常用逻辑用语（解析版）-2025年高考数学一轮复习（新高考专用）

第02讲常用逻辑用语

目录

第一部分：基础知识.................................................2

第二部分：高考真题回顾.............................................3

第三部分：高频考点一遍过...........................................5

高频考点一：充分条件与必要条件的判断............................5

高频考点二：充分条件与必要条件的应用............................7

高频考点三：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比...........10

高频考点四：全称量词命题与存在量词命题的真假判断...............12

高频考点五：含有一个量词的命题的否定...........................15

高频考点六：根据全称（特称）命题的真假求参数...................16

第四部分：典型易错题型.............................................18

注意：“的”字结构倒装...........................................18

注意：最高项系数含参数，容易忽略系数为0.......................18

注意：给定的区间是非R区间，不能用判别法......................19

注意：给定的区间是人区间，可用判别法..........................19

第五部分：新定义题（解答题）......................................20

第一部分：基础知识

1、充分条件、必要条件与充要条件的概念

⑴若P=q,则"是q的充分条件，q是p的必要条件；

(2)若pnq且44P,则P是4的充分不必要条件；

(3)若q且q=。，则P是q的必要不充分条件；

(4)若poq,则P是4的充要条件；

(5)若24q且44p,则P是q的既不充分也不必要条件.

拓展延伸一：等价转化法判断充分条件、必要条件

(1)P是q的充分不必要条件or是f的充分不必要条件；

(2)p是q的必要不充分条件or是-p的必要不充分条件；

(3)p是q的充要条件or是一的充要条件；

(4)P是q的既不充分也不必要条件Of是一P的既不充分也不必要条件.

拓展延伸二：集合判断法判断充分条件、必要条件

若P以集合A的形式出现，4以集合6的形式出现，即P：A={x\p{x)},q：B={x\q{x)},则

(1)若AqB,则P是4的充分条件；

(2)若则P是4的必要条件；

(3)若则P是4的充分不必要条件;

(4)若则P是4的必要不充分条件;

(5)若A=5,则2是4的充要条件；

(6)若且则P是4的既不充分也不必要条件.

拓展延伸三：充分性必要性高考高频考点结构

(1)P是4的充分不必要条件opnq且44P(注意标志性词：“是”，此时P与“正常顺序)

(2)P的充分不必要条件是40qn。且24Q(注意标志性词：“的”，此时P与4倒装顺序)

2、全称量词与存在量词

(1)全称量词

短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“V”表示.

(2)存在量词

短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“三”表示.

(3)全称量词命题及其否定(高频考点)

①全称量词命题：对M中的任意一个x,有p(x)成立；数学语言：X/x&M,p(x).

②全称量词命题的否定：大

(4)存在量词命题及其否定(高频考点)

①存在量词命题：存在〃中的元素X,有p(x)成立；数学语言：3%eM,p(x).

②存在量词命题的否定：

(5)常用的正面叙述词语和它的否定词语

正面词语等于(=)大于。)小于(<)是

否定词语不等于(丰)不大于(W)不小于(>)不是

正面词语都是任意的所有的至多一个至少一个

否定词语不都是某个某些至少两个一个也没有

第二部分：高考真题回顾

1.(2023・天津•统考高考真题)已知a,6eR,"a2=b1a2+b2=lab"K()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.

【详解】由"=方2,贝!］。=±。，当。=一620时4+/=2仍不成立，充分性不成立；

由a2+〃=2",则(”4=0,即。=6,显然"=〃成立，必要性成立；

所以/=是/+"=2他的必要不充分条件.

故选：B

VX

2.(2023•北京•统考高考真题)若孙片0,则"x+y=0"是"2+—=-2”的()

xy

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】解法一：由土+2=-2化简得到无+y=。即可判断；解法二：证明充分性可由x+y=0得到》=-八

yx

代入土+2化简即可，证明必要性可由二+上=-2去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可

yxy%

xyxv

由一+上通分后用配凑法得到完全平方公式，再把x+y=o代入即可，证明必要性可由一+2通分后用配凑

yxyx

法得到完全平方公式，再把x+y=o代入，解方程即可.

【详解】解法一：

因为七。，且,各2

所以炉+,2=_2孙，即九2+,2+2孙=。，即（x+y）2=0,所以x+y=O.

所以〃％+y=0〃是〃2+2=-2〃的充要条件.

yx

解法二：

充分性：因为孙w0,且无+y=。，所以％=一丫,

所以2+2=口+且=_1_1=_2,

yXy-y

所以充分性成立；

必要性：因为知*0,且日+』=-2,

yx

所以—+y2=_2孙，即九2+,2+2孙=0,即（x+y『二O,所以％+丁=。.

所以必要性成立.

所以"x+y=O〃是"二+）=-2"的充要条件

yx

解法三：

充分性：因为孙W0,且无+y=0,

22

所以'x+y+2xy-2xy_(%+-2xy_-2xy_?

yxxyxyxyxy

所以充分性成立;

必要性：因为孙*。,且泮=2

/+)222

X-+y+2xy-2xy(x+y)2-2xy(%+y『__

所以'+?=----------------------------------------=-------------------------------=----------------------z=-z

y尤孙xyxyxy

所以W^=o,所以（x+y）2=0,所以无+y=0,

所以必要性成立.

所以，+y=。"是q++-2”的充要条件

故选：c

第三部分：高频考点一遍过

高频考点一：充分条件与必要条件的判断

典型例题

例题1.（2024上•河北承德■高一统考期末）若ae[0,7t],则"a=是"sin2a=cos]c"的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】结合三角函数的诱导公式，判断£'和"sin2a=cos[a+：|"之间的逻辑推理关系，即可得答案.

__।7T..小.2兀।兀）5兀.,兀57r、.27r

L当a=一日寸，sinzcr=sin——,cosa+—=cos——=sm（--------）=sin——,

99<6）182189

即sin2a=cosa+f成立；

7171—

所以2a=—a+2kn,女EZ或2an-----a=TI+2kR,kGZ,

33

结合aw[0,7r],解得&=e或a=与或1=与，

即sin2tz=cos]a+F）成立，推不出a=^,

故"a=§"是"sin2a=cos]a+胃"的充分不必要条件.

故选：B

例题2.（2024下•云南昆明•高二统考开学考试）若集合A=司2»},集合B={x|lnx〉0},则“xeA"是"尤e3"

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据指数、对数不等式的解法分别解出集合A、B,结合集合的包含关系判断即可.

【详解】集合4={工2*>1}={小>0},

集合3=｛却谒。｝=｛中〉1｝,

则2是A的真子集，

所以"xeA"是"xeB"的必要不充分条件，

故选：B.

例题3.（2024上•江苏连云港•高一统考期末）"同＞网"是的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】D

【分析】举出反例，得到充分性和必要性均不成立，得到答案.

【详解】设4=-2,6=0,此时满足时＞同，但不满足充分性不成立，

设口=2,6=-3,此时满足a＞6,但不满足同＞例，必要性不成立，

故时＞同是的既不充分也不必要条件.

故选：D

练透核心考点

1.（2024上•贵州毕节•高一统考期末）设xeR,贝iJ"lnx+l＜0"是"2田-1＞0”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据题意，利用指数函数与对数函数的性质，求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判

定方法，即可求解.

【详解】由不等式lnx+l＜0,可得lnx＜-l,解得0＜》＜「，

又由不等式2*包-1＞0,即2川＞1，可得x+l＞0,解得尤＞-1,

因为集合｛x|0＜尤＜e-｝是集合｛x|x＞T｝的真子集，

所以"lnx+l＜0"是"2田-1＞0"的充分不必要条件.

故选：B.

b

2.（2024上•浙江宁波•高一余姚中学校联考期末）"一＜1"是"°＜人＜0"的（）

a

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.

bb

【详解】当一＜1时，不妨取力=1,。=2,则a＞b＞0,所以，"一＜l"N"a＜b＜（T,

aa

h

另一方面，当。<b<0时，由不等式的基本性质可得2<1,

a

b

所以，〃一<l〃u〃a<b<0〃，

a

b

因此，"2<1"是的必要不充分条件.

a

故选：B.

3.(2024上•上海•高一上海市大同中学校考期末)已知b为非零实数，则是"!成立的()

ab

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件

【答案】D

【分析】举反例结合充分必要条件的定义分析即可.

【详解】显然a>0>匕时不能推出上<4,反之工<0时也不能推出">人，

abab

则"a>b〃是"工<；〃成立的既非充分又非必要条件.

ab

故选：D

高频考点二：充分条件与必要条件的应用

典型例题

例题1.(2024下,上海•高一开学考试)已知p:x2-(2a+3)x+a(a+3)W0,例若P是「的必要不

充分条件，则实数。的取值范围是—.

【答案】［-1,0］

【分析】问题转化为：的解集是/_(2a+3)x+a(a+3)W0的解集的真子集，可解决此题.

［详解］由尤2_(2a+3)x+a(a+3)W0解得xe(a,a+3),

由|无一1|<1解得xe(0,2),

根据题意得：(0,2)是(q,a+3)的真子集，

ftz<0「i

(等号不同时成立)，解得：ae-1,0.

［a+3>2

故答案为：

例题2.(2024•全国•高一专题练习)给出如下三个条件：①充要②充分不必要③必要不充分.请从中选择

补充到下面横线上.

已知集合2={引-1<》<5},S={x\2-m<x<3+2m\,存在实数加使得“xeP"是"xeS”的条件.

【答案】②，③

【分析】分别根据充要条件及充分不必要条件，必要不充分条件计算求解即可.

【详解】①"xeP'是"xeS”的充要条件，则2-根=-1,3+2根=5,此方程无解，故不存在实数机，则不

符合题意；

②"xeP"是"xeS”的充分不必要条件时，2W-1,3+2祖25,2-m<3+2m；解得m23,符合题意；

③"xeP"是"xeS"的必要不充分条件时，当S=0,2-m>3+2m,得机<g；

当Sw0,需满足2-帆43+2m，3+2m<5,解集为-gwmVl；

综上所述，实数机的取值范围<根<g.

故答案为：②，③.

例题3.（2023上•山西晋中•高一统考期末）已知不等式+的解集为/={x|-2Vx<4}.

⑴求不等式-依+1>0的解集T;

（2）设非空集合S=1x卜-机机若xeS是xwT的充分不必要条件，求小的取值范围.

【分析】（1）先根据不等式的解集求出。，6,再根据一元二次不等式的解法即可得解;

（2）由xeS是xeT的充分不必要条件，可得S是T的真子集，列不等式组求解即可.

【详解】（1）因为不等式9+亦+6<0的解集为“={x|-2Vx<4},

所以方程x2+ax+b=0的解为-2,4,

所以一2+4=—a,—2x4=%，得a=—2,b=—8,

则不等式bi-依+i>o即8/—2%—1<0,

解得一<x《，故解集人14；

（2）由（1）知，T=,而xeS是尤©T的充分不必要条件,

则S是T的真子集,

4

145

所以,解得工<〃?4：，

454

11

—m<—

42

（45

综上所述，机的取值范围是W，：,

154」

练透核心考点

1.（2024•全国•高一假期作业）已知集合4=1|展<11,8=卜|。别：a+3},若"xwA"是"xe3”的必要

条件，则实数”的取值范围是.

【答案】a<-4或。>2

【分析】根据不等式求得集合A,再利用"xeA"是"xeB"的必要条件，得8=即可求得实数。的取值

范围.

【详解】解：---<1，---------1<0,即（]—2）（%+1）>。，解得％>2或x<—1

X+1X+1

.,.A={x\x<-l^x>2}

"xeA"是的必要条件，=且a+3>a恒成立

则a+3<-l或a>2,解得a<-4或a>2.

故答案为：。<-4或。>2

2.（2023上•江苏苏州•高一校考阶段练习）设命题，：实数x满足/-46+3/<0,其中。>0；命题4：

Y—3

实数X满足二:40,若力是r的充分不必要条件，则实数。的取值范围为______.

x-2

【答案】（1,2]

【分析】先解不等式，根据充分、必要条件的知识列不等式，再求出。的取值范围.

【详解】对于命题P,x2-4«x+3a2=（x-a）（x-3a）<0,

因为a>0,所以avxv3a.

对于命题q,二W0，由卜二3）（：-2）W0,解得2<X«3.

x-2[x-2^0

因为M是F的充分不必要条件，

所以P是4的必要不充分条件，所以（2,3]乳a,3a）,

[a<24

所以。°，解得l<aW2,

[3a>3

所以。的取值范围是。,2].

故答案为：（1,2]

12,

3.（2023上•河南郑州•高一校考阶段练习）己知命题p：Vx,y>0满足2尤+y=l,不等式—+—2标-2a恒

xy

成立，命题"：-4<。<5,则。是4的条件.

【答案】充分不必要

【分析】将不等式恒成立问题转化为最值问题，然后利用基本不等式求最值即可.

12

【详解】不等式—+—2/9一2〃恒成立,

%y

.羽，>。且满足2x+y=l,

—+—=—>1（2^+）；）=4+—+—>4+2A/4=8,

yvxyJxy

当且仅当上y=—4Y即x=1=：1时，等号成立.

Xy42

所以82〃-2。，解得-2WaW4,

故命题P：-2Wa＜4,命题q:-4＜。＜5,

所以。是4的充分不必要条件.

故答案为：充分不必要

高频考点三：充分条件与必要条件（“是”，”的”）结构对比

典型例题

例题1.（2024下•湖北•高一湖北省汉川市第一高级中学校联考开学考试）下列选项中是“Hxe[1,2],

2/-如+6＞0”成立的一个必要不充分条件的是（）

A.m<8B.m>8C.m<4>/3D.m<8

【答案】A

【分析】变形得到机＜&*=2「+之],根据函数单调性得到

故机＜8，由于机＜8是

X\XJ

用48的真子集，故A正确，其他选项不合要求.

【详解】3xe[l,2],2^-mx+6>0,

BPBxe[1,2],m<2x+6=2、+4,

在（62]上单调递增，

其中尤=1时，y=2x[l+：]=8,当x=2时，y=2x[2+g）=7,

故RY

=8,BPm<8,

max

由于相＜8是用＜8的真子集，故〃M＜8"的必要不充分条件为"m＜8w,

其他选项均不合要求.

故选：A

例题2.（2023上•贵州黔南・高一贵州省瓮安中学校考阶段练习）已知条件。:无>1,条件q:-尤2-2x+340,

则P是4的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】解一元二次不等式结合充分不必要条件的定义即可得解.

【详解】由题意条件。:》>1,条件q：-x2_2x+3V0=x<_3或所以P是9的充分不必要条件.

故选：A.

例题3.（2024上•安徽安庆・高一安庆一中校考期末）"关于x的不等式依2-2彳+1>0对以eR上恒成立"的

一个必要不充分条件是（）

A.a>0B.a>\

C.0<a<一D.a>2

2

【答案】A

【分析】分。=0、两种情况讨论，在。=0时，直接验证即可；在。W0时，根据题意可得出关于实数。

的不等式组，综合可得出实数。的取值范围，再根据必要不充分条件求解.

【详解】当。=0时，则有-2x+l>0,解得x<g,不合题意；

fa>0

当。WO时，贝IJ人““八，解得”>1.

|A=4-4a<0

综上所述，关于无的不等式依?-2尤+1>0对VxeR上恒成立”的充要条件为a>l,

所以一个必要不充分条件是a>Q.

故选：A.

练透核心考点

1.（2024•陕西西安•西安中学校考一模）已知。也cwR,则下列选项中是"a<6”的充分不必要条件的是（）

A..>团B.ac2<bc2C.a2<b2D.3"<3”

ab

【答案】B

【分析】根据不等式性质及指数函数的单调性，结合充分条件，必要条件的定义逐项判断即可.

【详解】对于A,当。=满足。<》，但忖不成立，

ab

当a=l,6=-l,c=l时，满足但不成立，故A错误；

ab

对于B,当c=0时，a<bLac2<be1,但ac?<6c2n,故B正确;

对于C,。=-2,6=1时，a<6,但/〈Z??不成立，

22

a=l,b=-2时，a<b,但。<方不成立，故C错误；

对于D,因为指数函数y=3'在R上单调递增，故。<6=3"<3〃，故D错误.

故选：B

2.（2024上•山东济宁•高一统考期末）“ln（a—6）<0"是的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条

件

【答案】A

【分析】根据对数函数性质结合充分、必要条件分析判断.

【详解】若ln（a-6）<0=lnl,可得0<a—b<l,即即充分性成立；

若"b+l,例如a=6=0,贝丘-6=0,皿。-。）<0不成立，即必要性不成立；

综上所述："山（°-。）<0"是"a<b+l〃的充分不必要条件.

故选：A.

3.（2023上•广东•高一校联考期末）"3">1"是"工>1"的（）

X

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】解不等式，然后根据充分条件必要条件的概念得到答案.

【详解】因为3*>1,所以尤>0,因为1>1,所以。<x<l.

X

故"3">1"是"工>1"的必要不充分条件.

X

故选：B

高频考点四：全称量词命题与存在量词命题的真假判断

典型例题

例题1.（多选）（2023上,湖北孝感•高一湖北省孝感市第一高级中学校联考期中）设国表示不超过尤的

最大整数，j®：[1.7]=1,[-1.7]=-2,>=[可又称为取整函数，以下关于"取整函数”的描述，正确的是（）

A.y=[x]是奇函数

B.Vx,yeR,若[x]=[y],贝

C.V.xeR,[x]+x+；=[2x]

D.不等式2M_国_120的解集为{巾<0或xwl}

【答案】BCD

【分析】由"取整函数"的定义逐个选项分析即可.

【详解】A.取x=-0.5和0.5,函数值分别为-1和0,故A不正确；

B.设[x]=[y]=〃z,则、=帆+乙0<?<1,y=m+s,OWscl,

则|x-y|=|（m+r）-（〃z+s）|=K-s|<l,因此故B正确；

C.设x=P+q（peZ,0<^<1）,

当0〈q<0.5时，[%]+尤+；=2p,[2x]=2p,

此时[x]+x+；=[2x],

当0.5Wq<l时，[x]+尤+J=P+p+l=2p+l,[2x]=\2p+2q\=2p+l,

此时[x]+x+；=[2x],

综合可得，C正确；

D.不等式2[才-[尤]-120,可得：[x]21,或[x]W-g,

x>l,或无<0,因此不等式的解集为{x|x<0或r»l},故D正确.

故选：BCD.

例题2.（多选）（2023上•江西九江•高一九江一中校考期中）下列命题中，真命题的是（）

A.VXGR,者R有％2一2%+1〉0

B.3xe（0,+oo）,使得％+&=6

x

C.任意非零实数。、b,都有2

ab

21

D.若正实数工、>满足％+2y=l,贝卜+—28

1y

【答案】BD

4

【分析】取x=l可判断A选项；解方程％+—=6,可判断B选项；取〃〉0,&<0,可判断C选项；利用基

x

本不等式可判断D选项.

【详解】对于A选项，当犬=1时，x2-*42x+l=l2-2xl+l=0,A错;

对于B选项，由x+±=6可得9一6了+4=0,解得x=3土忖B对;

X

对于C选项，不妨取a>0,b<o,则2+色=£1±^<0,C错；

abab

对于D选项，若正实数尤、>满足x+2y=l,

71

m-+1=(x+4+—+—>4+2=8,

xyy%

x_4y

1

y光x=­

:时，等号成立，故2+D对.

当且仅当x+2y=l时,即当

1xy

x〉0,y>0y丁

故选：BD.

练透核心考点

1.（多选）（2023上•浙江杭州•高一校联考阶段练习）下列命题是真命题的是（）

A.eR,xH—=—1B.3x>0,x2=Y

x

C.VXGR,X2-X>-1D.Vx>0,lnx>0

【答案】BC

【分析】根据基本不等式，求得尤+’的取值范围，可判定A不正确；根据当x=2时，得到无2=21可判定

X

B正确；结合配方法，可判定C正确；结合对数函数的性质，可判定D不正确.

【详解】对于A中，当x>0时，则x+工22、口=2,当且仅当x=l时，等号成立；

XVX

当x<0时，则x+L=T（-x）+J-]4-2j（-x>[-=-2,当且仅当犬=一1时，等号成立，

X-XV-X

所以1+,的取值范围为（-8,-2][2,+8）,所以A不正确；

x

对于B中，当x=2时，可得尤2=2”,所以命题*>0,尤2=2"为真命题，所以B正确；

133

对于C中，由尤2-％+1=（尤所以命题,€艮/一天2-1为真命题，所以C正确；

244

对于D中，当0<x<l时，lnx<0,所以命题网>0,111%>0为假命题，所以D不正确.

故选：BC.

2.（多选）（2023上•广东广州•高一广州市第二中学校考期中）已知函数/（x）=2d-x+l,则下列命题正

确的是（）

A.玉eR,使得/。)=0

B.VxeR,者B有/(g-x］=/(x)

7

c.HreR,使得/(x)Vg

o

D.%，9eR,都有.七逗|

【答案】BCD

【分析】利用代入法，结合一元二次方程根的判别式、比较法逐一判断即可.

【详解】A：f(x)=0^2x2-x+l=0,该方程的判另lj式A=(-l)2—4x2xl＜。，

所以该方程无实数根，因此本选项命题不正确；

B：二次函数/(x)=2/-尤+1的对称轴为x=；,

所以有/&7)=/&+尤］=/1-尤］=/"),因此本选项命题正确；

c：f(x)=2x2-x+l=2(x-^］+-,显然当X=J时，不等式/(尤)V：成立，所以本选项命题正确；

14)848

D：/［丫［一^^^=2［丫［2_［丁)+1一3(2二一占+1+2q_%+1)=—：(为一%)2400

/1A*")；〃々)，所以本选项正确，

故选：BCD

高频考点五：含有一个量词的命题的否定

典型例题

例题L(2024上•山东潍坊•高一统考期末)设/wR,命题“存在机"，使如2_如_1=。有实根”的否定

是()

A.任意加之0,使2ftx-1=0无实根B.任意相＜0,使座2_根―1=0有实根

C.存在加20,使mx?—mx-l=0无实木艮D.存在机＜0,使mx?-mx-l=0有实木艮

【答案】A

【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可得答案.

【详解】由题意知命题“存在加之。，使九代-㈤；-1=0有实根”为存在量词命题，

其否定为：任意加之。，使鹿：2_如；_1=0无实根，

故选：A

例题2.(2024•全国•高一专题练习)已知命题P：VxwR,产1+e3^＞2e2,则命题。的真假以及否定分别为()

A.真，r?:VxeR,w+e3T<2e?B.假，r?:VxeR,e"'+e3T<2e2

r+13-x2r+13-x2

C.真，-1/>:3xeR,e+e<2eD.假，->p:eR,e+e<2e

【答案】C

【分析】利用基本不等式可推理得到命题P为真，再否定量词和结论，即得命题的否定.

【详解】因为e"i+e"，22Je**'e3T=2e，,当且仅当e3-，=e，“，即X=1时等号成立，故命题P为真.

x+12

XeR,e+e3T<2e.

故选:C.

练透核心考点

1.（2024上•广东佛山•高一统考期末）命题〃VX£R,%2+3X+4>0〃的否定是（）

A.VxGR,%2+3%+4<0B.R,x2+3x+4<0

C.BxGR,x2+3x+4<0D.GR,x2+3x+4<0

【答案】C

【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可得答案.

［详解】命题〃Vx£R,%2+3x+4〉0〃为全称量词命题，

它的否定是天£R,X2+3X+4V0,

故选：C

2

2.（2024・全国•高一专题练习）若命题尸：3x0GR,x0+2x0+2<0,则/为（）

22

A.3x0GR,x0+2x0+2>0B.3x0R,x0+2x0+2>0

C.VxGR,x2+2x+2<0D.VxGR,x2+2x+2>0

【答案】D

【分析】由特陈命题的否定是全称命题即可得出答案.

【详解】特称命题“*0£&/2+2/+240,〃的否定「〃：也£尺/+2%+2>0.

故选：D.

高频考点六：根据全称（特称）命题的真假求参数

典型例题

例题1.（2024上•陕西渭南•高一校考期末）已知命题P："玉eR,Y一仆+3<0"为假命题，则实数a的取

值范围为（）

A.（-co,-2向B.卜2G,2⑹

C.co,—2A/3）U（2A/3,+»）D.［-2后,2石］

【答案】D

【分析】根据命题P是假命题列不等式，由此求得。的取值范围.

【详解】由于命题。："上'©R,X?-ax+3<0"为假命题，

所以A=a2-12=(a+2@"2@W0,

解得一<2百.

故选：D

例题2.(2024上•陕西宝鸡•高一宝鸡市石油中学校考阶段练习)玉eR,ax2+ax+l<0.若此命题是假命

题，则实数a的取值集合是.

【答案】何0<"4}

【分析】先得到VxeR,62+6+1>0为真命题，分a=0和4W0两种情况，结合根的判别式得到不等式,

求出答案.

【详解】由题意得VxeR,ax?+依+1>0为真命题，

当a=0时，1>0恒成立，满足要求，

(a>0

当〃时，<2.八，解得0vav4,

[A=a—4a<0

综上，实数a的取值集合为{4。受<4}.

故答案为：{榄。<4}

练透核心考点

9

1.(2024上•广东深圳•高一统考期末)已知命题〃VXER,/+(“—2)%+1>0〃是真命题，则实数〃的取值范

围是()

A.B.(-5,1)C.(-5,+8)D.(-1,5)

【答案】D

【分析】由题意可得A<0,即可得解.

c9

【详解】因为命题"VXER,X+(Q—2)x+1>0"是真命题，

所以A=(〃一2)2—9<0,解得一lvav5,

所以实数a的取值范围是(-L5).

故选：D.

2.(2024上•安徽•高一校联考期末)已知〃玉KR,2024焉-2024/-a<0〃为真命题，则实数〃的取值范

围为()

A.a>-506B.a-506C.a-506D.a<-506

【答案】A

【分析】根据给定条件，分离参数，借助二次函数求出最小值即得.

【详解】“玉（）eR，2024年一2。24不一。<。"为真命题，贝广勺％e11,a>2024x；-2。24%”为真命题,

2

ffi]2024^-2O24xo=2O24（xo-1）-506>-506,当且仅当尤0=；时取等号，贝|。>一506,

所以实数a的取值范围为。>-506.

故选：A

第四部分：典型易错题型

注意：”的”字结构倒装

1.（2023•江苏•高一专题练习）线段>=-3彳+加广€[-1,1]在天轴下方的一个充分条件但不是必要条件

是.

【答案】根e（-8,-4）（答案不唯一）

【分析】结合一次函数性质知m<-3，再结合充分不必要条件定义解题即可.

【详解】结合一次函数图象知，要使线段在x轴下方，需厂:“<：二加<一3.

[-3X1+/M<0[m<3

就是一个使命题成立的充分条件但不是必要条件.

故答案为：me（-co,-4）.

注意：最高项系数含参数，容易忽略系数为0

2.（2023上•辽宁大连•高一大连八中校考阶段练习）"-3<加<1"是"关于x的不等式（7%-1.2+（〃?_1卜_1<0,

对任意的xeR恒成立"的条件.（填“充分不必要""必要不充分""充要""既不充分也不必要”）

【答案】充分不必要.

【分析】根据不等式（加-1）必+（加-l）x-l<0对任意的xeR恒成立，求得实数m的取值范围，结合充分条

件、必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】由不等式（皿-1）f+（根-1卜-1<0对任意的xeR恒成立，

当m=1时，不等式可化为-1<0,显然恒成立；

m-l<0

当相时，则满足人（八2“八八，解得一3<加<1,

A=（m-1）+4（加-1）<0

综上可得，实数机的取值范围为-3<1,

所以-3〈根<1是机对任意的xeR恒成立的充分不必要条件

故答案为：充分不必要.

注意：给定的区间是非人区间，不能用判别法

3.（2023上•云南曲靖・高一校考期中）若"Vxe[l,4],炉一6a+140，，为真命题，则实数。的取值范围为.

【答案】a>^17-

4

【分析】根据全称命题为真命题，可把不等式转化为a2=对于Vxe[l,可恒成立，根据函数单调性确定

X

最值，即可得实数a的取值范围.

【详解】若Vxe[l,4],x2-ax+l<0,贝U心上“对于Vx川恒成立

X

又函数=在区间[1,4]上单调递增

所以“x）max=/（4）=?=[，故ag.

17

故答案为：a>—~.

4

注意：给定的区间是R区间，可用判别法

4.（2023上•陕西渭南•高一统考期中）己知命题："AeR,口炉+2公-120”是假命题，则实数a的取值

范围是.

【答案】（—1,0]

【分析】命题："HxwR,ax2+2以-120〃是假命题等价于命题：“VXER,ax2+2ar-l<0〃是真命题，

再解决含参的不等式恒成立问题即可.

【详解】命题："HXER,ax2+2以-120"是假命题，

即命题：“VxwR,ax2+2ax-1<0〃是真命题，

当a=0时，-Iv。恒成立，符合题意；

当时，VxeR,ax2+2ax-l<0,

fa<0

则</2/八，解得T<。<0；

[4a+4a<0

综上所述，a的取值