高考数学二轮总复习专题能力训练11等差数列与等比数列理

专题能力训练11等差数列与等比数列能力突破训练1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,当首项a1和公差d变化时,a3+a8+a10是一个定值,则下列选项中为定值的是()A.S7 B.S8 C.S13 D.S152.(2022广西南宁二中高三检测)已知等比数列{an}满足an>0,且a5·a2n5=e2n(n≥3),则当n≥1时,lna2+lna4+…+lna2n=()A.n(n+1) B.n(2n1)C.n2 D.(n1)23.已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=()A.16 B.8 C.4 D.24.已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn.若a3,a4,a8成等比数列,则()A.a1d>0,dS4>0 B.a1d<0,dS4<0C.a1d>0,dS4<0 D.a1d<0,dS4>05.《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题,“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例为“衰分比”.如:已知A,B,C三人分配奖金的衰分比为20%,若A分得奖金1000元,则B,C所分得奖金分别为800元和640元.某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功,并获得单位奖励68780元,若甲、乙、丙、丁按照一定的衰分比分配奖金,且甲与丙共获得奖金36200元,则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为()A.20%,14580元 B.10%,14580元C.20%,10800元 D.10%,10800元6.(2022广西贺州模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,已知2an+1+an=0,S5=112,则数列{an}的前n项之积Tn的最大值为(A.16 B.32 C.64 D.1287.(2022广西河池高中模拟)若a,b,2这三个数经适当排序后可成等差数列,也可适当排序后成等比数列,请写出满足题意的一组a,b的值.

8.已知Sn是数列{an}的前n项和,a1=2,数列{log2Sn}是公差为2的等差数列,则a6=.

9.(2022全国甲,理17)设Sn为数列{an}的前n项和.已知2Snn+n=2an(1)证明:{an}是等差数列;(2)若a4,a7,a9成等比数列,求Sn的最小值.10.已知在数列{an}中,a1=1,2an+1=6an+2n1.(1)求证:数列an(2)求数列{an}的前n项和Sn.11.已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a2=b3=4,a6=b5=16.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求和:b1+b3+b5+…+b2n1.12.已知数列{an}是等比数列.设a2=2,a5=16.(1)若a1+a2+…+a2n=t(a12+a22+…+an2(2)若在1a1与1a4之间插入k个数b1,b2,…,bk,使得1a1,b1,b2,…,思维提升训练13.数列{an}中,a1=2,am+n=aman.若ak+1+ak+2+…+ak+10=21525,则k=()A.2 B.3 C.4 D.514.若数列{an}为等比数列,且a1=1,q=2,则Tn=1a1a2+1aA.114n BC.112n D15.若各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足an+12=2Sn+n+2(n∈N*),且2a2+a8=15,则S10=A.54 B.66 C.68 D.7516.将数列{2n1}与{3n2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为.

17.已知数列{bn}是各项均为正数的等比数列,其前n项和为Tn,b1=2,T4=5T2.等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=b3,a1+a9=4.(1)求{an}和{bn}的通项公式.(2)是否存在大于2的正整数m,使得4S1,S3,Sm成等比数列?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.18.设{an}是等差数列,{bn}是等比数列.已知a1=4,b1=6,b2=2a22,b3=2a3+4.(1)求{an}和{bn}的通项公式;(2)设数列{cn}满足c1=1,cn=1,2k<n<①求数列{a2②求∑i=12naici(n∈

专题能力训练11等差数列与等比数列能力突破训练1.C解析由题意,可知a3+a8+a10=3a1+18d=3(a1+6d)=3a7是一个定值,所以a7是一个定值,所以S13=13(a1+a132.A解析由a5·a2n5=e2n(n≥3)得an2=e2n(又an>0,所以an=en(n≥3).又数列{an}为等比数列,所以an=en.所以当n≥1时,lna2+lna4+…+lna2n=2+4+…+2n=n(n+1).3.C解析设等比数列{an}的公比为q(q>0),易知q≠1,则a1(所以a3=a1q2=1×22=4.故选C.4.B解析∵a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d,a3,a4,a8成等比数列,∴(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),即3a1d+5d2=0.∵d≠0,∴a1d=53d2<0,且a1=53∴dS4=4d(a1+a4)2=2d(2a1+故选B.5.B解析设“衰分比”为q,甲获得的奖金为a1,得a1+a1(1q)+a1(1q)2+a1(1q)3=68780,a1+a1(1q)2=36200,解得q=0.1,a1=20000,故a1(1q)3=14580.6.C解析由2an+1+an=0,S5=112可知,an≠所以an+1a所以数列{an}是以12为公比的等比数列由S5=112可知,a11--1所以数列{an}为8,4,2,1,12,1所以{an}的前n项之积Tn的最大值为T4=8×(4)×2×(1)=64.7.a=1,b=4(答案不唯一)解析a,b,2这三个数经适当排序后可成等差数列,可排为2,a,b,则有2+b=2a.a,b,2这三个数经适当排序后可成等比数列,可排为a,2,b,则有ab=(2)2.所以a=1,b=4或a=2,b=2.其他情况解法同上.8.1536解析∵数列{log2Sn}是公差为2的等差数列,∴log2Snlog2Sn1=2,即SnSn-又S1=a1=2,∴数列{Sn}是公比为4的等比数列,则Sn=2×4n1,∴a6=S6S5=2×452×44=1536.9.(1)证明由2Snn+n=2an+1,变形为2Sn=2nan+nn2,记为①式,又当n≥2时,有2Sn1=2(n1)an1+n1(n1)2,记为②式,①②并整理可得(2n2)an(2n2)an1=2n2,n≥2,n∈所以anan1=1,n≥2,n∈N*,所以{an}是等差数列.(2)解由题意可知a72=a4a9,即(a1+6)2=(a1+3)(a1+8),解得a1=12,所以an=12+(n1)×1=n13,当n≤12时,an<0,当n=13时,an=0,当n≥14时,an>0.故Sn的最小值为S12=S13=10.(1)证明∵2an+1=6an+2n1,∴an+1=3an+n12∴an+1+n+12=3an+n2又a1+12=1+1∴an+n2为等比数列,其首项为32,公比为3.(2)解由(1)得an+n2=32×3∴an=3n∴Sn=a1+a2+a3+…+an=12(31+32+33+…+3n)12(1+2+3+…+n)11.解(1)设等差数列{an}的公差为d.∵等差数列{an}和等比数列{bn}满足a2=b3=4,a6=b5=16,∴a2∴数列{an}的通项公式为an=3n2.(2)设等比数列{bn}的公比为q.∵等差数列{an}和等比数列{bn}满足a2=b3=4,a6=b5=16,∴b3∴b2n1=b1q2n2=(q2)n1=4n1,∴b1+b3+b5+…+b2n1=112.解设等比数列{an}的公比为q,由a2=2,a5=16,得q=2,a1=1.(1)∵a1+a2+…+a2n=t(a12+a2∴a1(1-q2n)1-q=t·a1(2)∵1a1=且1a1,b1,b2,…,bk,∴公差d=1a5-1a4=116,且即181=(k+1)×-116思维提升训练13.C解析∵am+n=aman,令m=1,又a1=2,∴an+1=a1an=2an,∴an∴{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,∴an=2n.∴ak+1+ak+2+…+ak+10=2k+1+2k+2+…+2k+10=2k+1·1-2101-2=2k+112k+∴k+11=15,k14.B解析因为an=1×2n1=2n1,所以anan+1=2n1·2n=22n1=2×4n1,所以1所以1an故Tn=1a1a215.B解析因为an+12=2Sn+n+2,当n≥2时,an2=2Sn1+(n1)+2,两式相减,得an即an+12=an2+2an+1=(an+1)2,因为an>0,所以an+1=an+1,即an+1an=1,所以,当n因为2a2+a8=15即3a2+6=15,所以a2=3,所以当n≥2时,an=n+1,当n=1时,a22=2a1+1+2,解得a1=3,不适合an=n+1,所以数列{an}的通项公式为an=3,n=1,n+1,n≥2,所以S10=3+3+416.3n22n解析数列{2n1}的项均为奇数,数列{3n2}的所有奇数项均为奇数,所有偶数项均为偶数,并且显然{3n2}中的所有奇数均能在{2n1}中找到,所以{2n1}与{3n2}的所有公共项就是{3n2}的所有奇数项,这些项从小到大排列得到的新数列{an}为以1为首项,以6为公差的等差数列.所以{an}的前n项和为Sn=n×1+n(n-1)2×617.解(1)设{bn}的公比为q(q>0).当q=1时,显然不满足T4=5T2,故q≠1.所以由T4=5T2,得b1(1-q4又q>0,所以q=2,所以bn=2n.设{an}的公差为d.由a解得a1=6,d=-2.(2)因为Sn=n(6-2n+8)2=n2+7n,所以S1=6,S3=12,若4S1,S3,Sm成等比数列,则S32=4S1S即122=24(m2+7m),化简得m27m+6=0,解得m=6或m=1(舍去).故存在m=6,使得4S1,S3,Sm成等比数列.18.解(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.依题意得6q=6+2d