北京市延庆区2024-2025学年高一年级上册期中考试数学试卷（含解析）

延庆区2024-2025学年第一学期期中试卷

局一数学

本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟

第I卷(选择题)

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知集合"={-1'°'1'2},5={-2,-1,0,1},则A3=()

A{0,1}B.{-1,0}C.{-2,-1,0,1,2}D.{-1,0,1}

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，利用交集的定义求解即得.

【详解】集合A={—1,0,1,2},B={-2,-1,0,1},所以Ac5={—1,0』.

故选：D

2.若集合A=[—3,1],3=(—2,3),则AB=()

A.(—2,1]B.[―2,1)C.(—3,3]D.[―3,3)

【答案】D

【解析】

【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求解.

【详解】因为A=[—3,1],5=(-2,3),所以A_3=[—3,3),

故选：D.

3.己知全集U={无€M尤<6}且A={xeU|x2<5},则集合心A中元素有()

A.2个B.4个C.5个D.7个

【答案】B

【解析】

分析】利用列举法表示集合U,解不等式化简集合A,再求出gA即可得解.

【详解】依题意，。={0』,2,3,4,5,6},解不等式％2<5,得—<君，则人={0」,2},

所以许A={3,4,5,6},集合gA中的元素有4个.

故选：B

4.己知集合A满足｛1｝｛1,2,3,4｝,则人有（）

A.2个B.4个C.5个D.7个

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，求出集合｛2,3,4｝的真子集个数即可得解.

【详解】集合A满足｛l｝cAf：｛1,2,3,4｝,则集合A可视为集合｛1｝与集合｛2,3,4｝的每个真子集的并集,

而集合｛2,3,4｝的真子集个数为23—1=7，

所以A有7个.

故选：D

5.若尸=/_2a和。=2。—4,则尸和。的大小关系为（）

A.P>QB,P<QC.P>QD.P<Q

【答案】C

【解析】

【分析】根据条件，通过作差法，得到P-Q=（a-2）2,即可求解.

【详解】因为P=2”，Q=2a-4,

所以p—。=片—2a—（2a—4）=4—4a+4=（a—2>20,当且仅当a=2时取等号，所以P2Q,

故选：C.

6.设a,4ceR,且a</）,c<d,则（）

A.a<b~B.—>—C.ac<bdD.a3<b

ab

【答案】D

【解析】

【分析】举例说明判断ABC；利用不等式的性质判断D.

【详解】对于A,取a=—2力=2,满足。<匕，而/=4=/,A错误；

dc

对于B,取々=-21=一1,。=1,4=4满足々〈仇。<1,而—=一2<-1=—,B错误；

ab

对于C,取。=一2,/?=—l,c=l,d=4满足,而ac=—2>-4=bd,C错误;

对于D,由不等式性质知，由a<Z?,得/〈尸，D正确.

故选：D

7.下列函数中，既是偶函数又在区间(口,0)上单调递增的是()

11

A.y=—B.y=x+l

x

C.j=-x2,xe(^x),0)D.丁=国

【答案】A

【解析】

【分析】利用奇偶函数的判断方法及基本函数的单调性，对各个选项逐一分析判断，即可求解.

【详解】对于选项A,因为y=±=x-2,定义域为(-8,0)J(0,+8),关于原点对称，

X

又/•(一幻=7二=二=/(%),所以丫=二是偶函数，

(-X)XX2

又由暴函数的性质知y=3在区间(0,+“)上单调递减，所以y=3在区间(F,0)上单调递增，故选项

XX

A正确，

对于选项B,因为丁=尤+1图象不关于y轴对称，即y=x+l不是偶函数，所以选项B错误，

对于选项C,因为xe(—8,0)的定义域不关于原点对称，即>=-小，龙w(-w,0)是非奇非偶函

数，所以选项C错误，

对于选项D,当xe(—8,0)时，y=|x|=—%在区间(-8,0)上单调递减，所以选项D错误，

故选：A.

8.已知函数/(%)的定义域为A,则”/(x)为奇函数”是“，(0)=0”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【详解】试题分析：因函数的定义域是火，故"/(X)是奇函数”是“/(0)=0”的充分条件；

反之，若/(0)=0,则函数.门门不一定是奇函数，"於)为奇函数”不是必要条件.应选A.

考点：充分必要条件.

9.已知函数/(x)=f+办+2有两个零点，在区间(-1,2)上是单调的，且在该区间中有且只有一个零

点，则实数。的取值范围是()

A.(-00,-2A/2)O(2A/2,+oo)B.(-00,-3)o(3,+oo)

C.(-<»,-4](3,+00)D.(-ooT][2,+00)

【答案】C

【解析】

【分析】求出函数/(%)的单调区间，再结合集合的包含关系及零点存在性定理列式求解即得.

【详解】函数/(%)=炉+办+2在(一夕-号上单调递减，在号,+8)上单调递增，

由在区间(-1,2)上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，

af/(-l)>0f/(-I)<0

得(—l,2)u(—00,—且八或(—l,2)u[—1a,+oo)且，，

2[〃2)<02]〃2)>0

-->2[--<1

22

则<3—a〉0或<3—。<0,解得。<一4或。>3,

6+2。<06+2。〉0

所以实数。的取值范围是(―,-4](3,+8).

故选：C

10.VxeR,设/(x)取y=4x+l,y^x+1,y=-2%+4三个函数值中的最小值，则/(%)的最大值

为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】作出函数/(%)的图象，利用图象求出其最大值.

【详解】在同一坐标系内作出直线y=4x+l,y^x+1,y=—2x+4,

由/(%)取y=4x+l,y=x+l,y=-2》+4三个函数值中的最小值，

得了(%)的图象为下图中实线构成的折线图,

则f(x)的最大值即为了(幻的图象最高点对应的纵坐标值，

观察图象知，/(%)图象最高点是直线y=x+l与y=-2x+4的交点，

y=x+1fx=l

由，c,,得《C，因此/(%)的图象最高点是(1,2),

y=-2%+4[y=2

所以/(%)的最大值为2.

故选：B

第II卷(非选择题)

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.函数=二的定义域是.

【答案】(—2,+8)

【解析】

【分析】利用函数有意义列式求出定义域.

【详解】依题意，2x+4>0,解得x>—2,

所以函数〃司=寻工的定义域是(—2,+s).

故答案为：(-2,+co)

12.已知奇函数八%)满足/(一5)</(—3),则“5)/(3).

【答案】大于

【解析】

【分析】利用奇函数的性质，结合不等式的性质求解即得.

【详解】由奇函数/(%)满足/(一5)</(—3),得—〃5)<—/(3),所以〃5)>/(3).

故答案为：大于

13.已知A=(-8,a],B=(^»,3),且xeA是xe3的必要不充分条件，则。的取值范围是

【答案】a>3

【解析】

【分析】根据条件得到3A,再利用集合间的关系，即可求解.

【详解】因为xeA是xeB的必要不充分条件，则8A,

又A=(-oo,a],B=(^x),3),所以a»3,

故答案为：a>3.

Q

14.已知尤<0,则y=l+2x+—的最大值是,当且仅当％=时，等号成立.

x

【答案】①.-7②.-2

【解析】

【分析】根据给定条件，借助配凑的方法，利用基本不等式求出最大值及对应了的值.

【详解】由％<0,得-x>0,则y=l-(-2x+§)VI-2)-=-7,

-xV-x

Q

当且仅当—2x=—,即无=一2时取等号，

—X

Q

所以当x=—2时，y=l+2x+—取得最大值—7.

x

故答案为：-7；-2

15.己知函数/(x)=f—2|x|—1,给出下列四个结论：

①函数/(幻是偶函数；

②函数/(%)的增区间为[1,+8)；

③不等式/(X)<X—1的解集是(-1,3)；

④当%>—3时，令g(x)=d2，贝|]8(%)的最小值为2正_4.

x+3

其中所有正确结论序号是.

【答案】①④

【解析】

【分析】利用偶函数的定义判断①；求出函数的单调递增区间判断②；分段求出不等式的解集判断③；利用

基本不等式分段求出最小值判断④.

【详解】函数/(幻=炉-2|x|-1的定义域为R,

对于①，/(-%)=(-x)2-2|-x|-1=x2-2|A-|-1=/(%),函数/(%)是偶函数，①正确;

_|_2%_］尤<0

对于②，/(%)=,一'—,函数/(幻的增区间为［―1,0］,工+8),②错误;

x—2%—1,x〉0

x<0fx>0

对于③，不等式/(%)<%—1,或〈2

了2+2%一1<x—1x—2x—1<x—1

解得—1<%<0或Ovxv3,所以不等式/(%)<%—1的解集是(—1,0)(0,3),③错误;

f+2x-1

,—3<冗V0

x+3

对于④，依题意,g(x)=<

x2-2x-l

,x>0

x+3

当—3<xW0时，g(x)=(x+3)+---4>2J(X+3)-^--4=2A/2-4,

x+3Vx+3

9

当且仅当X+3=一即％=&—3时取等号;

x+3

1414/—

当%>0时，g(x)=(x+3)+------8>2J(x+3)--------8=2714-8,

x+3Vx+3

14

当且仅当x+3=——，即％=旧―3时取等号,

x+3

而2&7-8-(2&_4)=2［皿_(0'+2)］=2(而_,6+4夜)〉0,

即2，1^-8>2及—4，所以g。)的最小值为20—4，④正确.

故所有正确结论的序号是①④.

故答案为：①④

【点睛】思路点睛：涉及分段函数解不等式问题，先在每一段上求解不等式，再求出各段解集的并集即可.

三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.求下列方程(组)的解集：

(1)x~+5x-6—0

(2)ax=3

(3)x+2五-1=0

X22,

——+y=1

4-

(4)<

1,

y=-x+1

-2

【答案】（1）{-6,1}

(2)当a=0时，解集为0；当awO时，方程解集为

(3){3-2立}

(4){(0,1),(-2,0)}

【解析】

【分析】（1）解一元二次方程即可得解集.

（2）对。分类讨论即可得方程的解集.

（3）利用换元法令五=20）,把原方程化为一元二次方程，结合♦的取值范围即可得到原方程的解集.

（4）利用代入消元法即可得到方程组的解集.

【小问1详解】

由％?+5%—6=0得，(尤+6)(x-l)=。，

解得石=-6,々=1，故方程的解集为{-6,1}.

【小问2详解】

当a=0时，方程无解，解集为0,

当awO时，解方程得x=3,方程解集为，

aLaJ

【小问3详解】

令G=t（tNO）,则方程可化为〃+2f—1=0，

解方程得，r1=-i+V2,r2=-l-V2（舍），

%=/=（-1+0）2=3-2后，故方程解集为{3-20}.

【小问4详解】

X22」

~r+y=1

由<1得，2f+4x=0，解得石=0,々=一2,

y=-x+1

/2

X.--0x,——2

方程组的解为《，，〈一c

〔x=l［为=0

故方程组解集为{(0,1),(-2,0)}.

17.求下列不等式(组)的解集:

(1)X2-4X+3>0

(2)-3X2+2X+1>0

(3)

2x+l1

-----<1

(4)<3

2x2-3x+4>0

【答案】(1){x\x<l^x>3}

(2)yX|——<x<1J

(3){龙|%<-2或x>1]

(4)[x]-2<x<l]

【解析】

【分析】(1)根据条件，因式分解得到(x-3)(x-1)20,再利用一元二次不等式的解法，即可求解;

(2)根据条件，变形得到3/—2x—1<0,再因式分解得(3x+l)(x—1)<0,即可求解；

(3)先变形成土工20,再等价于(x—1)(%+2)20且xw—2,即可求解；

x+2

2x+l

(4)先利用绝对值不等式的解法，求一^―<1的解，再求2/—3%+4>0的解，再求交集，即可求解.

【小问1详解】

由工2一4%+320,得至i](x—3)(x—1)2。，所以xWl或

故不等式V—4x+320的解集为{MxWl或龙23}.

【小问2详解】

由一3V+2x+l>0，即3/—2x—1<0，得到（3x+l）（x—1）<。，所以—g<x<l,

故不等式-3x2+2%+1>0的解集为|x|-1<x<lj.

【小问3详解】

由----->1,得到-^20,等价于（x—1）（X+2）2。且工。一2,所以尤V—2或

x+2x+2

2y+1

故不等式三一21的解集为{x|尤<-2或x»l}.

x~l~2

【小问4详解】

2x+l

由二一<1,得至］J—3<2x+l<3,即—24<1,

对2/—3%+4>0，因为A=9—4x4x2=—23<0,所以2/—3x+4>0的解集为R，

'2x+l,

--<1,、

故不等式组J3的解集为{x|—2<%<1}.

2x2-3x+4>0

18.已知关于x的方程/+2%—7%=。，meR.

（1）当m=1时，若方程的两根为巧与马,求下列各式的值：

22

①X；+X；;②I尤］一尤2I；③31；

（2）若该方程的两根同号，求实数机的取值范围.

【答案】（1）①6；②2、5；③4；

（2）—l<m<0.

【解析】

【分析】（1）把相=1代入，利用韦达定理列式，再逐一变形计算各个式子的值.

（2）利用判别式及韦达定理列出不等式组求解.

【小问1详解】

当机=1时，方程/+2%—1=0，A=22—4x（—1）=8>0,则为+々=—2,石々=—1,

2

①x；+x；=(再+x2)-lxxx2=6；

2

②|%一91=—%2)2=d(%+x2)-4X,X2=20；

222(x+x).

@—+—=—9-=4.

%x2玉％2

【小问2详解】

A=4+4m＞0

由方程的两根同号，得＜%+/=—2＜0,解得一1＜相＜0,

xxx2=-m＞0

所以实数加的取值范围是一1＜相＜0.

19.已知函数〃%)=4+加过点

x

⑴求函数“X)的解析式及定义域；

(2)判断函数了(%)的奇偶性并证明；

(3)令g(x)=〃x-l),求g(x)的解析式,并证明g(尤)的图像关于x=l对称.

【答案】⑴f(x)=~+l,定义域为"|"0}

X

(2)偶函数，证明见解析

1

(3)g(x)=+l(xwl),证明见解析

(If

【解析】

【分析】(1)根据条件可得加=1，即可得/(x)=±+L由解析式可直接求出定义域，即可求解;

X

(2)利用奇偶函数的判断方法，即可求解；

(3)利用〃x)=《+l,即可得g(x)=-▼+l(xwl),再任取一点P(x,y),通过证明其关于

X(九一1)

x=l对称的点也在g(x)的图象上，即可求解.

【小问1详解】

因为函数/(力=二+加过点(—1,2),则2=1+加，得到m=1,

X

所以/(x)=±+l,定义域为{xlx/0}.

X

【小问2详解】

函数/(%)为偶函数，证明如下，

因为/(x)=9+1的定义域为｛xlXW0｝，关于原点对称，

又=T1+l=4+l=/(x),所以"%)为偶函数.

X)X

【小问3详解】

1

因为g(x)=/(x—l)=+1("1),

(IP

设尸(x,V)是g(尤)图象上任意一点，P(x,y)关于x=1的对称点为P'(2—尤,y),

因为g(x)=*+i(x#D'所以一x)=」i7+i=S¥+i=/¥+i=g3'

即点玖2-x,y)也在g(x)图象上,所以g(x)的图像关于x=l对称.

20.已知函数/(x)=*+2阳+3.

(1)当机=1，］4—2,2］时，求函数/(%)的值域；

(2)若函数/(九)在卜2,2］上是单调函数，求实数加的取值范围；

(3)当m=2时，比较/⑼与/(-a2+2a-6)(aeR)的次小.

【答案】⑴［2,11］

(2)(-co,-2］t，［2,+co)

(3)/(0)</(-«2+2«-6)

【解析】

【分析】(1)利用二次函数的对称轴可求函数的单调性，求出最大值和最小值即可得到函数的值域.

(2)讨论函数的单调性，利用定义域和对称轴的关系可求得参数的取值范围.

(3)计算-/+2。—6的取值范围，利用二次函数的单调性和对称轴可比较大小.

【小问1详解】

当初=1时，/(%)=X2+2X+3,对称轴为直线为=-1,

/(%)在(—2,—1)上为减函数，在(—1,2)上为增函数，

/(XU=/(-1)=1-2+3=2"(X)3y(2)=4+4+3=ll,

故函数〃尤)的值域为⑵11］.

【小问2详解】

函数=+2m+3,对称轴为直线％=一m，

当函数在［—2,2］上是单调增函数时，—mW—2,m>2,

当函数〃龙)在［—2,2］上是单调减函数时，—m22,mW—2,

综上得，实数加的取值范围为(-8,-2］42,+8).

【小问3详解】

当加=2时，/(%)=X2+4%+3,对称轴为直线X=—2,

/(%)在(―右—2)上为减函数，在(—2,+8)上为增函数，且〃0)=/(T),

—<2+2a—6——(a—1)~—5K—5,

Af(-a2+2a-6)>f(-5)>/(-4)=/(O),故〃O)</(一/+2a-6).

21.设集合4={4,=(%1，%2，电),4eR,左=1,2,3卜对于集合A中的任意元素a=(%,天，演)和

»=(X，%，%)及实数2，定义：当且仅当七=%(，=L2,3)时a=匕a+Z?=(石+%,/+%，七+%)；

2。=(>1%4%2,4%3)・若A的子集3={%,。2，4}满足：当且仅当4=%=4=0时，

44+44+4%=(°，°，°)，则称5为A的完美子集.

(1)集合4={(1,0,0),(0,2,0),(0,0,3)},B2={(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5)},分别判断这两个集合是否

为A的完美子集，并说明理由；

⑵集合5={(2办办机一2),(办2办加一2),(办加一22")},若8不是A的完美子集，求掰的值.

【答案】(1)用是A的完美子集，且不是A的完美子集，理由见解析；

(2)m=—.

2

【解析】

【分析】(1)根据完美子集定义去计算验证是否当且仅当4=%2=4=。时，为+4/=(o,o,o)

即可得解；

(2)先计算+丸2。2+4。3

=(2m/il+加4+加4，M4+2加2+(根—2)4,(加—2)4+(加—2)4+2咸3),接着由

4%+4%+4%=(。,。,。)得方程(4加一2)(4+4+4)=0,解该方程得用=g或4+4+4=。,

再结合元素互异性分类讨论机=；和4+%+4=0这两种情况即可得解.

【小问1详解】

凡是A的完美子集，当不是A的完美子集，理由如下：

对于4={(1,0,0),(0,2,0),(0,0,3)}，因为4=(l,0,0),a2=(0,2,0),^=(0,0,3).

所以4%+%%+4%=(4,°,o)+(o,2%,o)+(o,0,34)=(4,24,34),

所以当且仅当4=4=4=。时，4%+44+4/=(o,o,o),

所以片是A的完美子集；

对于与={(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5)},因为q=(1,