北京某中学2025届高三年级上册期中考试 数学试卷（含答案）

北京鲁迅中学2025届高三上学期期中考试数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合/={x1x=2A,AeZ},B={x\x2^5}那么zn8=

{-2,0,2)

A.{0,2,4)B.

C.W，2}D.{-252}

2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是（T，G）,贝”的共辗复数彳=（）

A1+V3zB1-V3i

C.T+GiD.T-gi

3.下列函数中，在区间（°，+8）上单调递增的是（）

A.〃x)=-lnxB,/0)=彳

/W=

C."xD."X)=3*T

4.已知向量Z1满足a=（2」），a5=（T"）,贝崎％=（）

A.-5B.0C.5D.7

I」］

5.1xj的展开式中x的系数为（）

A.TOB.-40C.40D.80

6.设等差数列的前〃项和为J，且$5=15,贝严2•%的最大值为（）

9

A.4B.3C.9D.36

7.已知函数/（x）=—+x,则=0”是/（网）+/（%）=°，，的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

8.函数/⑴=c°sx-c°s2x是

A.奇函数，且最大值为2B.偶函数，且最大值为2

99

C.奇函数，且最大值为WD.偶函数，且最大值为

9.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足

5.用L

m2-ml=—1g—

24，其中星等为加左的星的亮度为欧（QI,2）.已知太阳的星等是一26.7,天

狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为

A.IO101B.10.1C.IglO.lD.10-101

10.在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点.点尸从原点出发，在坐标平面内

跳跃行进，每次跳跃的长度都是5且落在整点处.则点尸到达点Q（33,33）所跳跃次数的最小

值是（）

A.9B.10

C.11D.12

二、填空题

11.函数）=H7+bg3（l+x）的定义域为

12.边长为1的正方形48co中，设益=£,AD=b,AC=c,则卜5十,卜.

1

13.设等比数列｛""｝的公比为“">°）淇前〃和为且%=一2包=2一，则_______；

§5=.

14.如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数V=/sin（ox+9）+6,其

中/且函数在％=6与x=14时分别取得最小值和最大直这段时间的最大温差为_

;°的一个取值为.

2X+a,x<a

"x）=

%2+2"，*N"给出下列四个结论:

15.已知函数

①当a=0时，/（无）的最小值为0；

②当“一§时，/（X）存在最小值；

③/（X）的零点个数为g（a）,则函数g（°）的值域为｛°』23｝；

玉,x?eRJ（再）+/（X?）22/'仔三逗］

④当。却时，对任意I2人

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题

16.在△/5C中，6a=2bsinA

⑴求々；

（2）若6=g，0=3,求△NBC的面积.

17.已知函数/OS一办+1〉*«wR）在户2处取得极小值.

（1）求a的值，并求函数/（X）的单调区间；

（2）求/（X）在区间12,0】上的最大值和最小值.

f(x)=26sin(兀-x)cosx+2cos2x

18.已知函数

（1）求函数/（X）的最小正周期及单调递增区间;

7171

⑵若【6'3」，求函数/（x）的值域.

（3）若函数8（"）=/6）一1在16，」上有且仅有两个零点，则求加的取值范围.

19.某景区有一人工湖，湖面有48两点，湖边架有直线型栈道。，长为50m,如图所

示.现要测是42两点之间的距离，工作人员分别在CD两点进行测量，在C点测得

ZACD=45°,ZBCD=30°.在。点测得乙⑺台=135。,/3£＞。=120。.（4瓦。,。在同一平

面内）

B

A

D

(1)求48两点之间的距离；

(2)判断直线C。与直线48是否垂直，并说明理由.

20.已知函数/0)=根'111"一一+1(%€10.

⑴当加=1时，求曲线y=/a)在点。J(D)处的切线方程;

⑵若/(x)4°在区间工+8)上恒成立，求加的取值范围；

⑶试比较ln4与a的大小，并说明理由.

21.已知卬出，…,为有穷数列.若对任意的{0』，…，"一1},都有

%一《区1(规定“。=《)，则称4具有性质p.设

北=冬,冰,-小1,241/-0-2-=1,2,...,〃)}

⑴判断数列4：1，°」，一12一054：1,2,2.5,1.5,2是否具有性质产？若具有性质尸，写出对应的

集合生

⑵若4具有性质尸,证明：4*0；

(3)给定正整数“，对所有具有性质P的数列4，求T“中元素个数的最小值.

参考答案:

题号12345678910

答案BDCCDCCDAB

1.B

【分析】先求出集合A,B,由此能求出AAB.

【详解】解：・・・集合＞={小=2后任Z},

B={x|x2＜5}={x|一逐＜x＜石},

・・/05={口2,0,2}.

故选B.

【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能

力，是基础题.

2.D

【分析】根据复数的几何意义先求出复数z,然后利用共辗复数的定义计算.

【详解】z在复平面对应的点是（-1,6）,根据复数的几何意义，2=-1+B,

由共轨复数的定义可知，z=-l一5

故选：D

3.C

【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC,举反例排除D即

可.

【详解】对于A,因为J=在（0,+“）上单调递增，y=r在（0,+"）上单调递减，

所以/（x）=Tnx在（0,+“）上单调递减，故人错误；

对于B,因为了=2'在（0,+8）上单调递增，在（0,+"）上单调递减，

f（\-L/、

所以x=2、在（°，+"）上单调递减，故B错误；

对于C,因为'=最在（Q+8）上单调递减，＞=-工在（°，+°°）上单调递减，

/,/\_1

所以一一（在（Q+00）上单调递增，故C正确；

/(1)=3M=3。=1J(2)=3憎T=3

显然/（X）=3”"在（°，+00）上不单调，D错误.

故选：C.

4.C

【分析】先求出'="6一进而利用向量数量积公式求出答案.

【详解】因为“=（2，1），力=（-1，2）,所以-0/）=（2,l）-（T，2）=（3,T）,

故之名=（2,1＞（3,-1）=2X3-1=5

故选：C

5.D

【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可.

m-n=（7）\25-.C）52

【详解】对于Ix）,由二项展开式的通项得Ix）

令5-2r=1解得厂=2,

则所求系数为（T）2y=80,

故选：D

6.C

【分析】先求得生的关系式，然后利用基本不等式求得正确答案.

【详解】设等差数列"J的公差为d,贝ijS5=5q+l0d=15，q+2d=3,

一aa2-a4＜（出：%]=《=9

也即生=3,所以I2）,

当且仅当出=%=3时等号成立.

故选：C

7.C

【分析】由"X）的奇偶性、单调性结合充分条件、必要条件的概念即可得解.

【详解】因为/3=丁+方定义域为口，/（-x）=（-x）3+（-x）=-/W,

所以/（X）为奇函数，且/（X）为R上的增函数.

当再+无2=0时，々=-无1,所以■/'（占）+/（工2）=/（占）+/（-&）=0,

即"+Z=0，，是“/（西）+/62）=0,,的充分条件，

当/（占）+/（马）=0时，/0）=-〃々）=”-工2）,由"X）的单调性知，

演=—X?gp演+I2=0

所以“再+%=o,,是“/a）+/（%）=o,,成立的必要条件.

综上，“玉+々=o,,是“/（再）+/&）=o,,的充要条件.

故选：C

8.D

【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二

次函数的性质可判断最大值.

［详解］由题意，/（f）=cos（-x）-cos（-2x）=cosx-cos2x=/（x）,所以该函数为偶函数,

（1丫9

f（x）=cosx-cos2x=-2cos2x+cosx+1=-2cosx——+—

，

19

cosx—-

所以当4时，〃x）取最大值8.

故选：D.

9.A

【解析】由题意得到关于£”当的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.

【点睛】本题以天文学问题为背景，考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力

以及指数对数运算.

10.B

【分析】根据题意，结合向量分析运算，列出方程求解，即可得到结果.

【详解】每次跳跃的路径对应的向量为

a

\=（3,4）,4=（4,3）,G=（5,0）,&=（0,5）,a2=（-3,-4）,b2=（-4,-3）,c2=（-5,0）,6?2=（0,-5）

因为求跳跃次数的最小值，则只取%=*，4）后=（4,3），G=（5,0）,1=（0,5）,

设对应的跳跃次数分别为a，6，G",其中。也c,deN,

可得+她+%=（3Q+46+5C,4a+3b+5d）=（33,33）

J3Q+4b+5c=33

则14a+36+5d=33,两式相加可得7（a+6）+5（c+1）=66,

+b=8fa+b=3

因为a+6,c+deN,则［c+d=2或［c+3=9,

Ja+b=8

当［c+d=2时，贝收数为8+2=10；

ja+6=3

当［c+d=9,则次数为3+9=12；

综上所述：次数最小值为10.

故选：B.

11.（T2］

【分析】通过对数函数的定义域即可求得答案.

f2-x>0

【详解】根据题意，可知U+x>°,解得-1<XW2,故定义域为（T2］.

【点睛】本题主要考查函数定义域的相关计算，比较基础.

12.2

【分析】建立适当的平面直角坐标系，利用坐标表示向量，求出模长即可.

【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示；

在正方形中，""XL。），，D=书=（。，1）,，C=c=（l，l）,

贝"一刃+）=（1-0+1,OT+1）=（2,0）

_\a-b+c\=2

故答案为：2.

31

13.82/15.5

【分析】由等比数列通项公式可求出4=2,从而求出火,再代入等比数列前〃项和公式即可

求出名.

幺=4=/A

【详解】由4，又因为《＞°,所以4=2;

S_q（l①31

所以。5=%/=2x4=8；L\-q-1-2-2

31

故答案为:8；万.

3冗

14.20℃4（答案不唯一）

【分析】根据图像直接可得最大温差，再根据函数的最值情况与周期情况可得A,

b,代入点（61°）,可得G

【详解】由图像可知最大值为30,最小值为10,

所以最大温差为30℃-10℃=20。€：,

12/=30-10JN=1O

即"=30+10,解得%=20,

T

-=14-6

又由已知可得2,即7=16,

.2万兀

T=——co=—

且0,所以8,

y=10sin|]x+0)+2O

所以函数解析式为

又函数图像经过点（61°）,

10sin[：x6+eJ+20=10

代入得

33

—7i+(p=­71+2版，keZ

所以4平2

3兀_,

(P=----F2k7l

解得4,k.Z,

3冗

所以人的一个可能取值为4（答案不唯一）,

3%

故答案为：20℃,4（答案不唯一）.

15.①③

【分析】利用函数的单调性及最值可判断①②，根据零点定义结合条件分类讨论可判断

③，利用特值可判断④.

2x,x<0

x2,x>0

I详解】对①，当I时

2

当x<0时，0<2"<1,当x20时，%>0,

综上，/（X）的最小值为0,①正确;

2X+ax<a

a<-/(')=9

2

对②，3,x+2ax,x>a

当xvq时，2X+a>a

0WW一

22222222

当X〉。时，若a<0,x+lax>a-2a=—a.若3,x+2ax>a+2a=3a

a=_J_

如2时，2,函数不存在最小值，②错误；

对③，当。＜0时，2'+。=°最多一个解,

JV=/+2ax=0得1=0或1=—2a,

2X-I,x<-1

/（x）=

如。=一1时，x--2x,x>-l；由2、-1=0可得x=0(舍去),

由X2—2x=0得x=0或％=2,故此时/（龙）两个零点，即g（°）=2；

2…——1,%<——1

22

1/O'

x2-x,x>-^~2x--=0

a=——

如2时，2,由2可得x=—l,

由-7=0得x=o或X=1,故此时/（X）三个零点，即g（a）=3；

2x,x<0

〃x)=

当a=O时，无NO,由2、=0可得xe0,

由/=°得x=。，故此时"x）一个零点，即g（"）=L

当Q〉0时，[x+2ax,x>a^%<4时，2、+〃>0,2、+〃=0无解,

x2。〉0时，x2+lax>0,x2+2ax=0无解,

此时/（X）没有零点，即g（a）=°.

综上，g（"）的值域为{°123},故③正确；

/（X）=F；"X<4

对④，当a21时，如a=4时，I*+8x,x",

"3）=12,"4）=48,"5）=65,此时/（3）+/（5）=77<2/（4）=96,故④错误

故答案为：①③

【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：

（1）直接求零令/（x）=°,如果能求出解，则有几个解就有几个零点.

（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间口，切上是连续不断的曲线，且

还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个

零点.

（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横

坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

兀2兀

16.（1）5或3

363^/3

⑵2或4

【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角相互转化即可得到结果;

（2）根据题意，由余弦定理可得。，再由三角形的面积公式即可得到结果.

【详解】（1）因为Ga=2bsiM,由正弦定理可得,

A/3sinZ=2sinBsinA

因为sin/>0,所以

_兀2兀

且兀）,所以-§或

BJ改

（2）由（1）可知一孑或3,且6=J7,C=3,b<c,所以8<C

B=~222

即3,由余弦定理可得，b2=a2+c2-2accosB,

,1

7=Q+9-2QX3X—

即2,解得a=l或"2,

SARr=—acsin3=—xlx3x-^-=-^^-

当。=1时，"BC2224,

「gin8」2x3x2辿

<?

当a=2时,24BC2222,

3A/3

所以△/2C的面积为2或4

17.（1）单调递增区间为（一8二1），（2，+°°）,单调递减区间为（T，2）

（2）最大值为5e,最小值为1.

【分析】（1）求导，根据‘'（2）=°得到。=3,由/（乃>°求出单调递增区间，由

人与<0求出单调递减区间；

（2）在（1）求出单调性的基础上，得到最值.

【详解】（1）/'（x）=（2x-a）e*+,-ax+1》*=g-ax+Zx-a+l'*

由题意得/‘（2）=（4-2a+4"+l）e2=0,解得a=3,

/3=（?-3x+l»定义域为R,

f'[x）=（x1-=（x+l）（x-2）er

令f（x）>0得x>2或x<—1,令/'（%）V0得一1<x<2,

故/(x)单调递增区间为(-8,-1),(2,+8),单调递减区间为(-1，2),

此时函数〃X)在久=2处取得极小值，满足题意；

(2)由(1)知，故/(X)在(一2，T)上单调递增，在(T，°)上单调递减,

故/(*)在x=T处取得极大值，也是最大值，/(-1)二5/，

又"0)=1,”-2)=lle：其中1<1中，

故/(x)在区间［-2,0］上的最小值为］,

综上，/(龙)在区间上的最大值为5e“，最小值为1.

兀7兀7

-------Fo7l,----FKU

18.(1)最小正周期为兀，单调递增区间为36左£Z；

⑵［0,3］

⑶［万'五1

/(x)=2sinI2x+—|+1

【分析】(1)利用三角恒等变换得到I6>,求出最小正周期，整体法得

到函数单调递增区间;

2x+—ef(x)=2sin|2x+—j+1e[0,3]

(2)在(1)基础上，得到6L66」，求出I6J

sin2x+-=0--,m2x+-e-~,2m+-

(3)转化为I6J在L6」上有且仅有两个解，求出6L66

7i<，2cm+—兀<2cn

数形结合得到6，求出答案.

f(x)=2A/3sin(兀一x)cosx+2cos2x=2A/3sinxcosx+2x^+cos^x

【详解】(1)2

百sin2x+cos2x+1=2sin2x+—+1

I6j

2K

——=71

2

令->2加口+表

兀7,,兀7

-------FKUWXW----FKJl

解得36keZ

兀7兀7

---Fm一+标

故单调递增区为L36」，斤eZ；

7171_兀715兀

XG2X+—E

(2)6

sin2x+-e-pl/(x)=2sin2x+^+le[0,3]

故I6>

故函数值域为【0'31；

(3)函数g(x)=°=/(x)T=O=/(x)=l,

2sinI2x+—j+l=lsinf2x+-^-1=0

即I6>

71

故g(x)=/(x)T在［6'」上有且仅有两个零点，

.roI兀)八「兀

sm2x+—=0——,m

等价于I6J在L6」上有且仅有两个解,

71_7171_71

xG—2x+—e----,2m+—

6666

sin2x+-=0-~,m

要想I6>在L6」上有且仅有两个解,

/C71c5兀，1171

兀<2m+—<2兀一<m<-----

则6,解得1212,

5兀11兀］

故加的取值范围为〔五'五1

19.(i)50V5m

(2)直线⑦与直线N8不垂直，理由详见解析.

【分析】(1)先求得“280,利用余弦定理求得/匕

(2)先求得/C8C,然后根据向量法进行判断.

【详解】⑴依题意，々8=45°,4c£>=30。，N4DB=135。,/BDC=120。,

所以N/Z)C=360°-135°-120°=105°,NCAD=180°-45°-105°=30°,

ACBD=180°-120°-30°-30°-ZBCD,所以8。=CD=50,

ADCD50f2后

---------=---------=---------,AD=50v2

在三角形/CD中，由正弦定理得sin45°sin30°sin30°,

—…AB=J502+(50A/2-2x50x5072xcos135°=50V5m

在三角形中，由余弦定理得VV7

(2)在三角形BCD中，由余弦定理得8。=&02+SO,-2x5°x5°xcos120°=506,

x/6+A/2

sin105。=sin(60°+45°)=sin60°cos450+cos60°sin45°=/

ACCDAC_50_100

sin105°sin30°?^6+V2J

在三角形NC。中，由正弦定理得42,

AC=25

直线°与直线不垂直，理由如下:

CD=CD-^B-CA)^CDCB-CD-CA

=50X50A/3XCOS300-50X25(S/6+V2)XCOS450

=2500-1250百wO

所以直线8与直线不垂直.

20.(i)^+y-i=o

⑵(-°°，2]

⑶In4VV2

【分析】(1)根据导数的几何意义即可求解;

⑵将“型°在区间口上)上恒成立，转化为初旧…［。，令g(x)®nx

问题转化为g(x)--0,利用导数求函数gGKx即可得解;

心=2时，在区间［1，+°°)上恒成立，取x=0,可得解.

(3)由(2)知,

【详解】⑴当％=1时,=

(x)=Inx+1-2x

所以曲线/a)在点(1J0))处切线的斜率后=/0)=t,又/°)=°,

所以曲线/(X)在点(1J。))处切线的方程为V=-(x-l)即x+y-l=0

(2)在区间。，+=°)上恒成立，即加xlnx-x2+lW0,对置叩，十°°),

即无，对VXW+叼，

g(x)=〃Hnx-x+gg(x)<0

令X,只需&\/max,

，/、加1I-x2+mx-\

g(x)=Tl一丁、，xe[l,+s),

当初V0时，有加x40,则gGO<。，

.•.g(x)在L+CO)上单调递减，

，g(x)Vg(l)=0符合题意，

当加>0时，令〃。)=-/+心一1,

其对应方程--+mx-l=0的判别式△=/-4,

若A40即0<加42时，有人(x)4°,即g'(x)4°,

•••8(》)在[1，+=°)上单调递减，

・••g(x)Wg(l)=°符合题意,

_m

若A>0即加>2时，g)=*+小-1,对称轴*=5,又”1)=*2>°,

m-Vw2-4

方程-/+加x-l=0的大于1的根为“2,

xe(1,xQ)〃(x)>0即g(x)>0,

xe(xo，+co),7z(x)<0,即g'(x)<。,

所以函数g(x)在0"。)上单调递增，.•.g(x)>g(l)=0,不合题意.

综上，"x)V°在区间[L+与上恒成立，实数"的取值范围为(一叫2]

(3)由(2)知，当旭=2时，7(x)4°,在区间K+00)上恒成立，

即ZxlnxWY—i,对VXE[1,+OO),

取》=后代入上式得2后也也<1,化简得ln4<五.

21.⑴4不具有性质P,4具有性质产产=