高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语2第2讲命题及其关系充分条件与必要条件教案理

第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件(1)充分条件与必要条件的相关概念①如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果p⇒q，但q⇒/p，则p是q的充分不必要条件；③如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；④如果q⇒p，且peq\o(⇒,\s\up0(/))q，则p是q的必要不充分条件；⑤如果eq\o(⇒,\s\up0(/))q，且qeq\o(⇒,\s\up0(/))p，则p是q的既不充分也不必要条件．[提醒]不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．(2)充分条件与必要条件的两个特征①对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．②传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题．()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则¬q”．()(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．()(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(5)q不是p的必要条件时，“peq\o(⇒,\s\up0(/))q”成立．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是()A．若a≤b，则a＋c≤b＋cB．若a＋c≤b＋c，则a≤bC．若a＋c>b＋c，则a>bD．若a>b，则a＋c≤b＋c解析：选A.命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，故选A.(教材习题改编)“x>1”是“x2＋2x>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.由x2＋2x>0，得x>0或x<－2，所以“x>1”是“x2＋2x>0”的充分不必要条件，故选A.设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是________．解析：把命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的条件与结论“换位”又“换质”得到逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．答案：若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0(教材习题改编)命题p：x2＝3x＋4，命题q：x＝eq\r(3x＋4)，则p是q的________条件．解析：当x2＝3x＋4时，x＝－1或4，当x＝－1时，x＝eq\r(3x＋4)不成立，即p⇒/q.当x＝eq\r(3x＋4)时，x≥0，3x＋4≥0，则x2＝3x＋4，即q⇒p，所以p是q的必要不充分条件．答案：必要不充分四种命题的相互关系及其真假判断[典例引领](1)命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是()A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0(2)给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是()A．3 B．2C．1 D．0【解析】(1)“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.(2)原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．【答案】(1)D(2)Ceq\a\vs4\al()(2)由原命题写出其他三种命题的方法由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将原命题的条件与结论互换即得到逆命题，将原命题的条件与结论同时否定即得否命题，将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．[通关练习]1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：选B.依题意，得原命题的逆命题为：若一个数的平方是正数，则它是负数．2．下列命题中为真命题的是()A．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题B．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若eq\f(1,x)＞1，则x＞1”的逆否命题解析：选B.对于A，命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4＞1，故为假命题；对于B，命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”，分析可知为真命题；对于C，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故为假命题；对于D，命题“若eq\f(1,x)＞1，则x＞1”的逆否命题为“若x≤1，则eq\f(1,x)≤1”，易知为假命题，故选B.充分条件、必要条件的判断[典例引领](1)(2017·高考北京卷)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件(2)(2017·高考天津卷)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】(1)因为m，n是非零向量，所以m·n＝|m|·|n|cos〈m，n〉<0的充要条件是cos〈m，n〉<0.因为λ<0，则由m＝λn可知m，n的方向相反，〈m，n〉＝180°，所以cos〈m，n〉<0，所以“存在负数λ，使得m＝λn”可推得“m·n<0”；而由“m·n<0”，可推得“cos〈m，n〉<0”，但不一定推得“m，n的方向相反”，从而不一定推得“存在负数λ，使得m＝λn”．综上所述，“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件，故选A.(2)由2－x≥0，得x≤2；由|x－1|≤1，得－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，因为[0，2](－∞，2]，所以“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件，故选B.【答案】(1)A(2)Beq\a\vs4\al()(1)充分条件、必要条件的判断方法①利用定义判断：直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假．在判断时，确定条件是什么、结论是什么．②从集合的角度判断：利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题．③利用等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假．(2)判断充要条件需注意三点①要分清条件与结论分别是什么．②要从充分性、必要性两个方面进行判断．③直接判断比较困难时，可举出反例说明．[通关练习]1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.因为由“a＝3”可以推出“A⊆B”，反过来，由A⊆B可以得到“a＝3或a＝2”，不一定推出“a＝3”，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．2．(2018·湖南省湘中名校高三联考)“log2(2x－3)<1”是“4x>8”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.由log2(2x－3)<1⇒0<2x－3<2⇒eq\f(3,2)<x<eq\f(5,2)，4x>8⇒2x>3⇒x>eq\f(3,2)，所以“log2(2x－3)<1”是“4x>8”的充分不必要条件，故选A.3．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cosx≠cosy”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.法一：设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cosx≠cosy}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cosx＝cosy}，显然CD，所以BA，于是“x≠y”是“cosx≠cosy”的必要不充分条件．法二：(等价转化法)x＝y⇒cosx＝cosy，而cosx＝cosy⇒/x＝y.充分条件、必要条件的应用[典例引领]已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，求m的取值范围．【解】由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，所以P＝{x|－2≤x≤10}，由“x∈P”是“x∈S”的必要条件，知S⊆P.又因为集合S非空，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≤1＋m，,1－m≥－2，,1＋m≤10，))所以0≤m≤3.所以当0≤m≤3时，“x∈P”是“x∈S”的必要条件，即所求m的取值范围是[0，3]．1.若本例条件不变，问是否存在实数m，使“x∈P”是“x∈S”的充要条件．解：若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m＝－2，,1＋m＝10，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝3，,m＝9，))即不存在实数m，使“x∈P”是“x∈S”的充要条件．2.本例条件不变，若“x∈¬P”是“x∈¬S”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．解：由本例知P＝{x|－2≤x≤10}，因为“x∈¬P”是“x∈¬S”的必要不充分条件，所以P⇒S且S⇒/P.所以[－2，10][1－m，1＋m]．所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,1＋m>10))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m<－2，,1＋m≥10.))所以m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)．eq\a\vs4\al()根据充要条件求解参数范围的方法(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．[通关练习]1．若“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，则a的最小值为________．解析：由x2－x－6>0，解得x<－2或x>3.因为“x2－x－6>0”是“x>a”的必要不充分条件，所以{x|x>a}是{x|x<－2或x>3}的真子集，即a≥3，故a的最小值为3.答案：32．已知集合A＝{x|eq\f(1,2)<2x<8，x∈R}，B＝{x|－1<x<m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．解析：因为A＝{x|eq\f(1,2)<2x<8，x∈R}＝{x|－1<x<3}，所以由已知x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，得AB，所以m＋1>3，即m>2.答案：(2，＋∞)eq\a\vs4\al()四种命题的真假关系原命题为真，它的逆命题、否命题不一定为真，但它的逆否命题一定为真，即互为逆否命题的两个命题是等价命题，具有相同的真假性，但互为逆命题或互为否命题的两个命题真假性没有关系．因此一个命题的真假不易判断时，可以通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假．常用的正面叙述词语和它的否定词语正面词语等于(＝)大于(>)小于(<)是否定词语不等于(≠)不大于不小于不是正面词语都是任意的所有的至多有一个至少有一个否定词语不都是某个某些至少有两个一个也没有从集合角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{p(x)}，B＝{q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件．(2)若A⊇B，则p是q的必要条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．(4)若AB，则p是q的充分不必要条件．(5)若AB，则p是q的必要不充分条件．(6)若Aeq\o(⊆,\s\up0(/))B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．易错防范(1)否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．(2)注意区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且Beq\o(⇒,\s\up0(/))A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且Aeq\o(⇒,\s\up0(/))B)两者的不同．1．命题“若x＞1，则x＞0”的逆否命题是()A．若x≤0，则x≤1 B．若x≤0，则x＞1C．若x＞0，则x≤1 D．若x＜0，则x＜1解析：选A.依题意，命题“若x＞1，则x＞0”的逆否命题是“若x≤0，则x≤1”，故选A.2．原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．4解析：选D.由题意可知，否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”，其为真命题；逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”，其为真命题．由等价命题的真假性相同可知，该命题的逆命题与原命题也为真命题．故选D.3．(2018·兰州市高考实战模拟)设向量a＝(x－1，x)，b＝(x＋2，x－4)，则“a⊥b”是“x＝2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.a＝(x－1，x)，b＝(x＋2，x－4)，若a⊥b，则a·b＝0，即(x－1)(x＋2)＋x(x－4)＝0，解得x＝2或x＝－eq\f(1,2)，所以x＝2⇒a⊥b，反之a⊥b⇒x＝2或x＝－eq\f(1,2)，所以“a⊥b”是“x＝2”的必要不充分条件，故选B.4．(2018·石家庄市教学质量检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“sinA>sinB”是“a>b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.设△ABC外接圆的半径为R，若sinA>sinB，则2RsinA>2RsinB，即a>b；若a>b，则eq\f(a,2R)>eq\f(b,2R)，即sinA>sinB，所以在△ABC中，“sinA>sinB”是“a>b”的充要条件，故选C.5．已知命题：“若a>2，则a2>4”，其逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中真命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选B.原命题显然是真命题，其逆命题为“若a2>4，则a>2”，显然是假命题，由互为逆否命题的等价性知，否命题是假命题，逆否命题是真命题．6．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.依题意，若A⊆C，则∁UC⊆∁UA，当B⊆∁UC，可得A∩B＝∅；若A∩B＝∅，不妨令C＝A，显然满足A⊆C，B⊆∁UC，故满足条件的集合C是存在的．7．下列命题中正确的个数是()①命题“若m>－1，则方程x2＋2x－m＝0有实根”的逆命题为“若方程x2＋2x－m＝0有实根，则m>－1”；②“x≠1”是“x2－3x＋2≠0”的充分不必要条件；③一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.A．0 B．3C．2 D．1解析：选C.对于①，命题“若m>－1，则方程x2＋2x－m＝0有实根”的逆命题为“若方程x2＋2x－m＝0有实根，则m>－1”，故①正确；对于②，由x2－3x＋2＝0，解得x＝1或x＝2，所以“x≠1”不是“x2－3x＋2≠0”的充分不必要条件，故②错误；对于③，因为f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即k(－x)＋b＝－(kx＋b)，所以b＝0，反之，如果b＝0，那么f(x)＝kx，所以f(－x)＝－kx＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故③正确．正确命题的个数为2，故选C.8．使a>0，b>0成立的一个必要不充分条件是()A．a＋b>0 B．a－b>0C．ab>1 D.eq\f(a,b)>1解析：选A.因为a>0，b>0⇒a＋b>0，反之不成立，而由a>0，b>0不能推出a－b>0，ab>1，eq\f(a,b)>1.9．(2018·陕西省高三教学质量检测试题(一))设a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”的()A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.由(a－b)a2<0可知a2≠0，则一定有a－b<0，即a<b；但是a<b即a－b<0时，有可能a＝0，所以(a－b)a2<0不一定成立，故“(a－b)a2<0”是“a<b”的充分不必要条件，选A.10．(2018·湖南五市十校联考)已知数列{an}的前n项和Sn＝Aqn＋B(q≠0)，则“A＝－B”是“数列{an}是等比数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.若A＝－B＝0，则Sn＝0，数列{an}不是等比数列；若数列{an}是等比数列，则由a1＝Aq＋B，a2＝Aq2－Aq，a3＝Aq3－Aq2及eq\f(a3,a2)＝eq\f(a2,a1)得A＝－B，故选B.11．(2016·高考北京卷)设a，b是向量．则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选D.取a＝－b≠0，则|a|＝|b|≠0，|a＋b|＝|0|＝0，|a－b|＝|2a|≠0，所以|a＋b|≠|a－b|，故由|a|＝|b|推不出|a＋b|＝|a－b|.由|a＋b|＝|a－b|,得|a＋b|2＝|a－b|2，整理得a·b＝0，所以a⊥b，不一定能得出|a|＝|b|,故由|a＋b|＝|a－b|推不出|a|＝|b|.故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．故选D.12．(2018·河北石家庄模拟)下列选项中，说法正确的是()A．若a>b>0，则lna<lnbB．向量a＝(1，m)，b＝(m，2m－1)(m∈R)垂直的充要条件是m＝1C．命题“角α的终边在第一象限，则α是锐角”的逆否命题为真命题D．已知函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，则命题“若f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点”的逆命题为假命题解析：选D.因为函数y＝lnx(x>0)是增函数，所以若a>b>0，则lna>lnb，故A错误；若a⊥b，则m＋m(2m－1)＝0，解得m＝0，故B错误；(特例法)互为逆否的两个命题是等价命题，而角的终边在第一象限，角α不一定是锐角，如α＝－315°，该角的终边落在第一象限，但不是锐角，故C错误；命题“若f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点”的逆命题“若f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，则f(a)·f(b)<0”是假命题，如函数f(x)＝x2－2x－3在区间[－2，4]上的图象连续不断，且在区间(－2，4)内有两个零点，但f(－2)·f(4)>0，故D正确．故选D.13．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________．解析：“a＋b＋c＝3”的否定是“a＋b＋c≠3”，“a2＋b2＋c2≥3”的否定是“a2＋b2＋c2<3”，故根据否命题的定义知，该命题的否命题为：若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3.答案：若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<314．对于原命题：“已知a、b、c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，真命题的个数为________．解析：原命题为真命题，故逆否命题为真；逆命题：若a＞b，则ac2＞bc2为假命题，故否命题为假命题，所以真命题个数为2.答案：215．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ＝4a2＋12a≤0，))解得－3≤a<0，故－3≤a≤0.答案：[－3，0]16．已知函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))(x∈R)．设p：x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，q：m－3<f(x)<m＋3.若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是________．解析：因为p：x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))⇒2x－eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，所以f(x)∈[1，2]，又因为p是q的充分条件，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－3<1，,m＋3>2，))解得－1<m<4，即m的取值范围是(－1，4)．答案：(－1，4)1．(2018·四川南山模拟)已知条件p：eq\f(1,4)<2x<16，条件q：(x＋2)(x＋a)<0，若p是q的充分而不必要条件，则a的取值范围为()A．[－4，＋∞) B．(－∞，－4)C．(－∞，－4] D．(4，＋∞)解析：选B.由eq\f(1,4)<2x<16，得－2<x<4，即p：－2<x<4.方程(x＋2)(x＋a)＝0的两个根分别为－a，－2.①若－a>－2，即a<2，则条件q：(x＋2)(x＋a)<0等价于－2<x<－a，由p是q的充分而不必要条件可得－a>4，则a<－4；②若－a＝－2，即a＝2，则(x＋2)(x＋a)<0无解，不符合题意；③若－a<－2，即a>2，则q：(x＋2)(x＋a)<0等价于－a<x<－2，不符合题意．综上可得a<－4，故选B.2．若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补，记φ(a，b)＝eq\r(a2＋b2)－a－b，那么“φ(a，b)＝0”是“a与b互补”的()A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.若φ(a，b)＝0，即eq\r(a2＋b2)＝a＋b，两边平方得ab＝0，故具备充分性．若a≥0，b≥0，ab＝0，则不妨设a＝0，φ(a，b)＝eq\r(a2＋b2)－a－b＝eq\r(b2)－b＝0，故具备必要性．3．(2018·山西五校联考)已知p：(x