第二章 函数与基本初等函数 章节总结（原卷版）-2025年高考数学一轮复习（新高考专用）

第11讲：第二章函数与基本初等函数

章节总结

第一部分：典型例题讲解

题型一：函数的定义域

谷+的定义域为

1.（23-24高一上•河北石家庄•期末）函数/（力=)

B.IT(1,+e)

2

D.—,+co

3

2-⑵-24高一上•云南昆明・期末）函数+的定义域为（）

A.（1,+8）B.（l,2）u（2,+oo）

C.（-oo,l）D.（0,2）u（2,+oo）

3.（23-24高一下•安徽安庆•开学考试）若函数八2'-1）的定义域为［-1』，则函数〃腕2彳-1）

的定义域为

4.（23-24高一上•江苏无锡・期末）已知函数〃x）=&4+ln（l-x）,则〃2x）的定义域

为.

5.（23-24高一上•湖北武汉・期末）已知函数〃x）的定义域为（-5,4）,则函数

g（元）=3f（2x+1）+log?gx+j的定义域为.

题型二：函数的值域（最值）

1.（23-24高二上•广东广州•期末）函数〃力=2%+"-/的最大值是（）

A.75B.2-75C.2+石D.4

2.（多选）（23-24高一上•山东潍坊•期末）已知函数/*）的定义域为R,值域为［-2,3］,

则下列函数的值域也为［-2,3］的是（）

A.y=f（x+l）B.y=f（x）+lC.y=/（-%）D.y=-f（x）

CCSX

3.（2023高三上•全国•专题练习）函数〃尤）,的值域是______________.

2COSX+1

4.（2024高三•全国•专题练习）求函数y=Jx—l+j5—x的最大值.

x—1

5.(23-24高一上・吉林•期末)已知函数〃=-1左

II+k,%e[-l,o]

⑴％=-1时*求〃x)的值域;

⑵若“X)的最小值为4,求上的值.

6.(2023高三・全国•专题练习)求函数〃彳卜』二1"的值域•

7.(23-24高一上•重庆南岸•阶段练习)(1)已知函数/(无)=4〃+l)x2-g+的定义

域为R,求实数旭的取值范围；

(2)已知函数/•(x)=J“无2+2*+1的值域为［0,+e),求实数。的取值范围.

题型三：求函数的解析式

1_/

1.(2024高三・全国・专题练习)已知函数〃17)=彳；("0),则/(X)=()

B.厂\-1(无/1)

(1)

4

c.7-干一1(尤/0)D.7~^T(xwi)

(I)(I)

x-£j=Y+g,则函数〃x+l)的表达式为(

2.(23-24高一上•天津南开•期中)已知了

A.仆+1)=(尤+1丫+/7

(x+1)

C./(尤+1)=%?+2x+3D./(x+1)=x2+2x+l

3.（多选）（23-24高一上•山西太原•期中）已知函数/（«+1）=2尤+«-1,则（）

A.“3）=9B./（x）=2x2-3x（x>1）

C.7（%）的最小值为-1D.4%）的图象与x轴有2个交点

4.（23-24高一上•湖北•期末）函数〃X）满足〃可+/]£|=0,请写出一个符合题意的函

数〃尤）的解析式.

5.（2024高一•全国•专题练习）已知了⑺是二次函数且"0）=2,/（x+l）-/W=x-l,求

6.（23-24高一上•河北•阶段练习）⑴已知/（«+1）=X+24,求〃x）的解析式;

（2）/（x）-2/（-x）=9x+2,求〃x）的解析式.

题型四：分段函数问题

「XI-ya_-y-1

1.（23-24高三上・安徽六安・期末）函数〃x）=一’，若/'（/+1）〈"-104）-〃5）,

UXX-,XX

则实数。的取值范围是（）

A.{-1}B.（-oo,-l]

C.D.

2.（2024•广东深圳・模拟预测）已知函数〃x）=]：一"，无；3,若现eR,使得

[log3x,x>3

/5）W10〃?+4病成立，则实数机的取值范围为（）

C—

D.o[0,+«?)

(44

3.(2024高三・全国•专题练习)定义域为R的函数/(%)满足/(x+2)=2〃x),当％W0,2)

X2-x,XG[0,1)

时，〃尤)=，若xe[Y,-2)时，f(x)>L-L恒成立，则实数r的取值

-匕|,xe[l,2)

范围是()

A./(%)=%aB.[-2,0)3—)

C.(F-2]5。』D.[-2,1]

(5m—3}x—2m2+1,x<l„,”,,

4.(23-24高一下•广西,开学考试)己知〃力=’,是R上的单调函数,

logm%,x>l

则m的取值范围是.

：-尤丁：[T'J无最大值,则实数0

5.(23-24高一下•上海•阶段练习)若函数〃x)=

\x-a\-2,xe(1,3J

的取值范围

题型五：函数的单调性

1.(2024•陕西西安•二模)已知函数/(无)=；尤2-2尤+lnx.若〃a+l)N/(2a-l),则〃的取

值范围是()

A.(^30,—1]B.(-1,2]C.[2,+co)D.(了2

2.(2024,广东•一模)已知=若/⑷<3,则()

A.ae(1,+co)B.4?e(-l,l)C.ae(-co,l)D.ae(0,l)

3.(2024•云南贵州•二模)若函数f(x)的定义域为R且图象关于>轴对称，在[。,+?)上

是增函数，且/(-3)=0,则不等式/(x)<0的解是()

A.(-8,-3)B.(3,+8)

C.(-3,3)D.(-co,-3)u(3,+oo)

4.(2024高一•全国•专题练习)定义R上单调递减的奇函数/⑴满足对任意feR,若

f(t2-2。+/(2〃一口<0恒成立，求％的范围____.

5.（2024・四川成都•二模）已知函数/（x）=3x-siiu,若〃+f一？）>0,则实数。的

取值范围为.

题型六：函数的单调性，奇偶性，对称性，周期性综合应用

1.（2024・山东烟台•一模）已知定义在R上的奇函数了⑺满足/（2-x）=f（x）,当0W1时，

f（x）=2x-l,则〃logzl2）=（）

1111

A.—B.--C.—D.—

3432

2.（2024.河北沧州•一模）已知定义在R上的函数/（%）满足：

2024

/（x）+f（2-x）=2,/（x）-/（4-x）=0,且〃0）=2.若QN*,则£/«）=（）

i=\

A.506B.1012C.2024D.4048

3.（23-24高三下•江苏苏州•阶段练习）已知定义在R上的偶函数Ax），其周期为4,当xc［0,2］

时，/（%）=2"-2,则（）

A.”2023）=0B./⑴的值域为

C./⑺在［4,6］上单调递减D./⑺在［-6,6］上有8个零点

4.（多选）（23-24高一下.江西.开学考试）已知〃x）是定义在R上的奇函数，且

/（4-x）=〃x）,若对于任意的玉，XjG［2,4］,都有（占-X2）"（XI）-〃X2）］<。，则（）

A./（X）的图象关于点（一2,0）中心对称B.f（x）=f（x+8）

C./（X）在区间［-2,2］上单调递增D./（尤）在x=66处取得最大值

5.（多选）（2024•吉林白山•二模）已知函数“X）的定义域为R,其图象关于（1,2）中心对

称，若则（）

4

A.〃2-3x）+/（3x）=4B.f（x）=f（%-4）

20

C.7（2025）=T046D.^/（z）=-340

i=l

6.（23-24高三下•陕西・开学考试）已知定义在R上的函数/（x+1）为奇函数，“X+2）为偶

函数，当xe［0,l］时，〃力=3丁一3x,则方程在［0,99］上的实根个数为.

题型七：不等式中的恒成立问题

4

1.(23-24高一上•重庆,阶段练习)已知函数/■(x)=x+Fg(x)=2'+a.若

V^e[l,3],3x2e[2,3],使得〃占)*卜)成立，则实数。的范围是()

A.a<4B.a<3C.a<0D.a<l

2.(23-24高一上•江苏扬州•阶段练习)已知正实数x。满足2x+3y=l,且比对

任意乂丫恒成立，则实数r的最小值是.

3.(23-24高一下•上海金山•阶段练习)定义域为R的函数了⑺满足/(x+2)=2/(x),当

,21

xe[0,2）时，若当xe[Y,-2)时，不等式“X”：一+；恒成

立，则实数，的取值范围是.

4.(23-24高一下•北京延庆•阶段练习)设。为常数，且a>l,®^/(x)=cos2x+2asinx-l,

若对任意的实数x,都有/(x)V/-4成立，求实数a的取值范围.

5.(23-24高一上•北京•阶段练习)已知函数

/(x)=logj(x+l)+log](x-l),g(x)=%2-ax+6(aeR)

22

(1)求函数“X)的定义域.

⑵判断函数“X)的奇偶性，并说明理由.

⑶对V匕e[百,+@,9«1,2],不等式恒成立，求实数。的取值范围.

6.(23-24高一上•北京•期中)若二次函数满足〃x+l)-/(x)=2x,且/(0)=1

(1)确定函数的解析式；

⑵若在区间上不等式/(x)>2x+m恒成立，求实数机的取值范围.

题型八：不等式中的能成立问题

1.(23-24高一上•河南驻马店•期末)已知定义在R上的函数〃x)=log2(2'+l)+(左+l)x,

且了(力-x是偶函数.

⑴求/(X)的解析式;

(2)当xw[-3,0]时，记”X)的最大值为g(x)=x2-2mx+2,若存在xw[2,4],使

g(x)<M,求实数机的取值范围.

a—x

2.(23-24高一下•黑龙江大庆•开学考试)已知函数Ax)=logj「i,g(x)="4:2，+2+3

9/ILyJv

(1)若y=ig[g(x)]的值域为R,求满足条件的整数加的值；

(2)若非常数函数"X)是定义域为(-2,2)的奇函数，且％e[l,2),3^e[-l,l],

/(石)—心)〉-；，求加的取值范围.

3.(23-24高一下•云南红河•阶段练习)已知函数"X)=T(a>0,aw1)是定义在R上

的奇函数.

(1)求6的值；

(2)若/⑴<0,3xe1,2,使得不等式+一切>0成立，求f的取值范围.

4.(23-24高一下•河北石家庄•开学考试)已知幕函数/(x)="-4,w+4)•尤2"一在(_双0)上

单调递减.

⑴求函数〃x)的解析式；

(2)若/(l-2x)</(x+2),求x的取值范围；

⑶若对任意天目1,2],都存在ae[l,2],使得+成立，求实数/的取值范围.

5.(23-24高一上•江西新余•期末)已知函数/(x)=方弓的图象经过点

(1)求〃的值，判断〃尤)的单调性并说明理由；

⑵若存在不等式/(尤2+.)+/(d+4)>0成立，求实数用的取值范围.

题型九：函数的图象

3x2+cosx

1.（23-24高三下•四川巴中•阶段练习）以下最符合函数〃x）=的图像的是（）

2'_2T

3.（2024,福建•模拟预测）函数/（x）=g/+cos无在［-私句上的图象大致为（）

4.（2024•内蒙古赤峰•一模）在下列四个图形中，点尸从点。出发，按逆时针方向沿周长

为/的图形运动一周，。、尸两点连线的距离y与点P走过的路程尤的函数关系如图，那么

点尸所走的图形是（）

5.（233高一下广东惠州•阶段练习）函数/⑺二沾的图象大致为（）

题型十：指数函数，对数函数，募函数

1.（23-24高三上•天津南开•阶段练习）已知a=e°」，^=l-21g2,c=2-log310,则。，b,

c的大小关系是（）

A.b>c>aB.a>b>cC.a>c>bD.b>a>c

2.（2024•浙江•二模）若函数/a）=ln（e"+l）+改为偶函数，则实数。的值为（）

11

A.—B.0C.-D.1

22

3.（2024•河北沧州•模拟预测）某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的

废水中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为

2.25g/m3,首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为2.21g/n?,第"次改良工艺后

排放的废水中含有的污染物数量《满足函数模型豌ieR,〃eN*），

其中2为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，彳为首次改良工艺后排放的废水中含

有的污染物数量，”为改良工艺的次数.假设废水中含有的污染物数量不超过0.65g/n?时符

合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（）（参

考数据：想2。。.30,lg3合0.48）

A.12B.13C.14D.15

4.（2024•河南郑州•模拟预测）函数〃尤）=（2彳+4）2-1082（23川+2）是偶函数，则。的值为

（）

,1333

A.—B.-C.—D.-

8248

5.（2024•陕西西安・二模）已知定义域为R的函数/⑺满足/（x+2）=-〃x）,且当0<%<2时，

/（x）=3'-lnx,贝lj/（211）=.

3X

6.（2024•河南•模拟预测）若f（x）=log3（3+3*）+（x+dp是偶函数，则实数a=.

题型十一：函数中的零点问题

1.（2024,陕西•二模）已知七，々是函数/（©=（尤一2乂e，-2-l）-e（ei+l）的两个零点，

则e*s=（）

A.1B.eC./D.e4

2.（2024•四川•模拟预测）已知函数y=/（x-2）的图象关于直线x=2对称，对任意的xeR,

都有〃x+3）=/（xT成立，且当xe[-2,0]时，f[x）=-x,若在区间（-2,10）内方程

/（X）-log.（x+2）=0有5个不同的实数根，则实数。的取值范围为（）

A.（2,20）B.（2,2&]C.（2虎,2白）D.（20,26]

3.（2024•新疆乌鲁木齐•二模）设x>0,函数、=/+尤-7,丫=2工+%-7,丫=1082%+；1-7的

零点分别为。，4c,贝U（）

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b

4.（2024•陕西榆林•二模）已知函数〃X）=（尤2-4》+川[3-机-11恰有3个零点，则整数

m的取值个数是（）

A.1B.2C.3D.4

5.（2024•广东•一模）已知Ovavl,函数/（工）=----（xwO）.

x

⑴求〃尤）的单调区间.

（2）讨论方程f（x）=a的根的个数.

题型十二：函数模型的应用

1.（2024•宁夏吴忠•模拟预测）从甲地到乙地的距离约为240km,经多次实验得到一辆汽

车每小时耗油量。（单位：L）与速度u（单位：km/h）（0<v<120）的下列数据：

V0406080120

Q0.0006.6678.12510.00020.000

为描述汽车每小时耗油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数模

型是（）

A.Q=0.5v+aB.Q=av+b

32

C.Q=av+bv+cvD.Q=k\ogav+b

2.（2024•四川宜宾•二模）根据调查统计，某市未来新能源汽车保有量基本满足模型

N

y-7x

，其中y（单位：万辆）为第X年底新能源汽车的保有量，°为年增长率，

N为饱和度，%为初始值.若该市2023年底的新能源汽车保有量是20万辆，以此为初始值，

以后每年的增长率为12%,饱和度为1300万辆，那么2033年底该市新能源汽车的保有量

约为（）（结果四舍五入保留整数，参考数据：lnO.887。-0.12,1110.30。-1.2）

A.65万辆B.64万辆C.63万辆D.62万辆

3.（23-24高一上•广东东莞•期末）某企业从2011年开始实施新政策后，年产值逐年增加，

下表给出了该企业2011年至2021年的年产值（万元）.为了描述该企业年产值，（万元）

与新政策实施年数（年）的关系，现有以下三种函数模型：x（

xy=kx+b,y=ka«>0,

且）（且分）选出你认为最符合实际的函数模型，预测该

"1,y=klogax+ba>0,1,

企业2024年的年产值约为（）（附：1.II3a1.368）

年份20112012201320142015201620172018201920202021

年产值278309344383427475528588655729811

A.924万元B.976万元C.1109万元D.1231万元

4.（23-24高三上•福建泉州・期末）函数f（x）的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（）

X-2-101235

2.31.10.71.12.35.949.1

A.于(x)=q*+b

B.f^-kxex+b

C.f^=k\x\+b

D.〃x）=%（x-l）2+6

5.（23-24高一上,湖北荆门•期末）环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门

选择.某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速60km/h.经多次测试得到，该

汽车每小时耗电量”（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的下列数据：

V0104060

M0132544007200

为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择:

32

M（v）=^v+bv+cv,M（v）=1000^-|^+a,M{v）=3001ogav+b.

（1）当0WVW60时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数

解析式；

⑵现有一辆同型号汽车从A地驶到B地，前一段是40km的国道，后一段是50km的高速路，

若已知高速路上该汽车每小时耗电量N（单位：Wh）与速度的关系是：

A^（V）=V2-60V+6400（60<V<120）,则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？

6.（23-24高一上•云南昆明•期末）2023年9月17日，联合国教科文组织第45届世界遗产

大会通过决议，将中国"普洱景迈山古茶树文化景观”列入《世界遗产名录》，成为全球首个

茶主题世界文化遗产.经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，

口感最佳.某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时

间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度》（单位：℃）与时间（单位：分钟）的

部分数据如下表所示：

时间/分钟012345

水温/℃95.0088.0081.7076.0370.9366.33

⑴给出下列三种函数模型：（^）y=at+b（a<0）,（2）y=a-b'+c（a>0,0<b<l）,③

y=log“（，+b）+cS>0,a>l）,请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型,

简单叙述理由，并利用前2分钟的数据求出相应的解析式.

（2）根据（1）中所求模型，

（i）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）；

Cii）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）.

（参考数据：电3。0.477,35。0.699）

第二部分：新定义题

1.(2