北师大版高考数学一轮专项复习讲义-三角函数的图象与性质

§4.5三角函数的图象与性质

【课标要求】1.能画出三角函数的图象2了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值3借助

r_K矶

图象理解正弦函数、余弦函数在［0,2用上的性质及正切函数在1—2,引上的性质.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图

(1)在正弦函数y=sinx,xd［0,2兀］的图象中，五个关键点是：(0,0),(兀，0),

（2兀，0）.

(2)在余弦函数y=cosx,xd［0,2兀］的图象中，五个关键点是：(0,1),

（2兀，1）.

2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中左GZ)

函数y=sinxJ=COSXy=tanx

yy

一匹1TT1TT7T

图象20、7r»~2

4X

,卜j

定义域RR

值域[—1,1]LLUR

周期性2兀2兀71

奇偶性奇函数偶函数奇函数

每一个闭区间每一个闭区间

每一个闭区间［2历i—

单调递增区间

2kli—2E+"兀,22兀］

L22j

每一个闭区间

每一个闭区间［2左兀，

单调递减区间

2kn+-,2E+斗

2历i+兀］

L22」

，兀+1,0

对称中心他兀，0)[r°]

对称轴

x=kn+^X=ATI

方程2

【常用结论】

1.对称性与周期性

⑴正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是3个周期，相邻的对称

中心与对称轴之间的距离是1个周期.

4

（2）正切曲线相邻两对称中心之间的距离是;个周期.

2.与三角函数的奇偶性相关的结论

（1）若^=然皿5：+0）为偶函数，则p=（后GZ）;若为奇函数，贝际=防1（左GZ）.

（2）若^=/（：0$（0¥+0）为偶函数，贝跖=E（左GZ）；若为奇函数，贝!13=祈+；（左GZ）.

（3）若y=/tan（0x+p）为奇函数，则夕=左兀（左^2）.

【自主诊断】

I.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“J”或“X”）

（1）函数y=sinx,xG[0,2n],y=cosx,xG[0,2兀]的五个关键点是零点和极值点.（X）

⑵函数y=sinx图象的对称轴方程为x=2E+：/GZ）.（X）

（3）若人2x+r）=/（2x）,则7是函数人2劝的周期.（X）

（4）函数y=tanx在整个定义域上是增函数.（X）

2.（多选）已知函数兀0=$亩[J（xGR）,下列结论正确的是（）

A.函数加）的最小正周期为2兀

B.函数於）在区间12」上单调递增

C.函数4）的图象关于直线x=0对称

D.函数兀c）是奇函数

答案ABC

解析由题意得"X）=—COSX,

对于A,T=j=2兀，故A正确；

对于B,因为y=cosx在「0-2」上单调递减，所以函数"）在「o-2」上单调递增，故B正确；

对于C,次一%）=—cos（—x）=—cosx=/（x）,所以函数加）是偶函数，所以其图象关于直线X

=0对称，故C正确，D错误.

3.函数於luZtanf2"1）图象的对称中心的坐标是（）

A.[?0]

，祈十匹,ol

B.L6J,kGZ

伶+匹，ol

D.146J,kGZ

答案D

解析令2%-匹="kGZ,

32

解得％="+3kRZ,

46

所以函数次xTanbT图象的对称中心的坐标是。+：，0]让z.

4.函数y=3—2cos1+J的最大值为,此时x=.

答案5亍+2版（左£Z）

解析函数y=3—2cosI.J的最大值为3+2=5,此时x+：=兀+2左兀（左£Z）,即、=彳+

2历i(k£Z).

■探究核心题型

题型一三角函数的定义域和值域

cosX—?的定义域为（

例1⑴函数y=)

_7171

A.,6,6_

kit--,左兀+匹

B.66>ez)

2左兀――,2左兀+匹

66」(左£Z)

D.R

答案C

得COSX'?,

解析由COS'一

2E一匹WxW2E+四（左eZ）.

66

如果函数作尸修+。在区间」上的最小值为韵，则的值为(

(2)sinl*31+13,6a）

C2+3D1

22

答案A

_TI571.7兀

因为当X』3‘6」时，x+1]'6」

解析

1

所以

当x=■时,sinF3J有最小值已

6

可得/(x'nsinb+jJ+,+a的最小值为一；+?+°=3,解得a=3；，

思维升华三角函数值域的不同求法

(1)把所给的三角函数式变换成歹=/sin(s;+9)的形式求值域.

(2)把sinx或cosx看作一^个整体，转换成二次函数求值域.

(3)利用sinx士cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域.

跟踪训练1⑴函数尸tanhT的定义域是()

A.k产3

I,3K

%子一

B.4

«三+左兀，E£Z

c.UI4

<至+左兀，kGZ

D.UI4

答案D

解析函数y=tan

令x—匹W匹+左兀，kGZ,

42

解得囱+E,kRZ,

4

xW手+左兀，k^Zj

・,・函数》的定义域是

(2)函数/(x)=cos2x+6cos的最大值为（）

A.4B.5C.6D.7

答案B

解析因为/(x)=cos2x+6cosl2J

cos2x+6sinx=l—2sin2x+6sinx

smT+ll,

11

=-2l

2

又sinx£[—1,1],

所以当sinx=l时，於）取得最大值5.

题型二三角函数的周期性、对称性与奇偶性

例2（1）（多选）（2023・合肥模拟）已知函数次x）=sinx（sinx-x）,则下列说法正确的是（）

A.函数外）的最小正周期为兀

ol

B.点।I8,J是y=/（x）图象的对称中心

径f|

C.点।18,2j是y=/（x）图象的对称中心

D.直线x=月是尸危）图象的对称轴

8

答案AD

角星析/(%)=sinx(sinx—cosx)

=sin2x—sinxcosx

1—cos2x1.3

-------sin2x

22

4卜,

22

T——=it,故A正确;

2

当x=一四时，2x+匹=0,

84

此时sinF+J=0,

则函数关于点1―8'J对称，故B错误;

当y时,2x+X，此时上

则函数关于直线尸;对称，故C错误;

当T时,法+：弩,此时smE'f

则函数关于直线Xu,对称，故D正确.

7171

（2）已知函数/（x）=gcosF+4+9J是奇函数，且夕金22」，则9的值为一

n

答案

4

解析由已知，得：+夕=版+］（左£Z）,

所以9=左兀+：（左£Z）,

_7l7T

又因为夕金［2'2」，

所以当左=0时，夕=匹符合题意.

4

思维升华（1）奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为>=4sin①X或y=4tanGX的

形式，而偶函数一般可化为y=Acoscox的形式.

O-JT

（2）周期的计算方法：利用函数y=Zsin@x+9）,〉=48$（5：+夕）3>0）的周期为一,函数〉=

co

出@11（0¥+夕）3>0）的周期为匹求解.

co

（3）对称轴、对称中心的求法：对于可化为fix）=/sin（①x+夕）（或於）=/cos@x+夕））形式的函

数，如果求於）的对称轴，只需令①%+9=彳+左兀（左£Z）（或令0式+夕=划1（左£Z））,求x即可；

,6L、〃工,工人,［或令（《%+0=匹+左兀（左£Z）］,,

如果求於）的对称中心的横坐标，只需令3+夕=七1（左£Z）l2J,求x

即可.对于可化为/（x）=/tan（Q）x+9）形式的函数，如果求加）的对称中心的横坐标，只需令

（Ox+^=y（^EZ）,求X即可.

跟踪训练2（1）（多选）下列函数中，最小正周期为兀的是（）

A.j^=cos|2x|B.j^=|cosx\

（2x+4「2x—矶

C.y=cos16）D.j=tanl4J

答案ABC

解析A中，j=cos|2x|=cos2x,最小正周期为兀;

B中，由图象知y=|cosx|的最小正周期为兀；

c中，》=cosJ的最小正周期7=—=兀；

D中，尸tanP"j的最小正周期r=1.

⑵(2023・日照模拟)已知函数｛x)=2sin(s+9)&侬的最小正周期为兀，其图象关于直

答案3

解析函数八x)=2sin(①网句的最小正周期为兀，其图象关于直线X,对称,

2K_

一=兀，

co

则

匹①+夕=四+左兀，Z,

62

・一c—三

・・CO—2,(p-,

96

71

；2x--\"k一)I

故/(x)=2sinl、6j,

则/Q=2sinl

[2X-+-1r

il46J=y]3.

题型三三角函数的单调性

命题点1求三角函数的单调区间

例3(1)(2022,北京)已矢口函数/(x)=cos2x—sin2x,贝|()

_K_叫

_‘[2,6)上单调递减

解析依题意可知於尸cos?%—sin2'=cos2x.

对于A选项，因为』—2'—I,所以"J一"2fl-5)

3J,函数｛x)=cos2x在12'61上

单调递增，所以A选项不正确；

「一匹JLI］一匹矶「—匹匹］

对于B选项，因为xG〔4,1J所以2xdl2’6J,函数｛x)=cos2x在I4’12」上不单

调，所以B选项不正确；

对于C选项，因为』”1),所以2』"11),函数")=cos2x在［"f上单调递减，所

以C选项正确；

他7.|K77fl|K77fl

对于D选项，因为％12_J,所以2%£仃6)，函数｛x)=cos2x在U121上不单调，所

以D选项不正确.

•f―21的单调递减区间为

(2)函数於)=sin

J_Jl_

KTt,

答案_12,k5

解析加尸smJ2x)的单调递减区间是g(x)=sm2苫-"的单调递增区间.

由2左兀一一匹＜2左兀+匹，kGZ,

232

得析—kGZ.

1212

jJCjI57r

ATT----KTTI------

故所给函数的单调递减区间为1｝212」，4GZ.

延伸探究若例3(2)中的函数不变，求其在［0,利上的单调递减区间.

7TCjI5兀

K71---,K7ln---

解令―1212j,kb,5=[0,71],

5£|「11兀

71

：.AC\B=

.\Ax)在［0,句上的单调递减区间为

命题点2根据单调性求参数

例4已知小尸sin(2x一盛％司在P力上单调递增，且｛x)在I"mI上有最小值，那么卬

的取值范围是()

ETl\Dr

A.L?2)B.L6，J

C.D2jD.1'3」

答案B

0方2K_

解析由、金['3_可得2x—9』9'30

又由0＜9＜上且外）在「3」上单调递增，

可得"一夕・匹，所以三〈匹

3262

当上。2,2L』F'IT,

由小）在［“上有最小值，可得了一夕＞段,

所以小与综上，

464

思维升华（1）已知三角函数解析式求单调区间

求形如＞=4sin（s:+9）或〉=/cos（①%+夕）（其中①＞。）的单调区间时，要视“①x~\~（p”为一个整

体，通过解不等式求解.但如果o＜0,可先借助诱导公式将。化为正数，防止把单调性弄错.

（2）已知三角函数的单调区间求参数

先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.

（5-2x1「0月

跟踪训练3（1）设函数人x）=cosUJ，则於）在1'2」上的单调递减区间是（）

7171

0,0,

A.8—B.4—

三匹三四

CL42D.b2

套口案D

2L；J,

解析由已知於）=cosl

得2左兀W2%—四W2历i+兀，kGZ,

4

则历i+四左£Z,

88

「0,-

又2」，

...«0在］"；上的单调递减区间为;，

⑵若加）=cosx—sinx在［一0,旬上单调递减，则。的最大值是（）

A兀n兀=3兀门

A-B-C.——D.7i

424

答案A

解析y（x）=cosx—sinx=A^cosl4,

由题意得a＞0,

因为/（x）=^cos［+J在［—Q,a］上单调递减,

一。十四20,

4

所以％+匹〈兀，解得

4-

（2>0,

所以Q的最大值是四

4

课时精练

ID知识过关

一、单项选择题

1.若函数尸岳八回一）…两对称中心间的最小距离为］则。等于（）

A.1B.2C.3D.4

答案A

解析因为函数ynWcosg^x—）（。>0）两对称中心间的最小距离为;

所以（=则7=兀，

22

所以T=F=兀，解得G=l.

2co

2.（2023•焦作模拟）已知函数外尸cost2"—j,则於）在［―2,0］上（）

A.单调递增B.单调递减

C.先增后减D.先减后增

答案D

解析•.•不£［—2,0］,

—4—四一匹

.*.2%—£66

6

函数人x）=cos已"J在［—2,0］上先减后增.

3.已知函数外）=2cos［+j,设a=/D，6=/0，c=/Lj，则Q，b,。的大小关系是

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>a>c

答案A

解析a=/[z)=2cos—,

42

b=/Q=2cos

3

=2c°s

因为y=cosx在［0,用上单调递减,

又。喏f*，

所以a>b>c.

四

4.（2023•全国乙卷）已知函数人x）=sin（ox+9）在区间16'3」单调递增，直线啜和》=个为

函数y=/（x）的图象的两条相邻对称轴，则/［―等于（

)

A.-*B.--C.-D且

2222

答案D

解析因为直线x=£和x=g为函数y=«0的图象的两条相邻对称轴,

所以1="—匹=&,不妨取0>0,则T=TI,co=-=2,

2362T

由题意知，当x="时，/（x）取得最小值，则2义四+9=2E一如，人£Z,

662

Sir

则9=2ATI-----kGZ,不妨取左=0,

6

则加)=sin(2x6j,

H9=sin上到=也

则/

2

5.（2023•抚州模拟）已知函数/（X）=sin|M-cos2x,则下列结论错误的是（）

A.火x）为偶函数

B.火x）的最小正周期为兀

C.加）的最小值为一［

8

D.小）的最大值为2

答案B

解析因为/（一%）=sin|—x|—cos（—2x）=sin|x|—cos2x=/（x）,所以外）是偶函数，则A正确；

若兀r）的最小正周期为兀，则人x+兀）=/（x）恒成立，即sin|x+兀cos2（r+7i）=sin恸一cos2》,

即sin|x+兀尸sin|x|恒成立，而当时，sin；Wsin所以“«r）的最小正周期为兀”是错误

的，则B错误；

由«r）是偶函数，只需考虑时的最值即可，当时，/（x）=sinx—cos2x=2sin2%+sinx

r,rir,nr_9

—1=21sm'4J2-因为sinx£[—1,1],所以zlm”4J2—8,即/（x）的值域为

88

一―92

_8,」，则C和D正确.

6.（2023・安康模拟）记函数Hx）=sinMx+J+6（oeN+）的最小正周期为7,若;＜7＜兀，且了=

火x）的最小值为1.则夕=段）图象的一个对称中心为（）

Ji,°]B,&2]

C.居2]D[?°]

答案C

解析由函数的最小正周期T满足四＜7＜兀,

2

啜M解得2…

又因为c«£N+,所以Q=3,

所以加）=s+/?,

又函数＞=%）的最小值为1,所以6=2,

所以加）=s+2,

令3%+匹=左兀，kGZ,解得—%,kGZ,

4312

所以对称中心为1312,J/£Z）,只有C符合题意（左=2）.

二、多项选择题

7.（2024,株洲模拟）下列关于函数於）=（：05%+公足工（4。0）的说法正确的是（）

A.存在Q,使火X）是偶函数

B.存在4,使启）是奇函数

C.存在a,使於+兀)=〃)

D.若｛x)的图象关于直线x=j对称，则a=l

答案AD

解析函数/(x)=cosx+asinx

=A/l+tz2sin(x+3),

其中而三’侬。=而着,

夕£(0,兀)，

当4=0时，/(x)=cos%为偶函数，故A正确；

对于B,无论。取何值，函数«r)=ymsin(x+<9)都不可能为奇函数，故B错误；

对于C,fix+7i)=Ajl+a2sin(x+7r+0)=~\)\+a2sm(x+0),故C错误；

对于D,当x=；时，函数人无)取得最大值或最小值，故解得。=1,故D

正确.

口>0,0v|9dL

8.(2023•西安模拟)已知函数八X)=sin(①x+夕)1、叼2j在区间I?可上单调，且/图=

一兀

A.co=3nB.(p=----

6

TT

C.0)=2D.69=-

6

答案CD

解析因为函数人xLsinM+jQ""阳＜2]在区间I?上单调,

所以1=1纽—匹=支，所以0＜。＜2,

22co362

因为/©=-/■第=1,

所以sin〔/+[=—sf%+q=l,

所以匹＜7＞+9=四+2左m,

62

，7T3TT

-F2左2兀，k\,Z,

故:①=兀+2(后2—左1)兀，

所以①=2+4(左2—ki),kz,kgZ,

因为0＜GW2,ki—kiGZ,所以①=2,

则夕=匹+2左m,左i《Z,

6

又0<阳岑所以9=£

26

三、填空题

9.函数q=）sinx—cosX的定义域为

2E+：,2阮+；

答案（右Z）

解析方法一要使函数有意义，必须使sin%—cosx20.在同一直角坐标系中画出［0,2兀］上》

=sinx和y=cosx的图象，如图所示.

在［0,2兀］内，满足sinx=cosx的x为:，:，再结合正弦、余弦函数的周期是2兀，所以原函数

,、”心,2左兀+匹,2左兀+囱

的定义域为144」（左£Z）.

方法二要使函数y=<sinx—cosx有意义，即使sinx—cosx》0,即也sin［J'O,即2历

兀_,-I—一、、,一、，2左兀+支，2ATI+显

—［W2E+兀（左£Z）,即原函数的定义域为144」（左£Z）.

10.写出一个同时满足下列两个条件的函数次x）=.

①VxGR,/+j=Hx）；

②VxGR,段）勺日恒成立.

答案一COS4x（答案不唯一）

解析由VxCR,/1+J=/（x）可知，函数的周期为］

由VxGR,/）勺口恒成立可知，函数在x=:处取到最大值,

则/（%）=—cos4x满足题意，

一方面根据余弦函数的周期公式，丁=空=匹,满足VxdR,

42

另一方面，/0=-COS兀=l=/（x）max,满足Vx^R,小）W/Q恒成立.

11.若函数启）=7sin［+ic］在区间2,1上单调，则实数。的最大值为

答案y

71

一,a

解析因为x^\2_

a

所以

71

又像在y=sinx的单调递减区间2’内，

所以.吟

解得T，

所以。的最大值为1.

12.已知sinx+cosy=；,则sinx—sin2)7的最大值为

9

答案

16

解析Vsinx+cosy=-,sinx^[―1,11,

4

sinx；一cosy£[—1,1],

3,513,i

cosy£44J,即cos4

3T2-1,

cos^-cosy-1

-—3,1

又cosy^L4

、__,,a_一

利用二次函数的性质知，当cosy=—时，sinx—sin2);取最大值，(sin%—si/j/Jmax

4

四、解答题

「2ox—矶1

13.设函数加)=2sin161+加的图象关于直线X=TI对称，其中。＜。弓.

(1)求函数外)的最小正周期;

0迎

（2）若函数>=益）的图象过点（兀，0）,求函数於）在L'2」上的值域.

（2①兀一目

解⑴由直线工=兀是y=/（x）图象的一条对称轴，可得sinl6j=±l,

所以2①兀一：=左兀+彳（左£Z）,解得①=g+；（左£Z）.

又0<①2,所以①=1,

23

所以函数人x）的最小正周期为371.

（V矶

（2）由（1）知危）=2sin136j+m,

因为次兀）=0，

p7l7l|

所以2sin136〕+加=0,

解得m=-2,

传—4

所以7（x）=2sinl36J—2,

当OWxW囱时，一匹w2x一匹W红，

26366

1化―q

可得—Wsin1361W1.

2

所以一3W/3）W0,

0皿

故函数外）在1'2」上的值域为[-3,0].

14.（2023・新乡模拟）已知函数4c）=asin[2x―j—2cos2（^+j（a>0）,且满足.

从①/（x）的最大值为1;②Ax）的图象与直线歹=一3的两个相邻交点的距离等于兀；③/（X）的图

象过点0'°）这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答.

（1）求函数段）的解析式及最小正周期；

（2）若关于x的方程於）=1在区间[0,河上有两个不同解，求实数机的取值范围.

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.