2025年中考数学大题与几何压轴题：三角形压轴（原卷版）

专题10三角形压轴

目录

题型特训-精准提分

型

题

01与三角形有关的多结论问题（选/填）

型

题

02与三角形有关的平移问题

型

题

03与三角形有关的翻折问题

型

题

04与三角形有关的旋转问题

型

题

05与三角形有关的全等/相似问题

型

题

06与三角形有关的最值问题

型

题

07与三角形有关的动点问题

型

题

08与三角形有关的新定义问题

型

题

09与三角形有关的阅读理解问题

型

题

型与三角形有关的存在性问题

题10

型

题11三角形与几何图形综合

12三角形与函数综合

・中考逆袭-高效集训

（时间：60分钟）

题型特训-精准提分

题型01与三角形有关的多结论问题（选/填）

I.（2023•陕西宝鸡•一模）如图，在△48C中，分别以AC,BC为边作等边△4CD和等边△BCE.设

22

△ACD,ABCE,△ABC的面积分别是SiS，S3现有如下结论：®S1：S2=^C:BC；②连接力E,BD,则

ABCD=AECA；③若2CLBC,则弼，其中正确结论的序号是（）

D

A.①②B.①③C.①②③D.②③

2.（2023•浙江湖州•二模）如图，在中，AACB=90°,4B=30。，点、D,E分别是边4B和BC上的两

点，连结DE,将沿DE折叠，点B恰好落在AC的中点M处，BM与DE交于点F.下列三个结论：①

DF=EF；©DMA.AM；③tanNCME=喈其中正确的是.（写出正确结论的序号）

3.（2023・辽宁抚顺・三模）如图，在△ABC中，Z.BAC=45°,CD12B于点。，2ELBC于点E,4E与CD交

于点尸，连接8F,DE,下列结论中：®AF=BC；@2coszDEB=1,③AE-CE=^ED,④若N

CAE=30。，则竺浮=1,正确的是.（填写序号）.

A

DB

题型02与三角形有关的平移问题

4.（2023•吉林长春•模拟预测）【问题原型】如图①，在Rta/IBC中，AACB=90°,CDLAB.若4B=5,

BC=3,则CD的长为；

【操作一】如图，②，将图①中的，△4CD沿4c翻折得到△2CE,则四边形4ECD的周长为；

【操作二】如图③，将图②中的△力CE沿射线方向平移，使点力与点D重合，得到△DGF,点E的对应

点为点F.

图①图②图③

（1）求证：四边形力DFE是菱形；

（2）直接写出四边形4DGF的周长.

5.（2023•山东青岛・三模）已知：如图①，△ABC为边长为2的等边三角形，D、E、尸分别为4B、AC、BC

中点，连接DE、DF、EF.将△BD尸向右平移，使点3与点C重合；将△4DE向下平移，使点”与点C重

合，如图②.

⑴设△4DE、△BDF、△"'（7的面积分别为Si、S2、S3,则Si+S2+S3K（用“＜、=、＞"填

空）

（2）已知：如图③，/-AOB=Z.COD=A.EOF=60°,4。=CF=BE=2,设△4B。、AFEO、△CD。的面积

分别为Si、S2、S3；问：上述结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.（可利用图④

进行探究）

6.（2023•辽宁沈阳•三模）在平面直角坐标系中，△DOE是等腰直角三角形，NODE=90。，DO=DE=3,

点。在x轴的负半轴上，点E在第二象限，矩形ABC。的顶点B（4,2）,点C在x轴的正半轴上，点4在y轴的正

半轴上.将△DOE沿x轴向右平移，得到△。0出，，点D,0,E的对应点分别为。，O1,E'.

图①图②

（1）如图1,当E'。'经过点a时，求直线。'力的函数表达式;

（2）设。0,=t,△。。旧与矩形ABC。重叠部分的面积为S；

①如图②，当△ZT0E与矩形2BC0重叠部分为五边形时,与2B相交于点M,DO分别与48,BC交于

点N,P,用含有t的式子表示S-；直接写出t的取值范围」

②请直接写出满足S=（的所有珀勺值—.

题型03与三角形有关的翻折问题

7.（2023•江苏盐城•模拟预测）如图，中，“=90。，乙4=60。，4B=4,点E、F分别在直线4C、

边BC上，连接EF,将△CEF沿着EF翻折，点C落在边48上的点。处.过点。作DM128,交直线4c于M.

（2）当CF=CE时，求证：4EMD三AFBD；

（3）当母=：时，求4。的值；

(4)连接CD交EF于点P,当2P+BP取最小值=_时，EF的值为

8.(2023•重庆•模拟预测)在RtaABC中，AABC=90°,过8点作BE，2C于点£,点。为线段AC的中点,

连接BD.

(1)如图1,AB=2,AC=6,求ED的长度；

(2)如图2,将线段绕着点。逆时针旋转45。得到线段DG,止匕时DG_L4C,连接BG,点尸为BG的中点，连

接EF,求证：BC=2EF；

(3)如图3,乙4c8=30。，48=3,点P是线段8。上一点，连接4P,将△2PB沿2P翻折到同一平面内得到

AAPB',连接CB-将线段绕点C夕顺时针旋转60。得线段CQ,连接BQ,当BQ最小时，直接写出ABCQ的

面积.

9.(2023・重庆渝北•二模)等边△4BC中，点。为直线4B上一动点，连接DC.

F

⑴如图1,在平面内将线段。C绕点C顺时针旋转60。得到线段CE,连接BE,若。点在48边上，且DC=遮,

-1

tanzXCD-求BE的长度.

(2)如图2,若点。在2B延长线上，点G为线段DC上一点，点F在CB延长线上，连接FG、AG.在点。的运动

过程中，若NG4F+NABF=180°,且FB—BD=AC,猜想线段CG与线段OG之间的数量关系，并证明你的

猜想.

⑶如图3,将△BDC沿直线BC翻折至△ABC所在的平面内得到△BD£,M点在48边上，且将

M力绕点4逆时针旋转120。得到线段AN,点H是直线4C上一动点，将△MNH沿直线翻折至△MNH所在

平面内得到△MVH,在点D、"运动过程中，当N7X最小时，若力B=4,请直接写出△DNH的面积.

题型04与三角形有关的旋转问题

10.(2023•重庆九龙坡・模拟预测)在等腰△ABC中，NABC=90。，AB=BC,将斜边AC绕点/逆时针旋转

一定角度得到线段力。，2。交BC于点G,过点C作CF14D于点足

(1)如图1,当旋转22.5。时，若BG=1,求4C的长；

(2)如图2,当旋转30。时，连接BD,CD,延长CF交BD于点E,连接EG,求证：AG=CE+EG；

(3)如图3,点M是4C边上一动点，在线段上存在一点N,使NB+M4+NC的值最小时，若N4=2,请

直接写出△CNM的面积.

11.2023•贵州贵阳•二模)在△4BC中,NC4B=90。,在△?!£)£1中,NE4D=90。，已知Rt△4BC和Rt△4DE

有公共顶点/,连接和CE.

位置关系是;

(2)如图②，^AD-.AE=AB-.AC=1-.V3,当Rt△4BC绕点/旋转a(0。<a<360。)，(1)中BD和CE的数量关

系与位置关系是否依然成立，判断并说明理由；

(3)在(2)的条件下，若4D=2g,AB=®在旋转过程中，当C,B,。三点共线时，请直接写出CE的

长度.

12.（2023・广东云浮•三模）阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1,在中，ZBXC=90°,AB=AC,点、D、E在边BC上,

^DAE=45°.若BD=3,CE=1,求OE的长.

小明发现，将△48。绕点N按逆时针方向旋转90。，得到△4CF,连接EF（如图2）,由图形旋转的性质和

等腰直角三角形的性质以及=45。，可证△F4E三△£»”，得FE=DE.»AFCE,可求得FE（即

DE）的长.

（2）参考小明思考问题的方法，解决下列问题：

①己知：如图3,正方形ABCD,BM,DN分别平分正方形的两个外角，且满足NM4V=45。，连接MN,若

以8M、DN、MN为三边围成三角形，则该三角形的形状是

②如图4,在四边形力BCD中，AB=AD,z5+zD=180°,E、尸分别是边BC、CD上的点，且=：

/-BAD.猜想线段BE、EF、。产之间的数量关系并说明理由.

题型05与三角形有关的全等/相似问题

13.（2023•辽宁沈阳•模拟预测）【问题探究】

(1)如图1,BD、2C相交于点P,连接8C、AD,且N1=N2,若PB=6,PC=3,PD=4,贝l]P4的长为

（2）如图2,NM0N=120。，点P是NM0N平分线上的一个定点，点4、B分别在射线。M、ON上，且

^APB=60°,求证：四边形04PB的面积是定值;

【拓展运用】

（3）如图3,某创业青年小李租用一块形如四边形A8CD的田地养蜂、产蜜与售蜜，其中40IBC,

NB=90。，AB=120米，4D=60米，BC=110米，点E为入口，点E在4B上，且=小李计划过点E

修一条垂直于的笔直小路EF,将田地分为两部分，四边形AEFD区域为蜂巢区，四边形BCFE区域为蜂源

植物生长区，在点F处设立售蜜点，为了方便取蜜，计划再沿4F修一条笔直的小路力F,直接写出小路4F的

长（小路的宽度忽略不计，结果保留根号）

14.（2023•安徽合肥•一模）如图，已知aaBC是等边三角形，点。、E分别在4C/8上，且CD=4E,BD

与CE相交于点P.

图2

（2）如图2,将△CPD沿直线CP翻折得到对应的△CPM,过C作CGII4B,交射线PM于点G,PG与8c相交于

点、F,连接BG.

①试判断四边形A8GC的形状，并说明理由;

②若四边形ABGC的面积为6g，PF=1,求CE的长.

15.（2023・重庆万州•模拟预测）如图，在等腰直角三角形ZBC中，ZC=9O°,过点C作CD||4B交过点B的直

线于点D,乙48。=30。,直线8。交4C于H.

图1

(1)如图1,若4B=2,

(2)如图2,过点力作4G1BD交BD于点G,交BC的延长线于E,取线段4B的中点F,连接GF,求证：GF+V3

GH=BH.

(3)在(2)的条件下，过点。作4B交48于点P,若点M是线段GF上任一点，连接将△BGM沿

折叠，折叠后的三角形记为当争1G―DG取得最小时，直接写出tan/PM的值.

题型06与三角形有关的最值问题

16.（2023・吉林长春•模拟预测）【问题提出】

图①图③

（1）如图①，4B为。。的一条弦，圆心。到弦的距离为4,若。。的半径为7,则。。上的点到弦4B

的距离最大值为

【问题探究】

（2）如图②，在△4BC中，NB4C=60。,力。为BC边上的高，若4。=6,求△ABC面积的最小值;

【问题解决】

（3）如图③，在△4BC中，228。=90。,8。平分乙48。交2。于点。，点「为8。上一点，B£）=80戈米,

ZCDP=45°.则四边形48PD的面积的最小值为.

17.（2023•河南周口•二模）已知在等腰△力BC中，AB=AC,。为BC中点，连接4D.分别以48为圆心,

大于的长为半径画弧,在4B的两侧分别交于点M、N,连接MN,MN交AB于点E,交AD于点F,连接

ED、FC.

D

图3

（1）如图1,若aaBC为正三角形，则ADEC=

（2）如图2,若AD=BC=2,EF的延长线交4C于点尸，求器的值和FP的长.

⑶如图3,若AD=BC=2,把图2中的△4EF绕着点/旋转，直接写出标的值，以及的最小值和最大

值.

18.(2023・四川成都•模拟预测)如图，在锐角△ABC中，zB=60°,点、D,E分别是BC,4C上的动点，连接

AD,DE.

(1)如图1,若AB>BC,S.BD=DE,4D平分NB4C,求NCED的度数.

(2)如图2,若AB=BC,在平面内将线段AD绕点。顺时针方向旋转60度得到线段DF,连接BF,过点F做

FGLAB,垂足为点G,在点。运动过程中，猜想线段BD,BA,4G之间存在的数量关系，并证明你的猜

想.

(3)如图3,若点H为AC下方一点，连接A”，CH,△AC”为等边三角形，将△AC"沿直线翻折得到

AAHP.M是线段PB上一点，将沿直线翻折得到连接PN,当线段PB取得最小值，且

tanNPHN=誓时，请求出PN4C的值.

题型07与三角形有关的动点问题

19.(2023•吉林长春•二模)在△4BC中，NC=90。，力B=5,AC=4,点。是边8c上的一点，且BD=2.动

点P从点B出发，沿折线B2—AC以每秒1个单位长度的速度匀速运动，连结PD,作点B关于直线PD的对称点

B',连结B?、设点P的运动时间为t秒(t>0).

A

B'

BDC

⑴线段CD的长为.

(2)用含珀勺代数式表示线段2PQ4P>0)的长.

(3)连结人方，求力的最小值.

(4)当0B1I4C时,直接写出珀勺值.

20.(2023•吉林长春•模拟预测)如图，在Rta4BC中，乙4cB=90。,乙4=30。,8。=4,动点F从点4出发沿

折线AC—CB向终点8运动，在4C上的速度为每秒g个单位长度，在BC上的速度为每秒1个单位长度.当

点尸不与点C重合时，以CF为边在点C的右上方作等边设点F的运动时间为t(秒)，点F到48的距离

为九.

⑴ac=；

(2)求％与t的函数关系式，并写出t的取值范围;

⑶当点尸在4C边上运动，且点Q到4B的距离为|伍求t的值；

(4)作点Q关于直线的对称点为。，当以C,F,Q，为顶点的三角形为锐角三角形时，直接写出入的取值范围.

21.(2023•吉林松原•模拟预测)如图，在△4BC中，zX=ZB=30°,AC=2cm,CD14B于点D.动点P

从点4出发.以V^cm/s的速度沿边力B向点B匀速运动，当点P不与点/、8重合时，过点P作PQ14B交折线

AC—CB于点Q,将线段PQ绕点Q逆时针旋转60。得到线段QM,连接PM,设点P的运动时间为x(s),回答下

列问题.

(1)直接写出=cm；

(2)当点Q在边NC上时，CQ的长为cm(用含x的代数式表示);

(3)当点M落在边CD上时，求工的值；

(4)在点尸运动的过程中，作点M关于直线力B的对称点N,连接PN、MN,设四边形PQMN与△ABC重叠部分

图形的面积为ycm2,求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

题型08与三角形有关的新定义问题

22.(2023・四川遂宁•一模)定义1：如图1,若点H在直线/上，在/的同侧有两条以H为端点的线段MH、NH,

满足41=N2,则称和NH关于直线I满足“光学性质”；

定义2：如图2,在△力BC中，的三个顶点P、Q、R分别在BC、AC,AB上，若RP和QP关于BC满足，光

学性质”，PQ和RQ关于AC满足“光学性质”，PR和QR关于满足“光学性质”，则称△PQR为△4BC的光线

三角形.

阅读以上定义，并探究问题：

HBDCFc

图1图3图4

在△4BC中，ZX=30°,AB=AC,△DEF三个顶点D、E、F分另!］在BC、AC.4B上.

⑴如图3,若FEIIBC,DE和FE关于力C满足“光学性质”，求NEDC的度数；

(2)如图4,在△ABC中，作CF,48于F,以48为直径的圆分别交4C,BC于点E,。.证明：ADEF为aABC

的光线三角形.

23.(2023•浙江宁波・二模)定义：两个相似三角形共边且位于一个角的平分线两侧，则称这样的两个相似

三角形为叠似三角形.

BD

1

(1)如图1,四边形48CD中，对角线AC平分NBA。，4BCD+-Z.BAD=180°,求证：ZiaCB和△4DC为叠

似三角形；

(2)如图2,AACB和△4DC为叠似三角形，若4B||CD,AD=4,AC=6,求四边形4BCD的周长；

(3)如图3,在△ABC中，。是BC上一点，连接4D,点£在40上，且DE=DC,尸为AC中点，且

ABEC=^AEF,若BC=9,AE=4,求百的值.

24.(2023•山东青岛•一模)定义：三角形一边中线的中点和该边的两个顶点组成的三角形称为中原三角

形.如图①，AD是△ABC的中线,尸是4。的中点，则是中原三角形.

⑴求中原三角形与原三角形的面积之比(直接写出答案).

(2)如图②，力。是△ABC的中线,E是边4C上的点，AC^3AE,BE与AD相交于点凡连接CF.求证：AFBC

是中原三角形.

(3)如图③，在(2)的条件下，延长CF交力B于点连接ME,求△FEM与△ABC的面积之比.

题型09与三角形有关的阅读理解问题

1

.-.ZOP(2=-(180°-zO),

••-ZO/VM=|(180°-ZO),

小颖：我认为小琦的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，作NOMN的角平分线MC交OB于点

P,作MP的垂直平分线EG交。M于点。，贝UPQIIMN....

任务：

(1)小琦得出△PM。三△QN。的依据是_(填序号).

①SSS②SAS③AAS④ASA

(2)小颖的作法正确吗？若正确，请加以证明；

(3)如图4,已知N4OB=30。，点、M、N分别在射线04、OB上，且。M=ON,点尸在线段。B上，点。是射

线。力上的一动点，当4。”(？=4(2%。=45。时，请直接写出爱吆的值.

◎△PQM

图4

26.(2023•河南南阳•二模)请阅读下列材料，完成相应的任务.

中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常采用倍长中线法添加辅助线.

所谓倍长中线法，即延长边上(不一定是底边)的中线，使所延长-部分与中线相等，以便构造全等三角形,

从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的一种方法.

如图①，在aABC中，4D是BC边上的中线，若AB=3,AC=5,求力。的长的取值范围.

解题思路：如图①，延长4。到点E,使DE=D4,连接CE,则可证得△EC。三△ABO(依据)，得出

EC=AB=3,在△ACE中，AE=2AD,AC=5,CE=3,即可得到力E的取值范围，进一步得到4。的取值

范围.

A

图①

任务：

（1）上述解题思路中的“依据”是（填序号）

①SAS②ASA③AAS④SSS⑤HL

（2）如图②，在△2BC中，。为边BC的中点，已知4B=5,2C=3,AD=2,求BC的长.

A

图②

（3）如图③，在矩形4BCD中，4B=4后点E是CD边的中点，连接4E,点F在直线BC上，且第=也若

Z.FAE=Z.DAE,请直接写出CF的长.

图③

27.（2023•山西忻州•模拟预测）阅读与思考

如图是小强同学的数学课堂笔记本，请仔细阅读，并完成相应的任务.

平面直角坐标系与直角三角形

x年x月x日星期三

原理：根据直角三角形的定义，性质，判定，以直角三角形顶点分三种情况进行分类讨论

口诀：“两线一圆”

作图：举例如下：已知4（3,0）、B（0,4）,在直线x=l上求点C,使得△48C为直角三角形.以下分三种

情况讨论:

情况一：当/为直角顶点时，过点/作力B的垂线/交直线久=1于点C,则交点即为所求点C.如图①，有

G一个点；

情况二：当8为直角顶点时，过点8作力B的垂线/交直线x=l于点C,则交点即为所求点C如图②，有

。2一个点：

情况三：当C为直角顶点时，以A8为直径作圆，则该圆与直线x=l的交点即为所求点C.如图③，有。3,

C4两个点；

二、代数法：两点间的距离公式，列方程，解方程，检验根；

三、解析法：求垂线解析式，联立方程组求交点.

任务：

(1)上面课堂笔记中的分析过程，主要运用的数学思想是一(从下面选项中选出两个即可)；

A.数形结合B.统计思想C.分类讨论D.转化思想

(2)选择一种课堂笔记本中记载的方法，求出“情况一”中Ci的坐标.

(3)直接写出“情况二”中C2的坐标」

(4)请你写出在“情况三”中，确定C3、圆的坐标位置及求坐标过程中，所依据的数学定理或原理(写出一个

即可).

题型10与三角形有关的存在性问题

28.(2023•浙江金华•三模)在Rt△力BC中，^ABC=90°,AB=3,BC=4.点。为AC的中点，点£为折

线力一B—C上一动点，连接DE,以DE为边作正方形DEFG(点/为点。绕点£顺时针旋转90。得到)，直线

FG与直线BC,AC的交点分别为M,N.

⑴当点E在线段4B上时，

①若4E=ED,求此时力E的长；

②若直线FG过点C,求此时正方形DEFG的面积；

(2)是否存在点E,使得△CMN是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长，若不存在，请说明理由.

29.(2024•广东湛江•一模)【建立模型】(1)如图1,点8是线段CD上的一点，AC1BC,AB1BE,

ED1BD,垂足分别为C,B,D,AB=BE.求证：AACB=ABDE；

【类比迁移】(2)如图2,点火一3,a)在反比例函数丫=嚏图象上，连接。4将绕点。逆时针旋转90。到

OB,若反比例函数y=：经过点&求反比例函数y的解析式；

【拓展延伸】(3)如图3抛物线)/=K2+2%—3与；＜:轴交于/,B两点(点/在点3的左侧)，与y轴交于C

点，已知点Q(0,—1),连接2Q,抛物线上是否存在点M,便得NM4Q=45。，若存在，求出点M的横坐

标.

题型11三角形与几何图形综合

30.(2024・四川达州•模拟预测)【问题发现】

(1)如图1,在△Q4B中，OB=3,若将aCMB绕点。逆时针旋转120。得。4方，连接则=

【问题探究】

(2)如图2,已知△4BC是边长为4巡的等边三角形，以BC为边向外作等边△BCD,尸为△ABC内一点,

连接2P,BP,CP,将aBPC绕点C逆时针旋转60。，得△%（7,求P4+PB+PC的最小值;

【实际应用】

（3）如图3,在长方形4BCD中，边力B=10,AD=20,P是BC边上一动点，Q为△4DP内的任意一点，

是否存在一点尸和一点。，使得力Q+DQ+PQ有最小值？若存在，请求出此时PQ的长，若不存在，请说明

理由.

图1图2图3

31.（2023•广西•三模）知识回顾

例如，在证明三角形中位线定理时，就采用了如图①的倍长中线方式，将三角形转化为平行四边形使问题

得以解决.

实践操作

如图②，在梯形4BCD中，AD||BC,F是腰DC的中点，请你延长4F交BC延长线于点M,我们易证△ADF三

△MCF（自行补充图形）.

数学发现

如图③，在梯形4BCD中，AD||BC,E、F分别是两腰力B、DC的中点，我们把EF叫做梯形力BCD的中位

线.请类比三角形的中位线的性质，猜想EF和2D、8c有怎样的位置和数量关系？_（用字母及符号表示）.

证明猜想

请结合“实践操作”完成猜想的证明.

已知：

求证：

证明：

实际应用

如图，在口4BCD中，AB=5,BC=8,E是边BC的中点，F是口/lBCD内一点，且NBFC=90。,连接力F并延

长，交CD于点G,若EFII28,求DG的长.

32.（2023•黑龙江齐齐哈尔•模拟预测）综合与实践

旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与我们所学过的全等三角形等等数学知识相结合来解决问题,

有时我们还能从中探索学习一些新知.小苗在研究三角形旋转过程中,进行如下探究：如图，已知正方形

图1图2图3图4

观察猜想:

（1）在图1中，点F,G分别在边AB,AC,4。上，直接写出笔=；

FC—

实践发现：

（2）将正方形2EFG绕点/顺时针旋转至图2所示位置，连接DG,FC,请问（1）中的结论是否发生变化?

并加以证明：

联系旧知：

（3）如果正方形力BCD的边长为5,正方形2EFG的边长为3.将正方形力EFG绕点/顺时针旋转至图3所示

位置，连接EG交4B于点交AC于点N,若NG=理,直接写出EM的长」

探求新知：

（4）在（3）的条件下，当正方形2EFG绕点N顺时针旋转至点E,F,8三点共线时，直接写出CG的

长.

题型12三角形与函数综合

33.(2023•宁夏银川•二模)等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法.它是利用“同一个图形的面积相

等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等

性质解决有关数学问题.在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简

便快捷.

请用等面积法的思想解决下列问题：

(1)在直角三角形中，两直角边长分别为3和4,则该直角三角形斜边上的高的长为.

(2)如图1,反比例函数丫=一:(％>0)的图像上有一点尸，P2,无轴于点/，点8在y轴上，则△248的面

积为.

(3)如图2,P是边长为。的正△ABC内任意一点，点。为△4BC的中心，设点尸到△ABC各边距离分别为

八1，八2，八3，连接AP,BP,CP,由等面积法，易知5a(电+%+九3)=SAABC=3s可得+h2+”3

=§a；如图3,若尸是边长为4的正五边形4BCDE内任意一点，设点P到五边形力BCDE各边距离分别为

hl，h2,九3，九4，包，参照上面的探索过程，求九1+/12+九3+h4+九5的值.(参考数据：tan36°tan

3

54。吗)

(4)如图4,已知。。的半径为1,点/为O。外一点，。4=2,28切O。于点3,弦BCIIO4连接AC,求

图中阴影部分的面积.(结果保留兀)

(5)我国数学家祖曜，提出了一个祖眶原理：“幕势既同，则积不容异”.意思是：两个等高的几何体若在所

有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.如图所示，某帐篷的造型是两个全等圆柱垂

直相交的公共部分的一半（这个公共部分叫做牟合方盖），其中曲线力。C和BOD均是以1为半径的半圆.用

任意平行于帐篷底面力BCD的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，且该正方形的面积恰好等于与帐篷

同底等高的正四棱柱中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥后同高度截面的面积（图8中阴影部分的面

积），因此该帐篷的体积为.（正棱锥的体积U=：底面积x高）

34.（2023•山东聊城•二模）如图，抛物线y=尤2+版+c与工轴交于4,8两点（点4在点B的左侧），点4的坐

标为（一1,0）,与y轴交于点C（0,—3）,直线CD：y=2%—3与久轴交于点。.动点M在抛物线上运动，过点M作

轴，垂足为点P,交直线CD于点N.

\jl/

w

（1）求抛物线的表达式；

（2）当点P在线段OD上时，△CDM的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；

（3）点M在运动过程中，能否使以C,N,M为顶点的三角形是以NM为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接

写出点M的坐标.

35.（2023•西藏日喀则•一模）在平面直角坐标系中，抛物线y=a久2+版一4与x轴交于4（一1,0）,B（4,0）

两点，与〉轴交于点C,点P是直线BC下方抛物线上一动点.

（1）求这条抛物线的解析式：

（2）如图（甲），在x轴上是否存在点E,使得以E,B,C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请直接写

出点£坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图（乙），动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点的坐标和△PBC面积的最大

值.

36.（2023・山东济南•二模）如图，点2坐标为（一1,0）,点/在x轴的正半轴上，四边形BOE4是平行四边

形，DF1x轴于点尸，BD=3V5,tanz£）B/l=2,反比例函数y=>0）在第一象限内的图象经过点与AE

（1）求反比例函数解析式及C点坐标；

（2）若线段BD上一点P,使得乙DCP=4BDF,求点尸的坐标；

⑶过点C作CGIIy轴，交DE于点G,点M为直线CG上的一个动点，〃为反比例函数上的动点，是否存在这

样的点X、M,使得以C、H、M为顶点的三角形与△ABE相似？若存在，求出所有满足条件的〃■点坐标;

若不存在，请说明理由.

中考逆袭-高效集训

（时间：60分钟）

一、单选题

I.（2024・四川广元・二模）如图，在等边三角形48C中，。是边BC上的中点，DE\\AB.将△COE绕点C顺

时针旋转a（（F<a<360。），得到△CDE,连接4ZT,AE',当力E，=V^CD时，a的大小是（）

A.60°或90°B.90°或120°C.60°或300°D.120°或150°

2.（2024•安徽马鞍山•一模）如图，D,E分别在等边△ABC的边AB,BC上,且BD=CE,CD与2E交于点

F.延长CD到点尸，使N8PD=30。，若4F=a,CF=b,则下列结论错误的是（）

A

A.ZXFD=60°B.BF的长度的最小值等于争18

C.PC的长度为a+g6D.△4CF的面积的最大值是△ABC的面积的!

3.（2024・河南信阳•一模）如图1,已知CJABCD的边长4B为4仃，NB=30。，4E1BC于点£现将△ABE

沿BC方向以每秒1个单位的速度匀速运动，运动的△力BE与口/lBCD重叠部分的面积S与运动时间f的函数

图象如图2,则当/为9时，S的值是（）

D.5V3

4.（2024•河北衡水•一模）如图，在△4BC中，zB=zC=65°,将△MNC沿MN折叠得△MN。，若MO与

△48C的边平行，贝！ULMN的度数为（）

A.57.5°B.25°C.57.5。或25°D.115°或25°

5.（2024・安徽•一模）如图，△4BC和△CDE都是等腰直角三角形，AB=BC,CD=DE,

ZXBC=ZCD£=90°,^A,C,£共线，点厂和点G分别是BD和AE的中点，AE=4,连接4/，CF,FG,

EF,下列结论错误的是（）

A.CF+FG的最小值是2B.S^BCO的最大值为1

C.S^ABC+5△£•£）£的最小值为2四D.AF+EF的最小值为2通

二、填空题

6.（23-24九年级下•四川成都•阶段练习）如图,△ABC是等边三角形，AB=4,点。在边AC上由。向/

运动，点E在边BC上由8向C运动，且=连接B。、2