高考数学解答题提高一轮复习：数列求通项（构造法、倒数法）（典型题型归类训练）（学生版+解析）

专题03数列求通项（构造法、倒数法）（典型题型归类训练）

目录

一、必备秘籍........................................................1

二、典型题型........................................................2

题型一：构造法...................................................2

题型二：倒数法...................................................3

三、数列求通项（构造法、倒数法）专项训练...........................5

一、必备秘籍

1.构造法

类型1：用“待定系数法”构造等比数列

形如%+1=心〃+，（太。为常数，叱0）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为

an+i+ni=k（an+m）（其中：m=-^-）,由此构造出新的等比数列先求出的通项，从而

k-1

求出数列｛见｝的通项公式.

标准模型：an+1=kan+p（k,P为常数，kpM）或%=kan_]+p（k,p为常数,kp$O）

类型2：用“同除法”构造等差数列

（1）形如即+1=网”+°4"+1（"€"*）,可通过两边同除4'用，将它转化为智=^+P,从而构造数列件

Qq

为等差数列，先求出的通项，便可求得｛4｝的通项公式.

n+ln+l

（2）形如an+i=kafl+q（〃eN*）,可通过两边同除q,将它转化为名■="之+1,换元令：〃=之,

qqqq

k

则原式化为：2+i=-2+i,先利用构造法类型1求出切，再求出｛凡｝的通项公式.

Q

（3）形如即-%+1=切用即（女工。）的数列，可通过两边同除以即+遮〃，变形为-左的形式，从而

册+1an

构造出新的等差数列[十，，先求出的通项，便可求得｛凡｝的通项公式.

2.倒数法

用“倒数变换法”构造等差数列

类型1：形如%+1=上「（。应为常数，pq#o）的数列，通过两边取“倒”，变形为一匚=2+'，

pan+qan+lanq

即：从而构造出新的等差数列[2],先求出;工[的通项，即可求得％.

aaa

4+1nQ[n][n\

ka

类型2：形如为+i=——n（PM为常数，pwO,左。0）的数列，通过两边取“倒”，变

p%+q

q1pan

形为——1=，一+：，可通过换元：储.=一1,化简为：b（此类型符构造法类型1：用“待

ka

%nkankk

定系数法”构造等比数列：形如%+1=笈〃+，（太。为常数，切*0）的数列，可用“待定系数法”将原

等式变形为即+1+7"=%3"+〃。（其中：m=,由此构造出新的等比数列｛a“+〃”，先求出｛%+*的

通项，从而求出数列｛见｝的通项公式.）

二、典型题型

题型一：构造法

例题1.（2023秋•江西宜春•高三校考开学考试）已知正项数列｛q｝中，q=2,a,M=2a“+3x5”,则数列｛凡｝

的通项%=（）

A.-3X2"TB.3x2'1-'

C.5"+3x2"-1D.5"-3X2"T

例题2.（多选）（2023秋•广东深圳•高三校考阶段练习）已知数列｛%｝的前w项和为S1,，且满足S.=2%-2",

weN*,则（）

A.%=2B.%=6C.数列[祟;为等差数列D.｛4+1｝为等比数列

例题3.（2023春•山东淄博•高二校考期中）已知｛%｝数列满足卬=2,a用-2%=2向，则数列｛q｝的通项

公式为_________

例题4.（2023・全国•高二专题练习）已知数列｛%｝满足%=l,a“+i-a“=2%<2用，则数列｛a“aa+J的前〃项和

为.

例题5.（2023•全国,高三专题练习）在数列｛。“｝中，％=1,且%=2%_]+1（〃>1）,求

例题6.（2023•四川绵阳•四川省绵阳南山中学校考模拟预测）设数列｛4｝的前〃项和为S”,

Sn=2q,+2〃-6（“eN"）.

（1）求证数列也-2｝为等比数列，并求数列｛%｝的通项公式明.

例题7.（2023秋•重庆•高三统考阶段练习）记数列｛%｝的前〃项和为S“，且S“=2%+〃-3（〃eN*）.

（1）求证：数列｛4-1｝是等比数列；

例题8.（2023春・江苏盐城・高二盐城市第一中学校联考期中）已知正项数列｛4｝满足4=1,且%-。用=",//.

⑴求数列｛见｝的通项公式；

题型二：倒数法

例题1.（多选）（2023春•云南玉溪•高二统考期末）已知数列｛%｝满足q=1,%=号丁（”eN*）,则（）

A.为等比数列

B.｛见｝的通项公式为%=1二

C.｛%｝为单调递减数列

D.卜勺前〃项和7；=27

、2a—1

例题2.（2023•全国•高三专题练习）已知数列（%｝满足囚=2,。，血=不广，则”“=_____.

%十一

-4x

例题3.（2023・全国•高三专题练习）已知数列的递推公式。3=亡丁，且首项卬=5,求数列｛（%｝的通项

公式.

例题4（2023•全国•高三专题练习）己知见+1==7，4=1,求巴的通项公式.

an7

、44〃”

例题5.（2023春•辽宁锦州•高二校考期中）已知数列｛（%｝的首项%=,,%+1=五二=，"eN*.

⑴设”;-—1,求数列也｝的通项公式；

an

（2023•全国•高三专题练习）若q>0,a“+i=：^-（〃=l,2,…）.

例题6.

（1）求证:〃”+产%；

,、72。

例题7.（2023•全国•高二专题练习）已知数列｛%｝的首项%=（,且满足。“+1=卓

（1）求证:数列为等比数列:

三、数列求通项（构造法、倒数法）专项训练

一、单选题

1.（2023春・河南许昌•高二校考阶段练习）已知数列｛%｝满足〃角=2%+1吗=1,则｛q｝的通项公式（）

-1

A.an=2"B.an=2"-'-1C.an=2"D.an=2"-1

二、填空题

2.（2023秋・陕西商洛高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）已知数列｛氏｝满足%=3%+2,%+%=22,

则满足4>160的最小正整数w=.

3.（2023•全国•高三对口高考）数列｛q｝中，%+1=号1，％=2，则%=.

4.（2023春•江西南昌•高二南昌二中校考阶段练习）数列｛4｝中，q=1,an=3an_x+2（n>2）,则此数列

的通项公式4,=.

5.（2023・全国•高二专题练习）数列｛劭｝满足%+1=5%+3、5用，4=6,则数列｛助｝的通项公式为.

,、1〃+1n…

6.（2023•全国•高二专题练习）设S”为数列｛4｝的前几项和，已知弓=彳，——=一+2",贝丘"=_______

2an+\an

三、解答题

7.（2023秋•江苏•高二专题练习）已知数列｛%｝满足：q=2,q,=蜡■（心2）,求通项％.

8.（2023秋,江苏,二专题练习）已知：4=1,时，an=-an_x+In—1,求｛4｝的通项公式.

（2023•全国•高三专题练习）已知数列｛%｝满足卬=；,

9.6+1=]+（〃y，.若丸=1,求数列｛。〃｝的

通项公式.

10.（2023全国高二专题练习）已知数列｛〃〃｝中，4=3,%=3%+2X3D,求数列｛4｝的通项公式;

四、双空题

17.(2023・全国•高三专题练习)已知数列｛%｝满足。〃+i=+2x3"+l(p£H),若〃=1,%=4,则

a4=;若P=2,%=5,贝U4及—.

专题03数列求通项（构造法、倒数法）（典型题型归类训练）

目录

一、必备秘籍........................................................1

二、典型题型........................................................2

题型一：构造法...................................................2

题型二：倒数法...................................................3

三、数列求通项（构造法、倒数法）专项训练...........................5

一、必备秘籍

1.构造法

类型1：用“待定系数法”构造等比数列

形如%+1=心〃+，（太。为常数，叱0）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为

an+i+ni=k（an+m）（其中：m=-^-）,由此构造出新的等比数列先求出的通项，从而

k-1

求出数列｛见｝的通项公式.

标准模型：an+1=kan+p（k,P为常数，kpM）或%=kan_]+p（k,p为常数,kp$O）

类型2：用“同除法”构造等差数列

（1）形如即+1=网”+°4"+1（"€"*）,可通过两边同除4'用，将它转化为智=^+P,从而构造数列件

Qq

为等差数列，先求出的通项，便可求得｛4｝的通项公式.

n+ln+l

（2）形如an+i=kafl+q（〃eN*）,可通过两边同除q,将它转化为名■="之+1,换元令：〃=之,

qqqq

k

则原式化为：2+i=-2+i,先利用构造法类型1求出切，再求出｛凡｝的通项公式.

Q

（3）形如即-%+1=切用即（女工。）的数列，可通过两边同除以即+遮〃，变形为-左的形式，从而

册+1an

构造出新的等差数列[十，，先求出的通项，便可求得｛凡｝的通项公式.

2.倒数法

用“倒数变换法”构造等差数列

类型1：形如%+1=上「（。应为常数，pq#o）的数列，通过两边取“倒”，变形为一匚=2+'，

pan+qan+lanq

即：从而构造出新的等差数列[2],先求出;工[的通项，即可求得％.

aaa

4+1nQ[n][n\

ka

类型2：形如为+i=——n（PM为常数，pwO,左。0）的数列，通过两边取“倒”，变

p%+q

1.1

形为——=，q一1+：p，可通过换元：储=一,化简为：ban（此类型符构造法类型1：用“待

ka

%nkankk

定系数法”构造等比数列：形如%+1=笈〃+，（太。为常数，切*0）的数列，可用“待定系数法”将原

等式变形为即+1+7"=%3"+〃。（其中：m=,由此构造出新的等比数列｛a“+〃”，先求出｛%+*的

通项，从而求出数列｛见｝的通项公式.）

二、典型题型

题型一：构造法

例题1.（2023秋•江西宜春•高三校考开学考试）已知正项数列｛q｝中，q=2,a,M=2a“+3x5”,则数列｛凡｝

的通项%=（）

A.-3X2"TB.3x2'1-'

C.5"+3x2"-1D.5"-3X2"T

【答案】D

【详解】解法一：在递推公式*=2凡+3x5"的两边同时除以5"。得需]①,

5555

令则①式变为%=|2+|,即%-1="2一1）,

所以数列｛2-1｝是等比数列，其首项为4-1=1■-1=-|,公比为高，

所以以-1=-|同，即…3（1），

所以3=i-gx2.二

5,55〃

所以%=5"-3x2"'

解法二：设。用+左x5m=24+左x5"）,贝！2。*—3-x5",

与。“+1=2%+3x5"比较可得k=-l,

所以。用一5向=2（%,-5"）,

所以数列｛。,-5"｝是首项为囚-5=-3,公比为2的等比数列，

所以%-5"=-3x2"i,所以a,=5"-3x2"T,

故选：D

例题2.（多选）（2023秋•广东深圳•高三校考阶段练习）已知数列｛%｝的前n项和为Sn,且满足S.=2%-2",

weN*,则（）

A.4=2B.%=6C.数列］m为等差数列D.｛凡+1｝为等比数列

【答案】ABC

【详解】由S“=2%-2"得Si=2%-2"T（n>2）,两式相减得a„=2al+2"一（«>2）,

曳一।1-％「1

2"2"T22"2"T2'

又当”=1时，d=2q-2,则q=2,故松，为首项是1,公差为的等差数列，

显然A、C正确；

%=3x2=6,故B正确；

由通项公式易得4+1=3,2+1=7,%+1=17,三者不成等比数列，故D错误.

故选：ABC.

例题3.（2023春•山东淄博,高二校考期中）已知｛叫数列满足囚=2,。用-2氏=2"+|,则数列｛%｝的通项

公式为_________

【答案】an=n-2"

【详解】由--2a“=2向得|鬻喙=1，

故，墨，为等差数列，公差为1,首项为1,

所以崇=1+(〃-1)=〃

所以a”="2.

故答案为：an=n-T

例题4.（2023・全国•高二专题练习）已知数列｛%｝满足%=1,%+1-凡=2%乙+1，则数列｛q,%+J的前"项和

为.

—n

【答案】

2n-l

【详解】解：因为％=1,%-4=2%%，

所以丁“，即:==2,即六-4-2,

所以是以1为首项，-2为公差的等差数列，

所以53一2"，所以%=六'则的用=（2〃-3；（2”1）=[止一

令数列｛anan+l\的前n项和为,，

11111]

----1—----1-----+•••+白）=小一土

则m113352n—3

故答案为：$

2n-l

例题5.（2023,全国•高三专题练习）在数列｛〃"｝中，q=l,且q,=2%_]+1（">1）,求

【答案】an=T-\

【详解】由4=2%+1（〃>1）,得4+1=2（%_]+1）（鼠>1）,

所以数列｛4+1｝是以首项为％+1=2,公比为2的等比数列.

所以。“+1=2x2”,即凡=2-1.

当〃=1时，Gj=2'-1=1,此式也满足为,

故4=2-1.

例题6.（2023•四川绵阳•四川省绵阳南山中学校考模拟预测）设数列｛%｝的前"项和为S”,

S1,=2a„+2〃-6（〃eN"）.

（1）求证数列｛4-2｝为等比数列，并求数列｛4｝的通项公式％.

【答案】⑴证明见解析,%=2"+2

【详解】（1）因为S"=2a“+2〃-6,所以当〃=1时，品=2卬-4,解得4=4.

当〃22时，S"_i=2a+2/1—8,则Sn—=2an—2a“一+2,

ci—2

整理得4=2%_「2,故-^=2,q-2=2,

an-\~2

所以数列｛氏-2｝是首项为2,公比为2的等比数列，所以a“-2=2x2"T=2".所以%=2"+2

例题7.（2023秋•重庆•高三统考阶段练习）记数列｛%｝的前〃项和为%且S,=2%+〃-3（〃eN*）.

⑴求证：数列是等比数列；

【答案】①证明见解析

【详解】（1）由于S“=2a“+〃-3,故S,T=24T+（，-1）—3,（〃N2,〃eN*）,

a

n=S,-Sn_x=2an-2a+1,

二%=2%-l,

o„-l=2（a„_1-l）,（"N2,〃eN*）,

q=S[=2q—2,可得4=2,

所以数歹U｛%-1｝是一个首项为1,公比为2的一个等比数列；

例题8.（2023春•江苏盐城•高二盐城市第一中学校联考期中）已知正项数列｛风｝满足4=1,且%-。用=",//.

⑴求数列｛凡｝的通项公式；

【答案】（1）q=」

n

「、II1

【详解】（1）数列｛%｝中，”“>0,由4-4+1=4"。”+1，可得-------=1

an+lan

又;=;=1,则数列[,是首项为1公差为1的等差数列，则

a'1[a„]%

则数列｛%｝的通项公式为

题型二：倒数法

例题L（多选）（2023春•云南玉溪•高二统考期末）已知数列｛%｝满足q=1，。,+1=号]（”eN*）,则（）

A.为等比数列

B.｛%｝的通项公式为

jn—2

c.｛q｝为单调递减数列

D.卜勺前〃项和7；=叫了

【答案】BCD

11+3%1。f11

【详解】因为一=——-=—+3,所以一是以1为首项，3为公差的等差数列，故选项A错误；

aa

〃用nn[an\

•.•'=1+3（〃_1）=3〃_2,即—--,故选项B正确；

an3n-2

根据函数y=3x-2在[1,+S）上单调递增，且3x-2>0,则函数y=J二在[1,+8）上单调递减，

又因为。“=」式，”eN*,则数列｛%｝为单调递减数列，故选项C正确；

3〃一2

[:卜勺前〃项和T,=*；-1）=2m,故选项D正确，

故选：BCD.

2a—1

例题2.（2023•全国•高三专题练习）已知数列｛见｝满足4=2,=丁匕，则%=_____.

%十"

3

【答案】--1

n

【详解】设〃x）=U，令=x得：缶=x，解得：%=-1;

4+1-（-1）=："+：-（T）,化简得，a„+i+1=3m+：）,

an+44,+4

1

Rrrf1%+4UK（。〃+1）+31,1

-

+1，从而----7=?7=Z+7，

%+i。用+13（〃,+1）3an+\

痂」______匚=!

aa+1

口n+l+1n3，

又一所以是首项和公差均为二的等差数列，

%+13[an+1J3

从而=4（九一口米弓二^，故见二——I.

3

故答案为：1

n

例题3.（2023•全国,高三专题练习）已知数列的递推公式乙+1=在胃，且首项％=5,求数列｛凡｝的通项

4—1

公式.

【答案】4=33+2

3r1-2

【详解】令。用=。〃=%.先求出数列的不动点％=三3九一不4，解得玉=马=2.

x-1

将不动点为=%=2代入递推公式，得*-2=即一-2,

%一1

—21(4-2)+1

整理得为「2二」^

a“T%一2

1

—+1

a2

n+i~an—2

111

令b〃=，则2+1=4+1，4=

a〃一2a.-!3,

数列｛2｝是以;为首项，以1为公差的等差数歹!J.

2

・•・帆｝的通项公式为2=4+（〃-1”=n----

3

112

将4=一代入，得一力=n——

2an-23,

A.

%一8

例题4.（2023・全国•高三专题练习）已知6-〃+1，4=1,求〃〃的通项公式.

2

【答案】%=2+

1—3〃

【详解】由题意,

一一2=一%+2。〃一21-a+5-(«„-2)+3

%+「2=n

见一5%+1.2

1311113

所以T，则31｝而

〃+〃]_2%-2a4—222

n+i

1133

故一是以-:为首项，3为公比的等比数歹U.

%-22]22

1134-2-3"=2+二

于是---3n=

%—2222〃1—3"

例题5.（2023春•辽宁锦州•高二校考期中）已知数列｛4｝的首项4=g,区4%

n+\o]，〃£N*.

3。“+1

⑴设％=--1,求数列｛〃｝的通项公式;

an

【答案】⑴印nGN

也,^=1^0,

【详解】（1）因为4+1

3c1n+1

所以a,产0,

7111C

因为4=——1=7肛

q4

所以么=,Tw°（"eN*）,

an

所以也｝是伉=；,4的等比数列，

所以纥=/4dJ（”N）

a

例题6.（2023•全国•高三专题练习）若q>0,n+l=.（"=1,2,…）.

（1）求证：。什尸耳；

【答案】⑴证明见解析

2M2a

【详解】⑴证明：假设。因“eN*，%=，则—=册，解得

于是得4=0或6=1,与题设4>。且6片1矛盾,故假设不成立，所以见+产成立.

7.（2023•全国•高二专题练习）已知数列｛%｝的首项%=:且俩正“向一2%+「

⑴求证：数列［为等比数列：

【答案】（1）证明见解析

2凡12凡+1

【详解】⑴证明：由％2，可得=;==1+—,

2。"+1an+l2an2azi

—--2=---l=-［—-21x--2=-^0,

a

n+i2a,t2｛anJ62

故数列2］为等比数列.

三、数列求通项（构造法、倒数法）专项训练

一、单选题

1.（2023春•河南许昌•高二校考阶段练习）已知数列｛见｝满足。，用=2%+1吗=1,则｛q｝的通项公式（

-1-1

A.an=2"B.an=2"-1C.an=TD.an=2"-1

【答案】D

【详解】由“用=2%+1得a,+i+l=2(%+l),而q+1=2,

故｛““+1｝是首项为2,公比为2的等比数列，

所以4+1=2",即%=2”-1.

故选：D

二、填空题

2.（2023秋・陕西商洛•高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）已知数列｛4｝满足。用=3%+2,%+%22,

则满足%>160的最小正整数〃=.

【答案】5

a=32+2=5

【详解】由3,解得

a3+a2=22=17

又％=3q+2,所以％=1.

另一方面由«„+i=3%+2,可得an+1+1=3(%+1),

所以｛an+1｝是首项为4+1=2,公比为3的等比数列,

所以%=2x3-1-1,易知｛4｝是递增数列，

又々4=2x27—1=53,a5=2x81—1=161,

所以满足4>160的最小正整数77=5.

故答案为：5.

3.（2023・全国•高三对口高考）数列｛q｝中，为+1=京丁’％=2，则%=

2

【答案】历

【详解】由。角=号丁，弓=2,可得1产0，

1l+3a„11c

所以——=-----=一+3,即--------=3（定值）,

4+1anan”〃+1an

故数列,以为首项，d=3为公差的等差数歹U,

%2

11/

所以一=不+"-1)x3=3n-—,

4272

1192

所以£=万，所以％产历.

2

故答案为：—.

4.（2023春・江西南昌•高二南昌二中校考阶段练习）数列｛%｝中，％=1,a„=3a„_1+2（n>2）,则此数列

的通项公式.

【答案】2x3"--l

【详解】因为4,=3a,T+2（〃N2）,所以+1=3（q_]+1）,又q=l,

所以4+1=2,所以｛。“+1｝是以2为首项，3为公比的等比数列，

所以a“+l=2x3-,贝l]a.=2x3i-L

故答案为：2X3"T-1

5.（2023,全国•高二专题练习）数歹（!｛加｝满足4+1=5%+3x5"“，q=6,则数列｛劭｝的通项公式为.

9

【答案】

【详解…—x5"i，所以翳=]+3,即翳一尹3,

,华｝是等差数列，而

所以会=抵+35-1）=3〃1，

9

所以q=（3"g>5〃.

故答案为：3-5〃.

,、1n+1nf

6.（2023・全国•高二专题练习）设S〃为数列｛〃,｝的前几项和，已知4=不，=—+2,则〃〃=________

2凡H&

【答案】/

四=2+2=^±11n1

【详解】-------1—

aa22%〃2

n+ln2Un

令/(〃)=n

2X

则/■5+i)-i=：(/⑺-i),

.•・又〃1)T=；T=。，/(«)-1=0,

故答案为：—;

三、解答题

7.（2023秋•江苏•高二专题练习）已知数列｛%｝满足：q=2,q.=会■（“22）,求通项凡.

【详解】取倒数：—=—+2^-----=2,故是等差数列，首项为'=1，公差为2,

a

n%4«„-1[an\弓2

113

/.——=—+2（n—1）=2n——，

an22

2

••Q〃=.

An-3

8.（2023秋•江苏•高二专题练习）已知：％=1,”22时，%=；4一+2〃-1,求｛4｝的通项公式.

3

［答案］an=^-+4n-6

=a

[详角军]设4++3~[_n_i+A（〃—l）+3],所以。/=3%-1一54〃一5人一不5,

乙乙乙乙乙

f=2，

A=-4

7,解得:

B=6

［22

又^-4+6=3,｛%-4〃+6｝是以3为首项，|为公比的等比数列,

n-\3,/

““=西+4”-6

:an-4n+6=3

皿

9.（2023•全国•高三专题练习）已知数列｛4｝满足q=；,。“+1“eN*.若4=1，求数列｛《｝的

1+（。）’

通项公式.

【答案】氏=，心*

【详解】将4=1代入已知可得

因为q=g,所以a“片0,

-I〃+lI1I

所以有——二」-=一+l,所以一--=1

n+\an

又，=2,

ax

所以，数列4是以2为首项，1为公差的等差数列,

所以,—=2+（n-l）xl=n+l,

an

1*

所以，a=--,neN.

nn+1

n+1

10.（2023•全国•高二专题练习）已知数列｛七｝中，al=3,an+1=3a„+2x3,neN*,求数列｛%｝的通项公式;

【答案】4=（21）.3”.

【详解】解:由