长沙市雨花区2023年九年级上学期《数学》期末试题与参考答案

9/26长沙市雨花区2023年九年级上学期《数学》期末试题与参考答案一、选择题本大题共10小题，每小题3分，满分30分。1.下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称的图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称的图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称的图形，故本选项不符合题意；D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.下列事件中是必然发生的事件是（）．A.打开电视机，正播放新闻B.通过长期努力学习，你会成为数学家C.从一副扑克牌中任意抽取一张牌，花色是红桃D.某校在同一年出生的有367名学生，则至少有两人的生日是同一天【答案】D【分析】根据必然事件和随机事件的定义即可解答．【详解】解：必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．A、B、C选项可能发生，也可能不发生，是随机事件．故不符合题意；D、是必然事件．故选D．【点睛】本题考查了随机事件和必然事件，掌握必然事件和随机事件的定义是解题的关键．3.若二次函数的图象的顶点坐标为（2，-1），且抛物线过（0，3），则二次函数的解析式是（）A.y=-（x-2）2-1 B.y=-（x-2）2-1C.y=（x-2）2-1 D.y=（x-2）2-1【答案】C【分析】根据二次函数的顶点式求解析式.【详解】解:设这个二次函数的解析式为y=a（x-h）2+k因为二次函数的图象的顶点坐标为（2，-1），所以二次函数的解析式为y=a（x-2）2-1，把（0，3）分别代入得a=1，所以y=（x-1）2-1．故选C4.如图，△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为（）A.2.3 B.2.4 C.2.5 D.2.6【答案】B【详解】试题分析：在△ABC中，因为AB=5，BC=3，AC=4，所以AC2+BC2=32+42=52=AB2，所以∠C=90°，如图：设切点为D，连接CD，因为AB是⊙C的切线，所以CD⊥AB，因为S△ABC=AC×BC=AB×CD，所以AC×BC=AB×CD，即CD===，所以⊙C的半径为，故选B．考点：圆的切线的性质；勾股定理．5.如图，四边形中，，若，则等于（）A.2︰7 B.5︰7 C.3︰7 D.2︰5【答案】D【分析】过D作交于G，交于H，根据平行四边形的性质先求出，从而得到的长，再根据相似三角形的性质可求出的值．【详解】解：过D作交于G，交于H．则，所以，因为，所以所以，所以．故选：D．6.如图，正方形中，是的中点，是边上的一点，下列条件中，不能推出与相似的是（）A. B. C.是的中点 D.【答案】C【分析】利用两三角形相似的判定定理逐一判断即可．【详解】A．，根据正方形性质得到∠B=∠C，可以得到∽，不合题意；B.，根据正方形性质得到∠B=∠C，根据同角的余角相等，得到，从而有∽，不合题意；C．P是BC的中点，无法判断与相似，符合题意；D．，根据正方形性质得到，又因为∠B=∠C，则∽，不合题意．故选：C7.已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一直角坐标系中的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【分析】根据反比例函数的图象得出b＜0，逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系，抛物线与y轴的交点，即可得出a、b、c的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．【详解】解：因为反比例函数的图象在二、四象限，所以b＜0，A、因为二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，所以a＞0，b＜0，c＜0，所以一次函数图象应该过第一、二、四象限，A错误；B、因为二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，所以a＜0，b＞0，所以与b＜0矛盾，B错误；C、因为二次函数图象开口向下，对称轴y轴右侧，所以a＜0，b＞0，所以与b＜0矛盾，C错误；D、因为二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，所以a＜0，b＜0，c＜0，所以一次函数图象应该过第一、二、四象限，D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想．8.关于频率与概率有下列几种说法：①“明天下雨的概率是90%”表示明天下雨的可能性很大；②“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上；③“某彩票中奖的概率是1%”表示买10张该种彩票不可能中奖；④“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出正面朝上”这一事件发生的频率稳定在附近，正确的说法是（）A.②④ B.②③ C.①④ D.①③【答案】C【分析】分别利用概率的意义分析得出答案．【详解】①“明天下雨的概率是90%”表示明天下雨的可能性很大；正确；②“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上；错误；③“某彩票中奖的概率是1%”表示买10张该种彩票不可能中奖；错误；④“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出正面朝上”这一事件发生的频率稳定在附近，正确．故选C．9.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（）A. B. C. D.【答案】A【详解】解：连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，因为∠A=∠B=90°，CD=AB=4，因为AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，所以∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，所以四边形AFOE，FBGO是正方形，所以AF=BF=AE=BG=2，所以DE=3，因为DM是⊙O的切线，所以DN=DE=3，MN=MG，所以CM=5-2-MN=3-MN，在Rt△DMC中，DM2=CD2+CM2，所以（3+NM）2=（3-NM）2+42，所以NM=，所以DM=3+=，故选A．10.抛物线对称轴为直线，其部分图象交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，如图所示，则下列结论：①；②；③（m为任意实数）；④点是该抛物线上的点，且．其中正确的有（）①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④【答案】A【分析】由抛物线的图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2−4ac与0的关系，可判断①；根据对称轴推理a、b关系，可判断②；根据当x=−1时，抛物线有最大值，即得出对于任意实数m均有a−b+c⩾am2+bm+c，可判断③．根据抛物线的递增情况，判断函数值的大小，可判断④．【详解】解：①图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2−4ac>0，正确；②抛物线的对称轴为直线x=−1，即，所以2a−b=0，正确；③图象开口向下，对称轴为直线x=−1，所以x=−1时，y=a−b+c有最大值，对于任意实数m均有a−b+c⩾am2+bm+c，即a−b⩾m(am+b)，正确；④因为(，y3)在抛物线上的对称点为(，y3)，因为，所以y2>y3>y1，错误；故选：A【点睛】本题考查图象与二次函数系数之间的关系，要求会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．二、填空题本大题共6小题，每小题3分，满分18分。11.反比例函数y＝（m＋2）x的图象分布在第二、四象限内，则m的值为______．【答案】m=-3【分析】根据反比例函数的定义可得m2−10＝−1，根据函数图象分布在第二、四象限内，可得m＋2＜0，然后求解即可．【详解】解：根据题意得，m2−10＝−1且m＋2＜0，解得m1＝3，m2＝−3且m＜−2，所以m＝−3．故答案为：−3．【点睛】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的性质.对于反比例函数y＝（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．12.已知扇形的圆心角为120°，面积为12π，则扇形的半径是______．【答案】6【分析】根据扇形的面积公式S=，得R=．【详解】根据扇形的面积公式，得R===6，故答案为6．【点睛】本题考查了扇形面积的计算，属于基础题，解答本题的关键是能够灵活运用扇形的面积公式．13.哥哥与弟弟玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，将标有数字的一面朝下，哥哥从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后弟弟从中任意抽取一张，计算抽得的两个数字之和，若和为奇数，则弟弟胜；若和为偶数，则哥哥胜，你认为______获胜的可能性更大．【答案】哥哥【分析】列举出所有情况，看两张卡片上的数字之和为偶数的情况占所有情况的多少即可求得哥哥赢的概率，进而求得弟弟赢的概率，比较即可．【详解】解：列树状图得：共有9种情况，和为偶数的有5种，所以哥哥赢的概率是，那么弟弟赢的概率是，所以哥哥获胜的可能性更大．故答案为：哥哥．【点睛】本题考查的利用列表法与画树状图的方法求解随机事件的概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率，注意本题是放回实验．解决本题的关键是得到相应的概率，概率相等就公平，否则就不公平．14.如图，在半径为10cm的⊙O中，AB＝16cm，弦OC⊥AB于点C，则OC等于______cm．【答案】6【分析】连接OA，如图，先利用垂径定理得到AC=BC=AB=8，然后根据勾股定理计算OC的长．【详解】解：连接OA，如图，因为OC⊥AB，所以AC=BC=AB=8，在Rt△OAC中，OC==6（cm）．故答案为：6．【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．15.已知二次函数自变量与函数值之间满足下列数量关系．则代数式的值等于______．【答案】【分析】由表格可得抛物线对称轴为直线，然后根据对称性可求时的值，进而求解．【详解】解：由题可得抛物线经过点，，抛物线对称轴为直线，抛物线经过点，时，即．故答案为：．16.如图，在平面直角坐标系中，直线、分别与双曲线在第一象限内交于点、，若的面积为3，则___________．【答案】4【分析】作轴于，轴于，如图，先根据反比例函数图象与一次函数图象的交点问题表示出，，，，利用反比例函数的几何意义得，则，于是根据梯形的面积公式得到，然后解方程即可．【详解】解：作轴于，轴于，如图，解方程组得或，则，，解方程组得或，则，，，而，，，．故答案为4．三、解答题本大题共9小题，满分72分。17.当x取何值时，函数的值为0？【答案】或【分析】令，则，再解一元二次方程即可．【详解】解：当时，，所以，所以，，解得：或．【点睛】本题考查的是求解二次函数值，掌握“求解二次函数值的方法”是解本题的关键．18.如图，正六边形的中心为原点O，顶点在x轴上，半径为．求其各个顶点的坐标．【答案】A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），D（2，0），E（1，），F（－1，）【分析】过点E作EG⊥x轴，垂足为G，连接OE，得出△OED是正三角形，再利用Rt△OEG中，OG＝OE，EG＝，得出结论．【详解】解：过点E作EG⊥x轴，垂足为G，连接OE，因为OE=OD，∠EOD=，所以△OED是正三角形，∠EOG＝60°，∠OEG＝30°，因为OE＝2cm，∠OGE＝90°，所以OG＝OE＝1cm，EG＝＝＝cm，点E的坐标为（1，），又由题意知点D的坐标为（2，0），由图形的对称性可知A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），F（－1，）．故这个正六边形ABCDEF各个顶点的坐标分别为A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），D（2，0），E（1，），F（－1，）．【点睛】本题考查了正六边形的对称性，直角三角形30°的角所对的边等于斜边的一半，勾股定理等知识，解题的关键是熟练运用这些性质．19.在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时测得一栋楼的影长为，这栋楼的高度是多少？【答案】这栋楼的高度是54m．【分析】根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论．【详解】解：设这栋楼的高度为hm，因为在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为90m，所以，解得：h=54（m）．答：这栋楼的高度是54m．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．20如图，直线与x轴、y轴分别交于点B、点C，抛物线经过B、C两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）求抛物线与x轴的另一交点A及其顶点P的坐标．【答案】（1）（2）【分析】（1）先求出直线与x轴、y轴分别交于点B、点C的坐标，然后利用待定系数法即可求出二次函数解析式；（2）令，利用因式分解法解方程，即可得到抛物线与x轴的另一交点横坐标，将对称轴横坐标代入抛物线的解析式即可得到顶点纵坐标．【小问1详解】解：将代入得，则，将代入得，则，将、分别代入得解得，故该抛物线的解析式为．【小问2详解】解：，当时，或，故抛物线与x轴的另一交点；对称轴为直线，将代入得，则顶点坐标为．【点睛】本题考查了求二次函数解析式、对称轴、顶点坐标，掌握待定系数法求解析式是解题关键．21.如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．（1）求关于的函数解析式；（2）若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离．【答案】（1）（2）【分析】（1）运用待定系数法求解即可；（2）把代入反比例函数解析式，求出y的值即可．【小问1详解】由题意设，把，代入，得．所以关于的函数解析式为．【小问2详解】把代入，得．所以小孔到蜡烛的距离为．【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数关系式以及求函数值，能正确掌握待定系数法是解答本题的关键．22.如图，E是矩形的边上的点，交于O．（1）求证：；（2）已知与的面积分别为2和8，求四边形的面积．【答案】（1）见解析（2）38【分析】（1）由矩形的性质可得，从而可得；（2）由与的面积分别为2和8，根据等高的两三角形的面积之比等于底之比，可以求出，由就可以求出的面积就可以求出的面积，从而求出四边形的面积．【小问1详解】证明：因为矩形，所以，所以．【小问2详解】由与的和边上的高相等，所以，因为与的面积分别为2和8，所以．因为四边形是矩形，所以，，，所以．因为，所以，所以．所以，所以，所以．【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，等高的两三角形的面积的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时由等高的两三角形的面积关系入手是解答本题的关键．23.在不透明的袋子里装有2个红球、1个蓝球（除颜色外其余都相同）．（1）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表的方法，求两次摸到一红一蓝的概率．（2）若向袋中再放入若干个同样的蓝球，搅拌均匀后，使从袋中摸出一个蓝球的概率为，求后来放入袋中的蓝球个数．【答案】（1）；（2）9个【分析】（1）根据题意画出树状图后，数出可能的结果总数及两次摸到不同颜色球的结果数，再根据概率的意义可得解；（2）设放入x个蓝球，再根据概率的意义得到方程，解方程后可以得解．【详解】解：(1)如图所示，共有6种可能结果，每种结果发生的可能性相等；其中两次摸到不同颜色球包含其中4种结果，所以两次摸到不同颜色球的概率为；(2)设放入x个蓝球，由题意，得：，解得：x=9，经检验，x=9是原方程的解，所以，放入袋中的蓝球为9个．24.如图，已知，⊙O的半径，弦AB，CD交于点E，C为的中点，过D点的直线交AB延长线与点F，且DF=EF．（1）如图①，试判断DF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）如图②，连接AC，若AC∥DF，BE=AE，求CE的长．【答案】（1）DF与⊙O相切，理由见解析；（2）CE=2．【分析】（1）如图，作辅助线；证明∠ODC+∠CDF=90°，即可解决问题．（2）如图，作辅助线；证明OH⊥AB，AH=4λ，此为解题的关键性结论；证明CE=λ；列出方程r2=（r-3λ）2+（4λ）2，求出λ=r=×=2，即可解决问题．【详解】（1）DF与⊙O相切．如图1，连接OC、OD；因为C为弧AB中点，所以OC⊥AB，∠OCE+∠AEC=90°；所以DF=EF，所以∠FDE=∠FED=∠AEC；因为OA=OC，所以∠OCE=∠ODC，所以∠ODC+∠CDF=90°，即OD⊥DF，所以DF与⊙O相切．（2）如图2，连接OA、OC；由（1）知OC⊥AB，所以AH=BH；因为AC∥DF，所以∠ACD=∠CDF；而EF=DF，所以∠DEF=∠CDF=∠ACD，所以AC=AE；设AE=5λ，则BE=3λ，所以AH=4λ，HE=λ，AC=AE=5λ；所以由勾股定理得：CH=3λ；CE2=CH2+HE2=9λ2+λ2，所以CE=λ；在直角△AOH中，由勾股定理得：AO2=AH2+OH2