北师大版高考数学一轮专项复习讲义-三角函数中的范围问题

§4.7三角函数中有关。的范围问题

【重点解读】在三角函数的图象与性质中，。的求解是近几年高考的一个热点内容，但因其求

法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点.

题型一三角函数的单调性与。的关系

例1已知①>0,函数/(x)=；coss：—?sin(兀一①x)在J上单调递增，则①的取值范围是

()

A.[2,6]B.(2,6)

cF9Di,5

答案c

解析由已知得1Ax)=3coscox—/sin(兀—cox)

"Jsins

22

_•5兀］.5兀

=sincoxcos----Heoscyxsin一

66

―引上单调递增,

C7兀亡兀|571

2痘兀coI,

236

所以兀|571^^c7|兀kGZ,

-a)~\----&2左兀-1-一,

(262

7

解得6k—4WcoW4左—,kGZ,

3

7s

由6左一4W4左一2得左<3,kGZ,

33

又①>0,kGZ,

因此左=1,所以

3

思维升华确定函数的单调区间，根据区间之间的包含关系建立不等式，即可求①的取值范围.

跟踪训练1(2023・宜昌模拟)已知函数/(x)=3sin(s+9),①>0,若八61=3,火兀)=0,於)在16,3)

上单调递减，那么⑦的取值共有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

答案D

日=3,刎=0,

解析

10兀

643(2„+1)'

Gt小

,.%)在I?Jj上单调递减,

I〉匹_K_7T

2~36-6’

即一迎一‘四,

.•.2〃+lW10n^N,

3（2〃+1）3

・••几=0,1,2,3,4,

即周期T有5个不同取值,

的取值共有5个.

题型二三角函数的对称性与。的关系

例2（2023・杭州模拟）已知函数兀v）=coscox-^3sinox（0>O）,若於）在区间（0,2兀）上有且仅有2

个极值点，则。的取值范围是.

（59

答案【6,3」

解析函数加）=coscox—市sincox

Reoscox-^-sin®xlfcox+^l

=2匕2J=2cos13j,

因为工£（0,271）,co>0,

所以s+L仔2肥+3

3

由于函数兀c）在区间（0,2兀）上有且仅有2个极值点，所以加）在（0,2兀）上有且仅有2条对称轴，

贝！］2兀<2兀。+四W3兀，

3

解得。e16'3_.

思维升华三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为I,相邻的对

2

称轴和对称中心之间的“水平间隔”为二这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究

4

其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于。的不等式组，进而可以研

究的取值范围.

跟踪训练2（2024-大庆模拟）若函数/（x）=3sincox+cos在区间J上仅有一条对

称轴及一个对称中心，则G的取值范围为（）

A.（5,8）B.（5,8]C.（5,11]D.[5,11）

答案B

解析由题意，函数/(x)=3sinox+cos①xnZsinl""6_J,co>0,

因为'金［"e),所以四〈①x+，v，(l+G)，

666

要使得函数人X）在区间（°'J上仅有一条对称轴及一个对称中心，

则需满足兀v"（l囱，解得5vgW8,

62

所以①的取值范围为（5,8].

题型三三角函数的最值与G的关系

_7U7L

例3已知函数次x）=2sin@c在区间J-3,十上的最小值为一2,则①的取值范围是.

答案（-8,-2]uhJ

解析由题意，显然①W0.

兀兀7171

------------------Cl）—CD

若0>0,当xeL3’4」时，（DX^L3’4」，

_71匹

因为函数/（x）=2sin0x在区间_3’z上的最小值为一2,

所以一%W一四,解得co》,；

322

71717171

———CO—（J~）

若“<0,当xc13’4」时，cox^[4'3J,

_71匹

因为函数次x）=2sinGx在区间1—3I上的最小值为一2,所以:①W—1解得①W—2.

「3u_]

综上所述，。的取值范围是（一8,-2]UL2'J

思维升华利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于。的不等式（组），进而

求出。的值或取值范围.

跟踪训练3为了使函数y=sin8（。>0）在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则。的最小值为

)

197兀199兀

A.98兀D.10071

22

答案B

解析由题意,在[。刀上至少出现5。次最大值即在[。刀上至少需要49；个周期,即号个周

期,

所以空7=里曲Wl,

44co

所以在等”的最小值为等.

题型四三角函数的零点与。的关系

l2cox--l

例4（2023・开封统考）若函数8a）=3〔3J在区间［0,兀）内有5个零点，则。的取值范围

是（）

/2B空＜0・空

12121212

D及＜°W要

1212

答案D

解析g(x)=cosl0x3.

“,兀2。兀-

当工£[0,兀)时，2Gx——343J,

_7L3715K7TI9K11兀

y=cosx在y轴右方的零点为X，，，，，

222222

因为函数g（x）的图象在区间［0,兀）内有5个零点,

所喳2s一产一,解得….

思维升华三角函数两个零点之间的“水平间隔”为与根据三角函数的零点个数，可以研究

2

“①”的取值.

跟踪训练4（2O24^株洲模拟）已知｛x）=sin。x（0eN+）,若在区间J上存在两个不相等的

实数a,b,满足八°）+八刀=2,则。可以为.（填一个值即可）

答案5（答案不唯一）

解析fix）—sinrnx^1,cy^N+,

0匹

若在区间2」上存在两个不相等的实数a,b,满足人a）十/（6）=2,

0匹

则在区间［'2」上八x）至少存在两个最大值，

・兀①＞5兀

22

••CD5,

又①£N+，・,•①可以为5.

课时精练

一、单项选择题

1.（2024•达州模拟）已知函数｛x）=Nsin（ox+w）（0>O）,若危）在区间|_6'3」上单调，且人0）

=/日=一/日，则。的值为（）

A.1B.2C.3D.4

答案B

K2TIGf|Gf|15研

解析由于危）在区间情‘上上单调，且/GJ=一）旧，所以产;且/同=o,

又因为火。）=/0,且

所以直线x=5为正）图象的对称轴,

6

又或一些=21,所以匹=?,故o=2.

1264244

2.(2024•南昌模拟)已知函数3j+sincox(co>0),fixi)=0,於2)=3，且|XL回

=兀，则①的最小值为()

12

A.-B.-C.1D.2

23

答案A

解析因为fix)=3^)+sin(yx=-sincox+—coscox+sincox=-sincox+—coscox=

2222

rII

Wsinl6j,

火xi)=o,外2)=\5,且同一词=兀，

所以函数«c)的最小正周期7满足，1T=7t/eN),则T=j^(%eN),

所以G=K=----(左£N),

T2

又口>0,故当人=0时，口取最小值1.

2

3.若直线x=:是曲线y=sin[①"J（①>0）的一条对称轴，且函数y=s卜inU]在区间

上不单调，则0的最小值为（）

A.9B.7C.11D.3

答案C

解析因为直线x=4是曲线y=si』®x一'（。>0）的一条对称轴,

则四口一匹=左兀+匹，

442

即①=4左+3,Z,

八匹_7TCO_71

当xG12时，a>x--e4’1714

4

0—

因为八%）在［'12」上不单调，

所以与7T一匹必，解得0>9,

1242

所以o的最小值为11.

4.（2023•开封模拟）已知将函数/（x）=2sin（0>0）的图象向右平移S个单

2co

位长度，得到函数g（x）的图象，若g（x）在（0,兀）上有3个极值点，则。的取值范围为（）

解析»=2sm^[C°S5Tsm^=2sinfcos二一2&W=sms—g(l—cos

(cDx+^\r

cox)=sincox+\Jicoscox—^3=2sink3J-A/3,

因为①>0,

、IK+0

所以当x£（0,兀）时，s+：£13'3j,

又因为g（x）在（0,兀）上有3个极值点，则由余弦函数的性质可得3兀〈①兀+；W4兀，解得，〈①

「0x+矶

5.已知函数人x）=2sin〔6J（co>0）f若方程批）|=1在区间（0,2兀）上恰有5个实根，则口的取

值范围是（）

解析由方程照）|=12sinl6jI=1,

可得smg=±J

所以ox+匹（左£Z）,

66

因为①>0,

2①兀+胃

所以当工£（0,2兀）时，C9x+三

6

所以5+三的可能取值为红，丝生，地,匕三19兀

6666666

因为原方程在区间（0,2兀）上恰有5个实根,

所以色<2。兀十三W地，

666

解得戛即。的取值范围是口2..

32

6.（2023・青岛质检）已知函数次x）=sin（G%+9）,其中①>0,勿・]%=一：为小）的零点，且

小）<1/01恒成立，在区间[一I?3上有最小值无最大值，则①的最大值是（）

A.11B.13C.15D.17

答案C

解析由题意，直线x=:是小）图象的一条对称轴，

所以/D=±l,即:①+9=左1兀+}k\^Z,①

又/[4）=0,所以一：①+夕=左2兀，左2^Z,②

由①②，得①=2（左1一左2）+1,ki,k?GZ,

2L兀]

12,24」上有最小值无最大值,

所以冷或一卜日

四

8_9

即四》匹,解得。W16.

co8

综上，先检验①=15,

当①=15时，由①得15+9=左1兀+]kiGZ,即9=后兀一k\GZ,又

「IS—f—兀]13兀37fl

所以夕=—：,此时/（x）=sinl?"4）,当xG112,24」时，15x—2,8J,

当15x—；=U，即x=—京时，取得最小值，无最大值，满足题意.

故o的最大值是15.

二、多项选择题

_7l2K

7.（2024•海淀区模拟）已知函数_Ax）=sins;（①>0）在143」上单调递增，那么常数口的一个

取值可以为（）

113

A.-B.-C.-D.1

424

答案ABC

_712兀

解析段）=sin①%（①>0）在-4'3_上单调递增，

则斯3w生,如[一Jz—匹，

322

3

・・・0<GM,

4

・,・选项ABC符合题意.

「①x+矶

8.（2023•郑州模拟）已知外）=1-2cos2l3J（co>0）.则下列判断正确的是（）

=

A.若汉阳）=1,-1,且|%1一X2|min=兀，则①=2

B.存在。G（0,2）,使得火X）的图象向右平移手个单位长度后得到的图象关于y轴对称

6

1147]

C.若兀0在[0,2利上恰有7个零点，则。的取值范围为匕4,2“

一—工研（0〉

D.若｛x）在164」上单调递增，则。的取值范围为I'3」

答案CD

解析因为危）=1-2cos2（®x+l]

[25+刊L+H

=­cosl3J=sinl6J,

所以周期7=红=匹

2coCD

对于A,由条件知，周期为2兀，所以四=2兀,

co

解得。三，故A错误;

2ox一如十三..缶

对于B,函数为x）的图象向右平移四个单位长度后得到函数y=sin、36J的图象,

6

若其关于歹轴对称，则一如+四=四+析（左£Z）,解得G=-1—3左（左£Z）,

362

故对任意整数左，①生（0,2）,故B错误;

对于C,由条件得7兀W2w2兀十四<8兀,

6

解得包故C正确;

2424

TCCOI7C—7T

I-—9

36279

对于D,由条件得JCCOI7T-7T解得①W-,又①>0,所以0〈GW-,故D正确.

----1-一、一,33

1262

三、