2025年中考数学大题专练：数与式及方程（组）中的计算问题（8大题型）（解析版）

大题01数与式及方程（组）中的计算问题（8大题型）

考情分析•直击中考

数与式及方程（组）中的计算问题是中考的必考内容，该部分内容涉及知识点较多，但是考题相对简

单，所以需要学生在复习这部分内容时，扎实掌握好基础，在书写计算步骤时注意细节，避免因为粗心而

丢分.

琢题突破•保分必拿

解_元一次不等式组—、一一实数与根式的计算

根与系数关系和根的判别式综合应用—\_一—代数式的混合计算

数与式及方程（组）中的计算问题

新定义问题----->k-----化简求值

比较大小问题一/■—解方程（组）相关计算

题型一：实数与根式的计算

龙A2鹘奥网

1.（2023,湖南张家界,中考真题）计算：|—V3^|—（4—兀）°—2sin60。+Q）.

【答案】4

【分析】先化简绝对值，零次幕及特殊角的三角函数、负整数指数幕，然后计算加减法即可.

【详解】解：原式=8—-2x苧+5

=4.

【点睛】题目主要考查绝对值，零次幕及特殊角的三角函数、负整数指数塞，熟练掌握各个运算法则是解

题关键.

2.（2023•湖北宜昌•一模）已知实数a,b,c在数轴上的位置如图所示.

—1-------七---\---1->

cb0a

（1）若|a|=网，贝i」a+6=,"=.

（2）化简：V^+y（a+6）3-|c—b|.

【答案】⑴0,-1

⑵-b

【分析】（1）根据a,b异号且绝对值相等，可得a,b互为相反数，进而可得结果；

（2）根据数轴上a,b,c的位置和大小关系，再由绝对值的性质去掉绝对值符号，进行计算即可.

【详解】（［）••・由数轴可知，c<b<0<a,|可=网，

••・a+6=0,=­1.

（2）c</?<0<a,\a\=\b\,

花+y（a+6）3—|c-6|

=—c+0—（/7—c）

=—c+0—b+c

=­b.

【点睛】本题主要考查了数轴的意义，绝对值的性质，熟练掌握数轴的特点和绝对值的性质是解本题的关

键.

茏龙》犀迷揖导.

1）a°=l（aWO）,a-n=5（aWO,n为正整数）

2）①|a-b|=a-bU>a>b②|a-b|=O0a=b③|a-b|=b-a0a<b

3）特殊的三角函数要记牢.

4）在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错：

①先算乘方，再算乘除，最后算加减；

②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号.

茏塞》要去训级

1.（2022•湖南娄底•中考真题）计算：（2022—兀）。+弓）-1+|1-2sin60。.

【答案】2

【分析】分别计算零指数塞、负整数指数幕、绝对值和特殊角的三角函数值，然后按照去括号、先乘除后

加减的顺序依次计算即可得出答案.

【详解】解：(2022-7r)°+(I)'1+|1-V3|-2sin60°

lV3

=l+2-(l-V3)-2x—

=l+2-l+V3-V3

=2.

【点睛】此题考查实数的混合运算，包含零指数幕、负整数指数累、绝对值和特殊角的三角函数值.熟练

掌握相关运算的运算法则以及整体的运算顺序是解决问题的关键.

2.(2023・湖北宜昌•一模)已知a,b满足7^不1+|b—1|=0,求a2。22+。2023一4时的平方根.

【答案】

【分析】根据—1|=0,可得a=—l,b=l,再求解。2。22+/。23—4仍的值，结合平方根的含

义可得答案.

【详解】解：：Va+1+\b-1|=0,

a+1—0,6—1=0,

a=—1,Z?=1,

Z.a2022+b2023+4=1+1+4=6,

.•“2022+b2023一4ab的平方根为土瓜

【点睛】本题考查的是非负数的性质，算术平方根的含义，平方根的含义，熟练的求解。=-1,6=1是解

本题的关键.

3.Q3-24九年级上•四川眉山•阶段练习)已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：必一|a+c|+

J(c—6)2——a)2.

_________III1A

ca0b

【答案】化简得a

【分析】本题主要考查了数轴，二次根式的性质，绝对值的意义，利用数轴确定出a,a+c,c——a的符号,

再利用绝对值的意义化简运算即可，利用数轴确定出a,a+c,c—b,b-a的符号是解题的关键.

【详解】由题意得：c<a<0<b,

•••a+cV0,c—b<0力一a〉0,

Va2一|a+c|+J(c—b)2——a)2

=—CL+a+c+b—c—(b—ci)

=-a+a+c+b—c—b+a

=a.

题型二：代数式的混合计算

茏麓》大题典例

1.(2023•青海西宁•中考真题)计算：(2a—37—(a+5)(a—5).

【答案】3a2-12a+34

【分析】运用完全平方公式，平方差公式及整式的加减运算法则处理；

【详解】解：原式=(4a2-12a+9)-(a2-25)

=4a2-12a+9—a2+25

——3a2—12a+34.

【点睛】本题考查整式的运算，掌握乘法公式以简化运算是解题的关键.

2.(2023,湖北襄阳•中考真题)化简：(1—£)+怒.

【答案】5

【分析】先根据同分母分式相加减法则计算，再利用提公因式和平方差公式分解因式，把除法换成乘法,

即可求解；

【详解】解：原式=(安一号)+渭苏为

\a+la+1/ia-l){a+l)

1--a+1

=-----

a+1a

_i

=a,

【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键.

3.(2024•黑龙江大庆•一模)如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整

式.

3-0(x+2)2

□

⑴求整式尸.

(2)将整式P因式分解.

(3)P的最小值为.

【答案】(1)4/_16

(2)4(x+2)(x-2)

⑶一16

【分析】本题考查多项式的加减、因式分解和最小值的计算，熟练掌握多项式的加减运算规则和因式分解

的方法是解决本题的关键.

(1)直接求和即可；

(2)根据平方差公式分解因式；

(3)由退20即可判断P的最小值为一16.

【详解】(1)解：P=3x2—4x—20+(x+2)2

=3x2—4%—20+%2+4x+4

=4x2—16.

(2)4xz-16=4(xz-4)=4(x+2)(x-2)

(3)P=4x2-16,

x2>0,

・•・当x=0时，P的最小值为一16

奥茏》避黄揖导

1)基的运算

鬲的运算公式补充说明

am.an=am+n1.逆用公式：am+n=am-an

同底数孱相乘

(m,n都是整数)

2.【扩展】am^aP=am+"P（m,n,p都是正整数）

1.负号在括号内时，偶次方结果为正,奇次方为负负号在括号外结

(am)n=amn果都为负.

鬲的乘方

(m,n都是整数)

2.逆用公式：amn=（am）n

3.【扩展】（（am）n）p=amnp（m,n,p都是正整数）

(ab)n=anbn1.逆用公式：anbn=(ab)n

积的乘方

(n为整数)

2.(abc)n=anbncn

1.关键：看底数是否相同,指数相减是指被除式的指数减去除

am^-an=am-n式的指数.

同底数鬲相除

(a#0,m,n都为整数)

2.逆用公式：am-n=am-an（a#0,m、n都是正整数）.

3.【扩展】am-an^ap=am-n-p（a#0,m,n,p都是正整数）.

2）乘法公式

乘法公式基础变形

平方差公式(a+b)(a—b)=a2—b2

1.通过移项变形

①a2+b2=(a+b)2-2ab②2ab=(a+b)2-(a2+b2)

用法：已知a+b、ab、a?+b2中的两项求另一项的值(知二求一).

2.a+b与a-b的转化

①(a+b)2=(a-b)2+4ab②(a-b)2=(a+b)2-4ab

③(a+b)2-(a-b)2=4ab④(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)

（a±b）2=a2±2ab+b2用法：已知a+b、ab>a-b中的两项求另一项的值(知二求一).

完全平方公式口诀：首平方，尾平方，3.特殊结构

二倍乘积放中央.①(x+-)2=X2+2+-^@X2+-^=(X+-)2-2

XX2X2X

③(x--)2=X2-2+-^④x2--3=(x--)2+2

XX2X2X

4.扩展

①(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3

②(a+b+c)3=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

3）因式分解

基本

提公因式法ma+mb+mc=m(a+b+c)

方法

①运用平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).

公式法

②运用完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2

a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)

进阶

【口诀】首尾分解，交叉相乘，实验筛选，求和凑中.

方法十字相乘法

【特殊】因式分解：ax2+bx+c

①若a+b+c=0,则必有因式xT②若a-b+c=0,则必有因式x+1

分组分解法ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)

如果多项式中某部分代数式重复出现，那么可将这部分代数式用另一个字母代替.

换元法例：因式分解(x?+5x+2)(x?+5x+3)T2,设x?+5x+2=t

则原式=t(t+l)T2=(t-3)(t+4)=(x+2)(x+3)(x2+5x-l)

1)如果多项式各项有公因式，应先提取公因式；

2)如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：①为两项时，考虑平方差公式；

一般②为三项时，考虑完全平方公式；

步骤③为四项时，考虑利用分组的方法进行分解；

3)检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止.

以上步骤可以概括为“一提、二套、三检查”.

茏变》笠式训级

1.(2024・重庆•模拟预测)计算：

(l)(a+2b)(a—2b)+(a—6)2

⑵(一-9与/_

【答案】⑴2a2—2a6—3扭

⑵上|

【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算，乘法公式.

(1)根据乘法公式计算，再合并同类项即可；

(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果

即可.

【详解】(1)解：(a+2b)(a—2b)+(a-b)2

=a2-4b2+a2—2ab+b2

—2a2—2ab—3b2；

⑵解：(—一#*

/%2-13\0-2)2

~\%+1—%+1/%+1

(%+2)(%—2)x+1

%+1(x—2)2

x+2

-x-2'

2.(2024,湖南•模拟预测)已知整式2=4比2+4支一24.

⑴将整式a分解因式；

(2)求证：若x取整数，贝必能被4整除.

【答案】⑴4(x+3)(x—2)；

⑵证明见解析.

【分析】(1)利用配方法把4/+以配成一个完全平方式，再利用平方差公式因式分解即可；

(2)利用(1)的结果即可求证；

本题考查了因式分解及其应用，掌握因式分解的方法是解题的关键.

【详解】(1)解：A=(4x2+4x+1)—25

=(2x+l)2-52,

=[(2x+1)+5][(2x+1)-5],

=4(x+3)(x—2)；

(2)证明：•.•支取整数，

.1.%+3和x—2均为整数，

又由(1)可知，A=4(x+3)(x—2),

.T能被4整除.

题型三：化简求值

龙麓》大题典例

1.(2023•山东淄博•中考真题)先化简，再求值：Q—2y)2+x(5y—乃一4y2,其中％=号1,y=亨.

【答案】xy；1

【分析】直接利用整式的混合运算法则化简进而合并得出答案.

[详解]原式="+4y2—4xy—x2+5久y—4y2

=xy,

、匕.V5+1_V5—ln-4*

当汽1V=--)=下一时，

原式=xy=^x亨=?=L

【点睛】此题主要考查了整式的混合运算二次根式的运算，正确合并同类项是解题关键.

2.(2023•辽宁丹东•中考真题)先化简，再求值：O+冷，其中尤=&尸+(—3)。.

\x2—2x+lX-1/X-L'2/

【答案】31

【分析】

先将分子分母因式分解，除法改写为乘法，括号里面通分计算，再根据分式混合运算的运算法则和运算顺

序进行化简，根据负整数塞和0次幕的运算法则，求出X的值，最后将X的值代入计算即可.

【详解】解：(若\―0+9?

Vx2-2x+lx-1/x-1

(X+1)(%—1)X—1X—1

二.~(%-1)2—(X-l)dX-^―

%(x—1)X—1

=-------X-----

(X-1)23

X

=3,

*.*x=6)+(—3)°=2+1=3,

二・原式=|=|=1.

【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则，以及负

整数幕和0次累的运算法则是解题的关键.

ISA舞黄揖号.

化简求值常见方法汇总：

1.直接代入法：把已知字母的值直接代入代数式计算求值.

2.间接代入法：将己知的代数式化简后，再将己知字母的值代入化简后的代数式中计算求值.

3.整体代入法：①观察已知代数式和所求代数式的关系.

②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式将已知代数式和所求代数式进行变形，使它

们成倍分关系.

③把已知代数式看成一个整式代入所求代数式中计算求值.

4.赋值求值法：指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求出所提供的代数式的值的一种方法.这

是一种开放型题目，答案不唯一.在赋值时，要注意取值范围，选择合适的代数式的值.

5.隐含条件求值法：先通过隐含条件求出字母值，然后化简再求值.

例如：①若几个非负数的和为0,则每个非负数的值均为0

②已知两个单项式为同类项，通过求次数中未知数的值，进而带入到代数式中计算求值.

6.利用“无关”求值：

①若一个代数式的值与某个字母的取值无关时需先对原式进行化简，则可得出该无关字母的系数为0；

②若给定字母写错得出正确答案，则该代数式的值与该字母无关.

7.配方法：若已知条件含有完全平方式，则可通过配方，把条件转化成几个平方和的形式，再利用非负数

的性质来确定字母的值，从而求得结果.

8.平方法：在直接求值比较困难时，有时也可先求出其平方，再求平方值的平方根，但要注意最后结果的

符号.

9.特殊值法：有些试题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况

进行分析，或选择某些特殊值进行计算，把一般形式变为特殊形式进行判断，这时常常会使题目变得十分

简单.

10.设参法：遇到比值的情况，可对比值整体设参数，把每个字母用参数表示，然后代入计算即可.

11.利用根与系数的关系求解：如果代数式可以看作某两个“字母”的轮换对称式，而这两个“字母”又可

能看作某个一元二次方程的根，可以先用根与系数的关系求得其和、积式，再整体代入求值.

12.利用消元法求值：若己知条件以比值的形式出现，则可利用比例的性质设比值为一个参数，或利用一

个字母来表示另一个字母.

13.利用倒数法求值：将已知条件或待求的代数式作倒数变形，从而求出代数式的值.

茏塞》要其训级

1.（2024•广西桂林•一模）先化简，再求值：（层力—2ab2—川）+力—（Q+5）（。—入），其中。=—万，

b=2.

【答案】—2ab,6

【分析】本题考查了整式的化简求值，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键.先分别利用多项式

除以单项式、平方差公式进行计算，然后合并同类项，最后代入数值进行计算即可.

【详解】解：原式=/力一万一2ab2+Z?—力3・b—

=a2—2ab—b2—a2+b2

=-2ab；

当

3时

a--b=2原式=—

2-J2x(—x2=6.

2.2024•山东滨州•一模）先化简再求值：（三一三）+六,其中x=（旧一1）°+（|）-1+J（-V5）2-|-1|.

【答案】x-2,V5

【分析】本题考查了分式的化简求值，求算术平方根，负整数指数幕以及零指数幕等知识点，根据除以一

个数等于乘以这个数的倒数将原式中除法转化成乘法，然后利用乘法分配律展开计算，然后化简合并，代

入数据计算即可，熟练灵活运用公式是解决此题的关键.

【详解】解：（言-含户若

x2X—12%%—1

=-----7X--------------TX-------

X—1XX—1X

=x—2,

当％=(V3-1)°+—V5)2—I—1|=1+2+V5-1=2+6时，

原式=24-V5—2=V5.

3.Q024,四川广元・二模)先化简，再求值：号+其中x是不等式组产(幺二

的整数解.

【答案】名,1

4

【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组，先根据分式的混合计算法则化简，然后

解不等式组求出不等式组的整数解，再根据分式有意义的条件确定X的值，最后代值计算即可.

【详解】解：蒙牛+(久+1—号),

力-1vX-1/

%(%—2)x2—1—2x+1

(%+1)(%—1)x—1

x(x—2)x—1

(x+l)(x—1)%(%—2)

i

x+l*

f2(x—1)<%+及)

I2%+4>1—x(2y

解不等式①得：x<4,

解不等式②得：%>-1,

/.不等式组的解集为一1Wx<4,

为整数且％+1wo,X—1W0,%W0,X—2W0,

%=3,

•,•原式=击=:

4.2024•黑龙江哈尔滨•一模冼化简，再求代数式(言；一3^^)十?高的值，其中比=2(tan45O—cos30。).

【答案】当普

【分析】本题考查特殊角的三角函数值，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

先化简括号内的式子，再算括号外的乘除法，最后将求出x的值代入化简后的式子计算即可.

【详解】解：原式=［岛-号］一号

X2—4%2-%1%(%—2)

一第(％—2)2—%(%—2/x—4

%—4%(x-2)_1

一%(久一2)2x-4-x-2'

当％=2(tan45°—cos30°)=2(1—率)=2—VW,原式=工5々=一亨.

题型四：解方程(组)相关计算

1.解关于X的一元一次方程：平—1=等.

【答案】X=7

【分析】先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，即可求解.

【详解】解：等一1=平

去分母得3(4%—3)—15=5(2x—2)，

去括号得12尤-9-15=10%-10,

移项得12x-10x=24-10,

合并同类项得2x=14,

x=7.

【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键.

2.(2023•江苏连云港•中考真题)解方程组俳2y

【答案】

【分析】

方程组运用加减消元法求解即可.

【详解】

①+②得5x=15,

解得x=3,

将久=3代入①得3x3+y=8,

解得y=-1.

【点睛】

本题主要考查了解二元一次方程组，方法主要有：代入消元法和加减消元法.

3.（2023•江苏连云港・中考真题）解方程：分=与_3.

x—2x—2

【答案】尤=4

【分析】方程两边同时乘以x-2,再解整式方程得x=4,经检验x=4是原方程的根.

【详解】解：方程两边同时乘以X-2得，

2.x—5=3x—3—3（%—2）,

解得：x=4

检验：当久=4时，%—20,

=4是原方程的解，

・•・原方程的解为x=4.

【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，切勿遗漏对根的检验是解题的关键.

4.（2023•广东广州•中考真题）解方程：x2—6%+5=0.

【答案】=1,%2=5

【分析】直接利用因式分解法解一元二次方程即可.

【详解】解：x2—6x+5=0,

(x—l)(%—5)=0,

x—1=0或%—5=0,

XI=1,%2=5.

【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，正确计算是解题的关键.

莪A鲤去指导.

1）解方程的一般步骤：去分母-移项-合并同类项-系数化为1；

2）一元二次方程ax2+bx+c=0（aWO）的解法选择：

①当a=l,b为偶数，cWO时，首选配方法；

②当b=0时，首选直接开平方法；

③当c=0时，可选因式分解法或配方法；

④当a=l,b#0,cWO时，可选配方法或因式分解法；

⑤当aWl,b#0,cWO时，可选公式法或因式分解法.

3）解分式方程时易错点：

①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.

②分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解.

③分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的

根.

④解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤.

⑤分式方程有增根与无解并非是同一个概念.分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去

分母后的整式方程无解.

蔻3处要式训级

1.（2023•浙江•一模）解方程：宇_1=千

36

【答案】%=1.5

【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤，进行解答即可.

【详解】解：去分母，得：6%—4—6=5—4x,

移项，得：6x+4x=5+4+6,

合并同类项，得：10x-15,

系数化为1,得：%=1.5.

【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是在掌握解一元一次方程的方法和步骤.

2.（2023•陕西西安二模）解方程组：15―十=庶

（4x-y=8,@

12

x=一

【答案】8

【分析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可.

【详解】解：方程组整理得：｛堂二g二黜，

②x2-①得：5x=12,

解得：x=y,

把x=S弋入②得：y-y=8,

解得：y=|,

12

X——

则方程组的解为8.

（片g

【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法.

3.（2023•江苏连云港,模拟预测）解下列方程：

（1）1.

x-22-x'

（2）x2—4x+3=0.

【答案】（1）原方程无解；（2）5=3,%2=1

【分析】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，解题的关键是：

（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解；

（2）利用配方法求解即可.

【详解】解：（1）两边都乘以％—2,得：3%—5=x—2+1,

解得x=2,

经检验x=2是原方程的增根，

所以原方程无解；

（2）%2—4%+3=0,

x2—4x——3,

.\%2-4X+4=-3+4,即。-2)2=1,

x—2=1或%—2=—1,

角率得%1=3,%2=1.

题型五：解一元一次不等式组

f4x—840,

（2023•江苏•中考真题）解不等式组|把<尤+1,把解集在数轴上表示出来，并写出整数解.

IIII1»

-2-1012

【答案】—1<XW2,整数解为：0,1,2

【分析】

先分别求出两个不等式的解集，再写出不等式组的解集，进而即可得到答案.

f4x-8<00

【详解】解：悖<久+1②，

由①得，x<2,

由6）得，乂>—1,

故不等式组的解集为：一1<%W2,

在解集在数轴上表示出来为：

----------1---------6-------1-----------1------------------------>

-2-1012

它的整数解为0,1,2.

【点睛】本题考查解一元一次不等式组，并把解集表示在数轴上，解题的关键是准确求出不等式的解集,

注意不等式两边同除以一个负数不等号方向要发生改变.

龙宾》期黄指导.

1）不等式的性质

基本性质1若a>b,贝！Ja±c>b土c

若a<b,则a±c<b±c

基本性质2若a>b,c>0,则ac>bc（或（>g）

基本性质3若a>b,c<0,则ac<bc（或

2）不等式组解集的确定有两种方法：

①数轴法：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集.

②口诀法：大大取大，小小取小，大小、小大中间找，大大、小小取不了.

3）解一元一次不等式组的一般步骤：

①求出不等式组中各不等式的解集.

②将各不等式的解决在数轴上表示出来.

③在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集.

茏塞》变式训练

（2（x+2）>x+3①

1.（2023・山东济南•中考真题）解不等式组：I三<丝②，并写出它的所有整数解.

【答案】—1<%<3,整数解为0,1,2

【分析】分别求解两个不等式，再写出解集，最后求出满足条件的整数解即可.

【详解】解：解不等式①，得》>—1,

解不等式②，得x<3,

在同一条数轴上表示不等式①②的解集，

—।-------A--------1--------1--------1------i->

-3-10123

原不等式组的解集是一1<%<3,

整数解为0,1,2.

【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤,

以及写出不等式组解集的口诀"同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”.

题型六：根与系数关系和根的判别式综合应用

龙变》大题典例

1.（2023,湖北襄阳,中考真题）关于x的一元二次方程好+2%+3—k=0有两个不相等的实数根.

⑴求k的取值范围；

（2）若方程的两个根为a,。，且A：2=aS+3k,求k的值.

【答案】⑴k>2

(2)k=3

【分析】(1)根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出炉—4ac>0,把字母和数代入求出k的取值

范围；

(2)根据两根之积为：；，把字母和数代入求出k的值.

【详解】(])解：b2—4ac=22—4X1X(3—fc)=-8+4/c,

•••有两个不相等的实数，

—8+4k>0,

解得:k>2；

(2);方程的两个根为a,B，

/.a/3=£=3—k,

：.k2=3—k+3k,

解得：ki=3,k2=-1(舍去).

即：fc=3.

【点睛】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握久04是方程a/+"+c=0的两

根时，％1+%2=—，

2.(2023•四川南充•中考真题)已知关于x的一元二次方程第2—(2m—l)x—3m2+m=0

⑴求证：无论用为何值，方程总有实数根；

(2)若知久2是方程的两个实数根，且葭+£=—今求加的值.

【答案】⑴见解析

7

(2)-^1.

【分析】(1)根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定AN0即可得到答案；

2

(2)根据一元二次方程根与系数的关系得到％1+x2=2m-1,%i%2=-3m+m,整体代入得到zn?

+2m-3=0求解即可得到答案.

【详解】(1)证明：•・,关于久的一元二次方程第2—(2m—1)%—3血2+772=0,

a=1,b=—(2m—1),c=—3m2+m,

/.△=h2—4ac=[—(2m—l)]2—4x1x(—3m2+m)=(4m—I)2,

V(4m-l)2>0,即ANO,

・・・不论加为何值，方程总有实数根；

(2)解：%2是关于X的一元二次方程(2m—1)%—31712+772=0的两个实数根，

:・％i+%2=2m—1,巧％2=—3m2+m,

xX

..21Xi2+x2(XI+%2)2—2XIX5

・-+-=-----2=------------2=---,

Xlx2%1X2%1%22

・(Xi+%2)2_1

一%1%2~~2f

・二!黑;二=一弓整理，得5血2一76+2=°,解得血1=1，m2=1,

••m的值为,或1.

【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方

程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键.

茏的解黄揖号.

1)根的判别式

①求根公式的使用条件：aWO且△》().

②使用一元二次方程根的判别式，应先将方程整理成一般形式，再确定a,b,c的值.

③利用判别式可以判断方程的根的情况，反之，当方程：1)有两个不相等的实数根时，A>0;

2)有两个相等的实数根时，A=0;

3)没有实数根时，A<0.

④一元二次方程有解分两种情况：1)有两个相等的实数根；2)有两个不相等的实数根.

2)一元二次方程根与系数的关系

2

①如果方程x+px+q=0的两个根为X"X2,那么尤i+%2=-p,x1*x2=q.

②以两个数X],X2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(Xi+%2)X+X1»X2=O.

③一元二次方程根与系数关系的使用条件：aWO且△》().

④用根与系数的关系求值时的常见转化：

已知一元二次方程ax?+bx+c=O(aWO)的两个根x1,x?

2

1)平方和%i+%2-(X1+X2)—2X1X2

2)倒数和工+：/詈

XXX1X2

3)差的绝对值|Xj-x|=722

2(Xi-x2)=V(xi+x2)-4xtx2

4)生+至二%—+冷？_(%1+—)2-2%1%2

)久2X1Xi%2Xi%2

5)(%i+1)(%2+1)=%1%2+(%1+%2)+1

蔻塞》要堂喳.

1.(2023,湖北襄阳•一模)已知关于x的方程Ze/+(2k+l)x+2=0.

⑴求证：无论先取任何实数时，方程总有实数根.

⑵是否存在实数人使方程两根的倒数和为2?若存在，请求出左的值；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴见解析

⑵存在，fc=-|

【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，一元二次方程根与系数的关系，

解题的关键是熟练掌握当。2-4四>0时，方程有两个不相等的实数根；当b2—4ac=0时，方程有两个相等

的实数根；当按―4ac<0时，方程没有实数根.以及一元二次方程。/+版+。=0缶K0)根与系数关系：

bc

X1+x2=--A1-X2=-.

(1)根据题意进行分类讨论：①当k=0时，②当k70时；

(2)根据一元二次方程根与系数的关系得出句+乂2=竿，x1X2=~进而得出上力衰

=2,列出方程求解即可.

【详解】(1)解：①当k=0时，

方程变形为％+2=0,方程有实数根；

②当k#0时，

△=(2k+1)2—4•k•2=(2k-I)2,

：(2fc-l)2>0,

.•.当kHO时,方程有实数根，

无论k取任何实数时，方程总有实数根；

(2)解：存在，

设方程两根为乂1、%2-

b2k+lc2

mir,=9

则％l+%2=_'=一~二，Xi%2=ak

..11Xi+X2

・一+—=-x--x-=Z,

XiX2l,2

2k+l

.,.z^=2

~k

解得：k=—f.

故存在实数k使方程两根的倒数和为2.

2.(2023•江西新余•一模)关于x的方程/—(2k+l)x+k2=0.

(1)如果方程有实数根，求k的取值范围；

⑵设久1和%2是方程的两根,且好+1=6+久1%2,求发的值.

【答案】⑴kN—3

(型=1

【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、分式方程的解法以及根的判别式等知识，解题的关键

是：(1)牢记"当ANO时，方程有两个实数根"；(2)根据根与系数的关系结合已知得出关于人的方程.

(1)根据题意可得根的判别式ANO,进而可得关于人的不等式，解之即可得出发的取值范围；

(2)根据根与系数的关系可得久1+%2=2k+1,XIX2=卜2,结合走+虐=6+久1%2，即可得出关于人的方

程，解之经检验即可得出发的值.

【详解】⑴解：♦..关于X的方程(2卜+1)刀+/=0有实数根，

；.△=[—(2k+I)]2-4k2>0,

解得：

(2)和％2是方程—(2々+l)x+k2=0的两根，

丁・％1+外=2k+1,%i%2=々2,

+后=6+%1%2，即(％1+%2)2=6+3%1%2，

・•・(2/c+l)2=6+3fc2,

整理得：k2+4fc-5=0,

解得：k=—5或k=l,

又.・飞之-；,

k=1.

题型七：新定义问题

龙塞》大题典例

(2023•山东枣庄•中考真题)对于任意实数a,b,定义一种新运算：。※人儿露统晨瑞，例如:

3X1=3—1=2,5X4=5+4—6=3.根据上面的材料，请完成下列问题：

(1)4X3=,(―1)※(—3)=；

(2)若(3%+2)※(久一1)=5,求x的值.

【答案】⑴1;2；

(2)%=1,

【分析】(1)原式利用题中的新定义计算即可求出值；

(2)已知等式利用已知的新定义进行分类讨论并列出方程，再计算求出x的值即可.

【详解】(1)v4<3x2,

•••4派3=4+3—6=1,

v-l>(-3)X2

・・・(-1)※(—3)=-1—(—3)=2；

故答案为:1;2；

(2)若3汽+222(%—1)时，即%之一4时，贝！J

(3%+2)-(%-1)=5,

解得：x=1,

若3%+2<2(%—1)时，即％V—4时，贝IJ

(3x+2)+(x-l)-6=5,

解得：%不合题意，舍去，

【点睛】此题考查了实数的新定义运算及解一元一次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键.

茏龙》解:去揖号.

新定义问题是在问题中定义了初中数学中没有学过的一些新概念、新运算、新符号，要求学生读懂题

意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.

一般有三种类型问题：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接新知识；（3）定义新概念.这

类试题考查考生对新定义的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将新定义的知识与己学知

识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.

蔻变式训级

1.（2023•河北沧州•模拟预测）定义一种新的运算※，对于任意实数a和b,规定aXb=ab2+a/）+a,例如：

2X5=2x52+2x5+2=62.

⑴求5※（-2）的值.

（2）若（m—衣）派2>14,求m的取值范围.

【答案】⑴15

（2）m>V2+2

【分析】（1）根据题中的新定义，代入数据，根据有理数的混合运算进行计算即可求解；

（2）根据题意，列出一元一次不等式，解不等式，即可求解.

【详解】（1）解：根据题中的新定义，得原式=5X（—2A+5X（―2）+5=20—10+5=15.

（2）已知不等式利用题中的新定义化简，得（小一际x22+2（小一际+小一四>14,

整理，得7巾>14+7鱼，

解得m>V2+2.

【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，解一元一次不等式，实数的混合运算，熟练掌握是

解题的关键.

2.（2023・江苏盐城•一模）定义：若两个分式的和为"（"为正整数），则称这两个分式互为"N㊉分式

例如.分式白■与三互为“三㊉分式

⑴分式与____互为"六㊉分式"；

（2）若分式舟与系互为"一㊉分式"（其中a,6为正数），求ab的值；

⑶若正数X,y互为倒数，求证：分式篇与品互为"五㊉分式

⑵=g

⑶见解析

【分析】（1）根据新定义，用6—翳即可求解；

（2）根据定义可得就访+3=1,根据分式的加减进行计算，即可求解；

（3）根据题意首先利用倒数关系，将％、y进行消元，然后两分式相加计算得到结果，利用新定义即可判

断.

【详解】（1）解：依题意，6—翳18+12%-12-x6+llx

3+2%3+2%

6+11%

・・・分式翳与・互为"六㊉分式”,

3+2工

故答案为：篝;

（2）解：••・分式品与系互为“一㊉分式"

•••4+号=1

a(a2+2b)+2b(a+4b2)

即.(a+4b2)(a2+2b)=1

..a-3+2ab+2ab+8b3=a3+2ab+4a2b2+8b3,

即4a2b2=2ab,

・・,〃，。为正数

ab

（3）•・•正数x,y互为倒数,

:.xy=1

.5.,5y95-55（%3+1）

••%+”下%2+y-%+/丁益弓一户+1丁%3+1-x3+l~

二分式券与扁互为"五㊉分式

【点睛】本题主要考查了分式的加法，正确理解题意并掌握分式通分、约分运算方法是解决本题的关键.

3.（2023•河北沧州•模拟预测）定义新运算：对于任意实数机、〃都有m☆九=zrm—3九，例如

2=4x2—3x2=8—6=2,请根据上述知识解决下列问题.

（1）%^2>4,求x取值范围；

⑵若%☆（—：）=3,求x的值；

（3）若方程久☆□=%—6,口中是一个常数，且此方程的一个解为X=1,求□中的常数.

【答案】⑴%>5

(2)x=-9

⑶I

【分析】(1)根据题意列出不等式进行计算即可；

(2)根据题意列出方程进行计算即可；

(3)设口中的常数为y,根据题意列出关于y的方程，解方程即可.

【详解】(1)解：>4,

**.2.x—3X2>4,

解得：x>5.

(2)解：Vx☆(-i)=3,

解得：x=-9.

(3)解：设口中的常数为y,根据题意得：

xy—3y=X—6,

•・•此方程的一个解为％=1,

1.y—3y=1—6,

解得：y=|.

【点睛】本题主要考查了新定义运算，解不等式，解一元一次方程，解题的关键是理解题意列出相应的不

等式或方程.

4.(22-23九年级上•河北石家庄•期末)在实数范围内定义新运算其规则为：a4b=a2—ab,根据

这个规则，解决下列问题：

⑴求(x+2)△5=0中久的值；

(2)证明：(*+m)△5=。中，无论"2为何值，x总有两个不同的值.

【答案】⑴—2或3

(2)见解析

【分析】(1)根据题意的运算法则可得出关于x的一元二次方程，解出该方程的解即可；

(2)根据题意的运算法则可得出关于x的一元二次方程，再根据其根的判别式计算，即可证明.

【详解】(1)解：由题意可得：(x+2)2\5=(x+2)2—5(x+2)=0,

整理，得：x2—%—6=0,

解得：%i=-2,%2=3.

故％的值为一2或3；

(2)由题意可得：(%+m)△5=(%+m)2—5(%+zn)=0,

整理，得：x2+(2m-5)x+m2—5m=0,

△=按—4ac=(2m—5)2—4(m2—5m)=25>0,

・••无论加为何值，方程%2+(2m一5)%+7712-5僧=0总有两个不相等的实数根，即无论冽为何值，X总有

两个不同的值.

【点睛】本题考查解一元二次方程，由一元二次方程根的判别式判断其根的情况.读懂题意，掌握新定义

的运算法则是解题关键.

题型八：比较大小

龙变》大题典例

(2023,江苏盐城,中考