分母有理化（考点突破）（解析版）

专题06分母有理化

鼠务复习目标

i.理解有理化因式的概念，能正确的将一个含二次根式的代数式分母有理化。

2.能利用分母有理化进行二次根式加减乘除及混合运算。

，考点梳理

一、分母有理化

定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

例1.将二次根式反进行分母有理化的结果是（）

V6

A.—B.正C.—D.—

6632

【答案】D

【分析】

分子分母同乘以分母化简即可.

【详解】

V3__逑_变

底一屈乂屈一6-2,

故选：D.

二、有理化因式

定义：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因

式。

有理化因式确定方法如下：

①单项二次根式：利用•、万=。来确定，如：、份与6，Ja+b与Ja+b,」a-b与」a-b等分另（］

互为有理化因式。

②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如a+C与4a+4b^4^-4b,

ayfx与a4-6J亍分别互为有理化因式。

例2.在下列各式中，二次根式五+新的有理化因式是（）

A.4a+4bB.y/a-4bC.y/a+bD.Ja-b

【答案】B

【分析】

利用平方差公式及有理化因式的定义逐个判断即可.

【详解】

解：（4a+4b）（y[a.-4b}-a—b

.•.夜+北的有理化因式是血-新，故A、C、D均不符合题意，选项B符合题意，

故选：B.

三、分母有理化的方法与步骤：

（1）先将分子、分母化成最简二次根式；

（2）将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；

（3）最后结果必须化成最简二次根式或有理式。

例3.若3=厂*厂，b=2+a-A，则；的值为（）

V2+V3+V5b

£!]]

A，,B'4C'V2+V30。瓜+厢

【答案】B

【分析】

将。乘以£+*-力可化简为关于b的式子，从而得到。和6的关系，继而能得出?的值

V2+V3-V5b

【详解】

的.=♦,-=―（凤右—我行（后+舁⑹_6

l，~-x[2+43+45V2+V3-V52、后一4一4

a_\

"'b~4

故选：B.

昌综合训练

1.（2021・上海九年级专题练习）下列式子中,与26-也互为有理化因式的是（）

A.2A/3-V2B.2V3+V2C1.73+272D.73-272

【答案】B

【分析】直接利用有理化因式的定义分析得出答案.

【详解】

•••(2V3-V2)(2V3+V2,)

=12-2,

=10,

・••与26-&互为有理化因式的是：2&拒,

故选B.

2.（2019•浙江九年级三模）V2的倒数是（）

A.-41B.—C.-D.2

22

【答案】B

【分析】由于若两个数的乘积是1,我们就称这两个数互为倒数，由此即可求解.

【详解】

解：后的倒数是；=',

A/22

故选：B.

1111

3.（2021•全国九年级专题练习）计算（1-xk万+石+：万)(1-

J____1____1____1_111

X(正+忑+石)的结果等于（）

yplV3-\/~5

「V3V2

A.yB.—V/.--D.

532

【答案】B

【分析】设。=卡+3+£,原式变形后计算即可求出值.

【详解】

解：设+高

原式=(1-a)(a+[)~xa

1aa

=a+VT-『a+a斗而

=V|

-V,

故选：B.

4.(2019•上海浦东新区•中考模拟)而T的一个有理化因式是()

B.yjm-nC.y/m+y/nD.y/m-sfn

【答案】B

【解析】

【分析】找出原式的一个有理化因式即可.

【详解】

Jm-n的一个有理化因式是，

故选B.

1

5.(2019•山东九年级一模)已知：浮，b—2+V3，则a与6的关系是()

A.a—b=0B.a+b=0C.ab=\D.a2=b2

【答案】C

【分析】先分母有理化求出a、b,再分别代入求出成、a+b,a-b、〃各个式子的值，即可得出选项.

【详解】

解：分母有理化，可得a=2+g\b=2-道,

•-a-b=(2+6)-(2-V3)=26,故/选项错误，不符合题意;

a+b=(2+6)+(2-73)=4,故8选项错误，不符合题意;

ab=(2+7J)x(2-^/3)=4-3=1,故。选项正确，符合题意;

4=(2+6)2=4+46+3=7+46尻=(2-73)2=4-473+3=7-473,

“2孙2,故。选项错误，不符合题意;

故选：C.

6.(2020四川省宜宾市第二中学校)已知"=J1，b=2-6,。与6大小关系是()

A.a>bB.a<bC.a<bD.a-b

【答案】D

【分析】根据分母有理化将。=马后进行整理即可求解.

【详解】

12-V3

解：••・"=2-5

2+>/3一(2+V3)(2-V3)一

又•.•6=2-5

：.a=b.

故选：D.

72927292

7.（2021・四川）求值:

77-79V7+V9

【答案】6

【分析】先算开方运算，再通分计算，可得答案;

【详解】

-2-2田+3）+2（77一3）

2=士=6

解:原式一行再7777r（近+刘（近一例

-2

故答案为：6.

8.（2。2卜四川九年级二模）已知人是追的小数部分,则占二

V5+1

【答案】

4

【分析】先估算出k的值，再代入化简即可.

【详解】

解：2<V5<3

.111行+1

"/c+1-V5-2+1-75-1-4

故答案为：苴土!•

4

9.（2021•湖南广益实验中学九年级期中）先化简，再求值：（上_i）Z+2x+l,其中工=也一i.

X—1X—1

【答案】工，叵

X+12

【分析】先将分子分母因式分解，再计算括号内的，然后算括号外的，最后代入求值即可