福建省莆田某中学2024-2025学年高一年级上册期中考试数学试题

福建省莆田华侨中学2024-2025学年高一上学期期中考试数

学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

L已知集合/={1,3,5},2=无<3},/-

A.{1,2,3,5}B.{1,2,3}

2.下列各组函数是同一个函数的是()

A.仆)々与名心

X+1

C/(x)=G与g(x)=(«)2

3.己知">1,则a+±的最小值是(

a-\

A.5B.6

4.已知a/eR,"/=/”是“/+〃=2M”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

5.已知函数“X)是R上的减函数，N(Tl)，5(3,-1)是其图象上的两点，那么

|f(x-l)|>l的解集是()

A，(-oo,0)u(4,+oojB.(-oo,0)U(2,+oo)

C・(0,4)D.(-oo,0)

试卷第11页，共33页

6.若函数=—的部分图象如图所示，则〃5)=(

ax+bx+c

2m-3

7.已知函数〃x)=x+在R上单调递增，则实数心的取值范围为()

(4+m)x-9,x<1

A-[-3,2)B-[-3,2]C-(-3,2)D-[-2,3]

8.己知定义在(0,+8)上的函数y(x)满足：Vxjx2E(0,+oo)>当玉片工2时,有

曳到二乜⑷>0,则称函数〃x)为“理想函数”.根据此定义，下列函数为“理想函

再-x2

数”的是()

A.〃切=-1B./(x)=^C./(x)=x-lD./(x)=T

二、多选题

9.己知0<6<0,则下列结论正确的是()

A1>1BHc。。之〉be?口ab〉b

ab

io.函数/3=/_(4〃_1口+2在卜1,2]上不单调，则实数a的取值可能是()

试卷第21页，共33页

A.-1B.0

C.1D.2

11.已知定乂域为R的函数/(x)对任息实数'J都有/(%+))+/(x-y)=2/(x)/(y)，

且/(m=oj(o)wo,则()

A-/(O)=1B-/(-x)=/(x)

C-/(l-x)+/(x)=OD-/(x+l)=/(x)

三、填空题

12.设集合/={0,旭,加2_5m+4}，且4e/,则实数机的值为——•

13.已知则〃/(2))=一.

14.我们知道，函数了=/@)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数

y=〃x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=〃x)的图象关于点尸(。⑸成中

心对称图形的充要条件是函数y=〃x+a)-6为奇函数.那么，函数/卜)=3-3__》图

象的对称中心是___

四、解答题

15.设命题p：加2_3加+240;命题q：Vxe[-1,1],无2-x+1-加>0，

(1)若p为真命题，求实数小的取值范围；

(2)若命题“g有且只有一个为真，求实数机的取值范围.

试卷第31页，共33页

16.已知函数--2(a-l)x+4,

(I)若/(x)为偶函数，求"X)在［-1,2］上的值域；

(II)若/(x)在区间(-8,2］上是减函数，求/(x)在［1,a］上的最大值.

17.某公司携高端智能产品亮相展会，宣布将大举进军贵阳市场.该产品年固定研发成本为

50万，每台产品生产成本为60元，展现了公司对技术创新的坚定投入与市场拓展的雄心

壮志.贵阳市场将成为其展示智能科技魅力、引领生活新风尚的重要舞台.设该公司一年内生

产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入为G(X)万元，

240-3x,0<x<20

x)=L30006000c/xeN*

750+--------------------,x>20^

x+1xyx+l)

(1)求年利润S(万元)关于年产量X(万台)的函数解析式；(利润=销售收入一成本)

(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润.

18.已知函数/(x)是定义在(-4,4)上的奇函数，满足当-4<x40时，有

“、

〃町=-a-x+-b

''x+4

⑴求实数°房的值；

(2)求函数在区间(0,4)上的解析式，并利用定义证明其在该区间上的单调性；

⑶解关于加的不等式+

19.对于定义域为/的函数“X)，如果存在区间,，〃仁/，使得〃x)在区间［%,〃］上是单

调函数.且函数

vH/Sx®xe［九司的值域是则称区间是函数/(x)的一

试卷第41页，共33页

个“优美区间”.

(1)求证：®0,l®是函数/卜)=尤2的一个“优美区间”；

⑵如果函数〃x)=x』在［0,+8)上存在“优美区间”，求实数a的取值范围；

、n-m

⑶如果［九"］是函数=9少二("0)的一个“优美区间”，求的最大值・

试卷第51页，共33页

参考答案:

题号12345678910

答案DAABAABDABDBC

题号11

答案ABC

1.D

【分析】应用交集运算即可.

【详解】N={l,3,5},8={x|x<3},/cB={lb

故选：D

2.A

【分析】根据定义域与对应关系判定同一函数即可.

【详解】对于A,易知两函数定义域均为R,且,⑴产+xxg+l）：工

故A正确；

对于B，/（》）=罚.目的定义域为[1,+8），

而g（x）=L7的定义域为（-oo,T]U[l,+oo），两函数定义域不同，故B错误；

对于G”好=后的定义域为口，g（x）=（«y的定义域为[0,+⑹，

两函数定义域不同，故C错误；

对于D,易知两函数定义域均为R,但/（无）=J（x+10）2=|x+l0|wg（x）,

故D错误.

故选：A

3.A

【分析】由于">1,所以"1>°,则。+/一=（。-1）+/一+1,然后利用基本不等式可

a—\a-\

求出其最小值

答案第11页，共22页

【详解】由于八］，所以”1>0

所以a+—^―=a-\+—^―+1>2-4+1=5?

Q-16Z—1'((7—1)

当且仅当°-1=工，即0=3时取等号.

a—1

故选：A.

4.B

【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.

【详解】由/=〃，则°=±6，当°=一6/0时/+/=2仍不成立，充分性不成立;

由°2+62=2仍，则("方=0，即。=b,显然/=/成立，必要性成立；

所以/=/是/+/=2ab的必要不充分条件•

故选：B

5.A

【分析】利用单调性去掉函数符号即可求解.

【详解】解：S|/(X-1)|>1)得或〃x-l)<-l，

因为函数/(X)是R上的减函数，〃T)=1，〃3)=-1，

所以有x-l>3,

所以x<0或x>4,

故选：A.

6.A

【分析】根据函数图象，利用待定系数法求出函数解析式，即可得解.

【详解】由图象知，办2+加+0=0的两根为2,4,且过点(3,1),

答案第21页，共22页

a=—2,b=12,c=—16

9a+3b+c

所以2x4=-，解得

a

2+4=--

a

所以=

1

所以7(5)=

-25+30-83

故选：A

7.B

【分析】根据对勾函数的性质以及反比例函数的性质，即可由分类讨论，结合分段函数的

单调性求解.

2m-3R

【详解】因为函数/(x)=X+,在上单调递增,

(4+w)x-9,x<1

加一

当23<o时，由于y=x和>=也9m上_a均在yx-j>-ii单调递增函数,

故y(x)=x+四二2在无上单调递增,

X

加一加一

1+2324+9—3<m,<3—

所以4+加>0，解得2,

2加一3<0

当2"-3>0时，根据对勾函数的性质可知，若/⑴在％al上单调递增，

3

J2加-3<1—<m<2

2

则《2加一3>0,解得

1+2/W-3>4+m-9

答案第31页，共22页

⑴

2m-3=0m=—3fx,x>l/R

当时，2,此时〃x)=11,显然满足在上单调递增,

—x—9,x<1

12

综上，-3〈乐2-

故选：B

8.D

【分析】利用定义判断和证明函数/(x)是否为“理想函数”.

【详解】对于选项A：若〃x)=-l时，对VX1，%€(0,+8)，当x产X2时，

则网/⑷一3⑷=一匹+%=_1<0,

所以〃x)=T不为“理想函数”，故A错误;

对于选项B：若=：时，对V*,/€(0,+0，当x尸％时,

11

则西/(不)一/」(无2)

———<0，

x{x2

所以〃X)=J不是“理想函数”，故B错误;

对于选项C：〃x)=l时，例如再=：,z=；，

---------------------------------------二----------------------------------------------=U

所以/(x)=x_l不为“理想函数”，故c错误;

答案第41页，共22页

对于选项D：若/(x)=x-工时，对"占，/€(0,+8),当无产无2时,

所以/(x)=x-：为“理想函数”，故D正确；

故选：D.

【点睛】思路点睛：定义型函数，是指给出阅读材料，设计一个陌生的数学情景，定义一

个新函数，并给出新函数所满足的条件或具备的性质；或者给出已知函数，再定义一个新

概念.解答这类问题的关键在于阅读理解时，要准确把握新定义、新信息，并把它纳入已有

的知识体系之中，用原来的知识和方法来解决新情景下的问题。

9.ABD

【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项判断作答.

【详解】由"得濡—<A<0,则工>!，A正确；

ababab

由a<6<0,得-a>-6>0，贝！I(_0)2>(_32,即/>/,B正确；

当，一0时，2八°，则C错误；

由得ab>b「D正确.

故选：ABD

10.BC

【分析】由条件结合二次函数的性质列不等式确定。的范围即可.

【详解】因为函数/3=/_(4”1口+2在［-1,2］上不单调,

所以一1<生二<2,

2

所以-2<4a-l<4'

答案第51页，共22页

所以,

44

故选：BC.

11.ABC

【分析】对于A,在表达式中令x=y=O结合已知即可验证；对于B,在表达式中令x=0

结合A选项分析即可验证；对于C,在表达式中令x结合已知即可验证；对于D,结合

2

B、C选项的分析即可验证.

【详解】对于A,在〃x+y)+/(x_y)=2/(x)/(y)中令x=y=0,可得

2/（0）=2[/（0）]2,

又/(0)w0，所以/(o)=l，故A选项正确;

对于B在〃x+y)+/(x-y)=2/(x)/(y)中令x=0，可得“力+”-力=2/(0)/(y)，

又由A选项分析可知/(0)=1,所以+/(_力=2/(力，

所以/(_、)=/(#,由实数MV具有任意性，所以=故B选项正确；

对于C,在小+。+小7)=2/("(力中令结合/出=0，

故可得叫+J+/O2dmy'3=0,所以”,加/3叫

由于实数X/具有任意性，所以/0_x)+/(x)=O，故C选项正确；

对于D,由C选项分析可知/(x+l)+/(-x)=0,而由B选项分析可知〃r)=/(x)，

答案第61页，共22页

所以/(x+l)=-/(x)，故D选项错误.

故选：ABC.

12.5

［分析］根据元素与集合的关系，建立关于机的方程，解方程及验证得解.

【详解】集合z={0,私加2—5加+4}，且4cZ，

(i)当加=4时，机2_5m+4=0，Z={0,4,0}，违反集合元素的互异性，

(ii)当旭2_5机+4=4时，解得加=。或加=5，

①当机=0时，/={0,0,4}不满足集合元素的互异性，舍去，

②当机=5时，/={0,5,4}，满足题意，则实数m的值为5.

故答案为：5.

⑶100

［分析］使用换元法求函数“X)的解析式，然后代值计算即可.

2

【详解】由题意，y(x-l)=x-

令r=x-l,贝I/«)=«+Ip，

所以函数解析式为y(x)=(x+i)2，

所以/(2)=32=9，

则/(/(2))=/(9)=102=100-

故答案为：］00.

14.(1,一3)

答案第71页，共22页

【分析】计算出/(%+〃)_/)+/(-工+〃)-6=(6。-6)X2+2/-6。2-2〃-26，倚到

16a-6=0,求出卜=1,得到对称中心.

[2/_6Q2_2Q—2b=0[b=-3

【详解】/(x+Q)—b+/(f+Q)_b

=(%+〃)—3(x+i)—(x+tz)+(—x+a)—3(—x+a)—x+a)—26

=x3+^ax1+3/%+。3―3工2一6办一3/-x-a-x3+3tzx2-3a2x+a3

—3、2+6QX—3，+x—a—2b

—(6a-6)+24—6a2-2a-2b'

要想函数y=〃尤+a)-6为奇函数,只需(6a-6*+2/一6a2-2"26=0恒成立，

即[6"6=0,解得]a=l,

[2a3-6a2-2a-2ft=0历=-3

故/(X)=X、3X2T图象的对称中心为(1,-3)

故答案为：(1,_3)

15.(1).."

e3.l<m<2

(2)加〈一或

4

【分析】(1)解不等式求解即可；

(2)利用恒成立问题求得命题g为真时机的取值范围，结合(1)中结论即可得解.

【详解】(1)P为真命题，则由机2一3相+2W0可得：(加-1)(*2)40,

所以14加42，

答案第81页，共22页

所以若「为真，则实数机的取值范围为：i<加〈2

（2）由（1）知若°为真，贝L&机42,则若p为假，则加<1或加>2,

若小€卜1,1],使得不等式*7+1-机>。成立，只需卜一+17叽—0,

I2J4

当•时1，取得最小值，最小值是3士-冽，

24

x2-x+l-m)=--m,所以3—加〉0,即加<3；

/min444

所以若q为真，则加<士4，所以4为假时冽2=3

44

若p,0有且只有一个为真，则夕，g一真一假.

qPfl<m<2l<m<2

若为假命题，为真命题，贝U3，所以

m>—

I4

P0]加｛1或加>2m<-

若为假命题，为真命题，所以3，所以4；

m<—

[4

4aL3_p.l<m<2

综上，冽〈一或

4

16.(I)[4,8];(II)7-26/.

【分析】（1）根据/（%）为偶函数，可解得。的值，根据二次函数图像与性质，即可得结

果;

答案第91页，共22页

(2)由y(x)在区间(-co,2］上是减函数，可得对称轴x=a-122，即可得。的范围，根据

/(X)的单调性，比较/⑴,/(a)的大小，即可得结果.

【详解】(I)因为函数“X)为偶函数，

2

所以/(-x)=/(x)，解得a=l,Wy(x)=X+4>

因为/(x)在［Q+oo)上单调递增，

所以当-1VXV2时，4<f(x)<8,

故值域为：［4,8〉

(II)若/(x)在区间(-oo,2］上是减函数，则函数对称轴x=a-122，解得心3，

因为所以xe［l,a—1］时,函数/(x)递减,

当xw［a-l,a］时，函数/(x)递增，

故当xe［l,a］时，/«ax={/(1),/(«)}，

又/(l)=7-2a,/(4)=—/+2Q+4，

/⑴-/⑷=(7-2Q)-(-Q2+2Q+4)=Q2_4〃+3=(Q_2)2_1

由于。23，所以/(D-/(«)>0,.-./(1)>f(a),

故/(x)在［1,团上的最大值为7-2a.

【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用、二次函数求值域问题，难点为需讨论“X)的单调

性，并利用作差法比较大小，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.

答案第101页，共22页

-312+180x-50,0<x«20

17・⑴s=（3000（x-2）（xwN*）

、x+l

（2）当年产量为29万台时，该公司获得最大利润2360万元

【分析】⑴由$=立?（力-（60%+50）可得结果;

（2）分别求出分段函数每一段的最大值即可求解.

2

【详解】（1）当0<xW20时,S=XG（%）-（60x+50）=-3x+180x-50；

上x>20g，、/、3000（x-2）

当时,s=xG（x）—（60x+50）=-10xH----------j--------50'

-3x2+180x-50,0<x<20

所以函数解析式为S=.

3000（x-2）XGN-

-10x+-------------^-50,x>20

x+1

（2）当0<x420时，因为5=-3/+180尤-50=-3（》-30y+2650'

又因为在（0,20］上s随x的增大而增大，

所以当x口20时，s取最大值，Sm”=$（20）=2350；

也X>20H3000（X-2）9000/、9000,

当时，=-10x+------——^-50=-10x----------+2950=-10（x+l）---------+2960

5V7

I1VI1-vI1

<-2栏岑.10（x+l）+2960=2360-

当且仅当10（x+l）=/^,即'=29时等号成立,

因为2360>2350，所以x=29时，$的最大值为2360万元.

所以当年产量为29万台时，该公司获得最大利润2360万元.

答案第111页，共22页

18.(1)(2=1,6=0

―,且在（°，4）上单调递增，证明见解

-x+4

析;

⑶卜卜G<m<-

【分析】（1）根据条件可得/（o）=oJ（-2）=T，解不等式组即可；

（2）将a,b的值代入/（X）中，利用定义证明/（X）的单调性即可；

（3）根据/（%）的单调性和/（2）=1，可得4＞加2+1〉_2，解不等式即可.

【详解】（1）由题可知，函数/（%）是定义在（-4,4）上的奇函数，且〃2）=1,

-2a-\-ba=1,6=0

/（-2）==-1

则2,解得，

/（0）=1=0

经检验a=1,6=0符合题意.

（2）由（1）可知当xe（-4,0）时，〃x）=上，

x+4

止工£(0,4)

当,一时，一xe(-4,0)/(x)=-/(-^)=--XX

-x+4-x+4

任取西,％2£（0,4，且占＜12,

4（再一々）

/(^1)-/(^2)=

一石+4—X?+4(—X]+4)(—%2+4)

vxr,x26(0,4，且X]</，则-X]+4>0,-尤2+4>0,-x2<0

答案第121页，共22页

于是<°,所以〃幻=」^在xe(0,4上单调递增.

-x+4

(3)由函数“X)是定义在(-4,4)上的奇函数，且“X)在xe(0,4)上单调递增，

则/(x)在xe(-4,4)上单调递增,

所以/(加2+1)+1>0，则/(〃/+])>_「

则由/(/+1)>一1=〃一2)可得：1/+1>-2,

[-4<m2+l<4

解得：一行<加<行，

•••不等式的解集为卜卜省〈机<-G}.

19.(1)证明见解析

⑵IT

⑶独

3

【分析】(1)根据“优美区间”的定义证明即可.

(2)问题转化为：方程/+.=、在[(),+00)有两个不同的解，再求。的取值范围.

(3