g(x)的解析式，画出〃x)和g(尤)的图象，根据两个函数图象交点的个数，判断出函数

y=/(%)-g(x)的零点个数.

2+尤,x<0

2-|x|,x<2

【详解】依题意〃%）=<=<2-x,0<x<2,

(x-2)2,x>2

(x-2)2,x>2

2-x<0=>x>2,

0<2-x<2^>0<%<2,

2-x>2=>x<0,

3-[2+(2-x)],x>2

g(%)=3-/(2-x)=]3-[2-(2-%)],0<x<2,

3-(2-x-2)\x<0

x—l,x>2

gpg(x)=<3-x,0<x<2,

3-X2,X<0

画出和g（x）的图象如下图所示，由图可知，两个函数图象有2个交点.

所以函数丁=/（力-8（力有2个零点.

【点睛】求解函数零点个数问题，可转化为两个函数图象交点个数来研究.

8.（2024高三上•江苏淮安・期中）已知函数〃力=r—3彳，贝|函数为（%）=4〃尤）］一c,。«—2,2）的零点个

数（）

A.3个B.5个C.10个D.9个

【答案】D

【分析】设/（力=心利用导数研究〃尤）图象的性质，将零点问题转化为函数图象交点的问题求解.

【详解】令可同=/"（切-。=0,则/［〃x）］=c,

令〃X）=I，即/（f）=c.

/曲)=3--3,令用x)>0得x>l或x<-l,令/''(x)<0得-1<X<1,

所以函数/(尤)在区间和(L+s)上单调递增，在区间(-M)上单调递减,

因为。«-2,2),所以方程〃/)=。有/"2/三个解，

当0<c<2时，—2<(<_],—1<?2<0,1<?3<2,

当c=0时，_2<：<_1,f2=0,1<?3<2,

当—2<c<0时，-2<%<-1,0<t2<1,1<t3<2,

当-时，方程〃x)=t有3个根，当0<弓<1时，方程〃力=/有3个根，当

1<J<2时，方程“X)丸有3个根，故函数可力零点的个数为9个；

同理可得当-2<c<0时和c=0时均可得到函数/z(x)零点的个数为9个.

故选：D.

【点睛】嵌套函数〃(x)=/[f(x)]-c的零点问题，通常采用换元法求解，即令/(x)=f,转化为求函数/⑺

和y=c图象交点的问题，接着不断分析，层层递进即可求解.

9.(2024高三上糊北武汉•阶段练习)/(幻=21/%5中1的零点个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】由题得|"0.5乂=。5”,在同一坐标系下，作出函数丫41。80.5"〉=0.5”的图象，即得解.

x

【详解】令/(x)=2|/og05x|-l=0,:.\log05^=0.5",

在同一坐标系下，作出函数丁=|1。80,5讣丫=(。5)工的图象，如图所示,

所以/(%)=2］侬05乂T的零点个数为2,

故选：B

【点睛】本题主要考查零点个数的判定,考查指数对数函数图象的作法，意在考查学生对这些知识的理解

掌握水平和数形结合分析推理能力.

10.(2024•天津)已知函数/(%)=若函数g(x)=f⑺-网-2x|加R)恰有4个零点，则左的

取值范围是()

A.^-CO,-^|J(2A/2,+co)B.1-co,-；1u(0,2&)

C.(-o),0)U(0,272)