对数与对数函数（解析版）-2025年高考数学一轮复习（新高考专用）

第06讲对数与对数函数

目录

第一部分：基础知识.................................................2

第二部分：高考真题回顾.............................................4

第三部分：高频考点一遍过...........................................6

高频考点一：对数的运算..........................................6

高频考点二：换底公式............................................7

高频考点三：对数函数的概念......................................9

高频考点四：对数函数的定义域....................................9

高频考点五：对数函数的值域......................................11

角度1：求对数函数在区间上的值域.............................11

角度2：求对数型复合函数的值域................................11

角度3：根据对数函数的值域求参数值或范围.....................12

高频考点六：对数函数的图象......................................16

角度1：对数（型）函数与其它函数的图象.......................16

角度2：根据对数（型）函数的图象判断参数.....................17

角度3：对数（型）函数图象过定点问题.........................19

高频考点七：对数函数的单调性...................................23

角度1：对数函数（型）函数的单调性...........................23

角度2：由对数函数（型）函数的单调性求参数...................24

角度3：由对数函数（型）函数的单调性解不等式.................25

角度4：对数（指数）综合比较大小.............................26

高频考点八：对数函数的最值.....................................30

角度1：求对数（型）函数的最值................................30

角度2：根据对数（型）函数的最值求参数.......................31

角度3：对数（型）函数的最值与不等式综合应用.................33

第四部分：典型易错题型............................................39

备注：对数型复合函数容易忽略定义域.............................39

备注：分段函数单调性容易忽视分段点的大小比较...................40

第五部分：新定义题（解答题）......................................41

第一部分：基础知识

1、对数的概念

（1）对数：一般地，如果优=N（a>0,且awl），那么数》叫做以。为底N的对数，记作x=log“N,

其中。叫做对数的底数，N叫做真数.

（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数IgN；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的

对数InN.

（3）对数式与指数式的互化：优=Nox=log〃N.

2、对数的性质、运算性质与换底公式

（1）对数的性质

根据对数的概念，知对数log。N（a〉0,且aw1）具有以下性质：

①负数和零没有对数，即N>0；

②1的对数等于0,即log01=0；

③底数的对数等于1,即log“a=1；

④对数恒等式=N(N>0).

(2)对数的运算性质

如果。>0,且aHl,〃>0,N>0,那么：

①log。(〃•N)=log—+log.N；

〜M,“，，、，

②log。—=log/Tog〃N；

③log”AT=n\ogaM(neR).

(3)对数的换底公式

对数的换底公式：log“b=呼。°g>0,且。w1；。〉0,且。w1力〉0).

logca

换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成

什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以e为底的自然对数.

换底公式的变形及推广：

①logbn=—logb(a>。且a41,6>0)；

ama

(2)log/=--—(a>0且al;b>0且6w1).

'log"

③log2•k)g^)c^logcd=logad(其中a,b,c均大于0且不等于1,d>0).

3、对数函数及其性质

(1)对数函数的定义

形如y=log：(。〉0,且a2l)的函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0,+oo).

(2)对数函数的图象与性质

a>l0<a<l

yy

i1

图象00

I,X

定义域：(0,+8)

值域：R

性质

过点(1,0),即当x=l时，y=0

在(0,+8)上是单调增函数在(0,+8)上是单调减函数

第二部分：高考真题回顾

1.(2022,全国•(新高考I卷))设。=0.卜°」,6=：c=-ln0.9,贝|()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】C

【分析】构造函数/'(x)=ln(l+x)-无，导数判断其单调性，由此确定a,6,c的大小.

【详解】方法一：构造法

1Y

设/(尤)=ln(l+x)-Mx>T),因为八x)=S--1=一广-,

l+x1+X

当xe(-l,0)时,f'{x}>0,当无©(0,+8)时f'(x)<0,

所以函数/W=ln(l+x)-x在(0,+8)单调递减，在(-1,0)上单调递增，

所以/(}</(0)=0,所以ln-—g<0,故g>lnT=7n0.9,即b>c,

所以/(一定)</(°)=°，所以故?<八°，所以上修。<七,

10101010109

故,

f%+

设g(x)=xe'+ln(l-x)(O<x<l),贝I]g(x)=(x+1)e+\

令7i(x)=e'(x2-1)+1,〃'(x)=ex(x2+2x-1),

当O<x<a-1时，”(x)<。，函数/心)=6"52-1)+1单调递减，

当忘-1<X<1时，h'(x)>0,函数人(尤)=6%%2-1)+1单调递增,

又〃(0)=0,

所以当O<x<&-1时，〃(x)<0,

所以当O<x<0-1时，g'(x)>0,函数g(x)=；re*+ln(l-尤)单调递增，

所以g(0.1)>g(0)=0,即0.16°」>一也0.9,所以

故选：C.

方法二：比较法

解：a=O.le01,b=，c=-lii(l-0.1),

1—(J.1

①ln«-lnZ?=0.1+ln(l-0.1),

令=x+ln(l—x),xG(0,0.1],

1—丫

贝ur«=i--=；—<o,

1—xI-x

故f(x)在(0,0.1]上单调递减，

可得/(0-1)</(0)=0，即lna-lnZ?vO，所以a<b；

(2)tz-c=O.leol+ln(l-O.l),

令W=xex+ln(l—x),xG(0,0.1],

则g[x)=x/+/-一l_=(l+x)(l)el,

v)\-x1-x

令左(无)=(1+九)(1—x)ex—1,所以k\x)=(1—x2—2x)ex>0,

所以k(x)在(0,0.1]上单调递增，可得k(x)>k(0)>0,即gf(x)>0,

所以g(%)在(0,0』上单调递增，可得g(0.1)>g(0)=0,即a-C>0，所以

故c<a<b.

2.(多选)(2023•全国•(新高考工卷))噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,

定义声压级4=20xlg坦•，其中常数。°(为>0)是听觉下限阈值，P是实际声压.下表为不同声源的声压级:

Po

声源与声源的距离/m声压级/dB

燃油汽车106090

混合动力汽车105060

电动汽车1040

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为P],P2，P3,则().

A.Pi>p2B.p2>10/73

C.p3=lOOPoD.Pi<100p2

【答案】ACD

【分析】根据题意可知与460,90],包50,60]，4=40,结合对数运算逐项分析判断.

【详解】由题意可知：\G[60,90],LP2G[50,60],LP3=40,

对于选项A：~^P2=20xlg--20xlg-=20xlg—,

PoPoPi

因为则4-4=20xlgaNO,即1gaNO,

PlPl

所以旦且p],p2>。，可得P：P2，故A正确；

Pl

对于选项B：可得4,一心为=20xlgR-20xlg4=20xlgR,

PoPoP3

因为q-4=q-40N10,贝U20xlg4l°,Bplg^>|,

P3P3,

所以&N而且A.〉。，可得p2»而P3,

〃3

当且仅当L=5。时，等号成立，故B错误；

对于选项C：因为4=20x1g星=40,即炮旦=2,

PoPo

可得匡=100,即p3=100p。，故C正确；

Po

对于选项D：由选项A可知：4-4=20xlg旦，

且490-50=40,贝q20xlg&W40,

P2

即lg&42,可得旦4100,且四,？2>0,所以PflOOPz，故D正确；

PlP1

故选：ACD.

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：对数的运算

典型例题

例题L（2024上•福建龙岩,高一校联考期末）已知log2a=bg3b=bg65,贝ljab=

【答案】5

【分析】设Iog2a=log3b=log65=3再用上表达仍求解即可.

k

【详解】iog2a=log3b=log65=k,则a=2*,b=3,5=63

故仍=2上-3*=（2x3y=6*=5.

故答案为：5

例题2.（2024上•江苏盐城,高一校考期末）计算下列各式的值:

12

⑴㈢、“）。一用+1|）；

（2）|log68+3幅,+21og6V3-|log281.log272.

【答案】①g

⑵3

【分析】（1）利用指数幕的运算法则求解即可；

（2）根据对数的运算法则，代入计算，即可得到结果.

⑵原式二wL+b&（可假置X悬

3

=log62+log63+4--log2781

=5——log34=5——x—=3

2句323

练透核心考点

1.（2024上•安徽蚌埠•高一统考期末）计算（log32+log34）x（log615-logd

3

【答案】-/0.75

【分析】利用对数的运算性质以及换底公式可求得所求代数式的值.

31g21g3_31g21g33

【详解】原式=log3（2x4）xlog16M=31og2xlog3=---------x--------------------x----------——

3161g3lgl6lg341g24

3

故答案为:

2.（2024上•广西百色・高一统考期末）计算下列各式的值:

(1)0.0013+日+(问。

ln2

(2)log5175-logs7+e+21ogl72

2

【答案】(1)15

（2）3

【分析】（1）利用指数运算法则计算即得.

（2）利用对数性质及运算法则计算即得.

_i（I?。

【详解】（1）原式=（1。-3户+1+2?=10+1+22=15.

175/.2

（2）原式=^-+2+log/及）=log525+2+log^2=2+2-l=3e

/52

高频考点二：换底公式

典型例题

lg3

例题1.（2024上•安徽安庆•高一统考期末）log23.1og34-10=（）

A.2B.1C.-1D.0

【答案】C

【分析】利用换底公式和指对数运算公式即可.

【详解】1。陵34嗝4-吩3=譬.譬_3=鬻-3=2-3=-1,

1g21g3lg2

故选：C.

例题2.（2024上•山东荷泽・高一校联考期末）已知log®々=log/44o=4^，贝U

lOgzWF。3b2•••%）=.

【答案】1/1上

22

【分析】由对数式与指数式的互化可得出4=451=1,2,3,,10），再利用对数的运算性质以及换底公式可

求得所求代数式的值.

【详解】因为log0$=l0gHz62="・=1%。％=乎，则々=谓1=1,2,3,.,10）,

’也变更、

lg…q1

所以,1g（他2…%）

lOgqWFo（地…%））=

1g（44…。10）lg（q4…%））

也/-

但（。~2…《。）2

但（。1的…%）2

故答案为：与

练透核心考点

1.（2024上•陕西咸阳•高一统考期末）若2工=*坨2ao.3010,则x的值约为（）

A.1.322B.1.410C.1.507D.1.669

【答案】A

【分析】利用指对互化与换底公式即可得解.

【详解】因为2'=*,坨2。0.3010,

2

lg5-lg2_1-21g21-2x0.3010

所以X=lOg2W=»1.322.

lg2lg20.3010

故选：A.

1…

lg3

2.（2024上•广东深圳•高一校考期末）计算：-log^100-log54+log29xlog38-10=

【答案】5

【分析】根据对数的定义和运算分析求解.

【详解】由题意可得：原式=》ogJ（）2-k）g522+log232xlog323-3

252

12

=—xylog510-21og52+21og23x31og32-3

2

=2(1+logs2)-2logs2+6x-----x-------3=2+6—3=5.

In2In3

故答案为：5.

高频考点三：对数函数的概念

典型例题

例题1.（2024・江苏•高一假期作业）下列函数，其中为对数函数的是（）

A.y=logj-x）B.y=21og4（l-x）c.y=lnxD.J=log（Q2+a）x

【答案】C

【分析】利用对数函数定义，逐项判断作答.

【详解】函数y=l°g1（-x）,y=21og4（l-x）的真数不是自变量，它们不是对数函数，AB不是；

2

函数y=lnx是对数函数，C是；

函数yTog（〃〜）尤的底数含有参数。，而。的值不能保证Y+”是不等于1的正数，D不是.

故选：C

练透核心考点

1.（2024・江苏•高一假期作业）己知函数f（x）=（27*2-/w）logaX+m-l是对数函数，则〃z=

【答案】1

【分析】根据对数函数的定义即可得到答案.

【详解】因为函数A'）是对数函数，

则｛,c，解得力=1.

[m-1=0

故答案为：L

高频考点四：对数函数的定义域

典型例题

例题1.（2024下•河南•高一信阳高中校联考开学考试）函数/（x）=logi5/7二3矣的定义域为（）

A.{x|尤>1且x*2}B.[x\l<x<2}C.{x\x>2}D.{x|xwl}

【答案】C

【分析】可直接求出函数的定义域进行判断.

x—1>0

【详解】由题得X-1W1,解得X>2,即函数“X）的定义域为{x|x>2}.

-3x+2〉0

故选：C

例题2.（2024上•山东荷泽•高一校联考期末）已知函数/（x）=ln（2/+日+：的定义域为R,则实数上的

取值范围是.

【答案】（-6,6）

【分析】由己知可得对任意的xeR,2x2+fe+（>0,可得出A<0,即可解得实数％的取值范围.

O

【详解】由题意可知，对任意的xwR,2/+尿+?>0,则解得一6</<6.

88

所以，实数上的取值范围是卜6,6）.

故答案为：（-AA/3）.

练透核心考点

1.（2024上•江西景德镇•高一统考期末）函数〃x）=ln（Tx+12）的定义域是.

【答案】（f,3）

【分析】结合对数函数定义域解不等式即可求解.

【详解】由题意结合对数函数定义域可知Tx+12>0,解不等式得x<3,

因此函数〃x）=ln（Tx+12）的定义域是（-8,3）.

故答案为:（-双3）.

2.（2024上•上海宝山,高一上海交大附中校考期末）已知函数y=log“（叱-4辰+1-左）的定义域为R,则

实数上的取值范围是.

【答案】0，口

【分析】根据题意，将问题转化为区2一4丘+1-左>0恒成立求参数，再结合二次函数性质即求解.

【详解】因为函数y=iog“（丘2-4丘+1-左）的定义域为R,

所以依2-4依+1一左>0在R上恒成立,

则当％=0时，1>0满足题意;

k>01

当人0时，]-（4）解得…三

综上所述，0<Z:<1,即4e0,].

故答案为：o]]

高频考点五：对数函数的值域

角度1：求对数函数在区间上的值域

典型例题

例题L（2023上•高一课时练习）函数y=2+log5X（x'l）的值域为（）

A.（2,+oo）B.（F,2）

C.[2,+oo）D.[3,+8）

【答案】C

【分析】根据对数函数的性质，先求函数y=bg5x的范围，再求函数的值域.

【详解】由X21知logs尤2。，>22,值域是[2,+8）.

故选：C

例题2.（2023上•高一课时练习）已知函数〃x）=2+log3x的定义域为[1,9]，则函数〃尤）的值域是—

【答案】[2,4]

【分析】由对数函数的单调性，根据定义域求出函数的值域.

【详解】,二Iog314bg3x（log39,BP0<log3x<2,

BP2</（x）<4,则函数的值域为[2,4].

故答案为：[2,4]

角度2：求对数型复合函数的值域

典型例题

1.（2024下•河南周口•高一周口恒大中学校考开学考试）函数y=log°.5（4x-x2）的值域为

【答案】[-2,+8）

【分析】求出4元-尤2的取值范围，利用对数函数的基本性质可求得函数y=log05(4尤-尤2)的值域.

【详解】因为4尤=-(x-2y+444,所以，0<4x-x2<4,

2

因此，y=log05(4x-x)>log054=-2,故函数y=logo,5(4x-x2)的值域为『工a).

故答案为：[-2,+°°).

2.(2024上•上海青浦•高一统考期末)函数y=(2+log?x).log?2的值域为.

【答案】一曰，+二|

【分析】由题意利用对数的的运算法则、对数函数的定义域、值域并通过换元法即可得解.

【详解】由题意函数的定义域为(0,+8),而y=(2+log,x).log2—=(2+log,x)-(21ogx-6),

64

不妨设"logzXeR,所以y=(2+f)⑵-6)=2/一2/-12=21-g],

,「25、

所以函数y=(2+log2X>log27-的值域为-牙，+00.

故答案为：一^什”；

角度3：根据对数函数的值域求参数值或范围

典型例题

例题1.(2024上•贵州毕节•高一统考期末)已知函数=log”x+伙。>OMH1)的定义域和值域都是(1,2),

则/=.

【答案】2或J

4

【分析】分类讨论。的取值范围，得到函数的单调性，代入数据即可求解.

【详解】当0<。<1时，易知函数/(x)单调递减，由定义域和值域都是(1,2),

1

/⑴=log.1+8=2d——

所以，解得2,所以4

/(2)=log2+Z.=l

flb=24

当。>1时，易知函数f(x)单调递增，由定义域和值域都是(1,2),

“l)=log"l+6=l〃二2

所以f(2)=log〃2+b=2'解得八一所以〃=，=2.

0=1

故答案为：2或;

例题2.（2024上•江西上饶•高一婺源县天佑中学校考阶段练习）已知函数/'（%）=log,（依?+4）.若/•（%）

的值域是R,则实数。的取值范围是.

【答案】［16,+8）

【分析】复合函数求值域，先求真数范围大于零，再求二次函数大于零，求出。即可.

【详解】因为函数的值域是R,则（0,+动为二次函数"=加-方+4值域的子集.

当。=0时，内层函数为"=4,不合题意;

a>0

当〃w0时,则有解得^>16.

△二〃2-16(2>0

综上所述，实数。的取值范围是［16,+8）.

故答案为：［16,+8）

练透核心考点

1.（2024•上海•高一假期作业）函数〃x）=lg（f2+4x）的值域是

【答案】（f，21g2］

【分析】先确定了（x）的定义域，再由复合函数的单调性确定出的单调性，则”X）的值域可求.

【详解】由题意得-/+4*>0,即0<x<4,所以/⑺的定义域为（0,4）,

因为t=-f+4x对称轴为x=2,且开口向下，且丁=馆》在定义域内单调递增，

由复合函数的单调性可知：外力在（0,2）上单调递增，在（2,4）上单调递减，

当xfO（或x.4）时，/（%）->-<»,当x=2时，/（2）=21g2,

所以〃x）e（7）,21g2］,

故答案为：（…⑵g2］.

2.（2024上•湖南株洲•高一校考期末）若函数〃x）=log2（3-办）在［-1,3］上的最大值为2,则实数。=.

【答案】

【分析】由题意易知分类讨论a>0,a<0时，根据复合函数的单调性建立方程，解之即可求解.

【详解】令y=3-ax,因为a=0时，f（x）=log23,所以awO；

,13—3ct〉0

若a>0,则y=3”在r［T3］上为减函数，所以3+4=4'此时。无解；

「f3+a>01

若。<0.贝!］>=3-必在［-1,3n］上为增函数，所以，止匕时。=工

ID—JCI=43

故o=一；

故答案为：

3.(2024•全国•高三专题练习)已知〃x)=l+log3X(lWxW9),设g(x)=r(*)+/(巧，则函数y=g(x)

的值域为.

【答案】[2,7]

【分析】确定函数y=g(尤)的定义域，化简可得y=g(x)的表达式，换元令1%工=M"€[0,1]),可得

y=r+4t+2,结合二次函数的性质即得答案.

【详解】由题意得则"X43,即8(£)=/(%)+/1)的定义域为[1,3],

故g(X)=/(X)+/(*)=(1+log3x)2+1+1幅/=(log3%)2+41呜X+2,

^>log3%=?,(/£[0,1]),贝I]丫=产+4/+2=«+2)2—2,

函数y=«+2)2-2在[0,1]上单调递增，故y£[2,7],

故函数丫=8(力的值域为[2,刀，

故答案为：[2,7]

4.(2024上•河北唐山•高一统考期末)已知定义在R上的函数”力为偶函数.当x20时，/(x)=-log2(x+l).

⑴求〃-3)；

(2)求函数的解析式；

(3)^X6[-3,1],求函数的值域.

【答案】(1)-2

-log(x+l),x>0

⑵〃x)=2

-log2(-x+l),x<0

⑶[-2,0]

【分析】(1)先求出/(3),由奇偶性得到〃-3)；

(2)根据函数的奇偶性得到x<0时的函数解析式，进而得到答案；

(3)分两种情况，根据函数的单调性求出函数在无4-3,1]时的值域.

【详解】⑴/(3)=-log24=-2,

因为〃尤)为R上的偶函数，所以“-3)=〃3)=-2；

(2)当xvO时，-%>0,

故f(-x)=-log2(-X+1),

又“X)为R上的偶函数，故X)=〃x),

所以〃X)=Tog2(-X+1),

（3）当彳40』时，由复合函数单调性可知，（x）=-log2（x+l）单调递减，因为x+le[l,2],

故/（%）=-log2（x+1）e[-1,0],

由函数为偶函数可知，当xe[-3,0）时，”x）=—log2（T+l）单调递增，-x+le（O,4],

则〃x）=Tog2（T+l）e[-2,0）,

综上，/（X）的值域为[-2,0]

5.（2024•全国•高一假期作业）已知函数〃尤）=log〃x（a>0且awl）.

⑴当0<a<l时，若〃2a+2）4〃5a）,求。的取值范围；

（2）若卜=/卜+»£|的最大值为2,求在区间1,4上的值域.

2

【答案】⑴0<〃乂

⑵[-2,3]

【分析】（1）结合对数函数的定义域及单调性即可得；

（2）先结合题意计算出。，再根据对数函数的单调性即可得.

【详解】（1）当。<a<l时，〃x）=log〃x是（0,+e）上的减函数，

2〃+2>0

因为〃2a+2）4/（5a）,所以<5a>0,解得0<。6

2a+2>5a

（2）因为/+%+J_=+—>—,且log/j+x+z）有最大值2,

212）4412

所以0<avl,且log。1=2,解得a=3,

因为〃x）=logT是（0,+8）上的减函数，

2

所以/（X）max=/]，=3,"X焉="4）=一2,

所以“X）在区间114]上的值域为[-2,3].

|_o

6.（2024•全国■高一专题练习）已知函数/（x）=k>g2（〃ix2-4x+2）

⑴若〃无）的定义域为R,求优的取值范围.

（2）若/（力的值域为R,求机的取值范围.

【答案】⑴(2,+s)

(2)[0,2].

【分析】(1)根据对数函数的性质，转化为〃V-4x+2>0恒成立，列出不等式组，即可求解;

(2)设g(x)=H-4x+2,根据题意转化为(O,+s)u{y|y=g(x)},分类讨论，即可求解.

【详解】(1)解：由函数/(x)=log2(mx2—4x+2),

要使得〃x)的定义域为R，即如2一船+2>0恒成立，

fm>0/、

则满足A=16-8初<0，解得心2,所以实数加的取值范围为(2,+8).

(2)解：设g(x)=〃z/_4x+2,要使得的值域为R,BP(O,-K»)c{y|y=g(x)},

当"7=0时，g(x)=Tx+16的值域为R,此时(0,+8)qR,

所以函数的值域为R,符合题意.

fm>0

当机w0时，要使得(0,+℃)a{yly=g(x)},则满足。、八，解得0VmW2,

[A=16-8/77>0

综上可得，实数加的取值范围为[0,2].

高频考点六：对数函数的图象

角度1：对数(型)函数与其它函数的图象

典型例题

则/(x)=[J(Q>0,且QW1)与

例题1.(2024上•黑龙江齐齐哈尔•高一统考期末)已知lga+lg6=0,

g(x)=log/(Z?>0,且。wl)的图象可能为()

J/J/

A.、B.

二「

【答案】D

【分析】利用对数运算得到6=工，再结合指数函数与对数函数的性质即可判断选项.

a

【详解】因为皿+励=0,

所以-lga=lg人，b=-,

a

若则0<,<1,排除C,

a

若b>l,贝排除AB.

a

故选：D

例题2.（2023上•内蒙古赤峰•高一校考阶段练习）已知函数丫=尤"（4€1<）的图象如图所示，贝U函数y=优与

y=log/在同一坐标系中的图像是（）

【分析】根据幕函数的图象易得结合指对数函数性质判断函数图象.

【详解】由幕函数图象知：0<。<1,

所以y=优与y=log/在各自定义域内都递减，显然只有D满足.

故选：D

角度2：根据对数（型）函数的图象判断参数

典型例题

例题1.（2022下•湖南•高一校联考期末）已知函数〃x）=k）g/x-9（〃>0且"1,a,b为常数）的图

象如图，则下列结论正确的是（）

B.〃>0,-1<&<0

C.0<«<1,b<—lD.0<«<1,—1<Z?<0

【答案】D

【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解.

【详解】因为函数/（x）=log.（x-6）为减函数，所以0<°<1

又因为函数图象与x轴的交点在正半轴，所以x=l+人>0,即。>-1

又因为函数图象与y轴有交点，所以〃<0,所以-1<b<0,

故选：D

〃、b、c的大小关系是（）

C.c>a>bD.a>c>b

【答案】D

【分析】根据对数函数的图象与单调性确定大小.

【详解】y=log〃x的图象在（0,+°0）上是上升的，所以底数〃>1,函数y=logfer,y=logcx的图象在（0,

+8）上都是下降的，因此。，cG（0,1）,又易知c>b,故〃>c>b.

故选：D.

角度3：对数（型）函数图象过定点问题

典型例题

例题1.（2024上•湖北武汉•高一校联考期末）若角a的终边经过函数y=log“（2x-l）+2（。>0且awl）

的图象上的定点P,则2sina+cosa=（）

A.-B.V10C.>/5D.

510

【答案】C

【分析】首先得尸（1,2）,进一步结合三角函数定义即可求解.

【详解】由题意令2x—1=1,得x=l,而止匕时y=log.（2x—l）+2=log“l+2=2,

所以，角a的终边经过定点P。,2）,

所以sina=二—=,cosa=-—=,

V1+4571+45

所以2sina+cosa=A/5.

故选：C.

例题2.（2024上•山东滨州•高一校考期末）函数y=log〃（x-1）+1（。>0且的图象恒过定点A,且A点

2m+]2

在直线如+3=1上，（m>0,n>0）,则2三+三的最小值为（）

mn

A.6+20B.10C.8+20D.8

【答案】B

【分析】先得出42,1）,再由基本不等式得出答案.

【详解】当X-1=1时，y=logfll+l=l,即函数的图象恒过定点42,1）,

因为A在直线〃吠+:9-1=0上，所以2"+〃=1,

2m+12_1vn4wIn4m

mnmn\mnJmn\mn

12m+12

当且仅当"=2根==时，取等号，即"工+士的最小值为10.

2mn

故选：B

练透核心考点

1.（2022上•江西上饶•高一统考期末）函数〃尤）=log?（国-1）的图像为（）

【分析】以函数/(x)的定义域、奇偶性去排除错误选项即可.

【详解】函数〃同=1。82(国-1)的定义域为(-8,-1)51,+8),可以排除选项B、C;

由/(一力=10g2(|-x|-l)=10g2(|x|-l)=/(x),

可知函数/(X)为偶函数，其图像应关于y轴轴对称，可以排除选项D.

故选：A

2.(2023上•山东潍坊•高三校考期中)已知指数函数y=优，对数函数>=bg/的图象如图所示，则下列

C.0<b<l<aD.a<0<l<b

【答案】B

【分析】根据题意，由指数函数以及对数函数的单调性即可得到a,》的范围，从而得到结果.

【详解】由图象可得，指数函数>=优为减函数，

对数函数y=iog〃x为增函数，

所以0<。<1*>1,

即

故选：B

3.（2024•全国•高三专题练习）函数y=log/+a"7+2（〃>0且awl）的图象恒过定点（左,人），若m+n=b-k

Q1

且机>0,n>0,则一+一的最小值为（）

mn

95

A.9B.8C.-D.-

22

【答案】B

【分析】先求出函数过定点的坐标，再利用基本不等式求最值.

【详解】函数y=log/+〃z+2（a>0且”1）的图象恒过定点（1,3）,所以m+几=3—1=2,

2f—+->|=（m+n）（—+-）=10+—+—>10+2A/9=16,

nJmnmn

（、〃

,2户9+1―216,.心9+1—28,当且仅当93m即〃1根=3：等号成立

\mnJmnmn22

故选：B.

4.（多选）（2022上•辽宁・高一凤城市第一中学校联考阶段练习）已知a>0,%>0,且瑟=1,a^l,b41,

则函数〃力=/工与函数g（x）=log&x在同一坐标系中的图像可能是（）

【答案】BD

【分析】结合指数函数、对数函数的图像按0<。<1和分类讨论.

【详解】由〃>。，b>0,且而=1,awl,bwl,

所以〃x）=aT=g］过点（0,1）,

而g（x）=k»g〃x过点（1,0）；

选项A,B：由图可知/'（X）单调递增，则此时

所以有，>1,故g（x）在xe（0,+8）单调递增，

故A选项错误，选项B正确；

选项C,D：由图可知/（X）单调递减，则此时

所以有故g（x）在xe（0,+oo）单调递减,

故C选项不正确，选项D正确；

故选：BD.

5.（多选）（2024上•湖南张家界•高一慈利县第一中学期末）已知函数/（司=1。80（彳-2）+1（。>。且。*1）的

图象过定点（sj）,正数满足相+〃=s+/,则（）

911

A.m+n=3B.m2+n2>8C.mn<—D.—F—>1

4mn

【答案】BD

【分析】求出函数〃尤）所过定点的坐标，可得出s+/=4,可判断A；利用不等式苏+”222加力可判断B；

利用基本不等式可判断C；利用"甘的妙用，结合基本不等式可判断D.

【详解】在函数/（X）的解析式中，令尤-2