2025年中考数学思想方法复习【分类讨论】等腰三角形中的分类讨论思想（解析版）

等腰三角形中的分类讨论思想

知识方法精讲

1.三角形三边关系

(1)三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边.

(2)在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，

只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角

形.

(3)三角形的两边差小于第三边.

(4)在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏

的定时炸弹，容易忽略.

2.三角形内角和定理

(1)三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角，且

每个内角均大于0°且小于180°.

(2)三角形内角和定理：三角形内角和是180°.

(3)三角形内角和定理的证明

证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角.在

转化中借助平行线.

(4)三角形内角和定理的应用

主要用在求三角形中角的度数.①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关

系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，己知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角.

3.三角形的外角性质

(1)三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.

三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对.

(2)三角形的外角性质：

①三角形的外角和为360°.

②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角.

(3)若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去.

(4)探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角

形的外角.

4.等腰三角形的性质

(1)等腰三角形的概念

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.

(2)等腰三角形的性质

①等腰三角形的两腰相等

②等腰三角形的两个底角相等.【简称：等边对等角】

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【三线合一】

(3)在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线.以上四个元素中，从

中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论.

5.等腰三角形的判定

判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.【简称：等角对

等边】

说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法.

②等腰三角形的判定和性质互逆；

③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作

未来底边的中线；

④判定定理在同一个三角形中才能适用.

6.勾股定理

(1)勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平

方.

如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么。2+庐=02.

(2)勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.

(3)勾股定理公式/+62=C2的变形有：a=^c2_b2,b=平：及c=*忑.

(4)由于。2+62=C2>/，所以c>°,同理c>6,即直角三角形的斜边大于该直角三角形

中的每一条直角边.

7.分类讨论思想

每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们

所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统

一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不

同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的,

即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这

种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。

选择题（共7小题）

1.（2021秋•昌平区期末）如图，已知RtAABC中，ZC=90°,N/=30。，在直线3C上取

一点、P,使得AP/B是等腰三角形，则符合条件的点尸有（）

BC

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】等腰三角形的判定

【分析】分三种情况，AP=AB,BA=BP,PA=PB.

AABC=90°一ABAC=60°,

当=时，以B为圆形，A4长为半径画圆，交直线3c于召，鸟两个点,

BA=BP2,ZABC=60°,

AABP2是等边二角形，

AB=BP,=AP,,

当=/尸时，以/为圆形，长为半径画圆，交直线8C于巴，

当尸/=尸8时，作的垂直平分线，交直线2c于巴，

综上所述，在直线2C上取一点尸，使得AP/3是等腰三角形，则符合条件的点P有2个，

故选：B.

【点评】本题考查了等腰三角形的判定，根据题目的已知画出图形是解题的关键，同时渗透

了分类讨论的数学思想.

2.（2021秋•泰江区期末）如图，正方形的网格中，点/,8是小正方形的顶点，如果C点

是小正方形的顶点，且使A48c是等腰三角形，则点C的个数为（）

【考点】等腰三角形的判定

【分析】当是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与/、B顶点相对的顶点，连

接即可得到等腰三角形；当N3是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离

相等，垂直平分线上的格点都可以作为点C,然后相加即可得解.

【解答】解：如图，分情况讨论：

①为等腰A48c的底边时，符合条件的C点有4个；

②AB为等腰\ABC其中的一条腰时，符合条件的。点有4个.

所以A4BC是等腰三角形，点C的个数为8个，

故选：C.

【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图

形.分类讨论思想是数学解题中很重要的解题思想.

3.（2021春•盐湖区校级期末）若等腰三角形的一个角是80。，则此等腰三角形的顶角为（

）

A.80°B.20°C.80°或20°D.40°

【考点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质

【分析】可分两种情况：当80。角为顶角时；当80。角为底角时，结合等腰三角形的性质，

利用三角形的内角和定理分别求解即可.

【解答】解：当80。角为顶角口寸，则等腰三角形的顶角为80。；

当80。角为底角时，等腰三角形的顶角为180。-80。-80。=20。，

即此等腰三角形的顶角为80°或20°.

故选：C.

【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键.

4.（2021秋•长春期末）若A48C中刚好有N8=2NC,则称此三角形为“可爱三角形”，并

且//称作“可爱角”.现有一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角

形的“可爱角”应该是（）

A.45°或36。B.72。或36。

C.45°或72。D.45°或36°或72。

【考点】三角形内角和定理

【分析】分设三角形底角为a,顶角为2a或设三角形的底角为2。，顶角为a,根据三角

形的内角和为180。，得出答案.

【解答】解：①设三角形底角为a,顶角为2a,

则（Z+a+2a=180°,

解得：a=45。，

②设三角形的底角为2c,顶角为a,

贝!]2a+2a+a=180°,

解得：a=36。，

2a=72。，

.,.三角形的"可爱角”应该是45。或72。,

故选：C.

【点评】本题是新定义题，主要考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，运用分类

思想是解题的关键.

5.（2021秋•洪山区期末）如图，网格中的每个小正方形的顶点称作格点，图中/、3在格

点上，则图中满足A48c为等腰三角形的格点。的个数为（）

【考点】等腰三角形的判定

【分析】根据等腰三角形的定义，分别以/、2为圆心，长为半径画弧，作的垂直

平分线，即可确定点C的位置.

【解答】解：如图所示：

分三种情况：

①以N为圆心，N3长为半径画弧，则圆弧经过的格点C2,C3即为点。的位置；

②以8为圆心，长为半径画弧，则圆弧经过的格点C3，C4,Cs,C6,C7,Cg即为点C

的位置；

③作N3的垂直平分线，垂直平分线没有经过格点;

.•.AzIBC为等腰三角形的格点。的个数为：8,

故选：B.

【点评】本题考查了等腰三角形的判定，利用两圆一线来解答是解题的关键.

6.（2019秋•蜀山区期末）在AA8C中，与//相邻的外角是130。，要使A48c为等腰三角

形，则的度数是（）

A.50°B.65°

C.50°或65°D.50°或65°或80°

【考点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定

【分析】依据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质进行判断即可.

【解答】解：Z^=180°-130°=50°.

当/8=NC时，ZS=ZC=1（180°-50°）=65°；

当8C=A4时，AA=AC=50°,贝1」/3=180°-50°-50°=80°；

当CN=C8时，AA=ZB=50°.

/B的度数为50°或65°或80°，

故选：D.

【点评】本题主要考查的是等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质定理是解题的关

键.

7.（2020秋•河池期中）已知等腰三角形的一个外角为100。，则这个等腰三角形的顶角为（

）

A.80°B.40°C.20。或80°D.20°

【考点】等腰三角形的性质；三角形的外角性质

【分析】根据三角形的外角性质定理即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，

可以得到：（1）当这个100。的外角为顶角的外角时，则这个等腰三角形的顶角为80。；（2）

当这个100°的外角为底角的外角时，可以得到这个等腰三角形的顶角为

180°-80°-80°=20°.

【解答】解：分为两种情况：（1）当这个100。的外角为顶角的外角时，则这个等腰三角形

的顶角为80。；

（2）当这个100。的外角为底角的外角时，可以得到这个等腰三角形的顶角为

180°-80°-80°=20°；

故选：C.

【点评】本题主要考查三角形的外角性质及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握三

角形的外角性质定理即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和.

二.填空题（共2小题）

8.（2021秋•淮南月考）如图，已知的半径为2.弦48的长度为2,点C是上一动

点，若A48C为等腰三角形，则8c2的长为8±4仆或12或4.

【考点】垂径定理；勾股定理；等腰三角形的性质

【分析】当A43c为等腰三角形时，分两种情况：①如图1,AC=BC,在N3的两侧各有

一个符合条件的点C,根据勾股定理可得结论；②如图2,当月8=1。时，连接。C3，AO,

40交BC,于E,则根据直角三角形30度的性质和勾股定理，垂径定理可得结

论.

【解答】解：当A48c为等腰三角形时，分以下两种情况：

①如图1,以N8为底边时，AC=BC,连接CC2，AO,则过圆心。，

AD=-AB=\,

2

•1-OA=2,

:.OD=物-俨=百,

:.GD=2+,C,D=2—V3,

BC^=(2+V3)2+12=8+4^,8C；=(2-初+12=8-46;

②如图2,以48为腰时，AB=AC3=BC4=2,连接Og，/。，/。交BC3于£，则BE=C3E,

3C；=4,

图2

•••OC3=AO=AC3=2,

△AC3O是等边三角形，

ZEOC3=60°,

ZOC3E=30°,

C3E=V3,

BC3=2V3,

3C；=（2®=12,

综上，BC2=8±4。或12或4.

故答案为：8±4右或12或4.

【点评】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握性质定理是

解题的关键.

9.（2021秋•盐池县期末）已知等腰三角形的一边长为4c机,另一边长为8c加，则这个等腰

三角形的周长为20cm.

【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系

【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4c%和8c加，而没有明确腰、底分别是多少，所

以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.

【解答】解：,••4+4=8,4+8>8,

腰长不能为4cm,只能为8cm,

二.等腰三角形的周长=4+8+8=20（°加）.

故答案为：20.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目

■定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点

非常重要，也是解题的关键.

三.解答题（共10小题）

10.（2021•婺城区模拟）在矩形/5CD中，48=4,点尸是直线C〃上（不与点C重合）

的动点，连结过点2作的垂线分别交直线ND、直线CD于点E、F,连结尸E.

（1）如图，当/£>=4,点尸是CD的中点时，求tanNE氏4的值；

（2）当40=2时，

①若ADPE与A5尸£相似，求。尸的长.

②若APE尸是等腰三角形，求。E的长.

【考点】相似形综合题

【分析】（1）根据矩形的性质及同角的余角相等可得4=再运用三角函数定义

即可求得答案；

（2）①根据KDPE与NBPE相似，PE是公共斜边，可得NDPE=NBPE或ADPE与ABEP,

分两种情况讨论即可；

③由APEF是等腰三角形，可得PE=PF或PE=EF或PF=EF,分三种情况进行讨论.

【解答】解：（1）•.•四边形是矩形，

AB=CD=4,BC=AD=4,NABC=ABAD=/BCD=90°,

:.ZABP+ZPBC=90°,

♦.,点尸是cz>的中点,

:.CP=-CD=2,

2

BP工EF,

/ABE+ZABP=90°,

NABE=/PBC,

CP21

tanAEBA=tan/PBC==—=—.

BC42

(2)①•.•△£>/>£与A5PE相似，尸E是公共斜边,

NDPE=A5PE或NDPE=NBEP,

当ADPE合ABPE时，

PB=PD,

设尸£>=x,贝I」尸8=x,PC=4-x,

在RtABPC中，BC2+PC2=PB2,

22+(4-x)2=/,

解得：尤=*,

2

PD=-.

2

当ADPE=ABEP时，如图2,

,.0DP=BE>AB,

.•.点P在。C的延长线上，

NDPE与NBEP,

:.DP=BE,DE=BP,

在必因尸和妨/5方中，

ADFE=ZBFP

<ZEDF=ZPBF,

DE=BP

ADEF=ABPF(AAS),

/.DF=BF,

设DF=BF=m,则CF=4—冽，

在RtABFC中，BC2+CF2=FB2,

/.22+(4-^)2=m2,

解得：m=—9

2

53

DF=BF=~,CF=-,

22

•・・ZFBC+ZPBC=90°,ZPBC+ZBPC=90°,

NFBC=/BPC,

/BCF=NBCP,

\FBCs\BPC,

3

，”二吆,BpI=A,

BCCP2CP

:.CP=-,

3

Q20

:.DP=DC+CP=4+-=—,

33

综上所述，心=3或型.

23

②:APE尸是等腰三角形，

PE=PF或PE=EF或PF=EF,

当尸8=尸尸时，如图3,

•・•BPLEF,

EB=BF,

/.EF=2FB,

•・•BCIIAD,

AFBCHAFED,

BC_FB

一法一而一5'

:.DE=2BC=2x2=4；

当尸E=跖时，如图4,

设。尸=加，贝1」。尸=冽+4,

PE=EF,EDLPF,

DP=DF=加+4,

CP=DP+DC=加+8,

・・•ZPBF=/PCB=NBCF=90°,

...NPBC+NBPC=90。，ZPBC+ZFBC=90°,

•.ABPC=ZFBC，

..NPBC^NBFC,

CPBC日口加+82

..—=—,即----=—，

BCCF2m

m>0,

\m=2^/5-4,

•.CF=2下一4,DF=2A/5,

.•BC//AD,

•.\FBC^\FED,

BCCF

DE~DF

:.DE=-峥=10+4后；

2V5-4

当尸尸二石尸时，如图5,

•・•PF=EF,

/BEP=ZDPE,

•・•/EBP=/PDE=90°,

\BEP=ADPE(AAS),

:.BP=DE,

设CP=〃，则。尸=4+九，

DE2=BP2=BC2+CP?=4+几2,

•・•ZFBP=/BCF=ZBCP=90°,

z.ZBFC+ZFBC=90°,ZFBC+ZPBC=90°,

ZBFC=ZPBC,

ABFC^APBC,

CFBCBnCF2

BCCP2n

:.CF=~,

n

44

:.DF=4一一,EF=PF=n+—,

nn

-：DE2+DF2=EF2,

4+/+(4——y=(〃+—)2,

nn

综上所述，小的长为4或1。+4指或M

D

图3

【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股

定理，等腰三角形性质，三角函数定义等，涉及知识点较多，难度较大，熟练掌握全等三角

形判定和性质、相似三角形的判定和性质等相关知识，灵活运用数形结合思想和分类讨论思

想是解题关键.

11.（2021•高邮市二模）如图，CD是A4BC的高，CD=8,AD=4,BD=3,点P是BC

边上的一个动点（与3、C不重合），PELAB于点E,DF=DE,FQ工4B于点、F,交4c

于点Q,连接。£.

（1）若点尸是的中点，则。E=_后_；

（2）在点尸的运动过程中，

①斯+尸。的值为；

②当点尸运动到何处时，线段最小？最小值是多少？

③当A4QE是等腰三角形时，求BE的长.

【考点】三角形综合题

【分析】（1）如图1,设。G=a,根据三角形的中位线定理得。尸=2°,根据正切定义得

AD

tanZBAC=——=—,得/尸=a,DF=DE=4-a,根据8E=£7）,列方程可得°的值,

FQCD

最后根据勾股定理计算EQ的长；

（2）①过点0作"_LCD于X,证明四边形尸以才。为矩形，得DF=QH=DE,FQ=DH,

根据三角函数定义可得C〃=20〃=昉，可得结论；

②由①得：EF+FQ=S,设EF=x,则F0=8-x,根据勾股定理计算

EQ=7%2+（8-X）2=72（^-4）2+32-根据平方的非负性可得当x=4时，取最小值为

V32=4A/2,由平行线分线段成比例定理得义="=』，计算2C的长，可得结论；

EDPC2

③设DE=m,BE=3-m,。尸=加（2力），根据勾股定理计算/C和的长，MEQ为

等腰三角形，分三种情况：»4。=/石，均/。=£。，沆）/E=E。，列方程可解答.

【解答】解：（1）如图1,设DG=a,

VCDLAB,PEVAB,QFLAB,

■：DE=DF,

EG=QG9

0G是A£F。的中位线，

QF=2a,

fAFAD.

*.*tan/BAC==,即Rn-

FQCD

AF=a,DF=DE=4—。，

•・•BD=3,

.e.BE=3—(4—q)=a—1,

-：PE//CD,BP=PC,

/.BE=ED,

ci—1=4—a,

5

..6Z———

2

二.FQ=2a=5，EF=2(4—q)=8—2〃=8—5=3，

EQ=A/32+52=V34；

故答案：V34；

(2)①如图2,过点。作于〃,

图2

•・•FQ上AB,CDVAB,

/.AQFD=ZFDH=ZQHD=9(F,

.•.四边形也因。为矩形,

,DF=QH=DE,FQ=DH,

ADQH41

,/tanNACD==——=—二一

CDCH2

CH=2QH=EF,

EF+FQ=DH+CH=S:

故答案为：8；

②由①得：EF+FQ=8,

^EF=x,贝I」广。=8—%,

/.EQ=7X2+(8-X)2=A/2X2-16X+64=J2(x—4>+32,

当x=4时，E。取最小值为任=4后,

此时，DE=DF=2,

:.BE=3—2=\,

•：PE〃CD,

BEBP

一访―正一5'

RtABDC中，由勾股定理得：BC=yj32+82=4T3,

:.PB=叵,

3

当尸3=容时，线段。£最小，最小值是40；

③设。£=加，BE=3-m,DF=,

「.AE=4+m,AF=4一加,FQ=8-2m,

AC=N#+8?=J16+64=4石，AQ=45（4-m）,

当A4E。为等腰三角形时，存在以下三种情况：

i）AQ=AE,则4+〃？=6（4-加），

解得：m=6—2y[5,

BE=3-(6-2^)=2^/5-3；

H)AQ=QE,

QF1AE,

AF=EF,

:.4—m=2m，

4

:.m=—,

3

iiQAE=EQ,贝I4+〃？=7（2m）2+（8-2m）2,

7m2-40m+48=0,

17

解得：冽］=4（舍），m2=—,

129

:.BE=3——=3；

77

综上所述，皮？的长为2石-3或3或

37

【点评】本题是三角形的综合题，解答本题主要应用了平行线分线段成比例定理，三角形的

中位线定理，二次根式的计算，勾股定理，等腰三角形的性质和判定三角函数等知识，熟练

掌握平行线分线段成比例定理是关键，并结合方程思想和分类讨论的思想解决问题.

12.(2021秋•南沙区期末)在平面直角坐标系中，以坐标原点为圆心的。。半径为3.

(1)试判断点次3,3)与00的位置关系，并加以说明.

(2)若直线y=x+6与。。相交，求6的取值范围.

(3)若直线y=x+3与。。相交于点N,3.点尸是x轴正半轴上的一个动点，以/,8,

P三点为顶点的三角形是等腰三角形，求点尸的坐标.

【考点】圆的综合题

【分析】(1)计算O/与半径3进行比较即可；

(2)当直线y=x+6与0。相切于点C时，求出的长度，即可得出相交时6的范围；

(3)首先得出4(0,3),3(-3,0),分4B=AP,BA=BP,尸/=E8三种情形，分别计算

即可.

【解答】解：⑴•・•/(3,3),

OA=342,

372>3,

.•.点/在。。外；

(2)如图，当直线y=x+6与。。相切于点。时，连接。C,

贝UOC=3,

•••ZCBO=45°,

05=372,

二直线y=x+6与。。相交时，-3^2<b<372；

(3)，.,直线y=x+3与0。相交于点/,B.

^(0,3),8(-3,0),

AB=372,

当A4=AP=3夜时，

.•.4(-3+3后，0),£(-3-3后，0),

当=时，

AO_Lx轴，

BO=OP,

；/(3,0)，

当尸8=尸工时，点尸与。重合，

；/(0,0)，

，点尸的坐标为(-3+3后，0)或(-3-3后，0)或(3,0)或(0,0).

【点评】本题是圆的综合题，主要考查了点和圆的位置关系，直线与圆的位置关系，等腰三

角形的性质等知识，运用分类思想是解题的关键.

13.(2020秋•浦东新区校级期末)己知：如图，在A43C纸片中，AC=3,BC=4,AB=5,

按图所示的方法将AACD沿AD折叠，使点C恰好落在边AB上的点。处，点尸是射线AB上

的一个动点.

(1)求折痕4D长.

(2)点P在线段上运动时，设/P=x,DP=y.求/关于x的函数解析式，并写出此

函数的定义域.

【分析】(1)由翻折可知：CD=DC,AC=AC'=3,T^CD=DC'=x,在RtABDC中,

mBD2=C'D2+C'B2,构建方程即可解决问题.

(2)利用勾股定理即可解决问题.

(3)分三种情形：①PA=PD,@AP=AD,③当尸〃时，分别求解即可.

【解答】解：(1)如图1中，

图1

由翻折可知：CD=DC,AC=AC'=3,设CD=OC=x,

在RtABDC中,BD2=CD2+C'B2,

(4-x)2+2?,

解得X」，

2

AD=yjAC2+DC2=

(2)如图2中，当点尸在C'D左侧，AC=AC=3,则尸C'=3-x,

c

■：DP=ylCD2+PC'2，

y=^(—)2+(3—x)2=Jx?-6x+-^-(0*4。)•

当点P在CD右侧，同理可得y=Jx2—6x+*E^0).

y关于x的函数解析式为y=R-6x+,gW)).

①当尸N=P〃时，设PA=PD=m,

在RtAPCD中，PD2=DC'2+CP2，

m2=(1)2+(3-m)2,

解得m=—,

8

PA=—.

8

②当==3逐时，AXDP是等腰三角形,

2

③当尸D=时，点P在的延长线上.如图4,

D

AP=2AC=6.

综上所述，满足条件的尸/的值为”或3行或6.

82

【点评】本题属于三角形综合题，考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，解直角三角

形等知识，解题的关键是学会由分类讨论的思想思考问题.

14.(2020秋•浦东新区校级期末)如图，在平面直角坐标系中，点”为x轴正半轴上一点,

过点M的直线//夕轴，且直线I分别与反比例函数y=-(x>0)和y=-(x>0)的图象交于

XX

P、。两点，ZQOM=45°,5ApO。=14.

(1)求点。的坐标；

(2)若x轴上有一点N,使得A2V。。为等腰三角形，请直接写出所有满足条件的N点的坐

标.

【考点】反比例函数综合题

【分析】(1)由o=14.得左=-20,设0(。,-㈤，代入反比例函数>=-空中即可；

(2)首先利用勾股定理得。。=J(2行『+(2后2=2而,当若OQ=ON=2M,则

N(2M,0)或(-2而,0)；若QO=ON,则NO=2OM=4石，则N(4石,0)；若NO=NQ,

设点N(〃,0),则1=(〃-2出了+(2君A,从而解决问题.

【解答】解：⑴•.,SAPO2=5必加=14，邑.=；x8=4,•因，

.'.1|^|+4=14,

•;k<0,

k=-20,

・•.反比例函数的解析式为>=-型，

X

vZQOM=45°,///»轴，

,ZQOM=ZOQM=45°,

,MO=MQ,

设。（。,一〃）,

/=—20,

a=±2A/5（负值舍去），

.•.点。的坐标为（2君，-2君），

（2）;.。。=J（2后+Q⑹2=2M,

若&VO。为等腰三角形，可分三种情况：

①若。。=ON=2M,则N（25,0）或（-2710,0）；

②若QO=ON,则NO=2（W=4右，则N（4石,0）；

③若NO=NQ,设点N（〃,0）,则#=（"-2））2+（2君A,

解得：n=2^/5,

nQ乖1,0）,

综上所述，满足条件的点N的坐标为：（2石，0）或（2屈，0）或（-2厢,0）或（4石,0）.

【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，发的几

何意义，等腰三角形等知识，运用分类讨论思想是解题的关键.

15.（2020秋•沈北新区校级期末）如图1,在RtAABC中，NACB=90。,ZABC=30°,48=10,

点D以每秒B个单位长度的速度从点3处沿射线8C方向运动，点/以每秒2个单位长度

的速度从点/出发沿边N8向点3运动，点。，尸两点同时出发，当厂运动至点8时，点。、

下同时停止运动，设点。运动时间为f秒.

(1)用含/的代数式分别表示线段8。和8厂的长度.贝1］助=_e_，BF=.

(2)若A5D尸为等腰三角形，求t值.

(3)如图2,以。下为对角线作正方形在运动过程中，若正方形。的一边恰

好落在RtAABC的一边上，请直接写出所有符合条件的/值.

【分析】(1)由运动速度与时间的关系，直接可求；

(2)分三种情况求解：①当AD=3下时，=10-2心②当=。尸时，过点尸作FG_L8C

交于点G,则Gb=、一。产，即5-7=JxJ与；③当=8/时，过点尸作户7/13C交

22

于点H,BH=—BF,即@/="(10-2。；分别求出t的值即可；

222

(3)分四种情况求解：①当在8C上时，MB=y/3t+5-t,再由=厂，可得

2

/?片

百/+5-f=事(10-2/),可求/；②当DN在BC上时，NF=5-t,BN="BF,即

V3?-5+?=—(10-2?),可求心③当JVF在N3上时，ON，由

233百+V一3*2

可求小④当"产在上时，DM=,由。河=,8。，可求

3-V32

【解答】解：(1)由题意可得3斤=10-2/,BD=0,

故答案为：Ct，10-2z；

(2)①当59时，疝=10—2和

/.t=20—10A/3；

②如图1,当5。二。/时，过点尸作/GL5C交于点G,

•・•NABC=30°,

:.FG=-BF=5-t,

2

•「BD=DF,

ZFBD=ZBFD=30°,

NFDG=60°,

,/BD=y/3t，

DF=,

在RtADFG中，GF=—DF,

2

5-1—x-xf^t

2

,,.t=2；

③如图2,当。尸=5尸时，过点尸作交于点H,

:.BH=-BD=-t,

22

在RtABFH中，BH=—BF,

2

...多二争10一2/),

10

t=—；

3

综上所述：若凶世为等腰三角形，，的值为2。-或2畔;

(3)如图3,当V。在上时,

-：FM=MD,ZFMD=90°,

:.MF=-BF=5-t,

2

BD=5,

MB--\/3t+5—tj

在RtABFM中，MB=—BF,

2

V3r+5-?=^-(10-2?),

25-573

...t=--------------;

11

②如图4,当。N在8C上时,

在RtABFN中，NF=-BF=5-t,

2

DN=NF,BD=M,

BN-y/3t—5+Z,

h

BN=—BF,

2

...V3/-5+/=^-(10-2/),

25+573

/.t=-------；

11

③如图5,当NF在48上时，

在RtABDN中，DN=.BN=^(BF-DN)=[QQ-%一DN),

10V3-2V3/

二.DN=---------T=—,

3+V3

■：DN=-BD,

2

10V3-2V3/V3

...------p=--=---1，

3+V32

70—10班

t=-------------；

23

④如图6,当〃/在N8上时，

在RtABDM中，DM=^BM=^-(BF+DM)=^-(10-2t+DM),

M10V3-2^

3-V3

■：DM=-BD,

2

10V3-2V3/V3

--------尸---=----1,

3-V32

70+1073

t=-------------;

23

综上所述：t的值为25-5—或25+5-或70-1073或70+10^.

11112323

A

图5

图4

图3

图2

A

图1

【点评】本题考查四边形综合，熟练掌握正方形的性质，30。角的直角三角形的性质，分类

讨论，数形结合是解题的关键.

16.（2020秋•虹口区期末）如图，ZUBC中，ZC=90°,BC=6,的平分线与线段

/C交于点。，且有力。=5。，点£是线段48上的动点（与/、8不重合），联结

设AE=x,DE=y.

（1）求NN的度数；

（2）求y关于x的函数解析式（无需写出定义域）；

【分析】（1）根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到==根据直

角三角形的性质求出//；

（2）作。歹，N3于歹，根据勾股定理求出。咒，再根据勾股定理列式计算求出y关于x的

函数解析式；

（3）分BE=BD、BE两种情况，根据等腰三角形的性质、勾股定理计算即可.

【解答】解：⑴VAD=BD,

ZA=ZDBA,

•.•即是乙45c的平分线，

/./CBD=/DBA,

NA=/DBA=ZCBD,

•・•ZC=90°,

N4=30°；

(2)如图，作止_L45于尸，

在RtAABC中，ZC=90°,BC=6,ZA=30°,

AB=2BC=\2,

♦;DA=DB,DFLAB,

AF=—AB=6,

2

EF=|6-x|,

在RtAAFD中，N4=30。，

h

:.DF=—AF=2^,

3

在RtADEF中，DE1^EF2+DF1,BP/=(6-x)2+(273)2,

解得：y=G-12x+48；

(3)在RtAAFD中，N/=30°,DF=26,

AD=BD=4拒,

当3£=8D=4G时，/£=12-46；

当BE=DE时，12-x=Vx2-12x+48,

解得：x=8,即/£=8,

•.•点E与/、2不重合，

二.DBwDE,

综上所述：当ABOE是等腰三角形时，/E的长为12-46或8.

【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想、

勾股定理是解题的关键.

17.（2021秋•鸡冠区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，RtAABC的斜边在x轴上,

点C在〉轴上，ZACB=90°,OC.03的长分别是一元二次方程--6x+8=0的两个根,

S.OC<OB.

（1）求点/的坐标；

（2）点。是线段N8上的一个动点（点。不与点/,3重合），过点。的直线/与y轴平行,

直线/交边/C或边3c于点P,设点D的横坐标为t,线段。P的长为d,求d关于I的函

数解析式；

（3）在（2）的条件下，是否存在点。，使A4C。为等腰三角形？若存在，请你直接写出

【分析】（1）解一元二次方程求出OC、OB,证明A4OCSACO3,根据相似三角形的性

质求出。4,得到点/的坐标；

（2）利用待定系数法分别求出直线/C、直线3c的解析式，分点。在线段。/上、点。在

线段03上两种情况，根据一次函数图象上点的坐标特征得到“关于，的函数解析式；

（3）分=CA=CD.D4=DC三种情况，根据等腰三角形的性质、勾股定理计算

即可.

【解答】解：(1)解方程——6x+8=0,

可得再=2,%=4,

•••OC＞05的长分别是一元二次方程一一6工+8=0的两个根，且。。＜。5,

OC=2,08=4,

•・•ZACB=90°,

/.NACO+ABCO=ZACO+ZCAO=90°,

ZCAO=NBCO,

又・・・//OC=/BOC=90。，

\AOCsbCOB,

.AO_OC

,~CO~~OB'

即42,

24

解得AO=1,

/.止1,0)；

(2)由(1)可知。(0,2),8(4,0),4(-1,0),

设直线AC解析式为y=kx+b,

*=2,

[~k+b=0

解得F=2,

[左=2

直线AC的解析式为y=2x+2,

同理可求得直线BC解析式为y=-;x+2,

当点。在线段CU上时，即-1＜々6时，则点P在直线NC上，

尸点坐标为。2+2),

a=2,+2；

当点。在线段05上时，即0＜，＜4时，则点尸在直线5c上，

/.P点坐标为+2)，

+2；

2

2t+2(—1<

综上可知d关于t的函数关系式为d=-1

--t+2(0<t<4)

（3）存在.

由勾股定理得，AC7Ao°+OC2=#>，

当==，点。在点/的右侧时，。点的坐标为（石-1,0）,

当C4=CD时,

COVAD,

OD=OA=1,

二。点的坐标为（1,0）,

解得，DC=~,

2

53

OD=一一1二一，

22

点的坐标为（5,0),

。点的坐标为（囱-1,0）或（1,0）或弓，0）.

综上所述，A4CZ）为等腰三角形时,

【点评】本题考查的是一元二次方程的解法、待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的

判定和性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况

讨论思想是解题的关键.

18.（2021秋•金牛区期末）如图，已知平面直角坐标系内，点4（2,0）,点3（0,2百），连

接动点尸从点8出发，沿线段50向。运动，到达。点后立即停止，速度为每秒6个

单位，设运动时间为t秒.

(1)当点尸运动到08中点时，求此时4P的解析式；

(2)在(1)的条件下，若第二象限内有一点。(a,3),当/侬=52砥时，求。的值；

(3)如图2,当点尸从B点出发运动时，同时有点M从/出发，以每秒1个单位的速度沿

直线x=2向上运动，点尸停止运动，点M也立即停止运动.过点尸作尸N_Ly轴交于

点、N.在运动过程中，是否存在/,使得为等腰三角形？若存在，求出此时的f值，

若不存在，说明理由.

【分析】(1)求出点尸的坐标，利用待定系数法可求出解析式;

(2)由知直线尸。//48，从而得出直线PQ的解析式为＞=-技+班，即

可解决问题;

(3)分=或=或=■三种情形，分别根据含30。角的直角三角形的性

质进行解答即可.

【解答】解：(1)V5(0,273),

的中点为(0,6)，

当点尸运动到03中点时，尸(0,6),

设直线N尸的函数解析式为＞=依+6,

将/(2,0)代入y=fcv+百得，2后+6=0,

V3

2

直线AP的函数解析式为y=