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文档简介
2025届江西省宜春市丰城九中高考临考冲刺数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.对于函数,定义满足的实数为的不动点,设,其中且,若有且仅有一个不动点,则的取值范围是()A.或 B.C.或 D.2.在等差数列中,,,若(),则数列的最大值是()A. B.C.1 D.33.已知函数的部分图象如图所示,则()A. B. C. D.4.已知正项等比数列满足,若存在两项,,使得,则的最小值为().A.16 B. C.5 D.45.若函数在时取得极值,则()A. B. C. D.6.若双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的离心率为()A.2 B. C. D.7.ΔABC中,如果lgcosA=lgsinA.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形8.已知向量,,且与的夹角为,则x=()A.-2 B.2 C.1 D.-19.一个四棱锥的三视图如图所示(其中主视图也叫正视图,左视图也叫侧视图),则这个四棱锥中最最长棱的长度是().A. B. C. D.10.把函数的图象向右平移个单位,得到函数的图象.给出下列四个命题①的值域为②的一个对称轴是③的一个对称中心是④存在两条互相垂直的切线其中正确的命题个数是()A.1 B.2 C.3 D.411.元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论,其中关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图,若,,则输出的()A.3 B.4 C.5 D.612.记的最大值和最小值分别为和.若平面向量、、,满足,则()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知是同一球面上的四个点,其中平面,是正三角形,,则该球的表面积为______.14.设,则_____,(的值为______.15.已知关于空间两条不同直线m、n,两个不同平面、,有下列四个命题:①若且,则;②若且,则;③若且,则;④若,且,则.其中正确命题的序号为______.16.记复数z=a+bi(i为虚数单位)的共轭复数为,已知z=2+i,则_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数的定义域为,且满足,当时,有,且.(1)求不等式的解集;(2)对任意,恒成立,求实数的取值范围.18.(12分)已知.(Ⅰ)当时,解不等式;(Ⅱ)若的最小值为1,求的最小值.19.(12分)设椭圆的左右焦点分别为,离心率,右准线为,是上的两个动点,.(Ⅰ)若,求的值;(Ⅱ)证明:当取最小值时,与共线.20.(12分)某工厂为提高生产效率,需引进一条新的生产线投入生产,现有两条生产线可供选择,生产线①:有A,B两道独立运行的生产工序,且两道工序出现故障的概率依次是0.02,0.03.若两道工序都没有出现故障,则生产成本为15万元;若A工序出现故障,则生产成本增加2万元;若B工序出现故障,则生产成本增加3万元;若A,B两道工序都出现故障,则生产成本增加5万元.生产线②:有a,b两道独立运行的生产工序,且两道工序出现故障的概率依次是0.04,0.01.若两道工序都没有出现故障,则生产成本为14万元;若a工序出现故障,则生产成本增加8万元;若b工序出现故障,则生产成本增加5万元;若a,b两道工序都出现故障,则生产成本增加13万元.(1)若选择生产线①,求生产成本恰好为18万元的概率;(2)为最大限度节约生产成本,你会给工厂建议选择哪条生产线?请说明理由.21.(12分)如图,三棱锥中,(1)证明:面面;(2)求二面角的余弦值.22.(10分)如图,在四棱锥中,,,.(1)证明:平面;(2)若,,为线段上一点,且,求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
根据不动点的定义,利用换底公式分离参数可得;构造函数,并讨论的单调性与最值,画出函数图象,即可确定的取值范围.【详解】由得,.令,则,令,解得,所以当时,,则在内单调递增;当时,,则在内单调递减;所以在处取得极大值,即最大值为,则的图象如下图所示:由有且仅有一个不动点,可得得或,解得或.故选:C【点睛】本题考查了函数新定义的应用,由导数确定函数的单调性与最值,分离参数法与构造函数方法的应用,属于中档题.2、D【解析】
在等差数列中,利用已知可求得通项公式,进而,借助函数的的单调性可知,当时,取最大即可求得结果.【详解】因为,所以,即,又,所以公差,所以,即,因为函数,在时,单调递减,且;在时,单调递减,且.所以数列的最大值是,且,所以数列的最大值是3.故选:D.【点睛】本题考查等差数列的通项公式,考查数列与函数的关系,借助函数单调性研究数列最值问题,难度较易.3、A【解析】
先利用最高点纵坐标求出A,再根据求出周期,再将代入求出φ的值.最后将代入解析式即可.【详解】由图象可知A=1,∵,所以T=π,∴.∴f(x)=sin(2x+φ),将代入得φ)=1,∴φ,结合0<φ,∴φ.∴.∴sin.故选:A.【点睛】本题考查三角函数的据图求式问题以及三角函数的公式变换.据图求式问题要注意结合五点法作图求解.属于中档题.4、D【解析】
由,可得,由,可得,再利用“1”的妙用即可求出所求式子的最小值.【详解】设等比数列公比为,由已知,,即,解得或(舍),又,所以,即,故,所以,当且仅当时,等号成立.故选:D.【点睛】本题考查利用基本不等式求式子和的最小值问题,涉及到等比数列的知识,是一道中档题.5、D【解析】
对函数求导,根据函数在时取得极值,得到,即可求出结果.【详解】因为,所以,又函数在时取得极值,所以,解得.故选D【点睛】本题主要考查导数的应用,根据函数的极值求参数的问题,属于常考题型.6、C【解析】
利用圆心到渐近线的距离等于半径即可建立间的关系.【详解】由已知,双曲线的渐近线方程为,故圆心到渐近线的距离等于1,即,所以,.故选:C.【点睛】本题考查双曲线离心率的求法,求双曲线离心率问题,关键是建立三者间的方程或不等关系,本题是一道基础题.7、B【解析】
化简得lgcosA=lgsinCsinB=﹣lg2,即cosA=sinCsinB=12,结合0<A<π,可求A=π【详解】由lgcosA=lgsinC-lgsinB=-lg2,可得lgcosA=∵0<A<π,∴A=π3,B+C=2π3,∴sinC=12sinB=12sin2π3-C=34cosC+故选:B【点睛】本题主要考查了对数的运算性质的应用,两角差的正弦公式的应用,解题的关键是灵活利用基本公式,属于基础题.8、B【解析】
由题意,代入解方程即可得解.【详解】由题意,所以,且,解得.故选:B.【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角,属于基础题.9、A【解析】
作出其直观图,然后结合数据根据勾股定定理计算每一条棱长即可.【详解】根据三视图作出该四棱锥的直观图,如图所示,其中底面是直角梯形,且,,平面,且,∴,,,,∴这个四棱锥中最长棱的长度是.故选.【点睛】本题考查了四棱锥的三视图的有关计算,正确还原直观图是解题关键,属于基础题.10、C【解析】
由图象变换的原则可得,由可求得值域;利用代入检验法判断②③;对求导,并得到导函数的值域,即可判断④.【详解】由题,,则向右平移个单位可得,,的值域为,①错误;当时,,所以是函数的一条对称轴,②正确;当时,,所以的一个对称中心是,③正确;,则,使得,则在和处的切线互相垂直,④正确.即②③④正确,共3个.故选:C【点睛】本题考查三角函数的图像变换,考查代入检验法判断余弦型函数的对称轴和对称中心,考查导函数的几何意义的应用.11、B【解析】分析:根据流程图中的可知,每次循环的值应是一个等比数列,公比为;根据流程图中的可知,每次循环的值应是一个等比数列,公比为,根据每次循环得到的的值的大小决定循环的次数即可.详解:记执行第次循环时,的值记为有,则有;记执行第次循环时,的值记为有,则有.令,则有,故,故选B.点睛:本题为算法中的循环结构和数列通项的综合,属于中档题,解题时注意流程图中蕴含的数列关系(比如相邻项满足等比数列、等差数列的定义,是否是求数列的前和、前项积等).12、A【解析】
设为、的夹角,根据题意求得,然后建立平面直角坐标系,设,,,根据平面向量数量积的坐标运算得出点的轨迹方程,将和转化为圆上的点到定点距离,利用数形结合思想可得出结果.【详解】由已知可得,则,,,建立平面直角坐标系,设,,,由,可得,即,化简得点的轨迹方程为,则,则转化为圆上的点与点的距离,,,,转化为圆上的点与点的距离,,.故选:A.【点睛】本题考查和向量与差向量模最值的求解,将向量坐标化,将问题转化为圆上的点到定点距离的最值问题是解答的关键,考查化归与转化思想与数形结合思想的应用,属于中等题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
求得等边三角形的外接圆半径,利用勾股定理求得三棱锥外接球的半径,进而求得外接球的表面积.【详解】设是等边三角形的外心,则球心在其正上方处.设,由正弦定理得.所以得三棱锥外接球的半径,所以外接球的表面积为.故答案为:【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的计算,属于基础题.14、7201【解析】
利用二项展开式的通式可求出;令中的,得两个式子,代入可得结果.【详解】利用二项式系数公式,,故,,故(=,故答案为:720;1.【点睛】本题考查二项展开式的通项公式的应用,考查赋值法,是基础题.15、③④【解析】
由直线与直线的位置关系,直线与平面的位置关系,面面垂直的判定定理和线面垂直的定义判断.【详解】①若且,的位置关系是平行、相交或异面,①错;②若且,则或者,②错;③若,设过的平面与交于直线,则,又,则,∴,③正确;④若,且,由线面垂直的定义知,④正确.故答案为:③④.【点睛】本题考查直线与直线的位置关系,直线与平面的位置关系,面面垂直的判定定理和线面垂直的定义,考查空间线面间的位置关系,掌握空间线线、线面、面面位置关系是解题基础.16、3﹣4i【解析】
计算得到z2=(2+i)2=3+4i,再计算得到答案.【详解】∵z=2+i,∴z2=(2+i)2=3+4i,则.故答案为:3﹣4i.【点睛】本题考查了复数的运算,共轭复数,意在考查学生的计算能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2).【解析】
(1)利用定义法求出函数在上单调递增,由和,求出,求出,运用单调性求出不等式的解集;(2)由于恒成立,由(1)得出在上单调递增,恒成立,设,利用三角恒等变换化简,结合恒成立的条件,构造新函数,利用单调性和最值,求出实数的取值范围.【详解】(1)设,,所以函数在上单调递增,又因为和,则,所以得解得,即,故的取值范围为;(2)由于恒成立,恒成立,设,则,令,则,所以在区间上单调递增,所以,根据条件,只要,所以.【点睛】本题考查利用定义法求函数的单调性和利用单调性求不等式的解集,考查不等式恒成立问题,还运用降幂公式、两角和与差的余弦公式、辅助角公式,考查转化思想和解题能力.18、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)当时,令,作出的图像,结合图像即可求解;(Ⅱ)结合绝对值三角不等式可得,再由“1”的妙用可拼凑为,结合基本不等式即可求解;【详解】(Ⅰ)令,作出它们的大致图像如下:由或(舍),得点横坐标为2,由对称性知,点横坐标为﹣2,因此不等式的解集为.(Ⅱ)..取等号的条件为,即,联立得因此的最小值为.【点睛】本题考查绝对值不等式、基本不等式,属于中档题19、(Ⅰ)(Ⅱ)证明见解析.【解析】由与,得,,的方程为.设,则,由得.①(Ⅰ)由,得,②,③由①、②、③三式,消去,并求得,故.(Ⅱ),当且仅当或时,取最小值,此时,,故与共线.20、(1)0.0294.(2)应选生产线②.见解析【解析】
(1)由题意转化条件得A工序不出现故障B工序出现故障,利用相互独立事件的概率公式即可得解;(2)分别算出两个生产线增加的生产成本的期望,进而求出两个生产线的生产成本期望值,比较期望值即可得解.【详解】(1)若选择生产线①,生产成本恰好为18万元,即A工序不出现故障B工序出现故障,故所求的概率为.(2)若选择生产线①,设增加的生产成本为(万元),则的可能取值为0,2,3,5.,,,,所以万元;故选生产线①的生产成本期望值为(万元).若选生产线②,设增加的生产成本为(万元),则的可能取
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