2025中考数学专项复习：圆的重难点模型汇编（二）（四大题型）含答案

2025中考数学专项复习圆的重难点模型汇编（二）（四

大题型）含答案

圆的重难点模型汇编（二）

【题型01：点圆最值问题】

【题型02:定弦定角】

【题型03：四点共圆】

【题型04：瓜豆原理】

（考点精讲）

【题型01：点圆最值问题】

1.如图所示，在直角坐标系中，入点坐标为（—4,—3）,04的半径为1,P为/轴上一动点，PQ切04

于点Q,则当PQ最小时，P点的坐标为（）

A.（-4,0）B.（-5,0）C.（一4,0）或（一5,0）D.（-3,0）

2.如图，正方形ABCD的边长为4,E是边CD的中点，F是边AD上一动点,连接将△ABF沿BF

翻折得到△GBF,连接GE.当GE的长最小时，DF的长为（）

A.2V5-2B.2V5-4C.4V5-6D.6-2V5

3.如图，正方形ABCD的边长为8,点G是边CD的中点，点E是边口。上一动点，连接AE,将△ABE

沿AE翻折得到ZVME,连接GF.当GF最小时，BE的长是______

DGC

广

AB

4.如图，在。。中，直径AB=4,延长至。，使BC=OB,点。在。O上运动，连接CD,将CD绕点

。顺时针旋转90°得到CE,连接OE,则线段OE的最大为

5.一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最

小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，AABC=90°,点M,

N分别在射线BA,BC±.,AW长度始终保持不变,MN=5.2,E为AW的中点，点。到BA,的距

离分别为4和3.在此滑动过程中,猫与老鼠的距离DE的最小值为.

【题型02:定弦定角】

6.【问题提出】

我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等,且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么，在一个圆内同

一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？

【初步思考】

(1)如图1,是。O的弦，ZAOB=100°,点E、B分别是优弧和劣弧上的点，则ZAP.B=

°,ZAP2B=°,

图1

⑵如图2,是。。的弦，圆心角乙4OB=m(7n(180°),点P是。O上不与重合的一点，求

弦AB所对的圆周角AAPB的度数（用m的代数式表示）.

图2

【问题解决】

（3）如图3,已知线段48,点。在4B所在直线的上方,且AACB=135°，用尺规作图的方法作出满足

条件的点。所组成的图形（不写作法，保留作图痕迹）.

AB

图3

【实际应用】

（4）如图4,在边长为12的等边三角形ABC中，点E、尸分别是边AC、8C上的动点,连接AF.BE,交

于点P,若始终保持AE=CF,当点E从点A运动到点。时，点尸运动的路径长是.

7.如图，正方形ABCD的边长为4,点E、尸分别从点A、点。以相同速度同时出发，点E从点4向点。

运动,点干从点。向点。运动，点E运动到。点时，E、尸停止运动.连接BE、/斤相交于点G,连接

CG.当线段0G最小时，ABCG的面积5为（）

A.4+峥

D.7+

55

8.如图，在等边△ABC中，点。为AC边上一动点，点E为上一点，且满足4D=CE,连接

当线段CF的长度最小时，黑型的值为

b^ABC

9.如图在中，AB，BC、48=6,BC=4,点P是4ABC内部的一个动点,连接PC,且满足

/.PAB=/.PBC，过点P作交BC于点。当线段CP最短时,4BCP的面积为.

10.如图，点。在半圆O上，半径OB=5,4D=4,点。在弧上移动，连接AC,作。HLAC,垂足为

H,连接BH,点C在移动的过程中，8H的最小值是

11.如图，抛物线y=ax2+bx-3^x轴于点A（-l,0）,口（3,0）,D是抛物线的顶点，P是抛物线上的动

点，点P的横坐标为m（OWni&3）,交直线Z：y=+2于点及AP交于点尸，交0轴

于点Q.

（1）求抛物线的表达式；

（2）设APDF的面积为$,4AEF的面积为S2,当Si=S2时,求点P的坐标；

（3）连接BQ,点M在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且Z.BMQ=45°,在点尸从点B运动到点

。的过程中，点M也随之运动，直接写出点又的纵坐标t的取值范围.

—V

DDD

备用图1备用图2

【题型03：四点共圆】

12.如图，在四边形4BCD中，4B=BC,对角线平分/4DC,AC，CD,且ABAC=/ADB.

4

;

B

C

(1)证明：ABAD+/.BCD=180°；

(2)若AADB=30°,AD+CD=4,3,求8。的长.

13.如图，边长为1的小正方形网格中，点ABC,E在格点上,连接AE,BC,点、D在上且满足AD±

8C,则tan/4ED的值是()

E

一

A.奚^B.2C.造D.春

0/

14.如图,已知AB=AC=AD,ACAD=20°,则NCBD的度数是（）

*a

A

A.10°B.15°D.25°

15.如图，等边△ABC中，。在BC上，E在AC上，BD=CE,连EE、4D交于尸，T在E尸上，且L>T=

CE,人尸=50,TE=16,则FT=

【题型04：瓜豆原理】

16.如图所示,在等腰Rt/\ABC中，AC=BC=22，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中

点，当点P沿半圆从点A运动至点8时，求点河运动的路径长.

17.如图，A是。8上任意一点，点。在。8外，已知AB=2,BC=4,A4CD是等边三角形，则△BCD

的面积的最大值为（）

A.4V3+4B.4D.6

18.如图，正方形ABCD的边长为4,E为上一点，且BE=1,F为48边上的一个动点，连接即，以

即为边向右侧作等边AEFG,连接CG,则CG的最小值为.

19.如图，等边三角形ABC中，4B=4,高线4H=2四，。是线段上一动点，以BD为边向下作等边

三角形BDE,当点、D从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径为线段CM,则线段CM的长为

,当点。运动到点H,此时线段跳;的长为.

20.如图所示，点P(3,4),OP的半径为2,4(2.8,0),8(5.6,0),点M是。P上的动点，点。是MB的中

点，求AC的最小值.

圆的重难点模型汇编（二）

【题型皿：点圆最值问题】

【题型02:定弦定角】

【题型03：四点共圆】

【题型04：强原理】

（考点精讲）

【题型01:点圆最值问题】

1.如图所示,在直角坐标系中，A点坐标为（-4,-3）,0A的半径为l,P为x轴上一动点，PQ切③4

于点Q,则当PQ最小时，P点的坐标为（）

A.（-4,0）B.（-5,0）C.（一4,0）或（一5,0）D.（-3,0）

【答案】A

【分析】此题根据切线的性质以及勾股定理，把要求PQ的最小值转化为求AP的最小值，再根据垂线段最

短的性质进行分析求解.

【详解】解:如图所示，连接AQ,AP.

根据切线的性质定理，得AQ，PQ;

根据勾股定理可得PQ=VB42-12

/.要使PQ最小，只需4P最小，

则根据垂线段最短，则作AP_L/轴于P,即为所求作的点P；

此时P点的坐标是（一4,0）.

故选4

【点睛】本题考查了切线的性质，坐标与图形，勾股定理，熟练掌握切线的性质将问题进行转化，再根据垂线

段最短的性质进行分析是解题的关键.

2.如图，正方形ABCD的边长为4,E是边CD的中点，F是边AD上一动点,连接BF,将AABF沿BF

翻折得到△GBF,连接GE.当GE的长最小时，。尸的长为（）

DE

A.2V5-2B.2V5-4C.4V5-6D.6-2V5

【答案】。

【分析】根据正方形的性质和勾股定理可得BG的长，再由翻折知BG=A4=4,得点G在以B为圆心，4为

半径的圆上运动，可知当点G、E、B三点共线时，GE最小.

【详解】解：；正方形ABCD的边长为4,

/.ZC=ZA=90°,BC=CD=4,

•.•点E是边CD的中点，

/.CE=DE=2,

BE=VBC2+CE2=2V5,

•.•将&ABF沿5F翻折得到△GBF,

.♦.点G在以B为圆心，4为半径的圆上运动，

当点G、E、B三点共线时,GE最小，

连接EF,设

S棉衫ABED=SAEDF+SAABF+SWBF,

y（2+4）x4=yx2Xa?+yx4x（4-a?）+y（4-a:）x275

解得x—6—2V5,

故选：。.

【点睛】本题主要考查了翻折的性质，正方形的性质，勾股定理以及辅助圆，确定当点G、H、B三点共线时，

GE最小是解题的关键，同时注意运用面积法求垂线段的长度.

【变式1一2】如图,在矩形纸片ABCD中，AB=2,AD=3,点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动

点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到A/TEF,则4C的长的最小值是（）

4亚

B.3C.V13—1D.V10-1

2

【答案】。

【分析】以点石为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE,当点4在线段CE上时，4c的长取最小值,根据折

叠的性质可知4E=1,在放"方中利用勾股定理可求出GE的长度，用CE—4E即可求出结论.

【详解】以点E为圆心，AE长度为半径作圆,连接CE,当点A'在线段CE上时，A'C的长取最小值，如图所

示，

根据折叠可知：4E=AE=£4B=L

在RtABCE中，BE=；AB=1,3C=3,ZB=90°,

CE=^BE2+BC2=VlO,

4。的最小值=侬-4£=何一1.

故选D

【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质以及勾股定理，利用作圆，找出4。取最小值时点4的位置是解

题的关键.

3.如图，正方形ABCD的边长为8,点G是边CD的中点，点E是边8。上一动点，连接AE,将△4BE

沿AE翻折得到△网E,连接GF.当GF最小时，8E的长是

【答案】44/-4+4西

【分析】本题主要考查了圆的性质，正方形和折叠的性质，勾股定理，确定当点G、F、人三点共线时，GF最

小是解题的关键，同时注意运用面积法求垂线段的长度.

由翻折知4斤=A4=8,得点尸在以B为圆心，8为半径的圆上运动,可知当点G、尸、A三点共线时，GF

最小，连接GE,再勾股定理求出AG的长，然后利用等面积法即可求出BE.

【详解】解：•.•正方形4BCD的边长为8,

/.ZC=90°,AB=CD=BC=8,

•：将AABE沿AE翻折得到AE,

：.AF=BA=8,

.•.点F在以B为圆心，8为半径的圆上运动，

当点G、F、人三点共线时，GF最小，如图，连接GE

•.•点G是边CD的中点，

/.DG=CG=^CD=4,

由勾股定理得，AG=y/AD2+DG2=V82+42=4-75,

•*S正方形ABCO=SA4GD+SA4BE++^^GCE

：.AB-AD=^-AD-DG+^AB-BE+^-AG-BE-i^-GC-CE

3

8x8=~x8x4H"x8BEHx4-^5BEH~~x4x(8-BE)

解得BE=4，^一4.

故答案为：4，^—4.

4.如图，在。。中，直径48=4,延长4B至C,使BC=OB,点。在。O上运动，连接CD,将CD绕点

。顺时针旋转90°得到CE,连接OE,则线段OE的最大为.

【答案】42+2

【分析】过点。作AC的垂线，在垂线上截取CF=CO,连接DF,从而可证△OCE空AFCD，进而得到OE

=FD,将求线段OE的最大值转化为求FD的最大值，然后结合点与圆的位置关系求出最大值即可.

【详解】解:如图，过点。作AC的垂线，在垂线上截取CF=8,连接DF,

/./DCE=/OCF=90°,

4OCE=4FCD,

•：CD绕点。顺时针旋转90°得到CE,

:.CD=CE,

在△OCE和△FGD中，

(CD=CE

hoCE=ZFCD,

[CF^CO

：.&DCEW△FCD(SAS),

：.OE=FD,

连接FO,并延长FO交圆于点H,FH即为FD最大值,

•:AB=4,BC=OB,

:.CF=CO=4,

.♦.OF=4⑹

FH=OH+OF=4方+2,

；・最大值—DF最大值—FH—4V2+2,

故答案为：42+2.

【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，点与圆的位置关系，解决本题的关键是构造全等三角形，将

OE转化为其他线段进而求最大值.

5.一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最

小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，乙4BC=90°,点

N分别在射线BA,BC±.,MN长度始终保持不变，MN=5.2,E为MN的中点，点。到R4,的距

离分别为4和3.在此滑动过程中，猫与老鼠的距离的最小值为

【答案】2.4

【分析】连接BE,DB,根据勾股定理求出BD,根据直角三角形斜边中线的性质求出BE,郴i据点与圆的位

置关系得至I点E落在线段BD上时，DE的值最小，计算即可.

【详解】：连接BE,,如图所示：

•.•点D到A4,BC的距离分别为4和3,由勾股定理得：BD=V32+42=5,

在RtLMBN中，点、E是MN的中点、,

：.BE=^-MN=2.6,

.•.点E的运动轨迹是以B为圆心，2.6为半径的弧上，

根据点圆模型的最值情况可知，当点E落在线段5。上时，DE的值最小，

.•.DE的最小值为：BD—BE=5-2.6=2.4,

故答案为：2.4.

【点睛】本题考查动点最值问题，涉及到点与圆的位置关系，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是确

定DE最小时，点E的位置.

【题型02:定弦定角】

6.【问题提出】

我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等,且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么，在一个圆内同

一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？

【初步思考】

(1)如图1,4B是。O的弦，ZAOB=100°，点R、R分别是优弧AB和劣弧上的点，则AAP.B=

°,AAP2B=°.

5

Px

（2）如图2,48是。。的弦，圆心角/496=巾（m<180°）,点P是。O上不与重合的一点，求

弦所对的圆周角AAPB的度数（用m的代数式表示）.

图2

【问题解决】

（3）如图3,已知线段4B,点。在4B所在直线的上方，且ZACB=135°，用尺规作图的方法作出满足

条件的点C所组成的图形（不写作法，保留作图痕迹）.

AB

图3

【实际应用】

（4）如图4,在边长为12的等边三角形中，点E、尸分别是边AC、8c上的动点，连接A尸、BE,交

于点P,若始终保持4E=CR，当点E从点/运动到点。时，点P运动的路径长是.

【答案】⑴50,130

⑵号或180。-詈

（3）见详解

⑷手兀

O

【分析】（1）根据圆周角定理及圆内接四边形对角互补即可得到答案;

（2）根据圆周角定理及圆内接四边形对角互补即可得到答案；

（3）根据圆内接四边形对角互补可得对角为45°,根据圆心角等于圆周角两倍即可得到圆心角为90°画出圆

心角即可得到圆心与半径再画圆弧即可得到答案；

（4）根据题意易得&ABE空XCAF，即可得到AAPB=120°,即可得到答案.

【详解】（1）解：：ZAOB=100°,

AAPXB=-1-AAOB=50°,

­/四边形ABBg是圆内接四边形，

ZAP2B=180°—ZAPiB=130°,

故答案为：50,130;

（2）解：当点P在优弧AB上点为鸟,在劣弧AB上的点为8，

Z.AOB=m°（m<180°）,

ZAP.B=yAAOB=-y-,

•••四边形是圆内接四边形,

：.ZAP2B=180°-/APiB=180°—受，

综上所述：弦AB所对的圆周角AAPB的度数为号或180°-号;

⑶解：•.•乙4cB=135°,

AB所在直线的下方点“，存在180°—135°=45°,

即A、B、P、Af四点共圆，

作AB垂直平分线交AB于点N,

以点N为圆心AN为半径画下圆弧交垂直平分线于一点即为圆心。点,

以O为圆心04为半径画圆弧；

如图所示，满足条件的点。所组成的图形为以。为圆心、。A为半径的AB.

⑷解：由题意可,

•.•三角形ABC是等边三角形，

ABAC=AACB=60°,AB=AC=BC,

•：AE=CF,

：.RABE笃△CAF(&4S),

AEBA=AFAC,

NAPB=180°-60°=120°,

.•.点P的路径是以AB为弦的圆弧,

A弦AB所对圆周角为60°,圆心角为120°,半径为一J=4通,

sin60

120°X7TX4V38V3

・,•点P运动的路径长是:----------------------------7T

180°3

【点睛】本题考查了动点问题，涉及到了辅助圆的知识、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半、

一条弦所对的圆周角相等或互补、圆内接四边形对角互补、尺规作图一一作垂线等内容，解题的关键是根

据题意找到定角，确定动点轨迹.

7.如图，正方形ABCD的边长为4,点E、尸分别从点4、点。以相同速度同时出发，点E从点4向点。

运动，点尸从点。向点。运动，点E运动到。点时，E、F停止运动.连接BE、A尸相交于点G,连接

CG.当线段DG最小时，ABCG的面积S为（）

ED

A.4+?B.8+§D.7+^-V5

555

【答案】A

［分析】首先证明RtLADF^RtABAE(SAS)，推出跳;_LAF,得到G点轨迹为以AB中点。为圆心、AB

为直径的半圆弧，因此当G、O、。在一条直线上时线段。G最小，过G点作MN_LAD交AD于M■点，交

于N点，根据RtAOAD〜及AGM?求出长度，进而求出NG的长度，利用三角形面积公式可解出

答案.

【详解】解：•.•四边形ABCD是正方形，

/LADF=NBAE=90°,AB=AD.

又♦.•点E、F分别从点力、点D以相同速度同时出发，

:.AE=DF,

：.RtAADFwRtABAE(SAS),

：./AFD=/AEB.

,/ZAFD+AFAD^90°,

：./AEG+/GAE=90°,

/./AGE=90°,

即BE_LAF,

/.ZAGB=90°,

G点轨迹为以AB中点。为圆心，AB为直径的半圆弧，当G、O、。在一条直线上时，线段DG最小.

如图所示：过G点作MN±AD支AD于M点、，交BC于N点,

_RtAOAD中，AD=4,40=]AB=2,

/.OD=^AD2+AO2=2V5,

,/OG=OA=2,

ADG=OD—OG=2萌一2,

•：AOAD=4GMD=90°,AADO=/.MDG,

：.RtAOAD〜RtAGMD,

,MG_DG

"^O~~OD，

即M亍G_2V5-2

解得：MG=2-里显，

5

:.GN=MN-MG=4_(2_^~、=10+2函,

\5，5

•••S^CG=^BC-GN=-1X4X也甘返=4+下.

z/oo

故答案为：A.

【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、求动点轨迹、相似三角形的判定与性质等知

识点，综合性较强，正确判断动点G的轨迹是解题关键.

8.如图,在等边△4BC中，点。为AC边上一动点，点、E为BC上一点、,且满足AD=CE,连接AE,BD,

当线段CF的长度最小时，黑型的值为.

【答案】白

【分析】根据等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的外角性质，直角三角形的特征，定弦定

角问题，解答即可.

【详解】解：・・・AABC为等边三角形，

AB=CA.ABAD=AACE=60°,

(AB=CA

bBAD=AACE=60°,

[AD=CE

△BADnAACE(SAS)

："ABD=/CAE,；/、、\\

・・・ABFE=/ABD+ABAF,|、、、\

-8kC

ZBFE=/BAE+4CAE=ABAC=60,h

：.AAFB=120°,

作AB的垂直平分线，作AABO=30°,与垂直平分线交于点O,

则点F的运动轨迹是以O为圆心，以BO为半径的圆的三角形内部的一段弧，

连接。。与弧交于点H,

当F与点H重合时，CF最小，

-：OA=OB,CA=CB,

：.直线OC是线段AB的垂直平分线，设二线的交点为Q,

则ZHQB=90°,AHBQ=30°,

设QH=c,则BH—2x,BQ--JBH2—QH2=V3x,

AB—2BQ=2心岔,

：.CQ—3x,

...SG_看ABQH_QH;1

"S^ABC^AB-CQCQ3;

故答案为：1■.

o

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的外角性质，直角三角形的特征,

定弦定角问题，熟练掌握三角形的全等的证明是解题的关键.

9.如图在电△48。中，4B，BC、AB=6,及7=4,点P是4ABC内部的一个动点，连接PC,且满足

APAB=/PBC,过点P作PD±BC交BC于点、D当线段CP最短时，ABCP的面积为.

【答案】孕

5

【分析】由题意得，AAPB=180°—(乙4BP+ZB4B)=90°，则点P在以AB为直径的圆上运动，如图，记

AB的中点为O,连接OC,交0O于P,此时线段CP最短，由题意知，OP==AB=3,由勾股定理

得,OC=VOB2+BC2=5,则PC=2,证明APCD〜△OCD,可求PD=§,根据S-二BCxPD,计

52

算求解即可.

【详解】解：由题意知，2ABP+4PBC=/48。=90°,

•/NPAB=2PBC,

：.^ABP+APAB=90°,

：.^APB=180°-(ZABF+/.PAS}=90°,

.♦.点P在以AB为直径的圆上运动，

如图，记AB的中点为O,连接。。，交。。于P,此时线段CP最短,

由题意知，OP=OB=^-AB=3,

由勾股定理得，OC=y/OB2+BC2=5,

：.PC=2,

•：/PCD=ZOCD,ZPDC=90°=ZOBC,

.•.△PCD〜△OCB,

.PD=PC_即包=2

"OBOC'35'

解得,=g

5

•e•S^BCP~卷EC义PD=《■x4x[=,

2255

故答案为：孕.

5

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，圆周角定理的推论，相似三角形的判定和性质，勾股定理.确定点

P的运动轨迹是解题的关键.

10.如图，点。在半圆O上，半径OB=5,AD=4,点。在弧BD上移动，连接AC,作AC,垂足为

H,连接,点。在移动的过程中，的最小值是

10

D

【答案】2伍一2

【分析】先确定点H的运动轨迹，再根据点与圆的位置关系可得取最小值时，点H的位置，然后利用圆

周角定理、线段的和差即可得.

【详解】如图，设4D的中点为点E,则无1=ED=十40=1■x4=2

由题意得，点H的运动轨迹在以点E为圆心，及1为半径的圆上

由点与圆的位置关系得:连接BE,与圆E交于点笈,则此时取得最小值,EH=2

连接BD

•••AB为半圆O的直径

ZADB=90°

：.BD=y/AB2-AD2=V（5+5）2-42=2721

BE=^/BD2+ED2=V（2A/21）2+22=2722

BH=BE-EH=2722-2

故答案为：2,22—2.

【点睛】本题考查了圆周角定理、点与圆的位置关系、勾股定理等知识点，依据题意，确定点X的运动轨迹,

从而得出取最小值时，点H的位置是解题关键.

11.如图，抛物线y=ax2+bx-3^x轴于点A(-1,O),3(3,0),D是抛物线的顶点，P是抛物线上的动

点，点尸的横坐标为m(OWm<3),AE〃尸。交直线Z：沙=。必+2于点E,AP交DE于点尸，交沙轴

于点Q.

(1)求抛物线的表达式；

(2)设△PDF的面积为&,/XAEF的面积为S2，当Si=S2时,求点P的坐标；

(3)连接BQ,点双在抛物线的对称轴上(位于第一象限内)，且=45°,在点P从点8运动到点

•M

【分析】⑴运用待定系数法将A(-1,O),B(3,0)代入y^ax2+bx-3,即可求得答案；

⑵利用配方法可求得抛物线顶点坐标。(1,一4),由AE〃PD得4AEF〜△PDF，再根据ZYPDF与

△AEF的面积相等，可得4AEF空APDF，故点F分别是4P、ED的中点，设E(e3e+2),P(m,m?-2m

—3),结合中点坐标公式建立方程求解即可；

⑶根据题意，分别求出t的最大值和最小值:①当点P与点B重合时，点Q与点O重合，此时t的值最大，

如图2,以OB为斜边在第一象限内作等腰直角△005,以O为圆心，00为半径作。O，，交抛物线对称

轴于点，过点O作07/，9轴于点H,运用勾股定理即可求得答案，②当点P与点。重合时，点Q

与点。重合，此时t的值最小，如图3,连接BC,以。为圆心，为半径作。O交抛物线对称轴于点M,

连接,设抛物线对称轴交加轴于点E,运用勾股定理即可求得答案.

【详解】解：(1),・•抛物线沙=刈〃+近—3交比轴于点4(—1,0),B(3,0),

.•.将A、B坐标分别代入抛物线解析式得：[二?,

9a+3b—3=0

{a=l

解得:

b=—2'

抛物线的表达式为：y—x2—2x—3;

⑵如图，

D是抛物线的顶点，抛物线的表达式为：g=i—2%一3=(劣一I)?—4,

・・・。(1,—4),

AE〃PD交直线l：y=[x+2于点、E,P是抛物线上的动点，点P的横坐标为m(O<m<3),

ZXAEF〜APDF,设E(e,~^-e+2),P(m,m2—2m—3),

又,/APDF的面积为Si,△AE尸的面积为S2,S=S2,

：.AAEF^APDF,

：.AF=PF,EF=DF,即点、F分别是AP、ED的中点，

又：_A(—1,0),P(jn,Tn?—2m—3),E1e,+2),D(l,—4),

fm—1_e+1

\9———2~

・•・由中点坐标公式得：I24，

一2—2m—3+0_个+2-4

2-2

解得：^^。^“^^〃「。”不符,应舍去)，m2=-|-,

(3)①当点P与点石重合时，点。与点。重合，此时力的值最大，如图2,

以08为斜边在第一象限内作等腰直角△O,O8,

,,OO，=B

则O(41T)°'=竽，

以O为圆心，OO,为半径作。O,交抛物线对称轴于点,

过点O作OH_LV轴于点则ZO,BM=90°,O'H^y,O'M^OO'=

MH=y/O'M2-O'H2=，

.A.H_3+VI7

"~2+22，

12

②当点P与点。重合时，点Q与点C重合,此时t的值最小，如图3,

连接5。，以。为圆心，为半径作。O交抛物线对称轴于点河，

•.•OB=OC=3,

经过点C,

连接37,设抛物线对称轴交c轴于点E,

则OM=OB=i,OE=1,

■：/MEO=90°,

ME=y/OM2-OE2=V32-l2=2V2,

/.t=2A/2,

综上所述，2V2<t<3+g.

【点睛】此题属于二次函数综合题，考查代数计算问题，涉及勾股定理，三角形全等，二元一次方程和一元二

次方程的解及圆的相关知识，属于压轴题类型.

【题型03：四点共圆】

12.如图，在四边形ABCD中，=对角线8。平分NADC,AC,CD,且

（1）证明：ABAD+ABCD=180°；

（2）若NADB=30°,AD+CD=4A后，求BD的长.

【答案】（1）见解析

⑵BD=4

【分析】（1）由题意推出/3C4=/4DB,从而得到A、B、。、O四点共圆，进而得出结论即可;

（2）首先根据已知信息求出AD,再结合四点共圆的结论，在Rt^ABD中求解即可.

【详解】（1）证：=

/.ABAC=ABCA,

•：ABAC=AADB,

：.ABCA=AADB,

"、_B、C、。四点共圆，

/.ABAD+/BCD=180°;

⑵解：一。，皿

/.AACD=90°,

■：2ADB=30°,BD平分Z.ADC,

：.AADC=60°,ACAD=30°

/.在Rt/XACD中，AD=2CD,

•.•AD+CD=4'

AD=,CD=,

•：A.B.C、D四点共圆，

^ACD=Z.ABD=90°,

：.在Rt/\ABD中，=AD-cosAADB=Xcos30°=x/=4,

OOZi

；.BD=4.

【点睛】本题考查四点共圆的证明、圆的内接四边形的性质，以及解直角三角形等，掌握圆当中的重要结论,

准确求解直角三角形是解题关键.

13.如图，边长为1的小正方形网格中，点在格点上，连接点。在上且满足

BC，则tan/AED的值是（）

"

A，5

【答案】。

【分析】证明在以O为圆心，1为半径的同圆上，把求tan/AEO转化为求tan乙4BD

【详解】以。为圆心，1为半径作。O,连接OD

E在格点上.

・•.AC=OA=OE=OB=1

.•・ABE在。O上

・・・AD_LBC

：.ZADB=90°

又丁。。的直径是AB

/.AB=2

・・,OA=OB

：.OD=^-AB=1

.•.点。在＜3。上

AAED=AABD

：.tan/AED=tan/ABD=《

AB2

故选：D

【点睛】本题考查了圆周南定理、解直角三角形、四点共圆及三角函数的应用，解题的关键在于连接OD,证

明点在以O为圆心，1为半径的同圆上.

14.如图，已知AB=AC=AD,NCAD=20°,则的度数是（）

A.10°B.15°C.20°D.25°

【答案】A

【详解】

如图，AB=AC=AD

1/ACAD=20°

/.2CBD=-yACAD=}x20。=10°,

故选4

15.如图，等边4ABC中，。在上，E在AC上，BD=CE,连BE、AD交于尸，T在E尸上，且DT=

CE,AF=50,TE=16,则斤T=

【答案】17

【分析】用“S4S”可判定4ABD空ABCE,得到AAFE=60°,延长FE至点G,使得FG=E4,连AG,AT,

得到△AFG是等边三角形，证明A、B、D、T四点共圆，设法证明△JR4TgZ\GAB（ASA）,即可求得答案.

【详解「.•△ABC为等边三角形，

/.AB=AC=BC,NABD=ABCE=60°,

在△ABD和△BCE中，

(AB=BC

/ZABn=ZBCE=60°,

[BD=CE

：./\ABD空ABCE(SAS),

・•・/BAD=/CBE,

・・・/ADC=Z.CBE+ZBFD=ABAD+ZB,

・・.ABFD=/B=AAFE=60°;

延长也至点G,使得FG=E4,连AG,AT,

・・・ZAFE=60°,

：.ZVLFG是等边三角形，

・・.AG=AF=FG=5Q9AAGF=AFAG=60°,

・・•Z.BAF+AEAF=ACAGA-4EAF=60°,

・・.ABAF=ACAG9

・・•DT=CE,

・・.NDBT=ABTD,

・・・/BAD=/CBE,

：./BAD=/BTD,

・・._A、B、。、T四点共圆，

・・・/BAD=/DAT,

：./FAT=/GAE,

在△EAT和aGAE中，

(AFAT=AGAE

(AF=AG,

[ZAFG=ZAGF=60°

・・・AR4T空/\GAE(ASA),

AFT=GE,

-,-FG=50,TE=16,

FT=y(FG-TE)=17.

故答案为：17.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等，作出辅助线,

判断出4T岂△GAE是解本题的关键.

【题型04,瓜豆原理】

16.如图所示，在等腰改△ABC中，4。=8。=2•，点P在以斜边AB为直径的半圆上，河为PC的中

点，当点P沿半圆从点A运动至点B时,求点河运动的路径长.

【答案】点时运动的路径长为兀.

16

【分析】取AB的中点O、AC的中点E、的中点F,连结OC、OP、OM、OE、OF,班,如图，利用等腰

直角三角形的性质得到AB=V2BC=4，则OC=^AB=2,OP=^AB=2,再根据等腰三角形的性质

得OM±PC,则4cMO=90°,于是根据圆周角定理得到点”在以OC为直径的圆上，由于点P点在A点

时，点在E点；点P点在B点时，M点在F点，则利用四边形CEOF为正方得到EF=OC=2,所以M点

的路径为以即为直径的半圆，然后根据圆的周长公式计算点”运动的路径长.

【详解】解:如图所示，取AB的中点O,4。的中点E,BC的中点F,连接OC、OP、OM、