超几何分布专项练习-2025届高三数学一轮复习

2024-2025学年度高三一轮复习38--超几何分布专项练习

一、单选题

1.（2024高三・全国・专题练习）在含有4件次品的100件产品中,任取2件，则至多取到1

件次品的概率为（

二c1二C1C2cl+c：c〈C0+C2

A496B.号

2J「2

JCooCiooJooMoo

2.（2024高三.全国・专题练习）设袋中有80个红球、20个白球，若从袋中任取10个球，则

其中恰有6个红球的概率为（）

3.（25-26高三上・上海・单元测试）设10件产品中有3件次品，从中抽取2件进行检查，则

查得次品数的期望为（）

,2八3〃8八3

A.—B.—C.—D.一

1510155

4.（24-25高二下•全国•课后作业）国家提出“乡村振兴”战略，各地纷纷响应.某县有7个自

然村，其中有4个自然村根据自身特点推出乡村旅游，被评为“旅游示范村”.现要从该县7

个自然村里选出3个作宣传，则恰有2个村是“旅游示范村”的概率为（）

12„18八3

AA.—B.—C.—D.一

353577

5.（2024・广东江门.二模）一箱苹果共有12个苹果，其中有〃（2<“<7）个是烂果，从这箱苹

果中随机抽取3个.恰有2个烂果的概率为贝口?=（）

A.3B.4C.5D.6

6.（23-24高三上•广东深圳•期末）一袋中装有大小、质地均相同的5个白球，3个黄球和2

个黑球，从中任取3个球，则至少含有一个黑球的概率是（）

A.工B.Ac-D.1

151552

7.（2024高三.全国.专题练习）袋中有6个大小相同的黑球，编号为1,2,3,4,5,6,还

有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10,现从中任取4个球.有下列结论：①取出的

最大号码X服从超几何分布；②取出的黑球个数丫服从超几何分布；③取出2个白球的概

率为」；④若取出1个黑球记2分，取出1个白球记1分，则总得分最大的概率为」.其中

1414

正确的结论是（）

A.①②B.②④

C.③④D.①③④

8.（2022・四川成都•模拟预测）袋中有6个大小相同的黑球，编号为1,2,345,6,还有4个同

样大小的白球，编号为7,8,9,10,现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（）

①取出的最大号码X服从超几何分布；

②取出的黑球个数Y服从超几何分布；

③取出2个白球的概率为1；

④若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为上

14

A.①②B.②④C.③④D.①③④

二、多选题

9.（2024•吉林•模拟预测）从含有2件次品的100件产品中，任意抽出3件，贝U（）

A.抽出的产品中恰好有1件是次品的抽法有种

C3

B.抽出的产品中至多有1件是次品的概率为1-注

Joo

C3

C.抽出的产品中至少有1件是次品的概率为1-/

Joo

3

D.抽出的产品中次品数的数学期望为京

10.（24-25高三上•四川绵阳•开学考试）某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为14、21、

14,现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行某项兴趣调查.已知抽出的7人中有5人对

此感兴趣，有2人不感兴趣，现从这7人中随机抽取3人做进一步的深入访谈，用X表示抽

取的3人中感兴趣的学生人数，则（）

A.从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为2人、3人、2人

B.随机变

C.随机变量X的数学期望为与

7

D.若事件A="抽取的3人都感兴趣"，贝”（A）=亍

11.（23-24高三上.海南省直辖县级单位.阶段练习）已知随机变量X的概率为

P(X=k)=水=0』,2,3,4,则下列说法正确的是（)

P（X=2）《

A.

B.E(X)=?

C.甲每次射击命中的概率为0.6,甲连续射击10次的命中次数X满足此分布列

D.一批产品共有10件，其中6件正品，4件次品，从10件产品中无放回地随机抽取4

件，抽到的正品的件数X满足此分布列

三、填空题

12.（25-26高三上・上海・单元测试）某医院派出16名护士、4名内科医生组成支援队伍，现

在需要从这20人中任意选取3人去A城市支援，设X表示其中内科医生的人数，则

P（X=2）=

13.（2024高三・全国・专题练习）高三（1）班有50名学生，其中30名男生，现从中任选3

名学生参加体育抽测，用X表示男生被选中的人数，则P（x21）=；E（x）=.

14.（2024.天津.二模）盒子里有大小和形状完全相同的4个黑球和6个红球，每次从中随机

取一个球，取后不放回.在第一次取到黑球的条件下，第二次取到黑球的概率是；若

连续取2次球，设随机变量X表示取到的黑球个数，则E（X）=.

四、解答题

15.（24-25高三上•江苏常州•期中）某校由5名教师组成校本课程讲师团，其中2人有校本

课程开设经验,3人没有校本课程开设经验.先从这5名教师中随机抽选2名教师开设校本课

程，该期校本课程结束后，再从这5名教师中随机抽选2名教师开设下一期校本课程.

（1）在第一次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数记为X,求X的分布列和

数学期望；

（2）求“在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是1”的概率.

16.（2024.广东广州•模拟预测）在某地区进行高中学生每周户外运动调查，随机调查了1000

名高中学生户外运动的时间（单位：小时），得到如下样本数据的频率分布直方图.

［频率

组距

0.15—...............n

So5

So4

。o3

。o2

。O1

o24681012141618时间（小时）

（1）求。的值，估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间；（同一组数据用该区间的中点

值作代表）

（2）为进一步了解这1000名高中学生户外运动的时间分配，在（14,16］,（16,18］两组内的学生

中，采用分层抽样的方法抽取了5人，现从这5人中随机抽取3人进行访谈，记在（14,16］内

的人数为X,求X的分布列和期望；

（3）以频率估计概率，从该地区的高中学生中随机抽取8名学生，用“心⑻”表示这8名学生

中恰有左名学生户外运动时间在（8,10］内的概率，当勺住）最大时，求上的值.

17.（22-23高三下•山东济宁•开学考试）某市为进行学科能力竞赛表彰，其中数学组、物理

组获奖情况如下表，组委会为使活动有序进行，活跃会场气氛，活动中穿插抽奖活动.并用

分层抽样的方法从两个学科组抽取15人在前排就座，其中物理组有5人.

数学组物理组

男生3020

女生30

（1）求数学组中女生的人数;

（2）若从前排就座的物理组5人中任选2人上台领奖，设女生的人数为X,求女生人数X的

分布列和数学期望.

18.（24-25高三上•北京•期中）某种产品按照产品质量标准分为一等品、二等品、三等品、四

等品四个等级，某采购商从采购的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级分类得到如

下数据：

等级一等品二等品三等品四等品

数量40301020

(1)根据产品等级，按分层抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随

机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为X,求X的分布列及数学期望；

(2)若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，求恰好有1件四等品

的概率；

(3)生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择，

方案一：产品不分类，售价均为21元/件.

方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下：

等级一等品二等品三等品四等品

售价/(元/件)24221816

从采购商的角度考虑，你觉得应该选择哪种销售方案？请说明理由.

19.(24-25高三上•黑龙江牡丹江•阶段练习)随着科技的进步和人民生活水平的提高，电脑

已经走进了千家万户，成为人们生活、学习、娱乐的常见物品，便携式电脑(俗称“笔记本”)

也非常流行.某公司为了研究“台式机”与“笔记本”的受欢迎程度是否与性别有关，在街头随

机抽取了50人做调查研究，调查数据如下表所示.

男性女性合计

喜欢“台式机”20525

喜欢“笔记本”101525

合计302050

(1)依据小概率值a=0.01的独立性检验，分析喜欢哪种机型与性别是否有关？

(2)该公司针对男性客户做了调查，某季度男性客户中有青年324人，中年216人，老年108

人，用按比例分配的分层随机抽样的方法选出12人，又随机抽出3人进行答谢，这3人中

的青年人数设为随机变量X,求X的分布列与数学期望.

n(ad-be)?

附：％2—7.\/,\/\/中"=a+b+c+d.

[a+b)(c+d)[a+c)[b7+d)

a0.100.050.010.005

Xa2.7063.8416.6357.879

参考答案:

1.c

【分析】至多取到1件次品包含。件次品与1件次品两种情况，再根据超几何分布的概率公

式计算可得结果.

【详解】在含有4件次品的100件产品中，任取2件，则至多取到1件次品，包含0件次品

与1件次品两种情况，所以概率为C,6昏©6

joo

故选：C.

2.D

【详解】若从袋中任取10个球共有C10100种取法，恰好有6个红球，则有4个白球，故

取法有C680c420种，由古典概型的概率公式得概率为管宵

3.D

【分析】设抽得次品数为X,根据超几何分布的概率公式求解概率，进而可求得E(X)的值.

【详解】设抽得次品数为X,则随机变量X的可能取值有0、1、2,

C27dC47C21

贝|JP(X=O)=V=,，P(X=1)=4p(x=2)=W=L,

人」15'''C；。15''C；°15'

7713

所以石(乂)=0、一+1乂一+2'—=一.

1515155

故选：D.

4.B

【分析】根据题意，可直接写出对应事件的概率.

1io

【详解】由题可得，恰有2个村是“旅游示范村”的概率为？=避=行.

故选：B

5.B

【分析】由超几何分布的概率公式列方程即可求解.

n(n-1)(12-n)

C2cl

【详解】依题意可得」*=U，即3vF，整理得"―13〃+36=0,

C；25512x11x1055

6

解得〃=4或9,因为2VHV7,所以〃=4.

故选：B.

6.B

【分析】根据超几何分布的概率公式计算即可.

C；c；+c©8

【详解】根据题意，至少含有一个黑球的概率是

C；。15

故选：B.

7.B

【详解】根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取，由此可知取出的最大号

码X不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故①错误；取出

的黑球个数丫符合超几何分布的定义，将黑球视作第一类，白球视作第二类，可以用超几何

分布的数学模型计算概率，故②正确；取出2个白球的概率为C2泞c2=-3,故③错误；若

jo'

取出1个黑球记2分，取出1个白球记1分，则取出4个黑球的总得分最大，...总得分最大

=:，故④正确.

的概率为

<4

8.B

【分析】根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取可判断①②；利用超几何

分布求概率的方式即可判断③④

【详解】对于①，根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取，由此可知取出

的最大号码X不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故①错

误；

对于②，取出的黑球个数y符合超几何分布的定义，将黑球视作第一类，白球视作第二类,

可以用超几何分布的数学模型计算概率，故②正确；

对于③，取出2个白球的概率为故③错误；

对于④，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，

总得分最大的概率为3=(,故④正确.

故选：B

9.ACD

【分析】对于A,由题意可知抽出1件次品，2件合格品，利用分步乘法原理求解，对于

BC,利用超几何分布的概率公式求解，对于D,设抽出的次品数为X,由题意可知X可能

取值为0,1,2,求出相应的概率，从而可求出其期望.

【详解】对于A,若抽出的3件产品中恰好有1件是次品，则抽出1件次品，2件合格品，

所以共有C；C；8种不同的抽法，所以A正确，

cYc3

对于B,由题意可知抽出的产品中至多有1件是次品的概率为不产+不詈，所以B错误,

joojoo

c3

对于C,由题意得抽出的产品中至少有1件是次品的概率为1-二普，所以C正确,

Cioo

对于D,设抽出的次品数为X,由题意可知X可能取值为0,1,2,则

p(X=0)=-^=—,P(X=1)=^2^=—,p(x=2)=^2^1

「3one「3「3

Joo。乙JJooJQQ1650

bi、iL/”、八776197cl3

以E(X)=0x-----FIx--------F2x-------=—,所以D正确.

8251650165050

故选：ACD

10.ACD

【分析】结合分层抽样性质求出各社团所需抽取人数判断A,求随机变量X的分布列，判

断BD,由期望公式求X的期望，判断C.

【详解】设甲、乙、丙三个社团分别需抽取％人，则

_y_z_7

14-2l-I4-l4+2l+l4r

所以%=2,y=3,z=2,

所以从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为2人、3人、2人，A正确;

随机变量X的取值有I,2,3,

I。14030（）2

尸(x=i)辛。”=2）=罟尸（X=3）=罟

777

所以随机变量X的分布列为

1491S

由期望公式可得随机变量X的数学期望E（X）=1X]+2X]+3X]=7,c正确;

2

因为P（A）=P（X=3）=],所以D正确.

故选：ACD.

11.ABD

【分析】对于A,根据题目中的概率公式，可得其正误；对于B,利用数学期望的计算公式,

可得其正误；对于C、D,根据超几何分布以及二项分布的定义，可得其正误.

C2c23

【详解】对于A：P(尤=2)=苛=*正确;

Jo7

对于B：E（x）=OP（x=0）+P（x=1）+2P（尤=2）+3P（x=3）+4P（x=4）

134

=^CC^+2C^2c^2+3C3^c^l+4C^C^°=4—+2x3-+3x2-+4x1—=1—2,正确;

C4C4C4C43577145及

JoMoJoJoJ

对于c：由每次射击相互独立，选项满足二项分布，而题干中X为超几何分布，错误;

对于D：由超几何分布的定义，则正确.

故选：ABD.

12.A

95

【分析】根据题意结合超几何分布的概率公式求解.

【详解】由题意得小=2)=鲁=以黑.

故答案为：得

c9239

13.---------

9805

【分析】根据超几何分布概率的计算公式得到P(x=o),又由事件XA1与事件x=o互为

对立事件得尸(X21)=1-P(X=0),再根据超几何分布的期望公式得到E(x).

【详解】因为事件Xtl与事件X=0互为对立事件，

而尸(X=O)=|F=急，所以尸(X21)=l_p(x=o)=l一詈=1一薪=蔡|

M30_9

所以£(X)=n—=3x—=—.

v7N505

9239

故答案为：瓯于

14

14.--/0.8

35

【分析】第一空由条件概率公式可求出结果；第二空由超几何分布求出期望.

【详解】设第一次取到黑球为事件A,第二次取到黑球为事件5,

42「(4府W

则尸(A)=云

5

2

所以尸(引A)=BR151

23

5

由题意可得X的取值为0』,2,

P（X=0）=*g，P（X=l）=等4尸（X=2）爷2

Lq。3Jojo15

1Qc24

所以£（X）=0x§+lxm+2x—=

155

14

故答案为：—；—.

4

15.(1)分布列见解析，数学期望为二

【分析】(1)根据超几何分布的知识求得分布列并求得数学期望.

(2)利用全概率公式来求得正确答案.

【详解】(1)X的可能取值为0,1,2,

z^i0z~i2o01

P（X=0）=6=9,P（X=l）=59=O（X=2）X1

（）；

'7C|10vC；105,Cio

所以随机变量X的分布列为

X012

331

P

10510

3314

其数学期望为仪*)=0乂京+展+2乂而=1.

(2)用8表示事件“在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是1”，

用A@=0,1,2)表示事件“第一次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是产,

2

4,4,4两两互斥，za=。，

z=0

331

由⑴知尸(&)=玉，尸(4)=不尸(4)=谈

2

由全概率公式得，尸(B)=ZP(4)尸(BIA)

i=0

=—X.41+-X23-I——X%2=—,

10C；5C；10C；50

所以在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是1的概率为2三7.

16.（l）tz=0.1,平均时间为9.16小时

（2）分布列见解析，期望E（X）=?

（3）左=2

【分析】（1）根据频率和为1,可得。，再根据平均数公式直接计算平均数即可；

（2）分别计算时间在（14,16］,（16,18］的频数，结合分层抽样可得两组分别抽取人，根据超

几何分布的概率公式分别计算概率，可得分布列与期望；

（3）根据频率分布直方图可知运动时间在（8,10］内的频率，根据二项分布的概率公式可得

4⑻，根据最值可列不等式，解不等式即可.

【详解】（1）由已知2（0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+4+0.05+0.04+0.01）=1,解得。=0.1,

所以平均数为1x0.04+3x0.06+5x0.1+7x0.1+9x0.3

+11x0.2+13x0.1+15x0.08+17x0.02=9.16.

（2）这1000名高中学生户外运动的时间分配，

在（14,16］,（16,18］两组内的学生分别有1000x0.08=80人，和1000x0.02=20人；

on

所以根据分层抽样可知5人中在（14,16］的人数为5x如"=4人，在（16,18］内的人数为

5—4=1人,

所以随机变量X的可能取值有2,3,

所以P（X=2）="=g,P（X=3）=|-=|,

则分布列为

3919

期望■乂）=2><,+3><二=m；

3

（3）由频率分布直方图可知运动时间在（8,10］内的频率为0.15x2=0.3=—,

则即■图图

月化）优+1）

若4（%）为最大值，则♦

B（k）NR（k-iy

又ZeN,且04发48,则％=2.

17.（1）70

（2）分布列见详解；|

【分析】（1）根据题意结合分层抽样求数学组人数，进而可得结果;

（2）分析可知物理组5人中男生有2人，女生有3人，X的可能取值有：0,1,2,结合

超几何分别求分布列和期望.

【详解】（1）由题意可知：物理组共有50人，每人被抽到的可能性为端=：

15-5

则数学组共有1一人，其中女生的人数为100-30=70.

10

（2）因为前排就座的物理组5人中男生有2三0x5=2人，女生有130^x5=3人,

可知抽到女生的人数为X的可能取值有：0,1,2,则有:

C2co101012

P(x=o}=^=—,p(x=i]=^6="3(X=2)=罟C°C3

v7Cf10v7Cl10io

可得女生人数x的分布列为

X0i2

133

p

io5io

所以女生人数X的期望E(X)=0x±+lxg+2x]=1.

18.(1)X的分布列见解析;£(X)=|

⑵里

125

(3)应该