导数及其应用（解答题）-2020-2024年高考数学试题分类汇编 （原卷版）

4<04导敷融盛用(解答盘J

五年考情♦探规律

考点五年考情(2020-2024)命题趋势

2024全国甲卷I卷

考点1利用导2023II卷乙甲

2022甲卷I卷II卷乙卷

数求函数单调

2021甲卷［卷含参的函数利用导数求参数问题

性，求参数

2020I卷II［卷是高考中的一个高频考点，也是必

考点，通过函数单调性转化成为恒

成立问题或者存在使成立问题以

2023甲卷

及其他问题，可直接求导或者是利

考点2恒成立2022甲卷I卷II卷

用分离参数去转化。

问题2021乙卷II卷

2020IIHII卷

2023II卷甲卷

考点3与三角2022天津卷与三角函数相关问题随着新高考

函数相关导数2021I卷新结构的出现，这类题目一压轴题

问题2020II卷甲卷出现的频率会变大。

2024北京天津导数综合类问题一直是高考数学

2023乙卷北京I卷天津的压轴题一般牵扯到不等式的证

考点04导数

2022甲卷III卷明问题，极值点偏移问题，拐点偏

综合类问题

2021乙卷I卷移问题，隐零点问题，函数放缩问

2020IIIII卷题。未来也是高考重难点

考点05新定随着高考数学新结构的形式出现。

2024上海卷

义问题导数新定义问题将成为高频考点

分考点•精准练

考点01利用导数求函数单调性，求参数

一、解答题

1.(2024・全国•高考I卷)已知函数/(x)=ln上+ax+伙x-l)3

2-x

(1)若6=0,且f(x)W0,求〃的最小值；

(2)证明：曲线y=/(x)是中心对称图形；

⑶若/(x)>-2当且仅当l<x<2,求6的取值范围.

2.(2024.全国.高考H卷)已知函数/(x)=e'-ax-/.

(1)当。=1时，求曲线>=/(尤)在点(1J(D)处的切线方程;

(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0,求a的取值范围.

3.(2024•全国•高考甲卷理)已知函数〃x)=(l-ox)ln(l+x)-x.

⑴当a=—2时，求的极值；

(2)当xNO时，/(x)>0,求。的取值范围.

4.(2023•年全国新高考I卷数学试题)已知函数/(x)=a(e，+a)-x.

⑴讨论“力的单调性；

3

(2)证明：当。>0时,/(x)>21na+-.

5.(2023年全国高考乙卷数学(文)试题)已知函数/(x)=］：+ajln(l+x).

⑴当a=-l时，求曲线y=在点(lj(x))处的切线方程.

(2)若函数〃尤)在(0,+8)单调递增，求。的取值范围.

6.(2022年全国高考乙卷数学(文)试题)已知函数/(无)=ax-L-(a+l)lnx.

x

(1)当。=0时，求“X)的最大值;

(2)若Ax)恰有一个零点，求a的取值范围.

7.(2022年全国高考甲卷数学(文)试题)已知函数=V-x,g(x)=/+。，曲线y=/(%)在点(%,"%))

处的切线也是曲线y=g(x)的切线.

(1)若玉=-1,求生

(2)求。的取值范围.

8.(2021年全国高考甲卷数学(文)试题)设函数/(均=4/+at-31nx+1,其中a>0.

(1)讨论的单调性；

(2)若y=的图象与无轴没有公共点，求。的取值范围.

9.(2020年全国高考I卷(文)数学试题)已知函数/(尤)=/-。(》+2).

(1)当。=1时，讨论f(x)的单调性;

(2)若f(x)有两个零点，求。的取值范围.

10.(2020年全国新高考I卷数学试题)已知函数，(x)=aei-lnx+lna.

(1)当a=e时，求曲线y=/(x)在点(1,/。))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;

(2)若不等式/(尤)21恒成立，求a的取值范围.

11.(2023•全国乙卷)已知函数/(x)=[g+a]ln(l+x).

(1)当a=-l时，求曲线y=在点。"⑴)处的切线方程；

(2)是否存在a,b,使得曲线y=关于直线x=b对称，若存在，求a,b的值，若不存在，说明理由.

(3)若在(0,+动存在极值，求。的取值范围.

12.(2022•全国乙卷)已知函数〃x)=ln(l+尤)+◎△

⑴当°=1时，求曲线y=『(x)在点(o,F(o))处的切线方程；

⑵若/■")在区间(-1,0),(0,内)各恰有一个零点，求a的取值范围.

13.(2021•全国甲卷)已知a>0且awl,函数/(x)=—(》>0).

a'

(1)当a=2时，求”力的单调区间；

(2)若曲线y=/(x)与直线y=i有且仅有两个交点，求。的取值范围.

14.(2021・天津•统考高考真题)已知a>0,函数/(x)=ax-xe,.

(I)求曲线y=/(x)在点(0J(0))处的切线方程：

(II)证明存在唯一的极值点

(III)若存在。，使得了(无)工。+》对任意xeR成立，求实数6的取值范围.

15.(2020年全国高考I卷)已知函数/(%)=/+以2一元.

(1)当时，讨论/(x)的单调性；

(2)当史0时,f(x)>-|-%5+1,求〃的取值范围.

考点02恒成立问题

一、解答题

1.(2024.全国,局考甲卷文)已知函数/(x)=a(x—1)—lnx+1.

⑴求〃x)的单调区间；

(2)当时,证明：当x>l时,"x)<e*T恒成立.

2.(2023全国新高考I卷)已知函数/

⑴讨论〃x)的单调性；

3

(2)证明：当a>0时，/(x)>21na+-.

3.(2022•北京・统考高考真题)已知函数/(x)=e，ln(l+无).

⑴求曲线>=，(尤)在点(0"(。))处的切线方程；

(2)设g(x)=7'(x),讨论函数g(x)在［0,+8)上的单调性；

(3)证明:对任意的s,欠(0,+8),有/(s+r)>/(s)+/Q).

4.(2021•全国乙卷)设函数〃x)=ln(a—x),已知x=0是函数y=^(x)的极值点.

(1)求a；

X+f(x^)

(2)设函数g(x)=":.证明:g(无)<1.

5.(2021・北京•统考高考真题)已知函数/(力=12.

(1)若a=0,求曲线y=在点(1,〃功处的切线方程；

(2)若f(x)在x=-1处取得极值，求/(x)的单调区间，以及其最大值与最小值.

6.(2021・天津•统考高考真题)已知。>0,函数/(x)=ax-xe".

(D求曲线y=/(x)在点(0J(0))处的切线方程：

(ID证明存在唯一的极值点

(III)若存在。，使得/(x)Va+6对任意xeR成立，求实数6的取值范围.

7.(2020年全国新高考I卷)设函数/(x)=x3+bx+c,曲线>=/(尤)在点弓，八会)处的切线与y轴垂直.

(1)求。.

(2)若/(幻有一个绝对值不大于1的零点，证明：/(%)所有零点的绝对值都不大于1.

8.(2023年全国新高考H卷(文))

(1)证明：当0v%vl时，x-x2<sinx<x;

(2)已知函数〃x)=cosax-ln(l-,若x=0是/(x)的极大值点，求〃的取值范围.

9.（2020年全国高考H卷（文）数学试题）已知函数/（x）=ae'T-lnx+lna.

（1）当”=e时，求曲线y=〃x）在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;

（2）若不等式/（x）N1恒成立，求a的取值范围.

考点03三角函数相关导数问题

一、解答题

1.（2023年全国高考n卷）（1）证明：当0<x<l时，x-x2<sinx<x;

（2）已知函数〃x）=cos（2x-ln（l-x2）,若x=0是“X）的极大值点，求a的取值范围.

2.（2023•全国甲卷）已知函数/（x）=ax-当上,

cosxv2）

⑴当a=8时，讨论/（x）的单调性；

⑵若/（元）<sin2无恒成立，求。的取值范围.

3.(2022.天津・统考高考真题)已知a,Z?eR,函数/(x)=e*-asinx,g(x)=ba

(1)求函数y=〃x)在(0,/(0))处的切线方程；

(2)若y=〃x)和y=g(x)有公共点，

(i)当a=0时，求6的取值范围；

(ii)求证：a2+b2>e.

4.(2020年全国高考H卷)已知函数/(x)=sin2xsin2x.

(1)讨论“r)在区间(0,九)的单调性；

(2)证明：|/(x)区半；

3"

(3)设几£N*,证明：sin2xsin22xsin24x...sin22nx<—.

5.(2021年全国高考I卷数学试题)已知函数/(X)=2sinx—xcosx-x,f(x)为于Qx)的导数.

(1)证明：f(x)在区间(0,兀)存在唯一零点；

(2)若x£[0,兀]时，/(x)>ax,求〃的取值范围.

考点04导数类综合问题

1(2024•北京•高考真题)设函数f(x)=x+曲i(l+x)(左羊0),直线/是曲线y=『(x)在点⑺)。>0)处的

切线.

⑴当左=—1时,求外力的单调区间.

⑵求证：/不经过点(0,0).

(3)当％=1时，设点A«,〃r))(r>0),C(O,/(Z)),0(0,0),5为/与，轴的交点，S“c°与山B。分别表示

△ACO与AABO的面积.是否存在点A使得2s△.。=152钻。成立？若存在，这样的点A有几个？

(参考数据：1.09<ln3<1.10,1.60<ln5<1.61,1.94<ln7<1.95)

2.(2024.天津•高考真题)设函数f(x)=xlnx.

⑴求图象上点(L/⑴)处的切线方程；

⑵若〃尤)2。(尤-石)在xe(O,+w)时恒成立，求。的值;

⑶若%,当S(0,1),证明,(xj-/(工2)|<|Xj-X2|2.

3.(2023•全国乙卷)已知函数/(x)=(：+a]ln(l+x).

⑴当a=T时，求曲线y=〃x)在点(L/⑴)处的切线方程；

⑵是否存在a,b,使得曲线y=关于直线X=b对称，若存在，求a,b的值，若不存在，说明理由.

(3)若在(。,+e)存在极值，求。的取值范围.

4.(2022•全国甲卷)已知函数y(x)=9--\nx+x-a.

⑴若"x)Z0,求a的取值范围；

(2)证明：若/(X)有两个零点占,马，贝也无2<L

5.(2022年全国新高考I卷)已知函数f(x)=e，-融和g(x)=6-lnx有相同的最小值.

(1)求a；

(2)证明：存在直线丫=匕，其与两条曲线、=/(幻和>=8。)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交

点的横坐标成等差数列.

6.(2022年全国高考n卷)已知函数/(x)=xe"-e，.

⑴当。=1时,讨论了(X)的单调性；

(2)当x>0时，求a的取值范围；

111,,,、

⑶设“cN*，证明：言+>77+…

7.(2021•全国乙卷)设函数/(x)=ln(a—x),已知％=0是函数y=4(元)的极值点.

(1)求〃；

X+f(x)

(2)设函数g(x)=，证明:g(x)<l.

xj(制

8.(2022年全国新高考I卷)已知函数/(x)=x(l-Inx).

(1)讨论"%)的单调性;

(2)设。，b为两个不相等的正数，且Z?lna-alnb=a-〃，证明：2<—+y<e.

ab

9.(2022年全国新高考H卷)已知函数/(x)=(x-l)ex-ax1+b.

(1)讨论〃幻的单调性;

(2)从下面两个条件中选一个，证明：人九)只有一个零点

®—<a<—b>2a；

229

®0<a<—,b<2a.

2

10.(2020年全国高考III卷)设函数/。)=/+法+/曲线y=/(x)在点弓，加^))处的切线与y轴垂直.

(1)求6.

(2)若/(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：/(X)所有零点的绝对值都不大于1.

11.(2023•北京・统考高考真题)设函数/(x)=x-x3cax+b，曲线y=/(%)在点d,/(D)处的切线方程为y=-X+1.

⑴求a,b的值；

⑵设函数g(x)=/(x),求g(无)的单调区间；

(3)求了⑺的极值点个数.

ln(x+l).

⑴求曲线y=在％=2处切线的斜率;

⑵当x>0时,证明：/(%)>1；

(3)证明：f<

H+—In(")+〃<1.

O

13.(2021•全国乙卷)已知函数/(x)=尤3+依+1.

(1)讨论〃x)的单调性；

(2)求曲线y=/(x)过坐标原点的切线与曲线y=〃x)的公共点的坐标.

14.(2021年全国高考H卷(文))已知函数〃x)=(x-l)/-加+6.

(1)讨论Ax)的单调性；

(2)从下面两个条件中选一个，证明：Ax)只有一个零点

®—<a<­,b>2a；®0<a<—,b<2a.

22

15.(2020•全国高考H