北京某中学2024-2025学年高一年级上册期中考试数学试题（含解析）

2024北京景山学校高一（上）期中

数学

本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案打在答题卡上，在试卷上作答无

效.考试结束后，将答题卡交回.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1.若集合{A={x|K16}},2M中词，则AW（■）

A.1%|0<x<2}B.{尤[0<%<2}

C.{x|2<x<16}D.{x|2Wx<16}

【答案】D

【解析】

【分析】由交集定义可得答案；

【详解】由题可得{x[2Wx<16}.

故选：D

2.若实数a,6满足。>6,则下列不等式成立的是（）

A.|«|>|^|B.a+c>b+cC.a2>b2D.ac2>be2

【答案】B

【解析】

【分析】利用不等式的性质即可判断.

【详解】由a=l,b=—2,c=O

时〈网,故A错；

a2<b2>故C错；

ac2=be2>故D错；

由不等式的性质易知B正确.

故选：B

3.已知命题p:X/x〉0,%+，>2,则为()

x

A.\/x>0>x-\—«2B.Vx<0,xH—V2

xx

C.3x<0,x+—<2D.Hx>0,x+—<2

xx

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，结合全称量词命题与存在性量词命题关系，准确改写，即可求解.

【详解】根据全称量词命题与存在性量词命题的关系，可得：

命题p:X/x>0,x+—>2的否定是Hx>0,x+—<2.

XX

故选：D

4.已知偶函数了(%)在区间(f1］上单调递减，则下列关系式中成立的是()

A.C(-3)<“2)B.f(-3)</^-|j</(2)

C.”2)</(—3)<d

【答案】D

【解析】

【分析】由条件可得函数在口”)上单调递增，所以自变量的绝对值越大函数值越大，再根据

|-3|>>|2|,可得/X—3)>/(-1)>/(2),进而得出结论.

【详解】因为偶函数了(另在区间(f1］上单调递减，

所以函数在口收)上单调递增，故自变量的绝对值越大，对应的函数值越大,

又卜3|〉一[〉|2],所以/(-3)>/(-1)>/(2),

故选：D.

5.已知集合A=集合3={炉,％+"0},若A=5,则》2。23+/024=()

A.-1B.OC.1D.2

【答案】A

【解析】

【分析】根据集合相等的概念以及集合中元素的互异性求解.

【详解】因为A=5,且集合A中xwO,

所以集合A中的元素2=0,解得y=0,

x

又因为leA，所以IwB,所以必=1或x=l,

若=1,解得X=1或X=—1,

经检验，x=l时，与集合中元素的互异性矛盾，x=-1时，满足题意，

若X=l,由上述过程可知，不满足题意；

综上x=—1,所以必°23+/。24=_l+0=—1,

故选：A.

I21〉0

6.己知函数/(x)=('，若/(a)+/(0)=O,则实数。=().

%+1,%<0

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】A

【解析】

【分析】求出/(&),再根据/(。)+/(、叵)=0,分。>0和aWO两种情况讨论即可得出答案.

【详解】解：/(V2)=(V2)2=2,

则/(a)+/(72)=0,即/(«)=-2,

当。>0时，储=一2，无解；

当aWO时，。+1=—2,解得a=—3,

综上所述，a=-3.

故选：A.

7.若a>0,b>0,则“a+/?W4”是“就44”的

A,充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取。涉的值，推出矛盾，

确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.

【详解】当时，a+b>24ab<则当a+bW4时，有2J拓+解得曲<4,充分性

成立；当4=1,6=4时，满足他44,但此时。+6=5>4,必要性不成立，综上所述，“。+644”是“曲44”

的充分不必要条件.

【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通

过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.

8.已知定义在(。,1)上的函数小)='是有理数3小是互质的正整数)，则下列结论正确的是

J2是无理数

()

A.7(%)的图象关于x=1•对称B."%)的图象关于，对称

C.7(%)在(0,1)单调递增D.7(%)有最小值

【答案】A

【解析】

【分析】利用特殊值可排除B、C,利用函数的性质可确定A、D.

【详解】对于BC,由题意可知：/［虚一；］=/［一夜+［］=1，

显然"％)的图象不关于灯对称，而—0+|<0—g,故B、C错误；

对于D,若x为有理数，则/卜)=!，显然"一转，函数无最小值，故D错误；

n

对于A,若户,是有理数，即机"(加<”)互质，则〃—利〃也互质，即4g!=：=/1与如

若X无理数，则1—%也为无理数，即/(x)=/(l—x)=l,

所以"％)的图象关于x=1•对称，故A正确.

下证：机,“互质，则”一以”也互质.

反证法：若〃4〃互质，不互质，不妨设“一机=3,"=劭，

则帆=左他一。),〃=防，此时与假设矛盾，所以“一利〃也互质.

故选：A

【点睛】思路点睛：根据抽象函数的对称性结合互质的定义去判定A、B,而作为抽象函数可以适当选取

特殊值验证选项，提高正确率.

9.已知函数的定义域为R,满足/(x—2)=2/(%),且当xe(0,2]时,/(x)=x(2-x).若

/(。之?，则,的最大值是()

1314119

A.---B.---C.---D.一一

4544

【答案】C

【解析】

【分析】由xe(O,2]时,/(x)e[0,l],利用/(x—2)=2/(x)得到xe(—4,—2],/(X)G[0,4],且

je[0,4],在求得xe(T,—2]时的解析式，由求解.

【详解】解：当Xe(O,2]时，/(X)=X(2-X)=-X2+2X=-(X-1)2+1,

则外力在(0,1]上递增,在[1,2]上递减，且

由/(x—2)=2/(x)知：xe(—2,0]时，/(X)G[0,2],

xe(-4,—2]时，/(x)e[0,4],且〃%)在(—4,—3]上递增，在(—3,—2]上递减，

因为?e[0,4],当xe(-4,—2]时，/(x)=2/(x+2)=4/(%+4),

因为％+4£(0,2],

所以〃%)=4/(x+4)=4(x+4)(-x-2)=T(%2+6%+8),

令一4(%2+6%+8)2,解得——%——,

所以满足的1/5的最大值是-?11，

故选：C

x2+4x+3,x<0

10.已知/(%)=、2„若玉且/(%)=/(%)=/«)=/(%)，则

3,x>0

x

1111

—+—+—+—的取值范围是()

X]x2x3x4

【答案】A

【解析】

【分析】画出函数图象，结合对称性，数形结合得到西+々=-4,3),±e(—L0),

令x?+4%+3=3,解得无=-4或0,

因为丁=f+4》+3的对称轴为无=一2,由对称性可得=-4,

且石«-4,-3),%e(-L。)，

11%+%2_-4-44

其中1十不

因为天«—1,0),所以(%+2)2—4e(—3,0),

4

2cc211。

又----3=3-----,故一+—=3,

——+—+——+—€-C0,3

%!X2X3X4

故选：A

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.函数f(x)=y/3-x的定义域是.

【答案】(—8,3]

【解析】

【分析】根据二次根式有意义即可求得定义域.

【详解】解：由解析式可知3—

故函数的定义域为：(-8,3]

12.己知集合4=卜|3—1)尤2—2%+1=0｝有且仅有两个子集，则实数。=

【答案】1或2

【解析】

【分析】若A恰有两个子集，则A为单元素集，所以关于X的方程(。-1)炉-2》+1=0恰有一个实数解,

分类讨论能求出实数。的取值范围.

【详解】因为A有且仅有两个子集，所以A中只有一个元素，

所以(a—1)必一2x+l=0有且仅有一解.(1)当。=1时，x=；,符合题意，(2)当awl时，A=0,即

4-4(a-l)=0,a=2,综上，得a=l或a=2.

故答案为：1或2.

【点睛】本题考查根据子集与真子集的概念，实数。的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意分析

法、讨论法和等价转化法的合理运用.

13.已知">0,且a+4)=1,则工+工的最小值为

ab

【答案】9

【解析】

【分析】把“1”换成4a+b,整理后积为定值，然后用基本不等式求最小值

【详解】解：,.,必>。，且a+4Z?=l,

-+-=(-+-)(o+4/7)=l+4+—+-..5+2J—--=9,当且仅当。=1，6=工时取等号，

ababab\ab36

1+工的最小值为9,

ab

故答案为：9.

【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，解决本题的关键是“1”的代换，属于基础题.

14.已知奇函数/(力定义域为R,当无之0时，/(耳=12+21,则/(7)=；若/(4)〉/11-

则实数m的取值范围是.

【答案】®.-24②]D(0,+”)

【解析】

【分析】第一空，由奇函数定义可得答案；第二空，由奇函数性质可判断了(九)单调性，即可得答案.

【详解】第一空，由奇函数定义，/(-4)=-/(4)=-(42+8)=-24；

第二空，注意到y=d+2x=(x+l)2-l在(0,+8)上单调递增，

又奇函数在对称区间上单调性相同，则/(尤)在R上单调递增，

则/⑷>/(1_£)=4>1—'=>0=m(3m+1)>0,故加4—8,-g)U(O,+a).

故答案为：一24；1—8,—]]u(0,+8).

[-ax+3,x>a

15已知函数/(x)=1/,2给出下列四个结论：

(%-2),x<a

①当a=0时，/(/(-1))=3；

②若/(%)存在最小值，则a的取值范围为(f,0]；

③若了(%)存在零点，则a的取值范围为卜夕―g]U(O,+s);

④若了(%)是减函数，则a的取值范围为0」—5U1+¥，2

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①②④

【解析】

【分析】根据所给分段函数直接计算求解可判断①，根据分段函数的最小值的求法判断②，分段求函数的零

点可判断③，根据分段函数的单调性结合二次函数、一次函数的单调性可求解判断④.

3,x>0/、

【详解】①当。=0时,/(%)=.八2c，/(/(T))=/K—1—2力=/(9)=3,故①正确;

(%-2),x<0

②当〃22时，/(%)=(九一2)2,尤<〃有最小值0,止匕时/(%)=—依+3,X2。为减函数，且

-ax+3,x>a

/(x)f-8,无最小值，故/(x)=1/、2无最小值，

(%-2),x<a

当0<Q<2时，/(九)=(九一2『，九无最小值，/(%)=—改+3,%之。无最小值，

-ax+3.x>a

故/(%)={/c\2无最小值，

(%-2),x<a

当。W0时，/(%)=-依+3,%之々为增函数，最小值为一〃2+3，/(%)=(%—2)2,九<1单调递减，所以

只需满足+3v(〃—2)2,解得〃41一正或121+巫，所以。<0,故②正确；

22

3

③令/(%)=(九-2)2=0,犬<。若有解，则〃>2,令/(%)=-依+3=0,X2々若有解，则一2〃，解得

a

a<—6或0<a4石，综上若了(%)存在零点，则"的取值范围为卜8,—6]U(0,6]U(2,+8),故

③错误；

④若了(%)是减函数，则需满足—。<0且aW2且(。―2)2之—"+3,解得o<a《l—等或

\+—<a<2,故④正确.

2

故答案为：①②④

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

53

16.已知集合4={才一1<%<2},B={x\x-->-}.

⑴求AUB,An(^B)；

⑵记关于x的不等式(2加+4)x+〃+4机W0的解集为"，若求实数机的取值范

围.

【答案】⑴AU5={x|xN4或x<2},An(^B)={x|l<x<2}.

(2))冲九三-5或加22}

【解析】

【分析】(1)先通过绝对值不等式的解集为集合8,进而可求解；

(2)根据不等式先求解出“，然后根据列出不等式，由此能求出实数机的取值范围.

【小问1详解】

53

由％—可得：X>4^x<l,

所以3={x|x24或xWl},

所以AU5={尤,24或X<2},

所以"3={尤|1<%<4},

所以Ac&5)={x[l<x<2}.

【小问2详解】

因为关于x的不等式*—(2机+4卜+加+4机40的解集为“，

解得：m<x<m+4,

所以"=1x|m<x<m+41,

又"A={x|x»2或x4-l},M

所以根+4<-1或m，2,解得加4—5或根22,

所以实数7〃的取值范围是卜"卜九<一5或机22}.

17.己知函数/(x)=ox?-2ox-3.

(1)若。=1,求不等式/(x)»0的解集；

(2)已知。>0,且/(x)20在[3,+8)上恒成立，求a的取值范围；

【答案】(1){x|x<-l^x>3}

(2)[l,4w)

【解析】

【分析】(1)由题意得f-2x-320,求解即可得出答案；

(2)函数/(x)=<2?-2ax-3=a(x-l)2-a-3(a>0),可得二次函数/(X)图象的开口向上，且对称轴为

x=l,题意转化为了。)1nmNO,利用二次函数的图象与性质，即可得出答案.

【小问1详解】

解：当a=l时，/(x)=x2-2x-3,

所以/(x)20,即r-2x-320,解得xV-1或

所以不等式八>)20的解集为：｛x|x<—1或％23｝；

【小问2详解】

因为f(x)=ax2-2ax-3=a(x-l)2-a-3(a>0),且/(X)20在[3,+oo)上恒成立，

则二次函数/(幻图象的开口向上，且对称轴为x=l,

所以f(x)在[3,+8)上单调递增，则/。焉=〃3)=3。一3,

又f(x)20在[3,+oo)上恒成立，转化为f(x)n,n20,

所以3。一3»0,解得。之1,

故实数。的取值范围为[1,”).

18.己知函数/(x)=x-d.

(1)判断了(%)在区间(0,+。)上的单调性，并用定义进行证明；

⑵设g(x)=a—3],若％±2G[1,4]，使得/&)=g(±)，求实数a的取值范围.

【答案】(1)单调递增，证明见解析；

(2)[6,9].

【解析】

【分析】(1)根据函数的单调性定义证明即可；

(2)由函数单调性求出函数值域，若3%2G[1,4],使得/(%)=g(%)可转化为值域的包含

关系，建立不等式求解即可.

【小问1详解】

了(%)在区间(0,+")上的单调递增，证明如下:

设DM，9G(0，+°°)且。<玉<々，

4444(x一再)(匹九2+4)

XX2

则f(%2)一/(l)-2-----(玉----)=X2~XY-\-------

x2%%]x2…2

因为0<玉<九2，所以々一玉>0，玉犬2>0，^2+4>0,

所以/(%2)—/(西)=C"、)("*+4)〉0,即/(马)>/(X]),

所以“X)在区间(0,+8)上的单调递增.

【小问2详解】

由⑴知V%<1,4]时,-3</(^)<3,即xe[l,4]时，段)的值域A=[—3,3],

因为g(x)=a-3x当xe[l,4]时为减函数，所以g(x)e3=[a-12,a—3],

若％e[1,4],3X2e[l,4],使得/(%)=g(w),则4口8,

a-12<-3

即《解得6<a<9,

tz—3>3

故实数。取值范围为[6,9]

19.已知定义在R上的函数/(x)满足：①对任意实数X,»都有/(x+y)+/(x—y)=2/(x)/(y)；②对

任意xe[0,l)J(x)>0.

(1)求/(0);

(2)判断并证明函数/(%)的奇偶性；

(3)若/(1)=0,直接写出了(x)的所有零点(不需要证明).

【答案】(1)/(0)=1

(2)/(幻为偶函数，证明见解析

(3)x=2k+l,keZ

【解析】

【分析】(1)令x=y=0,化简可求出/'(()),

(2)令x=0,则/0)+/(-y)=2/(0)/(y)=2/(y),化简后结合函数奇偶性的定义判断即可,

(3)利用赋值求解即可

【小问1详解】

令无=>=0,则/(0)+/(0)=2/2(0),

产(0)-。(0)=0,得/(0)=0或=(0)=1,

因为对任意xe[0,l)](x)>0,所以/(0)=1

【小问2详解】

无)为偶函数

证明：令x=0,则小)+/㈠)=2/W(y)=2/(y),

得/―⑶)，

所以/(x)为偶函数

【小问3详解】

令x=左+1,y=匕左eZ,则f(2k+1)+/(1)=2于(k+l)f(k),

因为/⑴=0,所以/(2>+1)=2/(左+1)/(幻,

当左=1时，/(3)=2/(2)/(1)=0,

当左=2时，/(5)=2/(3)/(2)=0,

当左=3时，/⑺=2/(4)八3)=0,

当左=4时，/(9)=2/(5)/(4)=0,

......9

所以/(2k+1)=0

即当x=2左+1,左eZ时，/(%)=0,

所以函数的零点为x=2k+l,keZ

20.已知关于x的函数/(x)=%2—2依+2.

(1)当aW2时，求在1,3上的最小值g(a)；

(2)如果函数函(%)同时满足:

①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数；

②在函数的定义域内存在区间［P，句，使得函数在区间［P，句上的值域为［P?,/］.

则我们称函数/(%)是该定义域上的“闭函数”.

(i)若关于尤的函数y==T是“闭函数”，求实数/的取值范围；

(ii)判断(1)中g(a)是否为“闭函数”？若是，求出夕国的值或关系式；若不是，请说明理由.

【答案】(1)g(a)=<

2—tz",一<。<2

3

(31—<p<q<2

(2)(i)-,l；(ii),2M满足13.

U」LX

【解析】

【分析】⑴对于函数〃尤)=/_2以+2=(尤-d+2-〃，根据对称轴，分类讨论即可；

(2)(i)据闭函数的定义，列出方程组，可得p?,二为方程4rzi+,=x的二实根，再由二次方程实根

的分布，即可得到所求f的范围

(ii)由新定义，假设g(a)为“闭函数”，讨论的范围，通过方程的解即可判断

【小问I详解】

函数/(无)=尤?-2ox+2=(x-a)+2—a",其对称轴方程为x=a,

当时，/(%)在1,3上单调递增，其最小值为==；

当;<a<2时，"％)在1,3上的最小值为g(a)=/(a)=2—/；

192a‘I

函数〃龙)在「§I，3］上的最小值为g(a)=j

2—4Z",一<<7<2

3

【小问2详解】

(i):在［1,问递增,

由闭函数的定义知，该函数在定义域［L+8)内，

存在区间［p,q］(p<q),使得该函数在区间［p,q］上的值域为

=q-

/应2为方程+/=x的二实根，

即方程(2/+l)x+』+l=0在［1,住)上存在两个不等的实根且/恒成立,

令"(x)=%2—(2/+1)》+/+1,

3

A>0t>—

4

2t+l,

---->11

《2/〉一

2

w(l)>0

(r-1)2>0

t<l

t<\

3

解得一

4

•••实数♦的取值范围.

(ii)对于⑴，易知g(a)在(YO,2］上为减函数,

①若g(a)递减，若g(a)为“闭函数”，

女

-3=q°

%

-3一

21

两式相减得p+4=3,这与夕矛盾.

②一<p<q<2时,若g(a)为“闭函数”,贝叫工

3［2-q-=p^

此时/+/=2满足条件的夕应存在，

.,.!<"<<742时，使得g(a)为“闭函数”夕M存在，

1/、--------q

③"三一<”2时，若g(a)为“闭函数”，贝叫93，

[2一9=p

消去“得9P2—6°+1,即(3p—1)2=0

解得p=g此时，q=W<2,且/+/=2,

.,d=g<qW2时，使得g(a)为“闭函数”)，夕存在，

综上所述，当。应满足13时，g(a)为“闭函数”.

2,2c

[P+Q=2

21.设n为不小于3的正整数，集合。，尸｛(X，龙2,…王)卜《｛0』｝』=1,2,...,吊，对于集合Q“中的任意元

素a=(%,々，，月=(%,%，…，％)记

e*，=(石+%一七%)+(x2+y2-/%)+…+®+%—\yn)

(I)当〃=3时，若。=(1,1,0),请写出满足。*尸=3的所有元素少

(II)设a，，eQ“且求a*，的最大值和最小值；

(III)设S是Q”的子集，且满足：对于S中的任意两个不同元素a,4，有。1成立，求集合S

中元素个数的最大值.

【答案】(1)(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1),(W)；(2)的最大值为〃，当〃为偶数时，。*万的最小

值为一，当〃为奇数时，a*3=——；(3)S中的元素个数最大值为".

222

【解析】

【分析】(I)结合题意列举可得；(II)先根据。*。+分*力=〃，得到看,y-的关系式，再求解。*，的最

值；(ill)通过对集合s的拆分，逐一求解.

【详解】(I)满足。*，=3的元素为(0,0,1),(1,0/),(0,1,1),(1,1,1)

(II)记1=(%,%2,…,/)，尸=(%，%，…，％)，

注意到.G｛0,1｝,所以%(x;-1)=0,

XH+xXX

所以£*1=(%+%一%1Al)+(/+%2-^22)---n~nn)

—Xj+%2+,••+%〃

,*,=%+%+■••+%

因为,所以西+々+…+x〃+%+%+…+y“=〃

所以司,々，…，/，%，％，…，％中有几个量的值为1.〃个量的值为0.

x

显然0w1*尸=(司+x_xx)+(%+%—/%)+•••+(4+%—，,yn)

<石+%+%+%+―一+七+%="，

当…,1),乃=(0,0,…,0)时，

a,4满足tz*(z+/7*/?=",所以。*，的最大值为“

又[*/?=(石+%—%％)+(%+%—%y2)+…+(z+”%K)

=〃一(％%+/%+•••+%”)

注意到只有七=%=1时，x*=1,否则x*=0

而石,马,其中几个量的值为11"个量的值为0

所以满足%X=1这样的元素i至多有。个，

V!H

当”为偶数时，a*/3>n--=-.

22

当a=0=

所以的最小值为一

2