函数概念与性质专项训练-2025届高三数学一轮复习

2024-2025学年高三数学一轮复习5-一函数概念与性质专项训练

一、单选题

1.函数〃*)=，2尤2+*—3的单调递增区间为()

(31

A.l-oo,--B.(z-8,-1)

C.[l,+oo)D.-1,+00]

2.若函数〃尤)的定义域为。，则“为奇函数"是(0)=0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.设函数/(无)在区间(。，钟)上单调递增，则”的取值范围是()

X

A.(0,1]B.[l,+oo)C.(0,2]D.[2,+oo)

4.已知函数/(%)=J/__5在3,”)单调递增,则。的取值范围是()

A.—1]B.(—co,2]C.[2,+oo)D.[5,+<x))

5.已知函数“X)是定义在上的偶函数，在[T,0]上单调递增.若/1+弓卜〃-2),

则实数尤的取值范围是()

A.(-^o,-3)U(h+°o)B.(-3,1)

C.[—5,—3)u(l,3]D.[-3,1)D(3,5]

x2-ax+a2,x>2

都有("2)>0,则

6.函数/(%)=<幺-12满足对石,工2eR且工产入2

--------，x<2x—x

、x—4i2

实数〃的取值范围是()

A.(-oo,4)B.(-8,3)

c.(-双-2ML3)D.(-^,-l]o[2,3)

二、多选题

7.下列说法不正确的是()

A.若〃％+1)的定义域为[-2,3),则/'(x-2)的定义域是[-1,4)

B.函数〃尤)=«^+」二的定义域是卜3,2)口(2,y)

%—2

C.函数y=x,xe[—2,2)是奇函数

D.若集合4=｛工|加+%+1=0｝中只有一个元素，贝!］。=工

8.对于定义在R上的函数〃x）,若"x-1）-1是奇函数，〃x+l）是偶函数，且“X）在［1,2］

上单调递减，则（）

A."3）=0

B./（0）=/（2）

C./（1）+/（2）+/（3）+...+/（2023）+/（2024）=2024

D.“X）在［4,5］上单调递减

9.已知函数的定义域为R,Vx,yeR,恒有“x+y）+2=/（x）+/（y）,且当尤＞0时,

f（x）＜2,则下列结论正确的是（）

A./（O）=2B./（3）=3/（1）-2

C./（-2024）+/（2024）=4D.Vx/一，,''一"々）＜。

玉一%2

10.下列说法正确的有（）

A.命题“Vx＞0,2%+1＞3”的否定是“以＞0,2x+143”

b4/7

B.已知必＜0,贝！J±+丝W-4

ab

C.已知。＞0,b＞0,贝厂W-42”是“4+6V8”的充要条件

a+b

D.函数/（x）='五a的值域是

V7X2+5I5」

三、解答题

11.已知函数/（x+l）=-+j；+5.

⑴求〃x）的解析式;

（2）判断/（X）在［2,4«）上的单调性，并用定义法证明；

⑶若对任意的x«4,y）,都有〃力22%+1,求机的取值范围.

2

12.已知函数/(x)=x-2,g(x)=/nx2-2mr+l(meR,z7i^O).

⑴若对任意xeR,不等式g(x)>/(x)恒成立，求m的取值范围；

⑵若对任意石存在超e[3,4],使得8&)=/优)，求机的取值范围.

2

一,x<0

x

13.已知函数〃£)=,■--x,0<x<2.

—x2—3x,x之2

⑴求“0),/(/(2))；

⑵若〃租)=一1，求机的值;

(3)作出函数/(x)的图象.

,4

14.已知函数〃%)=x+u

(1)用定义法证明函数f(x)在区间[1,E)上是增函数；

(2)函数/(力的定义域为求实数机的取值范围.

15.已知函数/(x)=l%-2Q|+Q.

⑴若不等式/(%)<6的解集为(0,8),求〃的值；

⑵当。=3时，若存在x°wR,使得/(%)</—/(一1),求f的取值范围;

(3)若/(%)>ax对任意xeR恒成立，求实数«的取值范围.

16.已知函数/(X)是定义在R上的奇函数，当xNO时，

⑴当x<0时，求的解析式；

(2)判断了(尤)在[0,+8)上的单调性，并用定义证明；

⑶若f优+1)+〃2+办)20对于Vxe[2,亘成立，求。的取值范围.

4

参考答案:

题号12345678910

答案CDBDCDACDBCDACDBD

1.C

【分析】根据二次函数的性质，结合复合函数的单调性即可求解.

3

【详解】由2/+彳_320,解得或-三

所以函数f（x）=y/2x2+x-3的定义域为1，，

^t=2x2+x-3，贝!Jy=〃，

函数t=2x2+x-3的对称轴为x=-J,

所以函数"2元2+x_3在区间口。）上单调递增，且叱0,

函数y=〃在［0,+8）上单调递增，

所以函数/（久）在［1,+8）上单调递增，

函数r=2/+x-3在区间，巩-1上单调递减，且此0,

函数＞=«在［0,+向上单调递增，

所以函数/（无）在，*-|上单调递减，

所以函数“久）的单调递增区间为口,+8）,

故选：C

2.D

【分析】通过举反例说明"/'（X）为奇函数”是“了（。）=0”的既不充分也不必要条件.

【详解】由"/（X）为奇函数”不能得到“〃0）=0”，如〃x）=：,为奇函数，但在

尤=0时没有意义.

由“〃0）=0"不能得到“f（x）为奇函数”，如〃x）=d,〃0）=0,但〃x）为偶函数.

故“/（X）为奇函数”是“/（0）=0”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

3.B

【分析】根据函数的解析式求解函数/（X）在（0,住）上的单调区间，再结合题给的区间求解

参数的范围，最后得出答案.

【详解】根据题意，xwO.设/赴«0,+co）,且占＞々＞。，

〃西）-/伍）=%

玉＞x2＞0Xj-x2＞0.

网＞々21时，1-提）＞0,此时/（X］）-/（X2）＞O，/（x）在（1,+8）上单调递增;

马＜为41时，1一一一＜0,此时_/&）一/伍）＜0,/（X）在（0,1）上单调递减.

石工2

根据题意，函数/（X）在区间（。,讨）上单调递增，所以（a,y）=（l,y）,

解得，ae［l,+co）.

故选：B.

4.D

【分析】利用复合函数的单调性，结合二次函数求出函数“X）的单调递增区间，再借助集

合的包含关系求出范围.

【详解】函数/（x）=&-4x-5中,X2-4X-5＞0,解得XW-1或X,5,

而函数〃=炉一八-5在上单调递减，在［5,+8）上单调递增，

又函数y=4在［。,+◎上单调递增，因此函数/（尤）的单调递增区间是［5,+8）,

依题意，（a,+°o）c［5,+co）,解得

所以a的取值范围是［5,+oo）.

故选：D

5.C

【分析】根据定义域对称求出。，再根据单调性和奇偶性可求不等式的解.

【详解】因为/（x）为偶函数，故T+a—1=0即。=5,

而〃尤）在［T。］上单调递增且〃尤）为偶函数，故”尤）在［。，4］上为减函数，

而+一2）即为〃》+1）＜〃一2）,

故4之次+］＞2,故-5＜xv-3或1＜%工3,

故选：C.

6.D

【分析】根据条件得到分段函数/（%）在R上单调递增，需满足每一段上单调递增，且分段

处左端点值小于等于右端点值，从而得到不等式，求出答案.

【详解】由对/且士力超，都有"—一/（*）＞o可得,〃尤）在R上单调递增，

石-x2

2

ax-12(x-4)4-124a-12

其中x<2时,y==a+a=a+

x-4x-4x-4

--<2

2

故需满足4tz-12<0解得2Wa<3或aW—l.

2a—12

M4—2a+ct~

.2-4

故选：D

7.ACD

【分析】对于A,根据抽象函数定义域的求解法则，求出定义域，即可判断；

对于B,要使得分式，根式都有意义，可列出不等式组，解出不等式组，即可判断;

对于C,由奇函数需满足定义域关于原点对称，即可判断；

对于D,易得当。=0时，方程有唯一解.

【详解】对于A,因为/（无+1）的定义域为［-2,3）,所以-2Vx<3,BP-l<x+l<4,

所以对于y=〃x-2）,-l<x-2<4,解得所以“x-2）的定义域是［1,6）,故A

不正确;

x+3>0、「、/、

对于B,由c八解得x13,且XW2,所以定义域为［-3,2）。（2,内），故B正确;

X—2WU

对于C,因为定义域2,2）关于原点对称不成立，所以不是奇函数，故C不正确；

对于D,由题意得方程g?+*+1=0只有一个解，显然当。=0时，x+l=0有唯一解x=-l,

故D不正确.

故选：ACD.

8.BCD

【分析】结合函数图象变换,利用奇函数得了（x）的图象关于点（T，1）对称,利用偶函数得于3

的图象关于直线x=l对称，从而有了（一2-尤）+/（尤）=2,/（-1）=1,/（2-尤）=/（》），

/（0）=/（2）,两者结合可得/（尤）+f（x+4）=2,这样可计算选项C中的和，再由对称性可

判断单调性.

【详解】若/（尤-1）-1是奇函数，即它的图象关于原点对称，

把的图象向左平移1个单位，再向上平移一个单位得Ax）的图象，

因此Ax）的图象关于点（-M）对称，所以/（-2-x）+/（x）=2,/（-1）=1,

/（x+1）是偶函数，即它的图象关于'轴对称，/（X+D的图象向右平移一个单位得/5）的

图象，

因此/(x)的图象关于直线x=l对称，从而“2-x)=/(尤)，/(0)=/(2),B正确;

所以/(4+x)=f(l-(3+x))=/(-2一元)=2-/(%),即/•(尤)+f(x+4)=2,

/(-1)+"3)=2,所以八3)=2-=A错；

/(I)+/(2)+•••+/(2024)=1012x2=2024,C正确;

/(x)在［1,2］上递减，它关于直线x=l对称，则“X)在上递增，

又它的图象关于点(-1.1)对称，则在［-3,-2］上递增，

3

再由它关于直线x=l对称得它在［4,5］上递减，D正确，

故选：BCD.

9.ACD

【分析】A选项，令x=y=O,求出/'(0)=2；B选项，令x=y=l,得/(2)=2/(1)-2,

令x=l,y=2,得/⑶=3〃1)_4,B错误;C选项，令尸—得,〃0)+2=〃X)+/(T)=4,

C正确；D选项，不妨设马＞%，推出/(9)-/(为)=/仇-占)-2,根据*＞0时，/(x)＜2

得到〃9)-〃为)＜。，得到函数单调递减，D正确.

【详解】A选项，令x=y=0,得"0)=2,故A正确；

B选项，令x=y=l,得〃2)=2〃1)-2,

令x=l,y=2,W/(3)=/(2)+/(l)-2=3/(l)-4,故B错误；

C选项，令y=f得，〃0)+2=〃X)+〃T)=4,

即〃一2024)+〃2024)=4,故C正确;

D选项，不妨设%＞玉，/(*2)一/(占)=/'［(*2-占)+5］一/(玉)

=/(%-％)+/(%)-2-/(玉)=/(々-玉)-2,

由于尤2-%＞。，所以/(%-石)＜2,所以〃x2)-，a)＜。，

所以/(尤)为R上的减函数，故D正确.

故选：ACD.

10.BD

【分析】A：通过修改量词，否定结论，然后判断；B：先化负为正，然后利用基本不等式

计算并判断；C：取特殊值判断；D：先化简f(x),然后根据对勾函数的单调性分析求解出

〃x)的值域.

【详解】对于A：通过修改量词，否定结论，可得否定是“*＞0,2尤+143”，故错误；

nhb4〃(b、4(b\4

对于B：因为必＜0,所以:二＜0,所以一+丁=---+尸大＜-2——卜建大二—4,

baab\a)fva)f

当且仅当=即6=-2〃时取等号，故正确；

4

nh

对于C：当a>0,b>0,------<2时，取a=3,〃=6,止匕时〃+b=9>8,

a+b

所以g42不能推出。+648,所以“342”不是Z+6W8”的充要条件，故错误;

a+ba+b

（Jd+4_&+41

对于D：因为名工222,所以/⑴=^^-=*+4）+广］一,

&+4

令y=/+；（也2）,根据对勾函数的单调性可知…；在［2,+8）上单调递增,

____12

所以+所以正^+国二,,所以°<正了7+^^"5,

Vx2+4

所以〃x）的值域为,故正确；

故选：BD.

4

11.（l）/（x）=x+-

（2）单调递增，证明见解析

⑶S，2］

【分析】（1）利用配凑法直接求解即可；

（2）任取%>占22,由/（电）-〃占）=（/―百）-4）>0可得结论;

（3）根据单调性可得;■（%）1111n，根据/（x）*22m+1可构造不等式求得结果.

【详解】(i)••・”x+i)=：IF=T±Sx+i+/r-⑴

（2）〃x）在［2,包）上单调递增，证明如下:

任取尤2>%22,

」=(%-%)+4(*")=(%-%)[1--—>|（王—龙1）&七一4）

/(%2)-/(%1)=%2+-----X1

XX

X2%1王龙2I\2)

•1,x2>%1>2,x2->0,^x2>4,

\在[2,+8)上单调递增.

(3)由(2)知：〃x)在[4,-)上单调递增，.•./⑺疝n=〃4)=4+l=5,

.•-2/77+1<5,解得：m<2,的取值范围为(T»,2].

5

'2-62+疔

12.(1)

2'2

⑵[TO)

【分析】(1)变形为如2_(2机+1)尤+3>0,7"0,结合开口方向和根的判别式得到不等

式，求出答案；

(2)“X)在xe[3,4]上的值域包含g(x)在xe[l,2]上的值域，其中/(尤)=x-241,2],分

m>0和祖<0,得到g(x)在xe[l,2]上的值域，根据包含关系得到不等式，得到答案.

【详角军】(1)mxr-2mx+l>x-2=>»ix2-(2m+l)x+3>0,m0,

m>0

需满足Lz[\2sc，解得

A=(2m+1)-12m<0

‘2-指2+疔

故机的取值范围为

2'2

I7

(2)对任意石存在/e[3,4],使得g(%)=〃/),

故/(x)=x-2在xe[3,4]上的值域包含g(x)="zx2-2mx+l(〃zeR,〃?¥0)在xe[1,2]上的值

域，

其中xe[3,4]时，y(x)=x-2e[l,2],

8(%)=癖2-27侬+1(m©1<«7N0)的对称轴为％=1,

若%>0,则屋彳六%2-2〃a+1(〃7©11,7九彳0)在工€[1,2]上单调递增，

故g(x)e[g⑴,g(2)]=[fi+l,l],

但卜加+1,1]不会是[1,2]的子集，舍去；

当相<0时，则g(x)=〃发-2mx+1(:九eR,mw0)在xe[1,2]上单调递减，

故g(x)e[g(2),g(1)]=[L,-m+1],

[L-M+1]是[L2]的子集,则IVTH+142,解得一IV根<0,

综上，加的取值范围是[TO).

6

13.⑴40)=0,〃〃2))=一：

⑵-2或1或3+币

(3)答案见解析

【分析】(1)根据分段函数解析式计算可得；

(2)根据分段函数解析式，分类讨论，分别计算可得;

(3)根据函数解析式，画出函数图象即可；

-2

一,x<0

x

【详解】(1)因为/(x)=-x,0<x<2

—x2,—3x,x22

12

所以〃0)=0,/(2)=1X22-3X2=-4,

.♦"(〃2))=〃-4)=£=4.

2

(2)当机<0时，f(m)=—=—1,/.m=—2,

m

当0v2时，/(m)=-m=-1,:.m=\,

当机,2时，/(m)=^-m2-3m=-l,：.m=3±yfl,

综上所述，机的值为-2或1或3+近.

14.(1)证明见解析

(2)-4<m<-l^c2<m<3

【分析】(1)根据条件，利用函数单调性的定义，即可证明结果；

"2

m-m-l<11-2m

(2)根据条件和(1)结果，得到不等式组疗-机-121,即可求解.

ll-2m>l

【详解】(1)任取石<龙2，且菁,马£[1，+8)，

7

44X_X+4(1一占)=(x_X)[(/+1)(，+1)—4]

则/(玉)一/(%2)=%1H------X?---------------

12(%+1)(%+1)*2(石+1)(4+1)

国+1X2+1

又西<彳2，玉，龙，e［l,+8),贝lj玉+122,%+2>2,所以尤］一/<0，(网+1)(%+1)>4,

得到了(%)一/(%)<0,即〃为)</(々)，所以函数/(X)在区间［L+8)上是增函数.

(2)因为函数〃x)的定义域为［1,内)，且在区间［1,+8)上是增函数，

m2-m-1<ll-2m

由了(机2一加一1)</。1一2m)，得至I卜根之一加一INI,解得-4<加工一1或2K根<3,

ll-2m>l

所以实数机的取值范围为-4vm4-1或2<MV3.

15.(l)a=2

(2)［18,+oo)

⑶*

【分析】(1)将解析式代入不等式后可得关于。的绝对值不等式，解不等式后再结合解集为

(0,8),可得。的值.

(2)将a=3代入函数解析式，将不等式变形后可构造新函数，将不等式能成立问题转化为

函数的最值问题后求出f的取值范围.

(3)对。进行分类讨论，分析当a取不同取值范围时不等式的解集是否为R,进而求出。

最终的取值范围.

【详解】(1)不等式7。)<6的解集为(0,8),

所以|x-2a|<6-。的解集为(。,8),

由|%—2。|<6—。，可得a—6Vx—2av6—a,求得3a—6〈尤V6+Q,

又因为解集为(。,8),

故有3a—6=0,6+a=8,

故a=2.

(2)当a=3时，f(x)=|x—61+3,

若存在x°eR,使得了(%)?—/(—%),

即存在x()eR,使得/(%)+〃一/)4/,

令g(x)=f(x)+/(-x)=|x-6|+|x+6|+6,

故g(x)的最小值g(x)„1ta41,

X|x-6|+|x+6|+6>|(x-6)-(x+6)|+6=18,

当且仅当xe［-6,6］时等号成立，

所以g(x)的最小值为18,

故后18,

故使了(尤)4/〃-尤)有解的实数^的范围为［18,+8).

(3)若|x-2a|+aNax恒成立,

则|无一2。|2ar-a恒成立，

8

则九一2々之办一a或x—ax恒成立,

即（1-a）x2〃或（1+a）x＜3a恒成立.

①当。＞1时，解得xW=或屈

不等式解集不为R（舍），

3

②当。=1时，解得021或xWj,

不等式解集不为R（舍），

③当时，

解得x＞或尤＜，

1-a1+。

若不等式解集为R,

则，

1—。1+a

所以3a(l—a)«a(l+a),解得,

④当。=一1时，解得X"；或0V—3,解集不为R（舍），

⑤当时，解得xN二或解集不为R（舍），

综上所述，。的取值范围是0,；.

2x

16.（1）/（%）=一一-

%—3

（2）单调