等比数列及其前n项和（9题型分类）-2025年高考数学专项复习（原卷版）

专题28等比数列及其前n项和9题型分类

彩题如工总

题型1:等比数列基本量的运算

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1.等比数列有关的概念

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比

数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(#0)表示.

⑵等比中项：如果在a与。中间插入一个数G,使a,G,方成等比数列，那么G叫做。与b的等比中项,

此时，G2=ab.

2.等比数列的通项公式及前n项和公式

(1)若等比数列｛金｝的首项为0，公比是必则其通项公式为a.=aiq"-i.

nm

(2)等比数列通项公式的推广：an=amq-.

(3)等比数列的前〃项和公式：当q=l时，Sn=nau当夕力时，$〃=笔/=竿箸.

3.等比数列性质

(1)若机+〃=p+q,则。加其中机，n,p,q£N*.特另U地，若2w=m+〃，则胡斯=忌，其中机，n,

w£N*.

(2)以，四+叱四+2加，…仍是等比数歹！J，公比为小(左，

(3)若数列｛斯｝,｛儿｝是两个项数相同的等比数列，则数列｛斯右｝,与｝和｛瑞｝也是等比数列(b,p,疗0).

(4)等比数列｛&｝的前〃项和为&,则&,Sln-Sn，S3"一仍成等比数列，其公比为刃(〃为偶数且"=一1

除外)

fai>0,|ai<0,

（5）若，或八，则等比数列｛斯｝递增.

1^>1

[ai>0,[ai<0,

若八，或，则等比数列｛斯｝递减.

【常用结论

1.等比数列｛斯｝的通项公式可以写成斯=cq",这里厚0,甘0.

2.等比数列｛斯｝的前〃项和S”可以写成S“=Aq"—A（A/），^1,0）.

3.数列｛斯｝是等比数列，S,是其前〃项和.

⑴若°1刈2・…◎=〃，则〃，景,骁，…成等比数列.

（2）若数列｛斯｝的项数为2〃，则蓑=4；若项数为2w+l,则受a=4,或这£=%

彩”秘籍

（―）

等比数列基本量的运算

等比数列基本量的运算的解题策略

（1）等比数列中有五个量的，n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”，通过列方程（组）可迎刃而解.

（2）解方程组时常常利用“作商”消元法.

（3）运用等比数列的前"项和公式时，一定要讨论公比q=l的情形，否则会漏解或增解.

题型1：等比数列基本量的运算

1-1.（2024高二下.全国・课后作业）在等比数列｛4｝中，若g=4,a5=-32,则公比q应为（）

A.±-B.+2C.gD.-2

22

1-2.（2024高三下•北京•阶段练习）在等比数列｛%｝中，4=3,+a2+a3=9,则%+为+&等于（）

A.9B.72C.9或70D.9或一72

1-3.（2024高二下•湖北•阶段练习）已知递增的等比数列｛%｝中，前3项的和为7,前3项的积为8,则为的

值为（）

A.2B.4C.6D.8

1-4.（2024高三•全国•对口高考）已知数列｛。,｝是等比数列，%+的=2,%+g=128,则该数列的九以及为

依次为（）

222

A.682,-B.-682,-2C.682,§或一2D.-682,耳或—2

1-5.(2024高三•全国・专题练习)已知等比数列｛%｝中，4=1,S"为｛%｝前〃项和，$5=553-4,贝”4=()

A.7B.9C.15D.30

彩傩甄祕籍

（二）

等比数列的判定与证明

等比数列的三种常用判定方法

（1）定义法：若吧=q（q为非零常数，”GN*）或2-=q（q为非零常数且MEN*）,则｛如｝是等比数列.

斯Cln—l

（2）等比中项法：若数列｛诙｝中，且星+i=a“s+2（wGN*）,则｛斯｝是等比数列.

（3）前〃项和公式法:若数列｛斯｝的前〃项和S“=kq〃一4上为常数且原0,疗0,1）,则｛&｝是等比数列.

题型2:等比数列的判定与证明

2-1.（2024高三.全国.专题练习）甲、乙两个容器中分别盛有浓度为10%,20%的某种溶液500ml,同时从

甲、乙两个容器中取出100ml溶液，将其倒入对方的容器并搅匀，这称为一次调和.记4=10%,4=20%,

经5-1）次调和后，甲、乙两个容器的溶液浓度分别为。“，bn.

⑴试用八,2T表示bn.

（2）证明：数歹支q-2｝是等比数列，并求出册，”的通项.

22（2024高三•全国・专题练习）已知数列｛风｝满足4S,-2a“=2","eN*,其中S,为｛%｝的前w项和.证

明：

⑴松-2是等比数列.

1111

----------1-----------1-----------F…4--------------------<1

6q-36出+36a3—36a〃+3x（-1）〃

2-3.（2024•广东东莞•三模）已知数列｛4｝和也｝,%=2,=1,%=2b“.

“nan

⑴求证数列是等比数列；

（2）求数列的前”项和人

彩他题秘籍（二）

等比数列项的性质

（1）等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前〃项和公式的变形,

根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.

（2）巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要.

题型3:等比数列项的性质

3-1.（2024.江西.二模）在正项等比数列｛%｝中，的与网是方程f-30x+10=0的两个根，贝！）

1g4+1gH---F1g%o=.

32（2024高三下•四川成都•阶段练习）若数列｛%｝是等比数列，且每3B=8,则的“=.

3-3.（2024•河南新乡.二模）己知等比数列｛%｝的首项为1,且4+%=2（%+%），则1.

等比数列前〃项和的性质

（1）等比数列｛%｝中，所有奇数项之和S奇与所有偶数项之和“具有的性质，设公比为4.

①若共有2w项，则渭=4；②若共有2〃+1项，/~L=q.

（2）等比数列｛《｝中，Sk表示它的前七项和.当qw-l时，有&,S2「Sk,%—%,…也成等比数列，公比为

qk-

题型4:等比数列前n项和的性质

4-1.（2024•河北沧州•模拟预测）已知等比数列｛叫的前〃项和为S,，若色=2,$6=6,则S?4=.

4-2.（2024高三•全国・对口高考）已知数列｛4｝为等比数列，S,为其前〃项和.若$3。=13%,S10+S30=140,

则邑。的值为.

4-3.（2024高三・全国•课后作业）已知凡是正项等比数列｛%｝的前"项和，%=20,则$3。-2s2。+%的最

小值为•

1010

4-4.（2024•江苏南京•一模）设正项等比数列｛%｝的前几项和为S“，＞2530-（2+l）S20+510=0,则公比

q=.

彩做题秘籍一

（五）

由S”求数列的通项凡

已知S“求凡是一种非常常见的题型，这些题都是由凡与前”项和S”的关系来求数列｛%｝的通项公式，可由

（xS,（jl=1）

数列4的通项。“与前”项和S”的关系是4=｛二c,、小，注意：当〃=1时，%若适合S“-S,T，贝卜7=1

的情况可并入“22时的通项当”=1时，％若不适合S“-S,i，则用分段函数的形式表示.

题型5:由3求数列的通项区,

5-1.（2024高三•全国•对口高考）已知等比数列｛风｝的前w项和为S“=3"T-C,贝|C=.

5-2.（2024・广西玉林•三模）记数列｛4｝的前"项和为S",已知向量比=（%+”S“），为=（1,2）,若q=2,且

m//n,则｛4｝通项为.

5-3.（2024・全国•模拟预测）已知数列｛4｝的前〃项和为S,且满足S“+a“=-2,则数列｛4｝的通项

遂傅题秘籍」

（A）

奇偶项求和问题的讨论

求解等比数列的前〃项和S〃，要准确地记住求和公式，并合理选取公式，尤其是要注意其项数"的值；对于

奇偶项通项不统一问题要注意分类讨论.主要是从"为奇数、偶数进行分类.

题型6:奇偶项求和问题的讨论

为偶数

6-1.(2024高三•全国•对口高考)设数列｛%｝的首项％=。，且。同=

1'

H—，〃为奇数

14

记2=%〃-1一；,"=1,2,3….

(1)求出,"3；

(2)判断数列色,｝是否为等比数列，并证明你的结论；

(3)求々+d+L+bn.

2册,及是偶数,

6-2.(2024・湖南长沙•模拟预测)已知数列｛氏｝满足q=3,且％

an-1,〃是奇数.

⑴设2=%+%T，求数列也｝的通项公式;

(2)设数列｛%｝的前n项和为S,,求使得不等式sn>2023成立的n的最小值.

L4〃，九为奇数，

2

6-3.(2024.河北.模拟预测)已知数列｛4｝满足％=2,an+l=-

an+工,〃为偶数

12

⑴记bn=*一*，证明:数列也｝为等比数列;

(2)记%=%.一g，求数列｛”1｝的前”项和T,.

6-4.(2024•山东济宁•二模)已知数列｛%｝的前w项和为=2a"，7N2,〃eN*),且4=1,65=15.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵若%=惧：?票数,求数列色｝的前2〃项和&.

彩他题秘籍

等差数列与等比数列的综合应用

(1)等差数列与等比数列的相互转化：等差数列通过指数运算转化为正项等比数列，正项等比数列通过对

数运算转化为等差数列.

(2)等差数列和等比数列的交汇，若一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列为非零常数数列.

题型7:等差数列与等比数列的综合应用

7-1.(2024高二上•陕西渭南•期末)在等差数列｛%｝中，6+4=12,出+%=16.

(1)求等差数列｛%｝的通项公式；

(2)设数列｛24+4｝是首项为1,公比为2的等比数列，求数列｛2｝的前〃项和S..

7-2.(2024.江苏)已知｛%｝是等差数列，｛2｝是公比为q的等比数列，%=瓦,%=瓦手％,记S“为数列也｝

的前〃项和.

(1)若4=。”Cm,左是大于2正整数)，求证：Sj=O-l)q；

(2)若么=q&是某一正整数)，求证：4是整数，且数列色J中每一项都是数列｛%｝中的项；

(3)是否存在这样的正数q,使等比数列｛〃｝中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；

若不存在，请说明理由.

7-3.(2024高二上.福建龙岩.阶段练习)公差不为0的等差数列｛4｝中，%+%=2,且小，%，生成等比数

列.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵若S”为等差数列｛«„)的前〃项和，求使S"＜0成立的n的最大值.

卷例•瓢祕籍(八)

等比数列的范围与最值问题

求解此类问题的常用思路是根据题目所给条件建立关于变量n的函数关系进行求解.有时也注意基本不等

式的应用.

题型8:等比数列的范围与最值问题

8-1.(2024.陕西西安.三模)已知数列｛4｝是无穷等比数列，若4＜为＜0,则数列｛0｝的前〃项和S“().

A.无最大值，有最小值B.有最大值，有最小值

C.有最大值，无最小值D.无最大值，无最小值

8-2.（2024高三上•贵州铜仁・期末）已知等比数列｛。.｝的各项均为正数且公比大于1,前”项积为4,且

a3a5=a4，则使得I>1的〃的最小值为（）

A.5B.6C.7D.8

8-3.（2024.北京海淀•模拟预测）设无穷等比数列｛4｝的前”项和为S,，若-4<g<q,则（）

A.⑸｝为递减数列B.｛S.｝为递增数列

C.数列应｝有最大项D.数列⑸｝有最小项

8-4.（2024高三上•广西玉林•阶段练习）设等比数列｛%｝的公比为分其前〃项和为S“，并且满足条件

q>l,a7a8>L（%-l）（Os-l）<0,则下列结论正确的是（）

A.%。9>1B.0<（7<1C.a6+a8<a7+a9D.S”的最大值为醺

8-5.（2024高三上•福建三明•期中）设等比数列｛q｝的公比为4,其前"项和为S,，前〃项积为北，并满足

d—1

条件4>1,4刈汹。2。>1，则下列结论正确的是（）

。20201

A.^2019^2020B.与020是数列｛1｝中的最大值

C.%019。2021T<°D.数列｛q｝无最大值

8-6.（2024.山东泰安.二模）己知数列｛%｝的前〃项和为S“，4=2,an^0,a„an+1=4Sn.

⑴求

（2）设么=（-!）"•（3"-1）,数列｛2｝的前〃项和为7.，若V%eN*,都有阳一<九<心成立，求实数2的范围.

彩他题海籍

（九）

等比数列的实际应用

（1）解应用问题的核心是建立数学模型.

（2）一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型.

（3）注意问题是求什么（小an,S„）.

注：（1）解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答.

（2）在归纳或求通项公式时，一定要将项数”计算准确.

（3）在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系.

（4）在近似计算时，要注意应用对数方法，且要看清题中对近似程度的要求.

题型9:等比数列的实际应用

9-1.（2024.广东广州.模拟预测）某牧场今年初牛的存栏数为1200,预计以后每年存栏数的增长率为5%,

且在每年年底卖出100头牛.设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为数列。,0，q，…，且满足递推公

式：左=厂9-左）,概,｝为数列｛%｝的前"项和，则$=（1.0即。1.63答案精确到1）.

9-2.（2024.福建福州.三模）英国数学家亚历山大・艾利斯提出用音分来精确度量音程，音分是度量不同乐音

频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位.一个八度音程为1200音分，它们的频率值构成一个等

比数列.八度音程的冠音与根音的频率比为2,因此这1200个音的频率值构成一个公比为弋。的等比数列.

己知音/的频率为加，音分值为匕音N的频率为"，音分值为/.若〃z=贝必-/=（）

A.400B.500C.600D.800

9-3.（2024•全国•三模）88键钢琴从左到右各键的音的频率组成一个递增的等比数列.若中音A（左起第49

个键）的频率为440Hz,钢琴上最低音的频率为27.5Hz,则左起第61个键的音的频率为Hz.

9-4.（2024・辽宁大连•一模）某高中图书馆为毕业生提供网上阅读服务，其中电子阅览系统的登录码由学生

的届别+班级+学号+特别码构成.这个特别码与如图数表有关，数表构成规律是：第一行数由正整数从小到

大排列得到，下一行数由前一行每两个相邻数的和写在这两个数正中间下方得到.以此类推特别码是学生届

别数对应表中相应行的自左向右第一个数的个位数字，如：1997届3班21号学生的登陆码为1997321*.（*

为表中第1997行第一个数的个位数字）.若已知某毕业生的登录码为201*2138,则可以推断该毕业生是一

届2班13号学生.

12345678-

3579111315…

81216202428…

2028364452•••

法习与置升

一、单选题

1.（2024•浙江温州•模拟预测）已知等比数列｛%｝的前〃项和为S.，公比为q,且5“=。,用-1,贝U（）

A.%=2B.§2=2C.q=iD.q=2

2.（2024.全国）设等比数列｛。.｝的各项均为正数，前〃项和S“，若4=1,S5=5S3-4,则S,=（）

A.—B.—C.15D.40

88

3.（2024•江西抚州•模拟预测）已知正项等比数列｛七｝的前”项和为S“，若%%=3/,S3=39,则%=（）

A.64B.81C.128D.192

4.（2024.江西•模拟预测）已知等比数列｛4｝的前4项和为30,^-^=15,则%=（）

A.—B.gC.1D.2

42

5.（2024・上海闵行.二模）已知数列｛4,｝为等比数列，首项4>0,公比则下列叙述不正确的是

（）

A.数列｛%｝的最大项为%B.数列｛4｝的最小项为电

C.数列｛%%+J为严格递增数列D.数歹1J｛%,7+%“｝为严格递增数列

6.（2024高三.全国.对口高考）设｛%｝是公比为q的等比数列，其前〃项的积为北，并且满足条件：4>1,

a„aloo-l>O,马弓<。.给出下列结论：①0<4<1；②加7；③阳刖<1;④使，<1成立的最小的自

。1007

然数”等于199.其中正确结论的编号是（）

A.①②③B.①④C.②③④D.①③④

7.（2024・广西•模拟预测）己知正项等比数列｛q｝满足为=8,4+4%=；,则可出…。“取最大值时”的值为

（）

A.8B.9C.10D.11

8.（2024高二上•广东清远•期中）已知数列｛为｝满足q<。，a„+1=1a„,则数列｛%｝是（）

A.递增数列B.递减数列C.常数列D.不能确定

9.（2024高二上.陕西咸阳・期末）已知｛%｝是递增的等比数列，且为<°，则其公比4满足（）

A.q<—1B.-1<^<0

C.q>lD.0<q<l

10.（2024高三上.江西赣州•期中）设公比为q的等比数列｛%｝的前，7项和为S“，前〃项积为q,且4>1,

a—1

〃2021〃2022〉1，~7〈0,则下列结论正确的是（）

A.B.S2021s2022_］〉0

C.七22是数列｛（,｝中的最大值D.数列｛（,｝无最大值

11.（2024高三上.贵州黔西•阶段练习）设等比数列｛%｝的公比为心其前”项和为S"，前”项积为1,且满

足条件外>1,“202002021>1,（他⑶-1）（%必-1）<0,则下列选项错误的是（）

A.。vq<1B.S2020+1>S2021

C.4）2。是数列｛1,｝中的最大项D.7；041>1

12.（2024・上海青浦•一模）设等比数列｛%｝的公比为4,其前〃项之积为7.，并且满足条件：%>1,。2。19%。20>1，

a—1

a7T<。，给出下列结论：①0<“<1；②«2019«2021-1>0;③加9是数列｛覃中的最大项；④使成

“20201

立的最大自然数等于4039；其中正确结论的序号为（）

A.①②B.①③C.①③④D.①②③④

13.（2024・全国）记S“为等比数列｛%｝的前〃项和，若邑=-5,$6=2电，则纵=（）.

A.120B.85C.-85D.-120

14.（2024・天津）已知数列｛%｝的前w项和为S“，若4=2,a“M=2S“+2（〃eN*）,则4=（）

A.16B.32C.54D.162

15.（2024・湖南长沙•二模）设等比数列｛%｝的前〃项和为S“，己知其=353，«7=12,则6=（）

A.—B.—C.2D.3

32

16.（2024高三下•陕西安康•阶段练习）在各项均为正数的等比数列｛4｝中，4-%=16,%6=4,则使

得见<1成立的〃的最小值为（）

A.7B.8C.9D.10

17.（2024・四川巴中•模拟预测）在等比数列｛%｝中，4+。3=2,。5+%=18,则%+%=（）

A.3B.6C.9D.18

18.（2024•河北沧州・模拟预测）已知公比不为1的等比数列｛氏｝满足%+2=4%+「3%,4=1,则邑=（）

A.40B.81C.121D.156

19.（2024・河南•三模）数列｛加｝满足。〃+1=24,数列的前〃项积为小则4=（）

20.（2024•安徽安庆・三模）在等比数列｛%｝中，。2%。4=4,。5。6%=16,则%%%（）=（）

A.4B.8C.32D.64

21.（2024高三上.广西桂林・期末）己知各项都为正数的等比数列｛4“｝,满足%=2%+的,若存在两项金，

%,使得M工=4%,则,+*最小值为（）

mn

31

A.2B.—C.—D.1

23

二、多选题

22.（2024・山西大同•模拟预测）《庄子・天下》中有：“一尺之梗，日取其半，万世不竭”，其大意为：一根一

尺长的木棒每天截取一半，永远都取不完，设第一天这根木棒截取一半后剩下%尺，第二天截取剩下的一

半后剩下〃2尺，…，第五天截取剩下的一半后剩下%尺，则下列说法正确的是（）

〃511

A.1--B.%=一

的48

clc31

C.%—。4=—D.q+a2+%+〃4+%=—

1632

23.（2024・湖北武汉.三模）已知实数数列｛4｝的前〃项和为S“，下列说法正确的是（）.

A.若数列｛%｝为等差数列，则4+%+%=24恒成立

B.若数列｛4｝为等差数列，则邑，56-S3,S9-S6,…为等差数列

C.若数列｛。,｝为等比数列，且4=7,邑=21,贝34=-万

D.若数列｛%｝为等比数列，则S3,S6-S3,S9-S6,…为等比数列

24.（2024•山东泰安二模）若相，〃是函数/'（x）=f-px+q（p>0,q>0）的两个不同零点，且小，n,-2这

三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则04=.

25.（2024•江西新余•二模）已知数列｛4“｝中，4H0,见什“（加,〃eN*）,且%、如是函数

/■（司=2彳2+19*+20的两个零点，则％=.

26.（2024高三•全国•课后作业）已知等比数列｛%｝的公比q=-；,该数列前9项的乘积为1,则％=.

27.（2024高二下.全国•课后作业）等比数列｛%｝中，a[a9=256,+a6=40,则公比q的值为.

28.（2024高二下.北京•期中）在1和9之间插入三个数，使这五个数组成正项等比数列，则中间三个数的积

等于.

29.（2024高二下•湖北十堰•阶段练习）已知正项数列｛《,｝是公比不等于1的等比数列，且加+但丹期二。，

2

若〃尤）=用7，则/（%）+/（/）+…+/（%023）=.

30.（2024高三・重庆•阶段练习）在等比数列｛七｝中，4+。2=30,a3+a4=60,贝!]%+4=

31.（2024高二.全国•课后作业）已知数列｛0｝是等比数列，S,是其前〃项和，且$6=15,又=195,则

$24="

32.（2024高三上•江苏泰州•期末）设正项等比数列｛4｝的前”项和为S“，若$4=1052,则称的值为.

33.（2024高三上•重庆•阶段练习）已知等比数列｛%｝的前〃项和为S“，Se=7,a2+a5=-3,贝I]

ax+a3_

a2

34.（2024高二下•湖北十堰•阶段练习）已知正项等比数列｛%,｝的前"项和为S",若Ss=4,59=19,则Sf,

S9的等差中项为.

35.（2024•江西南昌•模拟预测）已知等比数列｛。“｝的前〃项和为S“，若$4=3,S8=9,则九的值为

36.（2024高三上.内蒙古包头•期末）已知数列也｝和也｝满足%=1,4=2,°,用=3。“-2+4,

2+1=32-4「4.则数列｛°“+2｝的通项%+年=.

37.（2024高三上•上海浦东新•开学考试）设基函数〃力=尤3,数列也｝满足：q=2021,>a„+1=/（«„）

"eN*）,则数列｛%｝的通项4,=_.

38.（2024高三.江苏•专题练习）写出一个满足前5项的和为31,且递减的等比数列的通项%=.

39.（2024高二上•河南南阳•阶段练习）数列｛a“的前n项和为Sn,ai=l,an+i=2S£nGN*）,则an=.

40.（2024高三上•内蒙古包头・期中）己知数列｛%｝的通项an与前n项和S“之间满足关系S,=2-3a“，则an=

41.（2024高一下•上海宝山•阶段练习）已知正数数列｛%｝满足a“+R3%+2,且％<3向对〃｛N*恒成立，

则%的范围为.

42.（2024・湖北武汉.模拟预测）己知等比数列｛%｝的各项均为正数，公比为q,前几项和S“，若对于任意正

整数n有S2n<2S„,则q的范围为.

43.（2003高一•北京•竞赛）若三角形三边成等比数列，则公比q的范围是.

44.（2024•湖南长沙.三模）中国古代数学著作《增减算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初

行健步不为难，次日脚痛减一半，如此六日过其关则此人在第六天行走的路程是_______里（用数字作

答）.

45.（2024•四川成者卜三模）如图，已知在扇形。42中，半径04=03=3,ZAOB=~,圆。|内切于扇形

。48（圆。］和。4,OB,弧A3均相切），作圆与圆OA,08相切，再作圆2与圆。2，OA,相

切，以此类推.设圆。一圆仪…的面积依次为耳，邑…，那么H+S#…+S“=.

46.（2024•陕西西安•一模）“一尺之梅，日取其半，万世不竭”出自《庄子・天下》，其中蕴含着数列的相关知

识，已知长度为4的线段A8,取43的中点C,以AC为直径作圆（如图①），该圆的面积为岳，在图①中

取CB的中点。，以为直径作圆（如图②），图②中所有圆的面积之和为邑，以此类推，则S“=.

①②

47.（2024.贵州铜仁.二模）0.618是无理数避二1的近似值，被称为黄金比值.我们把腰与底的长度比为黄金

2

比值的等腰三角形称为黄金三角形.如图，AABC是顶角为A,底3c=2的第一个黄金三角形，是顶

角为耳的第二个黄金三角形，△GB。是顶角为G的第三个黄金三角形，V&CG是顶角为鸟的第四个黄金

三角形，则第4个黄金三角形的腰长为（写出关于好二表达式即可）.

2

四、解答题

48.(2024•安徽亳州•模拟预测)甲、乙、丙三个小学生相互抛沙包，第一次由甲抛出，每次抛出时，抛沙

包者等可能的将沙包抛给另外两个人中的任何一个，设第〃(weN*)次抛沙包后沙包在甲手中的方法数为

%,在丙手中的方法数为或.

⑴求证：数列｛“向+%｝为等比数列，并求出｛%｝的通项；

(2)求证:当"为偶数时，an>bn.

49.(2024高三.上海.专题练习)已知数列｛%｝是首项与公比都为。的等比数列，其中。>0,且

awl,b"=a"lg%5eN*),且｛2｝是递增数列，求。的范围.

50.(2024•江苏盐城三模)已知数列｛%｝、出｝满足4。n+i--bn+"，4b“+i=3b--a”T,feR,eN+,

且q=1,4=0.

⑴求证：｛%+"｝是等比数列；

(2)若｛%｝是递增数列，求实数r的取值范围.

51.(2024高三•全国・专题练习)数列｛““｝的前〃和S“满足S“=2见-〃(〃eN*),

(1)求生的值及a„与an_x的关系；

(2)求证：｛%+1｝是等比数列，并求出｛%｝的通项公式.

52.(2024•云南•三模)已知数列｛4｝有递推关系%+1=善=］〃N*,。产j1=黑，记4=bn-k｛keZ),

—413)29

rb

若数列也,｝的递推式形如%1=嬴工(pqreR且也即分子中不再含有常数项.

(D求实数上的值；

(2)证明：为等比数列，并求其首项和公比.

xya”+2_*

53.(2024•福建厦门•模拟预测)已知数列(｛4｝满足一，〃eNT.

an

⑴证明［组三］是等比数列；

g+lj

,3，、

⑵若a=F，求也｝的前〃项和s“.

+1

54.（2024•山东潍坊.三模）已知数列｛%｝和｛2｝满足4=3,仿=2,an+1=an+2bn,bn+l=2an+bn.

⑴证明:｛%+bn｝和&-2｝都是等比数列；

⑵求｛。也｝的前〃项和S”.

55.(2024高三.上海・专题练习)数列｛”“｝的通项4=3〃-1,低｝的通项2=2",由册与”中公共项，并按原

顺序组成一个新的数列｛g｝，求｛1｝的前〃项和.

56.(2024•天津南开•二模)设｛%｝为等比数列，｛2｝为公差不为零的等差数列，且％=&=3,a2=b9,a3=b27.

⑴求｛叫和也｝的通项公式;

T1

⑵记｛《,｝的前〃项和为s"，｛2｝的前〃项和为1，证明：

%

一,〃为奇数

2+22n

(3)记cn=<