甘肃省某中学2024-2025学年高二年级上册期中考试数学试题

甘肃省西北师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期

中考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1•直线3x+&y+5=0的倾斜角为（）

A.-B.-C.—D.—

6434

2.已知p（N）=0,5，P（8）=0.3，P（4B）=Q2,则尸（/UB）=（）

A.0.5B.0.6C.0.8D.1

3.过点（2,1）,且法向量为加=（2,3）的直线方程为（）

A.2x+3y-7=0B.2x+3y+l=0

C.3x-2y-8=0D.3x-2y-4=0

4.2020年1月，教有部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》

（简称“强基计划），明确从2020年起强基计划取代原高校自主招生方式，如果甲、乙、两

人通过强基计划的概率分别为'7，4那么甲、乙两人中恰有1人通过的概率为（）

105

A.—B.—C.—D.1

5025502

5.若直线4：%+4+6=0与6：（。-2）x+3y+2a=0平行，贝文与4间的距禺为（）

A.6B.8/

亍

试卷第11页，共33页

CgD8A/5

亍

6.《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每

个节气号长损益相同（号是按照日影测定时刻的仪器，号长即为所测影子的长度），夏至、

小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其号长依次成等差数列，

经记录测算，这九个节气的所有辱长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气密长之和为

10.5尺，则秋分的号长为（）

A.4.5尺B.5.5尺C.6.5尺D.7.5尺

7.已知等比数列满足：出+%+4+%=20,-%=8,则_£+，+L+」的值为

（）

A.20B.10C.5D.-

2

8.设直线4：x+3y-7=0与直线4：x-y+l=0的交点为P,则尸到直线/:x+ay+2-a=0

的距离最大值为

A.5B.4C.3aD.Tn

二、多选题

9.今年“国庆"假期期间，各大商业综合体、超市等纷纷抓住节日商机，积极开展各类促销

活动.在某超市购买80元以上商品的顾客可以参加一次抽奖活动，若顾客小王中奖的概率

为04,顾客小张中奖的概率为0.2,且两人能否中奖相互独立，则（）

A.小王和小张都中奖的概率为0.1

B.小王和小张都没有中奖的概率为0.48

C.小王和小张中只有一个人中奖的概率为0.44

D.小王和小张中至少有一个人中奖的概率为0.52

10.下列说法正确的是（）

A.5是直线x+y-3=0的一个方向向量；

试卷第21页，共33页

B.经过点0,1）且在x轴和〉轴上的截距都相等的直线方程为尤+>-2=0;

c.点（0,2）关于直线v=1+1的对称点为（1,1）；

D.已知两点/（2,3）,8（-2,_1），若直线/过点p（l,—2）且与线段48有公共点，则左的

取值范围是（一8,一；卜[5,+8）

11.已知数列｛“〃｝的刖〃项和为,且〃]=1，〃“+]+〃〃=2〃贝1（）

A"=18B为奇数

.y1“为偶数

2

C.数列｛4｝为等差数列D.”为奇数时，G_„+（«-1）

s--n+^r

三、填空题

12.已知等差数列｛%｝的前力项和为s,，公差d=-l，且p2乌多成等比数列，贝1品=——

13.已知直线（"I）x+VT=°和x+2如+1=°垂直,则工+工的最小值为一

ab

14.已知数列｛叫满足q=2,g=6,且4+2-2°向+%=2,若[x]表示不超过x的最大整

2

数（例如口-6]=1,[-1.6]=-2）,记=[（»+1）1则数列上｝的前2024项和为.

L4J

四、解答题

试卷第31页，共33页

15.VZ8C的三个顶点是/(4,0),5(6,7),40,3)，求:

(1)边4R上的中线所在直线的方程；

AD

(2)边NC上的垂直平分线所在直线的方程.

16.甲、乙、丙三人进行投球练习，每人投球一次.已知甲命中的概率是士，甲、丙都未命中的

概率是工，乙、丙都命中的概率是;，若每人是否命中互不影响.

124

(1)求乙、丙两人各自命中的概率；

(2)求甲、乙、丙三人中至少2人命中的概率.

17.设函数=数列｛""｝满足弓=1，且°向=〃％)，"eN*.

(1)求证：数列是等差数列;

⑵令2,=%♦%（心2）力=3,=4+%+…+2,若s,<”「2015对一切〃eN*成立，求

最小正整数加的值.

18.已知直线/：kx-y+l+2k=0.

(1)求/经过的定点坐标产；

(2)若直线/交x轴负半轴于点人，交y轴正半轴于点心

①V/Qg的面积为S，求S的最小值和此时直线/的方程；

试卷第41页，共33页

②当P/+二P8取最小值时，求直线的方程.

2

19.已知S"为数列｛叫的前〃项和，且s=四+1)，数列抄，前〃项和为北，且4=2,

"2

加=小2・

⑴求｛%｝和也｝的通项公式；

(2)设0=(_])"/,设数列｛qj的前〃项和为勺，求名;

(3)若数列WJ满足：d“=_L+—L,证明

:£4<2〃+1.

d+i"T台’

试卷第51页，共33页

参考答案:

题号12345678910

答案CBAABDDABCDACD

题号11

答案ABD

1.C

【分析】先把方程化为斜截式，得到直线的斜率，即可求解.

【详解】由3无+回+5=°得：后一生后，设其倾斜角为0,二右由兀），

3

所以斜率左=-百二tana,故倾斜角为°=如，

3

故选：C

2.B

【分析】依题意根据尸（山8）=p（4）+「（8）-尸（/8）计算可得；

【详解】解：因为尸（/）=0.5，P（5）=0,3>P（4B）=02

则尸（/8）/尸（/）尸（8），所以事件A与事件B不相互独立，

P（/tU5）=P（A）+P（B）-P（AB\=0.5+0.3-0.2=0.6•

故选：B

3.A

【分析】根据题干条件，先将点坐标（2」）代入直线方程可排除掉部分错误选项，剩下的选

项中再找出各条直线的一个方向向量，检验是否与题干玩垂直即可得出正确答案.

【详解】由题意得，因为直线过点Qi”

所以将（2/）代入各选项可得，

B,C选项直线不过（2J）,故排除B,C,

答案第11页，共22页

77

对于选项A,取直线上两点£(0,g),F(pO),

可得直线2"3»-7=0的一个方向向量为而Kg,—),

由于丽・汤=2xg+3x(—g)=0,所以打工而，

故而是直线2x+3y-7=0的法向量，故正确

对于选项D,取直线上两点"(°'一劣，N(g,O),

可得直线3、—2y-4=。的一个法向量为荻=《,2),

由于茄？•加=2x±+3x2=^w0,MN与曲不垂直，

33

所以应不是直线3%-2歹-4=0的法向量，故错误.

故选：A.

4.A

【分析】由题意，甲乙两人通过强基计划是相互独立的事件，可确定甲乙两人中恰有一人

通过的事件为甲通过乙不通过和甲不通过乙通过.

【详解】由题意，甲乙两人通过强基计划的事件是相互独立的，

那么甲乙两人中恰有一人通过的概率为尸勺+11-二卜±=2.

10I5j[10J550

故选：A.

5.B

【分析】由两直线平行的判定有3-a(a-2)=0且2/_i8w0求参数。，应用平行线距离公

答案第21页，共22页

式求/]与4间的距离・

【详解】•直线/]:工+即+6=0与4:(。-2)%+3^+2口=0平行，

)=0且2/-18片0,解得a=_i，4：_3x+3y-2=0,x7+g=0.

4‘2A_2_

・•・直线与间的距离/b-38板.

a=.=----------

#+(-1)23

故选：B.

6.D

【分析】设等差数列，公差为"，根据条件列出关于的方程组，求出也为可

得答案.

【详解】设夏至，小暑，大暑，立秋，处暑，白露，秋分，寒露，霜降其辱长分别为

,“2,。3,"4,^5，。6'^^7'"8，"9'且是等差数列，设其公差为＜/,

依题意有,"爱x9=(%+4d)x9=49.5,

%+%%=3%+6d=10.5

解=1则%=%+6d—1.5+6—7.5

[〃]—1.5

故选：D.

7.D

【分析】利用等比数列的性质可得：,"=%9=8,对工+工+工+工进行化简后求

01^^^6^^8

值即可.

【详解】在等比数列｛%｝中，由等比数列的性质可得：&•&=出・%=8・

答案第31页，共22页

所以1+1+1+1_&+。8+。4+。6_。2+。4+。6+。8_20_5

/%a6。8a2aSa4a6。2。882

故选：D

8.A

【分析】先求出尸的坐标，再求出直线/所过的定点0,则所求距离的最大值就是尸0的长

度.

【详解】由「+31=°可以得到卜=1,故尸。，2）,

=0[y=2

直线/的方程可整理为：x+2+a（y_l）=0,故直线/过定点（一2,1），

因为尸到直线/的距离[引尸@,当且仅当/JLP0时等号成立，

故＜x=JU+（2-丁=Vio,

故选A.

【点睛】一般地，若直线4：4X+4》+G=O和直线/2：4、+与）+。2=0相交，那么动直线

4^+517+C1+A（4x+52y+C2）=0（北火）必过定点（该定点为//的交点）・

9.BCD

【分析】利用随机事件概率以及相互独立事件的定义，根据对立事件概率的加法公式对选

项逐一计算可得结论.

【详解】记事件A：顾客小王中奖，事件1顾客小张中奖，则小王、小张未中奖可记为

AD

A,B<

易知尸(4)=0.4,尸(8)=0.2,Pp)=0.6,尸⑻=0.8.

答案第41页，共22页

由题意可知A与3相互独立，所以N与豆，A与方，5与N均相互独立；

所以小王和小张都中奖的概率为p（45）=尸（力）尸（5）=0.4x0.2=0.08，即A错误；

小王和小张都没有中奖的概率为尸（血）=尸（7）尸⑻=0-6X0.8=0.48,可得B正确；

小王和小张中只有一个人中奖的概率为尸（初）+尸（点）=0-6X0.2+0.4X0.8=0.44,即c正

确；

小王和小张中至少有一个人中奖的概率为1"（益）=1一°48=0.52,即D正确.

故选：BCD

10.ACD

【分析】A选项，根据直线的一个方向向量为0k）进行求解；B选项，分截距为。和不为

0两种情况进行求解；C选项，设出对称点，列出方程组，求出对称点坐标；D选项，画出

图形，求出心，=5,上网=-;，数形结合得到"＞原，或"〈心*D正确.

【详解】A选项，x+y-3=0的斜率为-1，

故直线x+y-3=0的一个方向向量为1=,A正确；

B选项，当直线的截距为。时，设直线方程为y=依，将0,1）代入得，k=l，

故此时直线方程为y=X，

当直线的截距不为。时，设直线方程为二+上=1,

aa

答案第51页，共22页

将点(U)代入得工+,=1,解得故直线方程为x+V-2=0

aa

综上，直线方程为y=x或x+y一2=0,B错误；

c选项，设点fo,2®关于直线y=x+i的对称点坐标为(","),

n-2_im=n=\(1,1)

则,解得，故对称点为，C正确；

〃+2my

D选项，画出图形如下:

-1-(-2)=1

则kpA=5,kpB

2-1-2-13

直线/过点p(i,_2)且与线段45有公共点，则左＞%或左＜%，

则”的取值范围是1

—OO.----u---[5,+oo),D正确.

3

故选：ACD

11.ABD

【分析】利用并项求和法可判断AD选项；利用等差数列的定义可判断BC选项.

答案第61页，共22页

【详解】对于A选项,$6=（%+%）+3+。4）+（。5+%）=2*（1+3+5）=18,A对;

对于B选项，因为％+。2=2,则出=2-%=1，

对任意的〃eN*，由a„+1+a„=2〃可得a“+2+。“+]=2（〃+1），

上述两个等式作差可得a.-q=2，

所以，数列｛%｝中的奇数项成以1为首项，公差为2的等差数列，

数列｛《,｝中的偶数项成以1为首项，公差为2的等差数列，

当"为奇数时，设"=2"l（A:eN*），贝1J。，=%T=%+2（笈-1）=2k-1="，

当"为偶数时,设〃=2后化eN*），则%=出+2（"1）=2左-1=〃-1,

综上所述，a=»，”为奇数，B对；

为偶数

对于c选项，%_%=1片%_%，故数列｛%｝不是等差数列，C错；

对于D选项，当”为奇数时，设"=2左贝心="1,

2

则S"=$2%一/《=（4+?）+（%+&）+…+（°2*T+a2k）~a2k

=2[1+3+---+（2^-1）]-（2^-1）=-（2^-1）=2/c2-2^+1

=2x[等1-（〃+1）+1=：+3"+?’口对-

故选：ABD.

12.0

【分析】利用等比数列性质求得"，然后由等差数列前〃项公式计算.

U1

答案第71页，共22页

【详解】因为公差d=-l，且％,成等比数列，

所以端=〃2。5，即(4-3)2=(%-1)(%-4)，解得〃1=5，

所以品=11%+上口=11义5+上2(-1)=0.

11122

故答案为：0

13.8.

【分析】根据两直线垂直的关系可得到关于0和6的关系式，再根据关系式结合基本不等

一

式求出42+上1的最小值即可.

ab

【详解】由题意得，因为直线(Q-l)x+y—1=0和x+2勿+1=0垂直,

贝“Q—l)xl+lx2b=0,即a+2b=l,

匚匚I、1212(a+2b)a+264ba.

所以一+—=八------+-----=—+-+4，

ababab

可在。>0,6>0匚匚I、J4b八。八

因为，所以一>0,—>0,

ab

所以根据基本不等式，竺+@22也2=4，

abNab

e、1214ba八”.0

JTT以—I—=----1F424+4=8，

abab

所以2的最小值为8,当且仅当竺=3=4=26=L时等号成立，

abab2

故答案为8.

14.2025

答案第81页，共22页

【分析】由条件构造等差数列结合累加法求巴，再利用“=[(〃+1)1及3的定

义计算即可.

【详解】因为八-2%+a“=2，所以(八_%)_(*_*=2，

因为a1=2,2=6，所以%-。1=4，

所以数列｛%+「〃”｝是以首项为4,公差为2的等差数列，

故a〃+[_Q〃=4+(〃_1)2=2〃+2，

由累加法可知当〃之2时，

/\/\/\(〃一1)(4+2〃)/\

(%—Q〃-1)+(%-1—Q〃-2)+…+(2-。1)=--------2---------=+，

所以+1),n>29又Q]=2也符合该式，所以%=〃(〃+

所以(“+Y=("+[2=四=1+),

an+nn

又时，

b,1=L1+—i_=29

又7栏2时，2<1+1<2,此时6=卜+4]=1，

2n"L«.

所以也｝的前2024项和为4+仿+…+狐么=2+1+1+…+1=2+1x2023=2025-

故答案为：2025.

【点睛】关键点点睛：构造数列｛a.”-%｝并求通项公式，再由累加法求凡的通项公式，结

合函数新定义求目标式的值.

15.⑴x-10y+30=0

答案第91页，共22页

(2)8x-6y-7=0

【分析】（1）根据中点坐标公式求出点48的中点坐标，从而可得边N8上的中线所在直

线的斜率，然后根据点斜式即可写出直线方程；

（2）求出点4c的中点坐标，求出直线的斜率可得其垂直平分线的斜率，然后根据点

斜式即可写出直线方程.

【详解】（1）点，（4，°）］（6,7）的中点。卜，3，

直线CD的斜率为./=1,

5-010

所以边48上的中线CD所在直线的方程为尸3=5x,

即无一10^+30=0;

（2）点/A。），C（。，3）的中点坐标为《2,2，

直线AC的斜率为无忙=W=_］，

“C0-44

则边/C上的垂直平分线的斜率为4=二=3,

心c3

ACQ4

所以边上的垂直平分线所在直线的方程为

即8x-6y-7=0-

答案第101页，共22页

23

16.⑴乙、丙两人各自命中的概率分别不。

JO

21

(2)记

【分析】(1)设乙、丙两人各自命中的概率分别为由题意得到方程组，求出

23

Pi=~^Pi=~；

JO

(2)求出甲、乙、丙三人均命中的概率和2人命中的概率，相加得到答案.

【详解】(1)设乙、丙两人各自命中的概率分别为外儿，

故=P1P2=p解得Pi=:，P2="|，

V4y124Jo

23

故乙、丙两人各自命中的概率分别

JO

a，aa

(2)甲、乙、丙三人均命中的概率为=

43816

甲、乙、丙三人中2人命中的概率为

32313515

1-3」金，1--1---1--=—

438438431816321632

答案第111页，共22页

故甲、乙、丙三人中至少2人命中的概率为33+二15=幺.

163232

17.(1)证明见解析；

(2)2024.

【分析】(1)通过两边取倒数进行变形构造，再利用定义法证明；

(2)利用裂项相消法求和，再利用函数方法研究最值来处理恒成立问题.

【详解】(1)结合题意可知%包=/(.“)=用」,〃eN*,

2Q”+3

两边取倒数可得：—=^^=-+—,neN\即,一'=2,”eN*.

%+i3a,3anan+xan3

是以首项工Hl,公差为I的等差数列.

所以数列

ax

19

(2)由上问可知数列是以首项,回，公差为巳的等差数列,

q3

所以'+—22〃+13

X—=所以％

332«+1

3x3_9(11

所以b=a]，(北2〉

+2n-\~l\2n-\2〃+l

又4=3,也满足上式，所以b------L

〃2(2〃-12〃+1

由Sn="1+”Z+…n+b可得：

一J---1------1---1------

213352n—3△+上-七］=>上

所以格|,因为S“<3空对一切〃'N成立,

答案第121页，共22页

而z%-2015、9„，m>2024

所以------->一，解得s

22

最小正整数加的值为2024.

18.(1)(2)①S的最小值为4,x—2j+4=0;®x—y+3=0-

【分析】(1)整理已知方程，使得上的系数等于°即可求解；

(2)①求出点人，B的坐标，利用左表示V/08的面积为S，利用基本不等式求最值，由

等号成立的条件可得左的值，进而可得直线/的方程；②设直线’的倾斜角为a，则

0<a<-,可得R4=—抬=二一,再利用三角函数的性质计算PA+-PB=

2sinacosa2

iia

的最小值，以及此时的值，进而可得的值以及直线的方程.

sinacosa

【详解】(1)由丘一y+1+2k=0可得：Mx+2)+l-y=0，

由卜+2=0可得「=-2,所以/经过的定点坐标尸(-2,1)；

1|_y=0[y=\

(2)直线/：kx-y+\+2k=0,

令x=°可得昨1+2%；令片°,可得.土竺，

k

所以«—可，8(。，1+2左)

答案第131页，共22页

-l-2kk>0

由<<°可得:

l+2k>0

①V"°8的面积s=1土生

（1+2左）=；.[4+l+4yt

2k（k

1

>--4+2j--4yt•（4+2x2）=4,

2k

当且仅当工=4左即4=1时等号成立，$的最小值为彳,

k2

此时直线’的方程为：-X,八日口X_2'+4=0

—>+2=0即

2

/a

②设直线”的倾斜角为，则0<a<&,可得P/=—,PB=—

2sinacosa

1sina+cosa

所以尸/=

2smacosasmacosa

71

令，=sina+cosa=JJsin6Z+—

<sin

因为°<Y，可得浮+丁丁ftZ+~<1'

Z=A/2sin

将才=sina+cosa两边平方可得：》=（sin«+COSCZ）2=1+2sinacosa'

所以sinacosa=-----

2

答案第141页，共22页

…1ccsina+cosatIt2

PA4——PR=----------------=-------=-------=------

所以2sinacosat2-l产—1,1,

2t

因为y=”;在（1，3]上单调递增，所以

y=所以;此