北京市某中学2024~2025学年上学期九年级期中考试数学试卷（含答案解析）

北京市第一六一中学2024~2025学年上学期九年级期中考试数

学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.抛物线y=2。-1）2+5的顶点坐标为（）

A.（1,5）B.（0,5）C.（1,8）D.（0,8）

2.如果2机=3〃（”*0）,那么下列比例式中正确的是

m3m3m2m2

A.—=-B.——=—C.—=—D.——=—

n22nn33n

3.将抛物线y=-3/平移，得到抛物线y=-3（x+2）Jl,下列平移正确的是（）

A.先向左平移2个单位,再向上平移1个单位

B.先向左平移2个单位,再向下平移1个单位

C.先向右平移2个单位,再向上平移1个单位

D.先向右平移2个单位,再向下平移1个单位

4.如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，下列条件中：①NADE=NC；②-^=铲

ABBC

ADAJ7

AC布•使4ADE与ZXACB一定相似的是（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

5.已知关于x的方程M/-3X+4=0,如果加＜0,那么此方程的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.无实数根D.不能确定

6.如图，A4BC的顶点都在方格纸的格点上，那么sin/的值为（）

试卷第1页，共6页

A

7.如图，在口48CD中，点£在边AD上，ZC与交于点。，AE:ED=l:2,则A/OE与

8.已知二次函数y=X?-2x（-1VxV/）,当x=-l时，函数取得最大值；当x=l时，函数

取得最小值，贝w的取值范围是（）

A.B.-1<Z<3C.t>\D.1<Z<3

二、填空题

9.满足tanc=正的锐角。的度数是.

3

10.如图，在/4BC中，点分别是边/8,/C上的点，DEHBC,AD=\,BD=AE=2,则

EC的长为.

11.将二次函数y=/+2x-5用配方法化成y=a（x-/z）2+左的形式为>=.

12.点/（0,%）,8（5,力）在二次函数y=，-4x+c的图象上，必与％的大小关系是.

13.南宋数学家杨辉在他的著作《杨辉算法》中提出这样一个数学问题：“直田积八百六十

四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”.意思是：一块矩形地的面积为864平方步，已

知长与宽的和为60步，问长比宽多几步？设矩形的长为无步，则可列出方程为.

试卷第2页，共6页

14.如图，矩形纸片/BCD中，AB>AD,E,尸分别是48,DC的中点，将矩形/BCD沿EF

所在直线对折，若得到的两个小矩形都和矩形相似，则用等式表示N8与ND的数量

关系为

A

D

15.函数>=2/一4x+〃?满足以下条件：当2<x<3时，它的图象位于x轴的下方；当

-2<x<-1时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为.

16.如图，已知是等边三角形，A8=3,点。在NC边上，AD=2CD,点E在3C的

延长线上，连接DE,将线段DE绕。逆时针旋转90。得到线段。凡连接/厂,若AF〃BE，

则AF的长.

三、解答题

17.计算：sin600-cos30°+tan45°.

18.解方程：

(1)2/=8；

⑵，-61=0.

19.若。是关于x的一元二次方程2x?=3x-l的根，求代数式(2aT)2+a(2a-5)的值.

20.如图，与8C交于。点，ZX=ZC,AO=4,CO=2,CD=3,求N3的长.

21.已知关于x的一元二次方程—+(4-加卜+3-加=0

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(1)求证：该方程总有两个实数根；

(2)若该方程恰有一个实数根为非负数，求加的取值范围.

22.如图，在等腰V/5C中，AC=AB,NC4B=90°,E是上一点，将E点绕A点逆

时针旋转90。到连接DE、CD.

(1)求证：△48E之△/CD；

⑵若NCDE=20。，求NCED的度数.

23.已知二次函数y=-/-2x+c,它的图象过点/(2,-5),并且与x轴负半轴交于点民

(1)求二次函数的解析式和点B坐标；

⑵当-2<x<2时，结合函数图象，直接写出函数值y的取值范围；

⑶若直线了=h+6经过N,3两点，直接写出关于x的不等式后+6>-d-2x+c的解集.

24.如图，在菱形48CD中，对角线NC与8。相交于点。，延长C8到点E,使BE=BC,

连接

(1)求证：四边形/E5D是平行四边形;

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(2)连接。£,若tan4E3=g,AC=2,求OE的长.

25.圆圆发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发

球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器

出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的

运动轨迹近似为一条抛物线.如图1和图2分别建立平面直角坐标系xOy.

O'!'x

图1直发式图2间发式

通过测量得到球距离台面高度y(单位：dm)与球距离发球器出口的水平距离x(单位：dm)

的相关数据，如下表所示：

表1直发式

x(dm)02468101620

y(dm)3.843.9643.96m3.642.561.44

表2间发式

x(dm)024681012141618

y(dm)3.36n1.680.8401.402.4033.203

根据以上信息，回答问题：

(1)表格中切=,"=:

(2)求“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式;

(3)若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为4间发式”模式下球第

二次接触台面时距离出球点的水平距离为人,请你比较4和出的大小，并说明理由.

26.在平面直角坐标系式切中，点Z(T,"z),点8(3,〃)在抛物线〉=62+历；+«。＞0)

上.设抛物线的对称轴为直线尤=:.

(1)当1=2时,

①直接写出6与。满足的等量关系；

②比较正,〃的大小，并说明理由；

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⑵已知点C(x°,0)在该抛物线上，若对于3<%<4,都有用>?>",求才的取值范围.

27.如图，在VN3C中，AB=AC,/A4c=120。.。是48边上一点，DE//C交C4的

延长线于点£.

(1)用等式表示/。与ZE的数量关系，并证明；

(2)连接8E,延长BE至尸，使EF=BE.连接DC,CF,DF.

①依题意补全图形；

②判断AOCF的形状，并证明.

28.在平面直角坐标系xS中，对于点A,点8和直线/,点A关于/的对称点为点H,点8

是直线/上一点.将线段48绕点©逆时针旋转90。得到HC,如果线段/'C与直线/有交点,

称点C是点A关于直线/和点3的“旋交点”.

备用图

(1)若点/的坐标为(1,2),在点q(-l,2),C2(-l,0),C3(-l,-l)中，是点/关于X轴和点8的“旋

交点''的是

⑵若点3的坐标是(0,-2),点A、C都在直线v=x+2上，点C是点A关于V轴和点3的“旋

交点”，求点A的坐标；

⑶点A在以(0J)为对角线交点，边长为2的正方形M(正方形的边与坐标轴平行)上，直

线/:y=x-l,若正方形M上存在点C是点A关于直线/和点8的“旋交点”，直接写出/的取

值范围.

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参考答案:

题号12345678

答案AABCACBD

1.A

【分析】本题考查二次函数的性质，记住顶点式夕=”('-/7)2+左，顶点坐标是(/7/),对称

轴是直线X=/7.已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标.

【详解】解：抛物线k2(xT)2+5的顶点坐标是(1,5).

故选：A.

2.A

【分析】根据等式的性质，两边同除以2n,即可得出.

【详解】；2，=3",(〃片0),

,故选A.

n2

【点睛】此题主要考查比例的性质.

3.B

【分析】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加

右减，上加下减是解题关键.直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.

【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线＞=-3f向左平移2个单位所得抛物线的

解析式为：y=-3(x+2)2.

由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=-3(x+2尸向下平移1个单位所得抛物线的解析式为:

y=-3(x+2)2—1；

故选：B.

4.C

【分析】由两角相等的两个三角形相似得出①正确，由两边成比例且夹角相等的两个三角形

相似得出③正确；即可得出结果.

【详解】：/DAE=NBAC,

.,.当ADE=NC时，△ADES/^ACB,故①符合题意，

答案第1页，共19页

ZB不一定等于NAED,

.二△ADE与AACB不一定相似，故②不符合题意，

ADAJ7

当把=丝时，△ADES^ACB.故③符合题意，

ACAB

综上所述：使4ADE与aACB一定相似的是①③，

故选：C.

【点睛】本题考查相似三角形的判定，两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且

夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判

定定理是解题关键

5.A

【分析】此题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）A>0o方程有两个不相

等的实数根；（2）A=0o方程有两个相等的实数根；（3）A<00方程没有实数根.先求

一元二次方程的判别式，再根据加<0,判断出A的情况，由△与0的大小关系来判断方程

根的情况.

【详解】解：：关于x的方程/MX?-3x+4=0中，a—m,b=-3,c—4,

A=b2-4ac=（-3）2-4xmx4=9-16m,

*/m<0,

:,9-16m>0,

..・关于X的方程mx2-3x+4=o有两个不相等实数根.

故选：A.

6.C

【分析】本题考查了直角三角形的边角关系，勾股定理，利用网格构造直角三角形是解题的

关键.利用网格构造直角三角形，根据格点线段的长度求出斜边的长，再根据三角函数的意

义求出答案.

【详解】解：如图，设小正方形边长为1,AELCE,

答案第2页，共19页

A

,•*AC=^IAE2+CE2=V42+32=5，

...CE3

・・sinZ=-----=—

AC5

故选：C.

7.B

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，牢记相似三角形的面积

比等于相似比的平方是解题的关键,由可得出再利用相似三角

形的性质即可得出LAOE与ACOB的面积之比.

【详解】解：•・•在口力BCD中，

AD//BC,AD=BC,

：.AAOESACOB,

AF

・•.相似比为兹=而

•：AE:ED=\-.1,即/£:/。=1:3,

.AEAE1

’•正一而一写

I，即A/OE与ACQ8的面积之比为1:9,

V

°ACOB

故选：B.

8.D

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识.熟练掌握二次函数的

图象与性质是解题的关键.

由＞-2x=(x-l)2-l,可知图象开口向上，对称轴为直线x=l,顶点坐标为(1,T),当

尤=一1时，y=3,即(-1,3)关于对称轴对称的点坐标为(3,3),由当x=-l时，函数取得最大

值；当尤=1时，函数取得最小值，可得1W/W3.

答案第3页，共19页

【详解】解：:y=x2-2x=(x-l)2-l,

...图象开口向上，对称轴为直线x=l,顶点坐标为(1,T),

当％=-1时，>=3,

-1,3)关于对称轴对称的点坐标为(3,3),

•.•当x=-l时，函数取得最大值；当x=-l时，函数取得最小值，

1<Z<3,

故选：D.

9.30730M

【分析】根据特殊角的三角函数值求解可得.

【详解】解：・・・tana=—

3

Z,a-30°

故答案为：30°.

【点睛】本题考查锐角三角函数，熟练掌握30。、45。、60。的三角函数值是解题的关键.

10.4

【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题.

【详解】VBC//DE,AD=1,BD=AE=2,

:.AADE〜AABC,/8=/。+。8=1+2=3,

.ADAE12

则n一=—,-=——，

ABAC3AC

：.AC=6,

AE=2,

：.EC=AC-AE=6-2=4.

故答案为：4.

【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常

考题型.

11.(x+iy-6

【分析】本题考查的是将二次函数一般式化为顶点式，正确利用配方法把二次函数一般式化

为顶点式是解题的关键.利用配方法把二次函数一般式化为顶点式即可.

答案第4页，共19页

【详解】解：y=x2+2x-5,

=x2+2x+1—1—5»

=（x+1）2—6,

故答案为：（x+以-6.

12.yi<y2/y2>yl

【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的解析式得出图象的

开口向上，对称轴是直线x=2,根据久>2时，y随X的增大而增大，以及二次函数对称性

得/（0,%）关于直线x=2的对称点是（4,必）是解决问题的关键.

【详解】解：vy=x2-4x+c,

，图象的开口向上，对称轴是直线x=-==2，

/（0,必）关于直线x=2的对称点是（4,弘），

当x>2时，歹随x的增大而增大，

2<4<5,

y1<y2,

故答案为：必<%.

13.x（60-x）=864

【分析】本题考查古代数学问题，涉及列一元一次方程，读懂题意，设矩形的长为x步，找

到等量关系列方程即可得到答案.

【详解】解：设矩形的长为x步，则宽为（60-切步，

x（60-无）=864,

故答案为：x（60-x）=864.

14.AB^41AD

【分析】根据相似多边形的性质即可求出答案.

【详解】解：由于AB>AD,,E,F分别是AB,DC的中点，

矩形AEFD之矩形BEFC,

答案第5页，共19页

:两个小矩形都和矩形ABCD相似,

矩形AEFDs矩形ABCD,

.ABAD

,・万一罚’

-AB2=AD2,

2

AB=y/2AD，

故答案为AB=41AD.

【点睛】本题考查相似多边形，解题的关键是正确理解相似多边形的性质.

15.-6

【分析】本题考查了二次函数的性质，根据解析式求得对称轴是解题的关键.先求得抛物线

的对称轴，根据二次函数的图象的对称性以及已知条件可得久=-1时，y=o,当无=3和

》=0时夕值相等，都是0,进而求得加的值.

【详解】解：抛物线y=2x?-4x+〃?=2(尤-#-2+加的对称轴为直线x=1,

抛物线在2<x<3时，它的图象位于x轴的下方，当-2<x<-l时，它的图象位于x轴的上

方，当-24<-1时，它的图象位于x轴的上方，

：3和-1到对称轴直线％=1的距离相等，

...当x=—1和x=3时>值相等，都是0,则2x(-l『-4x(-l)+加=0,

m=-6.

故答案为：-6.

16.1+——

2

【分析】过点。作G〃_LNb于G,交,BC于点、H,将N歹转化为NG+FG,通过AAS可证

AHDE^ACFD,得出HD=FG,所以分别求出/G和加的长度即可.

【详解】解：过点。作G"，//于G,交BC于点、H,

：.NADG=90°-60°=30°,ZCDH=90°-60°=30°,

答案第6页，共19页

'：AD=2CD,AB=3,

.\AD=2fCD=1,

111

.\AG=—AD=1,CH=—CD=—,

222

，DH=4CD1-CH1=—,

2

・・•线段DE绕D逆时针旋转90。得到线段DF,

:・DE=DF,/EDF=90。,

：.ZHDE+ZGDF=90°,ZGDF+ZF=90°,

ZHDE=ZF,

4DHE=/DGF

■:在XHDE和△GF。中,/HDE=/F,

DE=DF

:•△HDE"AFGD(AAS),

2

故答案为：1H------

2

【点睛】本题主要考查了旋转的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，通过作

辅助线，构造全等三角形得到是解题的关键.

17.1

【分析】此题主要考查了特殊角三角函数的混合运算，正确化简各数是解题关键.直接利用

特殊角的三角函数值分别代入得出答案.

【详解】解：sin60°-cos30°+tan45°,

=1

18.(I)%]=-2,x2=2

(2)尤1=3-厢，x2=3+Vi0

【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握直接开方法和配方法，并正确计算.

(1)利用直接开方法求解即可；

答案第7页，共19页

(2)利用配方法求解即可.

【详解】⑴解：2X2=8

x2=4

X]——2,=2；

(2)解：x2-6x—1=0

x2-6x+9=10

(x-3)2=10

x-3=+A/TO

%)=3—Vw,x2=3+VTo.

19.-2

【分析】本题考查的是整式的混合运算一化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关

键.根据完全平方公式、单项式乘多项式、合并同类项把原式化简，整体代入计算得到答案.

【详解】解：(2a-l)2+a(2tz-5)

=4矿—4。+1+2a之一5。

—6a2—9。+1,

是关于'的一元二次方程2—=3x-1的根，

2a?=3a—1,

2a2—3。=—19

贝IJ原式=3(2/—3。)+1=—2.

20.6

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形对应边的比相等是解题的关

键.由N4=/C,乙408=/。。。可得出利用相似三角形的性质可得出

ADAO

—,代入/。=4,CO=2,CZ)=3即可求出45的长.

【详解】解：•.・/%=/C,ZAOB=/COD,

:AAOBS^COD,

.ABAO

''~CD~~cd'

答案第8页，共19页

AB=6.

21.⑴见解析;

（2）m>3.

【分析】（1）根据一元二次方程根与判别式的关系，求证即可；

（2）根据根与系数的关系可得，3-m<0,即可求解.

【详解】（1）证：由题意可得，

判另U式△=（4—-4（3-加）=〃/—8m+16-12+4m=（〃？一2）一>0,

该方程总有两个实数根；

（2）解：设不，赴为一元二次方程的两个实数根，

由该方程恰有一个实数根为非负数可得XRWO,BP3-m<0,解得加23,

故答案为：m>3.

【点睛】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，根与系数的关系，解题的关键是熟练

掌握相关基础知识.

22.（1）证明见解析

（2）70°

【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解决

本题的关键是综合运用以上知识.

（1）根据£点绕N点逆时针旋转90。到AD,可得AD=/E,/D/E=90。，进而可以证明

△ABE部△ZCD；

（2）结合（1）AABE学AACD,和等腰三角形的性质，可得N/CD=/4BC=45。，进而

得到=45°+45°=90°,再根据直角三角形的性质即可求出NCED的度数.

【详解】（1）解：••・RtZ\/8C中，NBAC=90。,AB=AC,

ZABC=NACB=45°,

由旋转可知：AD=AE,NDAE=90°,

ZBAE+ZCAE=ZCAD+NCAE=90°,

NBAE=ACAD,

在ABAE与AC4D中，

答案第9页，共19页

AB=AC

</BAE=ACAD,

AE=AD

,△ZB%"CZ)(SAS)；

(2)解：•；AABE注AACD

:.ZACD=ZABC=45°,

「./EC。=45。+45。=90。；

ZCED=90°-ZCDE=90°-20°=70°.

23.(1)y=-x2-2x+3；(-3,0)

⑵-5<”4

(3)%<-3或％〉2

【分析】(1)把2(2,-5)代入y=f2-2x+c,从而可得答案;

(2)先画函数的简易图象，由图象可得函数的最大值为歹=4,再结合x=-2与久=2时的

函数值可得答案；

(3冼画出直线N3,再根据二次函数的图象在直线的下方可得不等式6+6-2x+c的

解集.

【详解】(1)解：；二次函数y=-，-2x+c,它的图象过点/(2,-5),

A-22-2x2+c=-5,

解得：c=3,

抛物线为：y=—x1—lx+3；

当>=0时，-/-2》+3=0,

解得：占=1,%=-3,

(0,-3)；

(2)解：如图，画函数图象如下：

答案第10页，共19页

咻

-2X+3=-(X+1)2+4,且-1<0,

...当x=—1时，函数最大值为>=4,

当x=2时，函数值>=-5,当x=-2时，函数值了=3,

...当-2<x<2时，>的取值范围为：-5<”4.

(3)解:如图，直线43为了=丘+6,^(2,-5),5(—3,0),

c的解集为：x<-3或久>2.

【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，利用图象与直线的交点求解

不等式的解集，二次函数的图象与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键.

24.⑴见解析

⑵如

【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，菱形的性质，勾股定理，掌握判定方法及性

质是解题的关键.

(1)根据菱形得性质得出AD=BE,再由平行四边形的判定即可得证；

(2)根据菱形得性质得出/C_LAD,AE//BD,AO=CO=\,再由平行四边形的性质确

定/C_L4E,NAEB=/DBC,得出03=2,由勾股定理求解即可.

【详解】(1)证明：・••四边形是菱形，

答案第11页，共19页

/.AD//BC,AD=BC,

AD//BE,

•・,BE=BC,

，AD=BE,

，四边形4助。是平行四边形.

（2）•・•菱形四边形4EAD是平行四边形，AC=2,

：.ACLBD,AE//BD,AO=CO=1,

：.ACLAE,NAEB=NDBC,

tanZAEB=—,

2

OC1

AtanZOBC=—=一，

OB2

：.OB=2,

：.BD=AE=4,

在必△ZE。中，OE7ACP+AE?=々+42=后.

25.（1）3.84,2.52

（2）y=-0.01（x-4/+4

⑶dl=d2,理由见解析

【分析】（1）根据直发式”模式下，表1数据，可知对称轴为直线x=4,根据对称性即可求

得机的值，根据在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一

条直线，待定系数法求直线解析式，进而将代入即可求解；

（2）根据题意设抛物线解析式为y=“x-4y+4,将点（0,3.84）代入，待定系数法求二次

函数解析式即可求解；

（3）令〉=0,即0=-0.01（了-4）2+4,得出4=24,设抛物线解析式为3/=_0.05（X-16）2+3.2,

将点（8,0）代入，得出机=-0.05,令y=0,即0=-0.05（X-16）2+3.2,得出"2=24dm,即

可求解.

【详解】（1）由抛物线的对称性及己知表1中的数据可知：“2=3.84；

在“间发式“模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，

设这条直线的解析式为了=丘+。（左片0）,把（0,3.36）、（8,0）代入，

答案第12页，共19页

，这条直线的解析式为y=-0.42X+3.36,

当x=2时，y=—0.42x2+3.36=2.52,

表格2中，〃=2.52；

故答案为：3.84,2.52；

（2）由已知表1中的数据及抛物线的对称性可知：

“直发式"模式下，抛物线的顶点为（4,40）,

设此抛物线的解析式为y=a（x-4）2+4（。＜0）,

把（0,3.84）代入,得3.84==40-4）2+4,

解得：a=-0.01,

•••"直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式为y=-0.01（x-4『+4；

⑶当＞=0时，0=-0.01（X-4）2+4,

解得：%=一16（舍去），x2=24,

•••“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为4=24；

“间发式”模式下，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线，

由已知表2中的数据及抛物线的对称性可知：“间发式”模式下，这条抛物线的顶点坐标为

（16,3.20）,

，设这条抛物线的解析式为y=机（x-16『+3.2（m＜0）,

把（8,0）代入,得0=m（8-16『+3.2,

解得：m——0.05,

，这条抛物线的解析式为y=-0.05（X-16）2+3.2,

当y=0时，0=-0.05（X-16）2+3.2,

解得：=8,%=24,

d2=24dm,

答案第13页，共19页

..4=d2.

【点睛】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解

析式是解题的关键.

26.⑴①6=4z②m>n

3

⑵

【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二

次函数的性质.

(1)①利用对称轴公式求得即可；②利用二次函数的性质判断即可；

(2)由题意可知点/(T,加)在对称轴的左侧，点B(3,〃),C(Xo，p)在对称轴的右侧，点A到

ft<3

对称轴的距离大于点C到对称轴的距离，据此即可得到-1+4,解得:</43.

t>--------2

I2

【详解】(1)①-."=一2=2,

2a

b=-4a；

②:抛物线歹二"2+法+。中，a>0,

・・・抛物线开口向上，

:点“(T，M,点3(3,〃)在抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上，对称轴为直线x=2,

.•.点Z(T,m)到对称轴的距离大于点6(3,〃)到对称轴的距离，

m>n­

(2)由题意可知，点/(-L5))在对称轴的左侧，点8(3,〃),C(Xo，p)在对称轴的右侧，

3<x0<4,都有m>p>n,

点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离，

(t<3

3

-1+4,解得~<t<3,

t>--------2

12

3

.."的取值范围是-<?<3.

2

27.⑴AD=2AE,证明见解析

(2)①补全图形见解析；②ADCF是等边三角形，理由见解析

【分析】(1)根据,N3NC=120。可知ZD以=90。，ZADE=ABAC-ZDEA=30°,

答案第14页，共19页

利用含30。角的直角三角形性质：30。角所对直角边等于斜边的一半，可得3=2隹；

(2)①根据题意补全图形即可；

②延长A4至点以使/”=连接CH,FH,根据48=/C可知,由

/7£4C=180。-/A4C=60。，得“C7/是等边三角形，HC=AC,ZAHC=ZACH=60°,根

据4H=4B,EF=BE,可知HF=2/£,HF//AE,得NFH4=NHAC=60°,

AFHC=ZFHA+ZAHC=120°,ZFHC=ADAC,由3=2空，得HE=AD,由/£4=/C,

可证明△FHC04D4C,可得"=DC,ZHCF=ZACD,ZFCD=ZACH=60°,从而可

证明ADCF是等边三角形.

【详解】(1)解：线段4D与/£的数量关系：AD=1AE.

证明：VDE1AC,

ZDEA=90°.

•/ZBAC=120°,

NADE=ABAC-NDEA=30°

AD=2AE；

(2)解：①补全图形，如图.

②结论：AOCF是等边三角形.

证明：延长加至点H使/〃=连接CH,FH,如图.

AH=AC.

•・.ZHAC=180。—ABAC=60°,

"CH是等边三角形.

答案第15页，共19页

HC=AC,ZAHC=ZACH=60°.

AH=AB,EF=BE,

HF=2AE,HF//AE.

：.ZFHA=ZHAC=60°.

ZFHC=ZFHA+ZAHC=120°.

ZFH