《胡不归与阿氏圆两类系数不为1的最值小例》(上集)

第第#页共8页《胡不归与阿氏圆两类系数不为1的最值小例》（上集）刚刚结束不久的我校第6次独立练习中，填空题最后一题“坑”住了全年级几乎所有学生，笔者任教的两个班级中，九（2）班只有一个人做对了，而九（13）班也只有两三人尔！究竟是什么题难住了如此之多“英雄好汉”呢？且随我一同去观望观望：原题重现：（来源：高邮市赞化学校独立练习（6））如图1所示，抛物线y=x人2-2x-3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E,且tan/EBA=4/3,有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是s.要想解决这个所谓“难题”，不得不提起一起著名的、大名鼎鼎的、古老的“胡不归”问题.一、模型典故（“胡不归”问题），下文来源于网络有一则古老的历史故事：说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家.然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了.人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不归？……”早期的科学家曾为这则古老传说中的小伙子设想了一条路线：如图1-1所示，A是出发地，8是目的地；AC是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧全是砂土地带.为了急切回家，小伙子选择了直线路程AB.但是，他忽略了在驿道上行走要比在砂土地带行走快的这一因素.如果他能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但是速度却可以加快），是可以提前抵达家门的.B图1-1那么，他应该选择那条路线呢？显然，根据两种路面的状况和在其上行走的速度值，可以在AC上选定一点D,小伙子从A走到D,然后从D折往B,可望最早到达目的地B.用现代的数学语言表达出来就是：已知在驿道和砂地上行走的速度分别为V1和V2,在AC上找一定点D,使从A至D、再从D至B的行走时间最短.于是，问题在于如何去找出D点.这个古老的“胡不归”问题风靡了一千多年，一直到十七世纪中叶，才由法国著名科学家费尔马揭开了它的面纱.二、模型解决“一步（设出时间t,将教学问题字母化）“殳总时间为“则片彳+西'这里匕＞要求的就是t的最小值,这是一个系数不为1的最值问题,而且有两个系数均不为「第二步（提取“大系数"，化为只有一个系数不为1的最值问题）=一般情况下J遇到两个系数不为1的最值问题，首先要将其传化为单个系数不为1的最值问题，这个转化还是比较好实现的，只需提取一个系数出来即可？问题是，该提取哪个系数比较好呢？一般情况下，提取数值比较大的那个系数:堂本例来说，由匕＞匕知t的表达式中两个系数上＜上，因而应该提取工出来，即F例来说，由匕＞匕知，（今，打）+DF）,注意这里K与4均为常数，这样要求t的最小值，只要求匕，WD+DE的最小值即可，从而问题被转化为单个系数不为1的最值问题$匕第三步（构造三角函数，化为系数均为1的常如最值问题）：如何求解装㈤的最小值问题呢？还是要想办法处理不为1的系数，将系盘都化为1.但是问题来了,此时明显不能再用提取系教的办法了！那咋办？数学是门神奇的科学，只有你想不到,'没有她做不到的！联想到初中阶段学到的锐角三角函数，可以构造一个直角三角形，将不为1的系数无形中化为1,这也是解决所谓“胡不归以问题的核心与难点所在，具体操作如下：由今q联想到三角函数值，如图1一2所示，过定点A在直线AC的下方构造锐角工CAE=cl?使其酒是sin&——二?¥℃ y再过动点D作DG_LAE于点G,贝I］蛔=」=——，从而有DG=/，2D

要求京•4要求京•4Q+DB的最小值问题,就被顺利转化为2G+IJ8的最小值问题，变成了一个系教均为1的常规最值问题,需要特别提醒大家的是，这里的关键角a是依托于哪些考虑作出来的呢？注意到最原始的“胡不归”问题是一个“两定一动型”最值问题，只不过系数不为1了而已；如图1-2，点A和点B是两个定点，点D是一个动点，且定点A与动点D在同一条定直线AC上；上面的角a其实就是依托于这里的定点A及定直线AC做出的，即过定点A作一条射线与定直线AC所交锐角为角a即可！说到底就是“抓不变量”的解题策略，依托于定点A及定直线AC作角4,使其满足sina=V2/V1，即可顺利将所谓“胡不归”“难题”转化为系数均为1的常规最值问题！第四步（利用“垂线段最短原理”，解决系数均为1的常理最值问题）：注意到构造的AE也是一条定射线，要求QG+Q月的最小值问题,其实就是在两定直线AC、AE±分别找点D、G,且DG_LAE,使DG+DB最小.先利用“两点之间缄段最矩“易知DG+D君之君G,当且仅当E、D、G三点共线时取等号I如图1T所示,再利用“垂线段最矩”只需过点E作EG_LAE于点G,此时BG最小,则EG与AC的交点即为所要寻找的点Da所9*3+四4的，3—3As及/及4G均为常值，故所求时间的最小值为工，4・日ii/A4G.%至此，“胡不归”模型得到完美解决！如果奄奄一息的父亲能够坚持到工33,■口/E4G这个时间，那么就能够见他的儿匕子最后一面了！三、原题解决回到我们最初的考题上，设蚂蚁从点A到点E所需的时间为t,如图1-"则ADDE 4DE 4DEt=—+—=JZ)+^；要求的就是t的最小值，即HQ+*的最小值歹1 1.25 5 5很明显，这就是一个曲型的『,胡不归打问题,可按照上述解决模型的步骤进行操作：卸-4第一步(构三甬函数，化系数为1:；由系数士七1联想到三角函数值,如图1耳所示,5过定直线EB上的定点E在直线EB的上方构造锐角/EEF=*使其满足期=3j■,■--■■.DG 4再过动点D作DG_LEF于点G,则疝ilh=—=——』从而有DG=--ZZEjDE 5ADE这样t=/£>+*=AADG,转化为了常规的系数均为L的最值问题?5

第二步（寻题目特殊性，重新调整图形）:但先不要忙于计算.我们还要敢锐地意识到此题有个角彳艮特殊，那就是tm/EBA二由此易知sin/EEA=2,因而刚刚我们所作3 5的/EEF=/EBA,从而发现此题的特殊性,即EFh轴,接下来我们把图形调整成图1-6宁第三步（利用“垂线段最短原理M,解决系熟均为1的常裁最值问题::注意到构造的珏也是一条定射线，要求如+出的最小值问题,其实就是在两定直线EE、EF上分别找点D、G,且DG_LEF,使他+DG最小.先利用「'两点.之间线段最短”易知4D+DG2,当且仅当A、D、G三点共线时取等号J如图1-7所示』再利用“垂线段最短”只需过点A作AG_LEF于点G,此时AG最小,则AG与EF的交点即为所要寻找的点Di因而仁HD十3竿4D十DGNAGj拔所求时间t的最小值即为AG的长，即点E的纵坐标的值，下面求出点.E的坐标即可；第四步（求定点E的坐标）：这里提供两种方法求点E的坐标;方法一（求交点坐标）：设直线EB与y轴交于点如图所示，由题易知点E的坐标为（3,0）；在Rt^MCE中由tm/E电=g知皿=42则点M坐标为（0；4）；由E（3,Q）及M（0,4）可得直线EE的解析式为尸—：其+出联立直线更与抛物线的解析式得：・'=一彳"+4,即尸2『3=—4羌+4,即y=x2-2x-^3f-2厂21=0,解之得工=—,，冬=3（舍去），故点E的坐标为（--,—）;TOC\o"1-5"\h\z3 3 9方法二《段坐标法）二设点E的坐标为（口产-2f-3）,过点E作EH_Lx轴于点H,如图1-9所示，在RiAEHB中由血口/EEh±可得里=三,即"f）J,即3EH3 3-1 3-fr+l）=-,解得力=—N,故点E的坐标为—）53 3 3 9因此，所求时间t=/LD+坨的最小值为处.5 9此题搞走，所谓的“难题内看来也不是太难啊，玩的都是"套路,'！

解题后反思：平时“套路”积累多了，真的遇到了所谓的“套路题”，同学们就能立于不败之地了！这题也给我们的教学一定的启发性，即应该重视模型教学这一块！有人说“成也模型，败也模型”，但我想说如果真的不讲模型或者说不先经历模型过程，真的想跳出模型达到更高境界也是痴心妄想！初中阶段学生还是应该重视模型的积累与应用过程，可以这样说，每一节新课，每一道题目可能都能称之为一个模型！其实名称都是回事，或者说叫某某模型也无所谓，之所以起