北京市大兴区2024-2025学年高二年级上册期中检测数学试卷（含解析）

大兴区2024-2025学年度高二第一学期期中检测

数学比卷

1.本试卷共4页，共两部分，21道小题.满分150分.考试时间120分钟.

2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号.

3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.

4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1.直线无+y—i=°的倾斜角的正切值为（）

A.-1B.1

C.0D.2

【答案】A

【解析】

【分析】根据斜率和倾斜角的关系求得倾斜角，进而求得其正切值.

371

【详解】直线x+y-l=0斜率为-1,倾斜角为卫，

4

3兀

所以tan卫=一1.

4

故选：A

2.已知两个向量。=（1,一1」）力=（2,也2）,且。_|_"，则"=（）

A.-2B.2

C.4D.6

【答案】C

【解析】

【分析】根据向量垂直列方程，化简求得加.

【详解】由于

所以a•b=（1,—1,1）•（2,租,2）=2-初+2=0,初=4.

故选：C

3.过点M（—2,a）,N（a,4）的直线的斜率为:，则|AfN|=（）

A.2B.275

C.4D.472

【答案】B

【解析】

【分析】根据斜率列方程，求得。，进而求得

a—41

【详解】依题意，-----二—,解得〃=2,

-2-a2

所以M（—2,2）,N（2,4）,所以|MN|=j42+22=2百

故选：B

4.圆f+（y+2）2=1关于X轴对称的圆的方程为（）

A.x2+（y+2）2=1B.（x+2）2+y2=1

C.（x+2）2+（y-2）2=1D.f+G-2）2=1

【答案】D

【解析】

【分析】确定出已知圆的圆心关于x轴对称的点的坐标，结合已知圆的半径则对称圆方程可知.

【详解】圆炉+（丁+2）2=1的圆心为（0,—2）,半径为1,

因为（0,—2）关于x轴对称的点为（0,2）,

所以对称圆的方程为尤2+（y—2『=1,

故选：D

5.若d=（l,l，-2）是直线/的方向向量，72=（-1,3,0）是平面a的法向量，则直线/与平面a的位置关系

是（）

A.直线/在平面a内B.平行C.相交但不垂直D.垂直

【答案】C

【解析】

【分析】先判断d与〃是否共线或垂直，即可得出结论.

【详解】V6?=（1,1,-2）,“=（一1,3,0）,假设存在实数3使得d=左〃，则（1,1,—2）=左（一1,3,0）,

1=-k

即1=3左n左无解.不存在实数左，使得”=左〃成立，因此1与a不垂直.

-2=k-0

由d大=。,1,一2》（—1,3,0）=—1+3+0=220,可得直线1与平面a不平行.

因此直线1与平面a的位置关系是相交但不垂直.

故选：C

【点睛】本题考查了向量共线定理、数量积运算性质、线面位置关系，属于基础题.

6.已知直线x+2y—4=0与直线2%+切+加+3=0平行，则它们之间的距离为（）

A.6B.V10C.垣D.

22

【答案】C

【解析】

zw—4=0

【分析】根据直线x+2y—4=0与直线2%+72+加+3=0平行，由1，解得加，然后利用两

m+3^4

平行线间的距离.

【详解】因为直线x+2y—4=0与直线2%+切+机+3=0平行,

m-4-=0

所以C

m+3^4

解得m=4,

7

因为直线x+2y—4=0与直线工+2丁+万=0

所以它们之间的距离为I—字=空.

a+222

故选：c

【点睛】本题主要考查两直线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

7.在平行六面体A3CD-A31G2中，AB^AD^A^^l,ZBAD=ZBA^=ZDA^=60,则

AG的长为（）

A.73B.76

C.3D.6

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量运算求得正确答案.

【详解】依题意，AC^AB+AD+AA,,

所以AC：++=AB?+AD'+AA12+2^AB-AD+AB-A\+AD-AA^

=l+l+l+2x|lxlx—+lxlx—+lxlx—|=6

V222j

所以|AG卜JG.

故选：B

8.已知圆0:/+y2=i,过直线3x+4y-10=0上的动点尸作圆0的一条切线，切点为A,则|用的

最小值为（）

A.1B.72C.亚1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】连接尸。，=|「。『一产，当|po|最小时，|尸山最小，计算点到直线的距离得到答案.

【详解】如图所示：连接尸O,则|P4「=|PO「f2,

,,-10

当|P0|最小时，|24|最小,\PO\.='——L=2,

1lnun7?77

故1PH的最小值为万二7=6.

故选：C.

9.已知点C（2,0）,直线依一y+fe=0（左W0）与圆（x—炉+（y—=2交于A,8两点，则“△ABC为

等边三角形”是“k=l”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】当VABC为等边三角形时，求出斜率左的值，当左=1时，判断VABC的形状，即可选出答案.

【详解】设圆心为。，易知0（1,1）,半径厂=0,

当VABC为等边三角形时，CDLI,而左°=土土=—1,

-1

因为左co•左=一1,所以左=1,

当上=1时，直线/为：x—y+l=O,而左8=2^=一1，

-1

所以左s•左=-1,所以C。，/,所以VA5C为等腰三角形,

因为|。|=^（2-1）2+12=V2，

圆心到直线/的距离为1=山=交，即回二，

V1+12d1

所以圆心。为7ABe的重心，同时也是VABC的外心，

所以VA3C为等边三角形，

所以“VA3C为等边三角形”是“k=l”的充要条件，

故选：A.

10.如图，放在平面直角坐标系中的“太极图”整体是一个圆形，且黑色阴影区域与白色区域关于原点中心对

称，其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆.已知直线/：，=a%-2）.给出下列四个结论：

①当。=0时，若直线/截黑色阴影区域所得两部分面积记为H，邑（S]2邑），则工：星=3:1；

4

②当。=——时，直线/与黑色阴影区域有1个公共点；

3

③当ac[-1,1]时，直线/与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点.

其中所有正确结论的序号是（）

A.①②B.①③

C.②③D.①②③

【答案】A

【解析】

【分析】由题知根据直线：/：y=a（x-2）过定点（2,。），。为直线的斜率根据直线和圆的位置关系作图，数

形结合逐项分析判断即可得解.

【详解】如图1所示，大圆的半径为2,小圆的半径为1,

所以大圆的面积为4兀，小圆的面积为兀.

对于①，当。=0时，直线/的方程为>=0.

TT37r7TTT

此时直线/将黑色阴影区域的面积分为两部分S[=兀+2=四，S2=n--=-,

2222

所以d：S2=3:l,故①正确.

对于②，根据题意，黑色阴影区域在第一象限的边界方程为f+G—l)2=l(x>0),

44

当。=—耳时，直线的方程为/:y=—§(x—2),即4x+3y—8=0,

|3-8|

小圆圆心(0,1)到直线I的距离d=,所以直线/与该半圆弧相切,

A/42+32

所以直线/与黑色阴影区域只有一个公共点，故②正确.

对于③，当时，如图3所示，

直线/与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点，

当。=1时，直线/与黑色阴影区域的边界曲线有1个公共点(0,-2),故③错误.

综上所述，①②正确.

故选：A.

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知4(1,1),5(2,2),三点共线，则〃=.

【答案】0

【解析】

【分析】先确定直线A3,AC斜率存在，然后根据三点共线可知左钻=的一结合斜率的计算公式可求结果.

【详解】因为所以直线A5AC斜率存在，

因为A3,。三点共线，所以左股=七一

2-11-n

所以——=-解得九=0,

2-11-0

故答案为：0.

12.已知圆C:尤2+y2_2x+4y+a=0,则圆心C坐标为,当圆C与V轴相切时，实数。的值

为.

【答案】©.(1,-2).②.4.

【解析】

【分析】首先将圆的一般方程进行配方运算，得到标准方程(x-l>+(y+2)2=5-a,从而求得圆的圆心

坐标，再根据圆与y轴相切，即圆心到y轴的距离即为圆的半径，从而求得。的值.

详解】由x?+/一2x+4y+a=0,酉己方得(x-l)?+(y+2)?=5-a,

所以圆心C的坐标为(1,-2)；

当圆C与V轴相切时，则有加-a=1，解得a=4；

故答案是(1,-2),4.

【点睛】该题考查的是有关圆的问题，涉及到的知识点有圆的一般方程向圆的标准方程的转化，由圆的方

程得到圆的圆心坐标，圆与直线相切时满足的条件，即为圆心到切线的距离为圆的半径，从而建立相应的

等量关系式，求得结果.

13.已知平面a过点0(0,0,0),A(2,2,0),3(0,0,2)三点，直线/与平面a垂直，则直线/的一个方向向量

的坐标可以是.

【答案】(L—1,0)(答案不唯一)

【解析】

【分析】先求解出平面a的法向量，然后根据位置关系判断出方向向量与法向量的关系，由此可知方向向

量的结果.

【详解】设平面a的法向量为n=（九,y,z）,

因为04=（2,2,0）,05=（0,0,2）,

n_LOAn-OA-02x+2y=0

所以《，所以,所以＜

nlOBn-OB—02z=0

取x=l,所以〃=（1,一1,0），

又因为直线/与平面a垂直，所以直线/的方向向量与平面2的法向量共线,

所以可取方向向量为（1,-L0）（不唯一，非零共线即可）,

故答案为：。，-L0）（答案不唯一）.

14.直线x—2y+2=0和2x+y—6=0与两坐标轴正半轴围成的四边形的面积为

【答案】4

【解析】

【分析】先分别求解出直线与坐标轴的正半轴交点坐标，然后求解出两直线的交点坐标，结合割补法求解出

四边形面积.

【详解】令2x+y—6=0中y=0,得x=3,所以与左轴交于A（3,0）,

令x—2y+2=0中尤=0,得y=l,所以与V轴交于8（0,1）,

2%+y-6=0卜=2

由＜"可得|y=2，所以两直线交于尸（2,2）,

[x-2y+2=0

所以围成的四边形面积为S=0+2）x2+2x（3-2）=4,

22

故答案为：4.

15.如图，在正方体ABC。—AgG2中，AB=2,E为8片的中点，/为棱CQ（含端点）上的动

点，给出下列四个结论：

①存在尸，使得BFLDE；

②存在F,使得男尸//平面AED；

③当F为线段CQ中点时，三棱锥4-EED的体积最小;

④当厂与。重合时，直线EF与直线4。所成角的余弦值最小.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】②④

【解析】

【分析】先建立合适空间直角坐标系，设厂（2,2,书（加40,2]）,对于①：根据防"=0求得加的值并判

断是否正确；对于②：考虑尸与C重合时的情况；对于③：根据匕711ELL.1FLyD=~CxS7.1]2E_zZD.zxd,分析d的最小值

即可判断；对于④：利用向量法先表示出卜OS石孔人”，然后结合换元法和二次函数性质求解出最小值并

判断

【详解】建立如图所示空间直角坐标系设F（2,2,m）（me[0,2]）,

①：因为5（2,0,0）,£＞（0,2,0）,石（2,0,1）,所以防=（0,2,加），£＞£=（2,-2,1）,

当5尸，DE时，BFDE=-4+m=0＞解得m=4,不符合题意，故①错误;

②：当E与C重合时，

因为4用//即，4g=ED,所以四边形4片网）为平行四边形,

所以四///4。，且用/（z平面4即，aou平面4瓦），

所以4P//平面AED,故②正确；

设厂到平面AE。的距离为△，

所以匕上所。=%_4即=S4即xd,且S&EZ）为定值,

所以当d最小时，三棱锥A-石尸。的体积最小，

因为4（。,。,2）,。（0,2,0）,石（2,0,1）,所以4。=（。,2,—2），4£=（2,0,—1）,

设平面4皮）的法向量为“二（x,y,z）,

一z二

所以，取x=l,所以加二（1,2,2）,

2x-z=0

n-AXE-0

\DF-n\_2+2m

又。尸=（2,0,间，所以d=

当口=0时d有最小值，故③错误；

④：设直线所与直线4。所成角为。，

因为郎=（0,2,加一1），40=（0,2,—2）,

n|“.八I|4-2（m-l）|3-m

所以cose=cosEF,AD=J==/,=

^4+（m-l）-2A/2V2m--4m+10

令3—/e[l,3],所以7〃=3—f,所以

cos0=-,'=一,/=—,1=

j2（37『-4（37）+10V2r-8?+16

,11,,所以：=1时J16p-+1取最大值，此时cos®取最小值,

因为一e—,l

t[_3

此时/=1,772=2,即尸与q重合，故④正确；

故答案为：②④.

【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是向量法的使用，将①中的垂直关系转化为数量积计算，将③中的

体积问题转化为点到面的距离问题并用向量法完成计算，将④中的异面直线所成角转化为直线方向向量所

成角进行计算.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.已知平面内两点A(8,—6),3(2,2).

(1)求A3的中垂线方程；

(2)求过点尸(2,-3)且与直线AB平行的直线/的方程.

【答案】(1)3x—4y—23=0；(2)4.r+3y+l=0.

【解析】

【详解】试题分析：

(1)首先求得中点坐标，然后求得斜率，最后利用点斜式公式即可求得直线方程；

(2)利用点斜式可得直线方程为4x+3y+1=0.

试题解析：

(1)手=5，二—=—2的中点坐标为(5,—2)

-6-243

k=——=一一，的中垂线斜率为2

AAB8-234

由点斜式可得y+2=彳(x—5)，48的中垂线方程为3%—4y—23=0

(2)由点斜式y+3=—：(x—2)直线/的方程4x+3y+l=0

17.己知圆C的半径为2,圆心在左轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切.

(1)求圆C的标准方程.

(2)求直线/：x—2y+2=0与圆C相交的弦长.

2

【答案】(1)(X-2)+/=4;(2)半.

【解析】

【分析】(1)根据直线与圆相切，应用点线距离公式求圆心坐标，写出圆C的标准方程.

(2)根据相交弦、弦心距、半径之间的几何关系求弦长即可.

【详解】(1)令圆心为(阳0)且无＞0,

I3X+4I

由圆与3x+4y+4=0相切，有।§=2,即可得x=2.

:.圆C的标准方程为(x—2)2+丁=4.

(2)由(1)知：C(2,0),厂=2,

,4

...C到直线x—2y+2=0距离为4=方

直线/与圆C相交的弦长为2,,一=2xjl—?

18.如图，在四棱锥P—ABCD中，上4,平面ABC。，AB±BC,ABLAD,且

PA=AB^BC=-AD=2.

(1)求直线PB与直线CO所成角的大小；

(2)求直线与平面B4C所成角的正弦值.

TT

【答案】(1)-

3

⑵叵

5

【解析】

【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量法来求得直线网与直线CD所成角的大小.

(2)利用向量法来求得直线与平面B4C所成角的正弦值.

【小问1详解】

由于24_L平面ABC。，AB,ADu平面ABC。，所以AD,

由于A?_LAr),所以AB,AD,AP两两相互垂直.

以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系,

网0,0,2),5(2,0,0),。(2,2,0),。(0,4,0),

PB=(2,0,-2),CD=(-2,2,0),设直线PB与直线CD所成角为a,

PBCD41

则cosa=|一n——,

PB-\CD2后x2行2

【小问2详解】

PD=（0,4,-2）,AC=（2,2,0）,AP=（0,0,2）,

设平面PAC的法向量为n=(x,y,z),

n•AC=2x+2y=0

则,故可设"=（1,—1,0），

n-AP=2z=0

设直线PD与平面出。所成角为。,

PD-n4_V10

则sin6=

HR275x72-5

19.已知圆。过&(4,1),8(0,1),“(2,3)三点,直线/:y=x+2.

(1)求圆C的方程；

(2)求圆C关于直线/对称的圆C的方程；

(3)若尸为直线/上的动点，。为圆C上的动点，。为坐标原点，求|。尸|+|尸。|的最小值.

【答案】(1)(x-2)2+(y-l)2=4

(2)(X+1)2+(J-4)2=4

(3)717-2

【解析】

【分析】(1)设出圆的标准方程，代入点的坐标求解出参数则圆的方程可知；

(2)根据斜率关系和中点关系求解出对称点C的坐标，结合对称圆的半径不变求解出圆C的方程;

（3）根据圆外一点到圆上点距离的最值可知|“+归。|习OH+|PC|-2,然后利用对称关系将

\OP\+\PC\转化为QH+|PC[,结合三点共线可求最小值.

【小问1详解】

设圆的方程为（X—+（y—人）2=/（厂>0）,代入A（4,l）,B（0,l）,M（2,3）,

a）。。-A）?=/卜=2

则<（一。）",解得<。=1,

（2—4+（3—A?=#[r=2

所以圆C的方程为（x-2）2+（y—1）2=4；

【小问2详解】

设,

n-1,।

------xl=-1

m—2m=—]

由对称关系可知<解得彳_4，所以C（T，4），

〃+1m+2石

——二--+2

I22

又因为对称圆的半径不变，

所以C'的方程为（x+l）2+（y—4）2=4；

【小问3详解】

因为耳3+忸。|_2,

由（2）可知C关于直线/的对称点为C,

所以+1PC|=IOP|+1PC[习OC[=Vl+16=V17,

当且仅当。P,C共线时取等号,

所以QH+|PQ|NJI7-2,即|OP|+|P0的最小值为JI7—2.

20.在四棱锥P—A5C。中，底面ABC。是正方形，。为的中点，PA±AD,PA=AB=2,再从

条件①、条件②这两个条件中任选一个作为已知.

（1）求证：平面ABCD；

（2）求平面ACQ与平面ABCD夹角的余弦值;

（3）求点3到平面ACQ的距离.

条件①：平面K4O,平面ABCD；

条件②：PA±AB.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）证明见解析

⑵显

3

⑶孚

【解析】

【分析】（1）先选择条件，然后根据面面垂直的性质定理或线面垂直的判定定理来证得平面A3CD.

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面ACQ与平面ABCD夹角的余弦值.

（3）利用向量法求得点3到平面ACQ的距离.

【小问1详解】

若选①，由于平面？平面ABCD,且交线为AD，PAu平面BLD，PA±AD,

所以24,平面ABC。.

若选②，由于以J_AB，PA±AD，ABAD=4,48,40<=平面48。£）,

所以上4,平面ABC。.

【小问2详解】

由(1)知上4,平面ABC。，ABYAD,AB,A。,AP两两垂直,

以A为原点，AB,ARAP分别所在的直线为苍％z轴，建立如图空间直角坐标系,

则尸（0,0,2）,4（0,0,。）,2（0,1,1）,C（2,2,0）,

所以AC=（2,2,0）,AQ=（0,1,1）

由(1)知平面ABCD的法向量A尸=(0,0,2),

n-AC-2x+2y=0

设平面ACQ的法向量为〃=(x,y,z),贝卜

n-AQ=y+z=0

x+y=0/、

即《y+；_0，令y=i，则〃

设平面ACQ与平面ABCD夹角的为6,

EnAPnI-2IA/3

则cos0=।r——=尸|==-，

\AP\-\n\|2x有3

所以平面ACQ与平面ABCD夹角的余弦值为走.

3

【小问3详解】

由己知得3(2,0,0),AB=(2,0,0)